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商用統計學 Chapter 5 機率分配
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機率分配 我們在上章曾說明,推論統計的準備工作有三:機率論、機率分配 與抽樣分配三項。機率論已在第四章說明,本章將說明機率分配的 相關內容,包括機率分配的意義及其種類。所謂機率分配,是指隨 機變數之各變量發生的機率,按變量大小順序排列者。
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機率分配 常用的機率分配可歸納爲間斷機率分配與連續機率分配兩類,如下 表所示,本章亦一併加以說明。
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例題一 茲舉“擲一個公正銅板二次的實驗”為例,說明隨機變數。 *解 令隨機變數X為“出現正面事件之次數”。
(1) 定義域:設以0表示反面,1表示正面,則樣本空間={(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)},由四個樣本點所構成 ( 表示此隨機變數有四個隨機變量,即四個事件 )。 (2) 值域:將每個樣本點予以數值描述 ( 量化 ),其變量;0表示出現0次正面,1表示出現1次正面,2表示出現2次正面。 (3) 對稱關係:如下圖所示,即是隨機變數。
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例題一
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例題二 試就下列隨機實驗,寫出一個隨機變數 ( 讀者自訂 ) 及其變量 ( 可能出現的數值 )。 (1) 擲一個銅板一次。
(1) 擲一個銅板一次。 (2) 擲一個骰子一次。 (3) 一箱子有4個球,2白2紅,設採不放回抽樣,抽出2球。 (4) 某產品下個月銷售的個數。 (5) IBM電腦的壽命。
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例題二 *解 (1) 令A表示出現正面的次數,其變量 。 (2) 令B表示出現的點數,其變量 。 (3) 令C表示出現的白球個數,其變量 。
(4) 令D表示某產品下個月銷售的個數,其變量 ……。 (5) 令E表示IBM電腦的壽命,其變量 。
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例題三 茲舉【例題1】“擲一個公正銅板二次的實驗”為例,說明機率分 配的意義。 *解 (1) 定義域:隨機變數,其變量 。
(1) 定義域:隨機變數,其變量 。 (2) 值域:依客觀機率理論指派機率 ( 本例可分為四種互斥且同時出現相等出象次數之樣本點 ),範圍為 : (A) 變量=0( 無正面出現 ),其機率為1/4 ( 樣本點 (0, 0) 出現一次 )。 (B) 變量=1( 一次正面出現 ),其機率為2/4 ( =1/2 )( 樣本 點 (0, 1),(1, 0) 出現二次 )。 (C) 變量=2( 二次正面出現 ),其機率為1/4 ( 樣本點 (1, 1)
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例題三 (3) 對稱關係:如下圖所示,即是機率分配之關係。
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例題三 (4) 列表表示: 變量X 機率f ( x ) 1/4 1 1/2 2 合 計
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5-2機率分配 . . .機率分配的種類 我們由上述隨機變數之說明可知,隨機變數可分為間斷隨機變數與 連續隨機變數,因此,機率分配亦分為間斷機率分配與連續機率分 配兩類。 所謂間斷機率分配 (Discrete Probability Distribution),又稱 為不連續機率分配,乃將間斷隨機變數X之所有變量x,與其變量所 對應的機率 之關係,列表陳示稱之,如【例題3之 (4)】所 示。 間斷機率分配之機率,必須同時滿足下列兩個條件: 對於每一個變量x所對應之機率,必須在0與1之間,即 所有變量之機率和為1,即
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例題四 擲一個骰子一次,令X表示其出現的點數,試列表、繪圖表示其機 率分配。 *解 (1)列表
因為一個骰子有六面,每一個點數出現的機率均等,故機率均 為1/ ,而其機率總和 。
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例題四 變量X 機率f ( x ) 1 1/6 2 3 4 5 6 合 計 (2) 繪圖
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例題五 某生產設備轉換時間1, 2, 3小時,視轉換生產的產品而定。令隨 機變數X表示轉換時間,其機率函數如下: (1) 試求未知數A。
(2) 轉換時間為2小時的機率。 (3) 轉換時間超過2小時的機率。 (4) 繪製機率分配圖。
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例題五 *解 (1) (2) (3) (4) 機率分配圖
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5-2機率分配 機率分配的種類 所謂連續機率分配 (Continuous Probability Distribution),乃 設連續隨機變數X,其 為一連續函數且 曲線下之面積為1, 則稱 為連續機率分配。連續機率分配無法列表表示,因此都以 函數型態表示,又稱為機率密度函數 (Probability Density Function;p.d.f.)。機率密度函數必須滿足下列兩條件: 對於每一個變量x其對應的機率 ,必須在0與1之間,即 2. 所有變量之機率和 為1,即
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5-3期望值與變異數 期望值 所謂期望值 (Expected Value),又稱期待值,是以機率分配的觀 點,來解釋分配的集中程度。 期望值的計算公式,如下所示: 式中表示間斷隨機變數X的變量,而 則為隨機變數X之變量x所 對應的機率值。 期望值具有下列性質: 1. 設a為常數,則a之期望值 。 2. 設X為一隨機變數,a、b為一常數,則 ;
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例題六 擲一個銅板一次,以隨機變數X表示出現的正面數,試求: (1) 機率分配。 期望值。 。
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例題六 *解 機率分配 ( 以0表示反面,1表示正面 )。 期望值 。 。 變量X 機率f ( x ) 1/2 1 合 計
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例題七 小陳買進台泥公司股票,打算在1年後賣出,下表是台泥公司在下 年度股票報酬率的機率分配。試問小陳在下年度可能賺到多少報酬 率? *解
小陳在下年度可能賺到的預期報酬率為21%。 經濟景氣狀況 發生機率 股票報酬率 繁 榮 0.3 40% 持 平 0.6 20% 衰 退 0.1 -30%
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5-3期望值與變異數 變異數 所謂變異數 (Variance),是以機率分配的觀點,來解釋分配的分 散程度,一般以標準差 ( 變異數開方根 ) 表示。 設間斷隨機變數為X,其機率分配為 ,則變異數與標準差之計 算公式為: 變異數 標準差
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5-3期望值與變異數 變異數 變異數具有下列性質: 1. 設a為常數,則a之變異數 。 2. 設b為常數,則 ; 。
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例題八 設某一機率分配,如表所示 試求: (1) 期望值 。 (2) 變異數 。 (3) 標準差 。 (4) 。 (5) 。 (6) 。
(1) 期望值 。 (2) 變異數 。 (3) 標準差 。 (4) 。 (5) 。 (6) 。 (7) 。 變 量 機 率 0.25 1 0.5 2 合 計
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例題八 *解 (1)期望值 。 (2) 變異數
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例題八 *另解
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例題八 (3) 標準差 。 (4) 。 (5) 。 (6) 。 (7) 。
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例題九 下表是林經理預估友達公司與友訊公司股票,在下年度股票報酬率 的機率分配如下: 試計算:
(1) 以期望值觀點,評估那家公司股票較值得投資? (2) 試求友達股票與友訊股票的變異數與標準差,並比較兩者的風險程度。 經濟狀況 發生機率 友達股票 友訊股票 A狀況 0.4 25% 10% B狀況 0.3 30% 15% C狀況 35% 8%
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例題九 *解 (1) 期望值 (A) 友達股票 (B) 友訊股票 ∵ 友達股票期望值29.5%友訊股票期望值10.9%,
(1) 期望值 (A) 友達股票 (B) 友訊股票 ∵ 友達股票期望值29.5%友訊股票期望值10.9%, ∴ 友達股票預期報酬率相對較高,較值得投資。
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例題九 *解 (2) 變異數與標準差 (A) 友達股票 (B) 友訊股票 ∵ 友達股票標準差4.15%友訊股票標準差2.81%,
(2) 變異數與標準差 (A) 友達股票 (B) 友訊股票 ∵ 友達股票標準差4.15%友訊股票標準差2.81%, ∴ 友達股票風險相對較大。
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5-4間斷機率分配 . . .點二項分配 2. 計算函數 設一間斷隨機變數X,令表示成功事件,表示失敗事件,成功事件 發生的機率為P,失敗事件發生的機率為 ,下列形態之機 率函數,即為點二項分配。 為母數 3. 期望值與變異數 (1) (2)
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例題十 擲一個公正銅板一次,令X為出現正面的次數,試求: (1) X之機率分配。 (2) 。 *解
(2) 。 *解 (1) ∵ 此實驗分為互斥兩類 ( 正面與反面 ) 事件,並且只試行一次,故為點二項實驗,其分配為點二項分配。 (2) 。 變 量 機 率 0.5 1 合 計
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例題十 (3) (A) (B)
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例題十
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例題十一 設有一批產品,其不良率為0.5%,現隨機抽取一件產品,令X為不 良品的件數,試求X之機率分配及 。 *解
(1) ∵ 此實驗分為互斥兩類 ( 不良品與良品 ) 事件,並且只抽取一件,故為點二項實驗,其分配為點二項分配。 (2) 。 (3) (A) 。 (B) 。
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5-4間斷機率分配 . . .二項分配 2. 計算函數 設一間斷隨機變數X,其實驗共試行n次,其中有成功事件x次,失 敗事件 次,成功事件發生的機率為P,失敗事件發生的機率 為 ,下列形態之機率函數,即為二項分配。 表示組合符號,表示在n次試行中成功次數有x次,n與P為母數。 3. 期望值與變異數 (1) 。 (2) 。
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例題十二 呈【例題10】若擲一個公正銅板三次,令X為出現正面的次數,試 求: (1) X之機率分配。 (2) 。 *解
(2) 。 *解 ∵ 此實驗分為互斥兩類 ( 正面與反面 ) 事件,並且獨立試行3次 ( 二次及二次以上 ),故為二項實驗,其分配為二項分配。 (2)
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例題十二 上述除了徒手計算之外,可查詢二項分配機率表。 (3) (A) (B) x 1 2 3 f (x) 0.1250 0.3750
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例題十二
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例題十三 根據一項調查顯示,台灣啤酒飲用者有5% 是女性,今隨機抽取10 人,試求: (1) 請問本題之實驗,是否為二項實驗?試說明之。
(1) 請問本題之實驗,是否為二項實驗?試說明之。 (2) 抽出3位女性飲用者之機率。 (3) 抽出0位女性飲用者之機率。 (4) 抽出至少兩位2位女性飲用者之機率。
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例題十三 ∵ 此實驗分為互斥兩類 ( 女性與男性 ) 事件,並且獨立試行10次 ( 二次及二次以上 ),故為二項實驗,其分配為二項分配。
∵ 此實驗分為互斥兩類 ( 女性與男性 ) 事件,並且獨立試行10次 ( 二次及二次以上 ),故為二項實驗,其分配為二項分配。 (2) =0.010( 可查表 )
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例題十三 (3) (4)
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例題十四 根據一項銷售調查顯示:有10個消費者,其中6位偏好開喜烏龍 茶、4位偏好古道烏龍茶。茲以不放回方式,從此10個消費者中隨
機抽取3人為一組樣本,令X表示偏好開喜烏龍荼之人數,試求: (1) 該實驗之機率分配。 (2) 以圖表示母體與樣本間的關係。 (3) 。 (4) 恰有2人偏好開喜烏龍茶的機率。 (5) 無人偏好開喜烏龍茶的機率。 (6) 至少1人以上偏好開喜烏龍茶的機率。
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例題十四 *解 該實驗之機率分配,為超幾何分配。 。
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例題十四 (3)(A) (B) (4) (5) (6)
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例題十四
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5-4間斷機率分配 . . .卜瓦松分配 2. 計算分配 設間斷隨機變數X,具有下列之機率函數,稱之為卜瓦松分配。 ,為分配的母數 表示單位時間或區域 表示某一固定比例 為自然對數底
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5-4間斷機率分配 . . .卜瓦松分配 3. 期望值與變異數 (1) (2) 由上之公式可知,卜瓦松分配之期望值與變異數相等。 4. 機率表的使用 由於卜瓦松分配的計算,牽涉到自然對數底 ,計算不 易,我們可查附表得到卜瓦松機率值。
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例題十五 設一卜瓦松分配,其隨機變數為X, ,試求 ( 可查表 ): X之機率函數。
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5-4間斷機率分配 . . .超幾何分配 2. 計算函數 設一間斷隨機變數X,其母體由有限個體N所構成,分為成功類K 個,失敗類 個。茲由該母體中以不放回方式,抽取n個個體 為樣本,成功次數為x次,失敗次數為 次。成功事件發生的機 率為P,失敗事件發生的機率為 ,下列形態之機率函數,即 為超幾何分配。 其中, 為整數且為母數。 如下圖所示:
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5-4間斷機率分配 . . .超幾何分配 3. 期望值與變異數 。 (2) ,其中 稱為有限母體校正因子。
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例題十五 *解 (1) (2) (3) (4) (5)
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例題十五
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例題十六 華南公司上班時間電話打進來頻率每2分鐘1通電話,試求: (1) 半小時平均打進來的通數。 (2) 10分鐘打進6通的機率。
(1) 半小時平均打進來的通數。 (2) 10分鐘打進6通的機率。 (3) 10分鐘內沒有任何電話打進來的機率。
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例題十六 *解 (1)(A) 2分鐘: (B) 30分鐘: (通) (2) 10分鐘: (通) (查表) (3)
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例題十七 中紡公司之紡織機織出之布匹平均4碼有1個缺點,現有20碼布,試 求: (1) 本題敘述適用何種分配形態?
(1) 本題敘述適用何種分配形態? (2) 其中含有3個缺點的機率。 (3) 含有2個及2個以上缺點的機率。 (4) 。
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例題十七 *解 (1) 此實驗為卜瓦松實驗,因為是屬發生於某一區域 ( 布匹 ) 的問題,並且n無法固定,所以該分配是屬卜瓦松分配。
(2)(A)4碼: (B)20碼: (C) (3) (4)
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5-5連續機率分配 . . .均勻分配 1.函數:設一連續隨機變數X,具有下列之機率函數,稱為均勻分 配 (Uniform Distribution),又稱為矩形分配 (Rectangular Distribution)。 2.期望值與變異數 (1) (2)
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例題十八 已知連續隨機變數X,在40到50之間具有均勻分配。 (1) X之機率函數並作圖。 (2) 。 (3) 。 (4) 。
(2) 。 (3) 。 (4) 。 (5) 與 。
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例題十八 *解 (1) 或 =0,其他範圍 (2) (3)
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例題十八 (4) (5)(A) (B)
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例題十九 某亂數產生器可創造0到1的亂數,設隨機變數為X,試求 (1) 亂數產生器之機率分配。 (2) 在小於0.40之間產生亂數之機率。
(1) 亂數產生器之機率分配。 (2) 在小於0.40之間產生亂數之機率。 (3) 0.35到0.85之間產生亂數之機率。 (4) 在大於0.70之間產生亂數之機率。 (5) 在大於等於0.70之間產生亂數之機率。
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例題十九 *解 (1) ( 均勻分配 ) 或=0,其他範圍 (2) (3) (4) (5)
(1) ( 均勻分配 ) 或=0,其他範圍 (2) (3) (4) (5) 註:連續機率配 之點機率為0,所以 與 答案一樣。
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5-5連續機率分配 . . .常態分配 常態分配是連續機率分配中最重要的分配,許多自然或社會現象大 都可用常態分配加以描述,如身高、體重、每人國民所得、產品壽 命等分布情況。因此,我們可利用常態分配的性質,解決很多分配 上的機率問題。 1.函數:設連續隨機變數X,具有下列之機率函數,則稱為常態分 配 (Normal Distribution)。 ,其中: 為平均數, 為變異數, 與 為母 數,e為自然對數底,常態分配一 般以 表示之。
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5-5連續機率分配 . . .常態分配 2. 期望值與變異數 (1) 。 (2) 。 (3) 偏態係數=0 ( 為不偏的對稱分配 )。 峰態係數=3 ( 稱為常態峰 )。 3. 性 質 (1) 常態曲線下與橫坐標所圍之面積等於1,機率總和等於1。 (2) 常態曲線以鐘形呈現,正中央為其高峰,並對稱於其平均數,所以是對稱分配,兩邊機率各50%。 (3) 常態分配為一單峰對稱分配,其算術平均數、中位數與眾數合而為一。
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5-5連續機率分配 . . .常態分配 4. 常態曲線以橫軸為漸近線,曲線向平均數左右兩側延伸,但不 相切。 5. 設一統計資料符合常態分配,其平均數,標準差,則隨機變數 X。 (1) 介於之間者,佔總數的68.27%。 (2) 介於之間者,佔總數的95.45%。 (3) 介於之間者,佔總數的99.73%。
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5-5連續機率分配 . . .常態分配
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例題二十 金頂電池的壽命服從常態分配,經測試其平均壽命為15小時,標準 差1.5小時,試求:
(1) 大約有68.27% 的電池,其平均壽命約若干小時? (2) 大約有95.45% 的電池,其平均壽命約若干小時? (3) 大約有99.73% 的電池,其平均壽命約若干小時? *解 (1) 大約有68.27% 的電池,其平均壽命約 ~16.5小時。 (2) 大約有95.45% 的電池,其平均壽命約 ~18小時。 (3) 大約有99.73% 的電池,其平均壽命約 ~19.5小時。
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5-5連續機率分配 . . .常態分配 6. 常態分配的加法定理: (1) 設 ,若線性函數 ,則 (2) 設 ,若 ,X與Y相互獨立,則 。
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例題二十一 (1) 設甲產品每件成本Y為其每件售價X的函數 ( 設需求量X為常態分配, ),其函數為 ,試求每件成本Y之分配形態與表徵數。
(2) 設乙產品每件利潤為 ,其中A為售價, ,B為成本, ,而A與B均為常態分配且成獨立關係,試求每件乙產品利潤W之分配形態與表徵數。
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例題二十一 *解 (A) ∵ 每件成本Y為售價X的線性函數,而售價X為常態 分配,∴ 需求量Y為常態分配。 (B) 需求量Y之表徵數:
(A) ∵ A與B均為常態分配且成獨立關係,而利潤W為A與B之 函數,∴ 利潤W為常態分配。 (B) 乙產品利潤W之表徵數:
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5-5連續機率分配 . . .標準常態分配 1. 函數:設連續隨機變數 ,今令 ,則標 準常態分配 (Standard Normal Distribution) 為 其中: e為自然對數底, , 標準常態分配以 表示之。 2. 期望值與變異數 (1) (2)
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5-5連續機率分配 . . .標準常態分配 3. 性 質 (1) 標準常態曲線下與橫坐標所圍之面積等於1,機率總和等於1。 (2) 標準常態曲線以鐘形呈現,正中央為其高峰,並對稱於0,所 以是對稱分配,兩邊機率各50%。 (3) 標準常態分配其曲線下的機率為 Z介於 之間者,佔總數的68.27%。 Z介於 之間者,佔總數的95.45%。 Z介於 之間者,佔總數的99.73%。
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5-5連續機率分配 . . .標準常態分配 4. 機率表的使用 就標準常態分配言,因不含任何母數在內,因此只有唯一的一 個 。標準常態分配之機率值,可利用標準常態分配機率 表加以計算。其編製方式為 標準常態曲線下z值以左 之面積,其中 稱為Z值。
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例題二十二 設Z為標準常態隨機變數,試利用標準常態機率分配表求算下列數 值: (1) (2) (3) (4) (5) (6)
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例題二十二 *解 (1)
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例題二十二 (2)
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例題二十二 (3)
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例題二十二 (4)
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例題二十二 (5) (6)
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例題二十三 試求下列之z值。 (1) (2) *解 (1) ,查表得
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例題二十四 設X為常態隨機變數,其分配之平均數,標準差,試求下列機率: (1) (2) (3) *解 利用 ,可查標準常態機率分配表:
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例題二十四 (3)
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例題二十五 台積電公司員工共500人,其員工年齡呈常態分配,平均年齡45 歲,標準差5歲,試求下列機率: (1) 年齡在38歲以下之人數。
(1) 年齡在38歲以下之人數。 (2) 年齡在58歲以上之人數。 (3) 年齡在40~50歲之人數。 年齡的中位數與眾數。 *解 (1) (人)
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例題二十五 (2) (人) (3) (4) ∵ 常態分配 ,∴ 中位數=眾數=平均年齡45歲。
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5-6二項分配與常態分配的關係 當二項分配n趨近於無窮大,P或q不微小的情況下,二項分配可利 用常態分配來計算其近似值。通常當 且 時, 即可適用。 惟二項分配是間斷機率分配,而常態分配是連續機率分配,因此以 常態分配方式來代替二項分配求算機率時,需做些調整: 對變量須加減0.5 ( 稱為連續校正因子 ),再予以計算。 (1) (2) (3) 2.
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例題二十七 設有一二項分配,其 ,試求: (1) 平均數與標準差。 (2) 可利用常態分配來計算其近似值嗎?說明之。
設有一二項分配,其 ,試求: (1) 平均數與標準差。 (2) 可利用常態分配來計算其近似值嗎?說明之。 (3) 小於180次之機率。 (4) 大於210次之機率。 (5) 190次到220次之機率。 (6) 等於195次之機率。
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例題二十七 *解 (1) (2)可以。 、 且 (3) (4) (5)
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例題二十七 *解 (6)
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