第十章 群与环 主要内容 群的定义与性质 子群与群的陪集分解 循环群与置换群.

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1 第十章 群与环 主要内容 群的定义与性质 子群与群的陪集分解 循环群与置换群

2 第十章: 群与环 第一节：群的定义及性质 第二节：子群与群的陪集分解 第三节：循环群与置换群

3 第十章: 群与环 第一节：群的定义及性质 第二节：子群与群的陪集分解 第三节：循环群与置换群

4 群简介 群在抽象代数中具有基本的重要地位 群论是法国传奇式人物伽罗瓦提出 例：全体整数的加法构成一个群 群是一个特殊的代数系统
是环、域和模的基础 在几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支起作用 群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中 群论是法国传奇式人物伽罗瓦提出 用以解决了五次方程问题 提出：把数学运算归类 例：全体整数的加法构成一个群

5 10.1 群的定义及性质 半群<G,*> ： <G,*>是一个代数系统,*是G上的二元运算,如果*在G上成立结合律
a*(b*c)=(a*b)*c 例：下列代数系统是半群 R+表示正实数集合,<R+,+>,<R+,*>是半群 <Mn(R),+>是半群, Mn(R) n阶矩阵的全体

6 10.1 群的定义及性质 独异点<G,*> ： 有幺元的半群 例：下列代数系统是独异点
<N,+,0>,<N,*,1>均为独异点 <P(S), ∪,Ø>,<P(S), ∩,S>均为独异点 <P(S), , >为独异点 <AA, >为独异点： 为函数复合 单位元为恒等函数

7 10.1 群的定义及性质 半群同态f：A=<S,*>和B=<T, ⊙>是任意二个半群， g：ST为A到B的同态，如果 g(a*b)=g(a)⊙g(b) 同态分类： 半群的满同态：g为满射 半群的单一同态：g为单射 半群的同构：g为双射

8 10.1 群的定义及性质 例：给定<N,+>和<N4,+4> 证明： g(a+b) =(a+b) mod 4
g: N→N4 , g(a)=a mod 4 g是半群同态，且是满同态 证明： g(a+b) =(a+b) mod 4 =a mod 4 +4 b mod 4 =g(a) +4 g(b) 3 2 1 M

9 10.1 群的定义及性质 群<G,*> ： <G,*>为独异点, 并且 例： 每个元素都有逆元
<Z,+>是群,幺元是0,逆元是相反数 <Mn(R),>，为矩阵乘法运算 存在幺元是单位矩阵n 不是群,逆矩阵不一定存在 <Mn(R),> 为群 Sn(R)=所有可逆矩阵的全体

10 10.1 群的定义及性质 <N6,+6>为群,其中N6={0,1,2,3,4,5} <P(A),>为群 幺元是0
1+65=0,2+64=0,3+63=0 <P(A),>为群 BP(A),B=B=B BB=

11 10.1 群的定义及性质 例：四元群，设G={e,a,b,c}运算*表如下 e为单位元 G中运算是可交换的 每个元素都有逆元 * e a b

12 10.1 群的定义及性质 群论中一些重要的概念 例： 有限群G：G为有限集 无限群G：G为无限集 群G的阶：G的基数 平凡群：只含单位元的群
<Z,+>为无限群 <Zn,>是有限群, 阶数为n <{0},+>是平凡群

13 10.1 群的定义及性质 群中元素的幂: G为群，aG的n次幂 例： a0=e an=an-1a, n>0
(a)n= (a-1)m, n<0, m=-n 例： <Z3,>中有 2-3=(2-1)3=13=111=0

14 10.1 群的定义及性质 群的元素的阶(周期): G是群，aG 例： a的阶：最小的正整数k，ak=e 记作|a|=k: a为k阶元
<Z6,>中, 2和4是3阶元, 3是2阶元 四元群中, e是1阶元, 其他元素是2阶元

15 10.1 群的定义及性质 定理：G是群，G中幂运算满足：

16 10.1 群的定义及性质 2）证明： (a*b)*(b-1 *a-1) =a*(b*b-1)*a-1 =a*e*a-1=e
= b-1*b =e 所以(a*b)-1=b-1*a-1成立

17 10.1 群的定义及性质 定理：设<G,*>是群,则a,b,cG
如a*b=a*c 则b=c 如b*a=c*a 则b=c 证明: (1)群中的每一个元素都有逆元，因此只要两边同左乘a-1,即可得证。 (2)同理可证。 注：如果a*b=c*a,未必得到b=c，而只能知道b=a-1*c*a，因为*不一定满足交换律

18 10.1 群的定义及性质 例：设G为群，a,b∈G，且 (ab)2=a2 b2 证明ab=ba 证： (ab)2=(ab)(ab)
=abab=a2 b2=aabb 因为群的运算满足消去律，所以有 ab=ba

19 10.1 群的定义及性质 定理：设G为群，aG，|a|=r。对整数k
ak=e 当且仅当 k是r的整数倍 |a-1 | =| a1 | 证：①充分性: 由于k是r的整数倍，必存在整数m使得k=mr, 所以有ak= amr= (ar)m= e。 必要性: 存在整数m和i，使得k=mr+i, 从而有 e＝ amr+i= amr ai= ai 因为a的阶是r，并且0≤i≤r-1 所以i＝0。则k是r的整数倍

20 10.1 群的定义及性质 定理：设G为群，aG，|a|=r。对整数k
ak=e 当且仅当 k是n的整数倍 |a-1| =|a| 证：②由于(a-1 )r = (ar )-1 = e-1 = e。可知a-1 的阶是存在的。 令| a-1 | =t，根据前面证明有r是t的整数倍。 而a又是a-1的逆元，所以a的阶也是a-1的阶的因子，故有t是r的整数倍。 从而证明了r=t，即|a-1 | =|a|

21 10.1 群的定义及性质 例：设G为有限群，则G中阶大于2的元素有偶数个 证：由前面定理，对任意aG
a2=ea-1a2=a-1ea=a-1 故G中阶大于2的元素a, 必有 a≠a-1 由于|a|=|a-1|，故G中阶大于2的元素成对出 现

22 第十章: 群与环 第一节：群的定义及性质 第二节：子群与群的陪集分解 第三节：循环群与置换群

23 10.2 子群与群的陪集分解 子群：设<G,*>是群,H是G的(非空)子集,如果H关于G的运算*构成群,则称H为G的子群，记作H≤G 如果H是G的真子集，则称H是G的真子群，记作H＜G 子群说明：<H,*>是子群, 则 H对于运算*是封闭的 G的幺元e在H内 H的每个元素的逆元仍在H内(对逆运算封闭)至于运算的确定性和结合律,由于在G中成立,对于H必然成立 如H构成子群,必然是非空的,至少有幺元e

24 10.2 子群与群的陪集分解 例： <R,+>是群, QR,<Q,+>是子群,<I,+>也是子群。NR,但<N,+>不是子群,逆元不在N中 <N6,+6>是群。H1={0,2,4}则<H1,+6>是子群,因2+62=4H1,4+64=2H1,2,4互为逆元… 但H2={0,1,5},< H2,+6>不是子群 1+61=2H2,5+65=4H2 H2对运算+6不封闭

25 10.2 子群与群的陪集分解 子群的判定定理一：设<G,*>是群，HG,<H,*>是子群的充要条件是以下三条同时成立 H非空 如果aH,bH,则a*bH 若aH,则a-1H 证明：必要性是显然成立,下证充分性。 由(1)因H非空,取aH,由(3)a-1H,由(2)因a, a-1H则a*a-1H,eH, 从而<H,*>是子群

26 10.2 子群与群的陪集分解 子群的判定定理二：设<G,*>是群，HG,<H,*>是子群的充要条件是以下三条同时成立 H非空 x,yH, 均有x*y-1H 证明：必要性：任取x,yH.由于H是G的子群，必有 y-1H ，从而x*y-1H 。 充分性：因为H非空，必存在xH，根据给定条件得 x*x-1H，即eH 。设a是H的任一元素，即aH ,由 e,aH得e*a-1H,即a-1H。任取a,bH,由刚才的证 明知b-1H。根据给定条件知a*(b-1)-1H,即a*bH 根据上一定理可知<H,*>是<G,*>的子群

27 10.2 子群与群的陪集分解 子群的判定定理三： <G,*>是群,HG,如果H是有穷集，<H,*>是子群的充要条件是 : H非空 x,yH, 均有 x*yH 证明：设a是H的任一元素，即aH ，由判断定理一， 只需证明a-1H即可。 若a＝e，则a-1= e-1 = e H 若a≠e，令S={a,a2,…}，则S H。由于H是有穷集 ，必有ai= aj (i<j) 。根据G中的消去律得aj-i= e，由 a≠e可知j-i>1，由此得 aj-i-1 *a =e和a*aj-i-1 =e 从而证明了a-1＝aj-i-1H

28 10.2 子群与群的陪集分解 例：设G为群，a∈G，令H={ak |k ∈Z} 即a的所有的幂构成的集合，证明H是G是子群
，称为由a生成的子群，记作<a> 证明：首先由a∈<a>知道<a>不为空，任取am,al∈<a> ，则am(al ) -1 = am a-l = am-l∈<a> 根据判断定理二可知。 例如整数加群，由2生成的子群是 <2>={2k| k ∈Z}=2Z

29 10.2 子群与群的陪集分解 陪集： <H,*>是<G,*>的子群，a∈G，集合{a}H（或H{a}）称为由a所确定的H在G中的左陪集（右陪集） 记作aH（或Ha） 元素a称为陪集aH（或Ha）的代表元素

30 10.2 子群与群的陪集分解 例：设G＝{e,a,b,c}是四元群，H＝{e,a}是G的子群，那么H的所有右陪集是： He={e,a}=H
Ha={a,e}=H Hb={b,c} Hc={c,b} 不同的右陪集只有两个，即H和{b,c} * e a b c

31 10.2 子群与群的陪集分解 定理：设H是群G的子群，则 He=H a∈G有a∈Ha

32 10.2 子群与群的陪集分解 定理：设<H,*>是群<G,*>的子群，则
a∈Hb当且仅当ab-1∈H当且仅当Ha=Hb 证明：(1) a∈Hb当且仅当ab-1∈H a∈Hb h∈H，使a＝hb，即ab-1＝h ab-1∈H

33 10.2 子群与群的陪集分解 定理：设<H,*>是群<G,*>的子群，则
a∈Hb当且仅当ab-1∈H当且仅当Ha=Hb 证明：(2) a∈Hb当且仅当Ha=Hb 充分性: 若Ha=Hb，a∈Haa∈Hb 必要性: a∈Hbh∈H使得a=hb，即h-1a＝b 任取h1a∈Ha，则有h1a=h1(hb)=(h1h)b∈Hb 从而得到HaHb 任取h1b∈Hb，则有 h1b=h1(h-1a)=(h1h-1)a∈Ha 从而得到HbHa

34 10.2 子群与群的陪集分解 定理：设H是群G的子群，在G上定义二元关系～：a,b∈G, a～bab-1∈H
～是G上的等价关系，且[a]～=Ha 证明：(1)～是G上等价关系 自反性：任取a∈G，由aa-1=e∈Ha～a 对称性：任取a,b∈G，则a～b ab-1∈H  (ab-1)-1∈H  ba-1∈H  b～a 传递性：任取a,b,c∈G，则a～b且b～cab-1∈H且bc-1∈H (ab-1)(bc-1)∈Hac-1∈H a～c

35 10.2 子群与群的陪集分解 定理：设H是群G的子群，在G上定义二元关系～：a,b∈G, a～bab-1∈H
～是G上的等价关系，且[a]～=Ha 证明：(2) [a]～=Ha 任取b∈G ，则有b∈[a]～a～bab-1∈H 根据前面定理有 ab-1∈HHa=Hba∈Hbb∈Ha 故b∈[a]～ b∈Ha，所以[a]～=Ha

36 10.2 子群与群的陪集分解 推论：设H是群G的子群 定理：设H是群G的子群，则a∈G，H≈Ha
Ha和Hb是任意二个右陪集，有Ha=Hb或Ha∩Hb=Ø ∪{Ha| a∈G}=G 定理：设H是群G的子群，则a∈G，H≈Ha

37 10.2 子群与群的陪集分解 性质总结 右陪集的个数和左陪集的个数是相等的 子群的左（右）陪集的基数=子群的阶数
子群的左（右）陪集要么相等，要么相交为空 子群的左（右）陪集集合形成G的一个划分

38 10.2 子群与群的陪集分解 正规子群(不变子群)：设<H,*>是群<G,*>的子群，对任意元素a∈G，如果aH=Ha，则称<H,*>为正规子群 任何群都有正规子群 G和{e} 阿贝尔群的所有子群都是正规子群

39 10.2 子群与群的陪集分解 陪集性质：给定群G及其子群H, 令 S={Ha|aG} 和 T={aH|aG} 定义函数f: ST
f(Ha)=a-1H, aG f是双射 结论：|S|=|T| [G:H]=|S|：H在G中的指数

40 10.2 子群与群的陪集分解 拉格朗日定理：设G是有限群，H是G的子群 |G|=|H|·[G:H]
证明: 设[G:H]=r，a1,…,ar为H的r个右陪集的代表元，由前面的定理则有 G=Ha1 ∪ … ∪ Har 由前面定理，有Hai \ Haj=, i≠j 故|G|=|Ha1|+…+|Har| 由于|Hai|=|H|，则易得|G|=H·r 故 |G|=|H|·[G:H]

41 10.2 子群与群的陪集分解 推论：设G是n阶群，则aG，|a|是n的因子，且an=e
证明: aG, <a>是G的由a生成的子群。由拉格朗日定理，<a>的阶是n的因子。 设|a|=r，则 <a>={e,a,a2,…,ar-1} 故|<a>|=|a|，所以|a|是n的因子 由前面定理知：an=e

42 第十章: 群与环 第一节：群的定义及性质 第二节：子群与群的陪集分解 第三节：循环群与置换群

43 10.3 循环群与置换群 循环群：存在aG，G=<a> 循环群分类： a为G的生成元 n阶循环群：a是n阶
G={e,a,a2,…,an-1} 无限循环群：a是无限元 G={e,a,a-1,a2,a-2…,an-1 ,a-(n-1), …}

44 10.3 循环群与置换群 例：<N4,+4>是循环群, 运算表为： 幺元为0，1或3是生成元
14＝ ＝0,周期为4 13＝ ＝3 12＝1+41＝2 11＝1 +4 1 2 3

45 10.3 循环群与置换群 定理：循环群必然是交换群，反之不一定成立 例：四阶群不是循环群,但是它是交换群

46 10.3 循环群与置换群 例：设有代数系统<I,*>运算*的定义如下
：a,b∈I,a*b＝a+b-2,试证<I,*>是循环群 证明：首先证明<I,*>是群 易证*满足结合律，幺元是2，任意a, a的逆元是4-a 其次证明<I,*>存在生成元 可以检验1n可以表示所有的整数,故1是生成元

47 10.3 循环群与置换群 定理：设G＝<a>是循环群，则 若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a-1
若G是n阶循环群，则G含有h(n)(欧拉函数)个生成元，对于任意小于等于n且与n互素的正整数r，ar是G的生成元 ① 显然<a-1>  G 。为证明G  <a－1> ，只需证明对任意ak∈G， ak都可以表示成a－1的幂。由元素幂的性质有 ak=(a-1) -k 从而得到G=< a-1 >， a-1是G的生成元

48 10.3 循环群与置换群 定理：设G＝<a>是循环群，则 若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a-1
证明：显然<a-1>  G 。为证明G  <a－1> ，只需证明对任意ak∈G， ak都可以表示成a－1的幂。由元素幂的性质有 ak=(a-1) -k 从而得到G=< a-1 >， a-1是G的生成元

49 10.3 循环群与置换群 定理：设G＝<a>是循环群，则 若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a-1
证明(继续)：再证明G只有a和a-1这两个生成元。假设b也是G的生成元，则G＝<b>，由a∈G可知存在整数t使得a=bt 。又由b∈G=<a>知存在整数m使得b=am 。 从而得到a=bt = (am)t =amt 由G中消去律得amt-1 =e ，因为G是无限群，必有mt-1=0。从而证明了m=t=1或m=t=-1，即b=a或b= a-1

50 10.3 循环群与置换群 定理：设G＝<a>是循环群，则
②若G是n阶循环群，则G含有h(n)(欧拉函数)个生成元，对于任意小于等于n且与n互素的正整数r，ar是G的生成元 证明：对r<n(n>1), ar是G的生成元n与r互素 充分性：设r与n互素，且r≤n，那么存在整数u和v使得 ur＋vn＝1 因此由元素幂的性质和拉格朗日定理的推论有 a= aur+vn=(ar)u(an)v= (ar)u 所以对任意ak∈G，ak=(ar)uk∈<ar>,即G  <ar> 另一方面，显然有<ar>  G 。所以ar是G的生成元

51 10.3 循环群与置换群 定理：设G＝<a>是循环群，则
②若G是n阶循环群，则G含有h(n)(欧拉函数)个生成元，对于任意小于等于n且与n互素的正整数r，ar是G的生成元 证明： 必要性: ar是G的生成元  n与r互素 ar是G的生成元，则| ar|=n。令r与n的最大公约数为d 则存在正整数t使得r＝dt。因此有 (ar)n/d =(adt)n/d= (an)t =e 根据n阶群的性质知| ar|是n/d的因子，即n整除n/d。 从而证明了d＝1

52 10.3 循环群与置换群 例：G=<Z9,>，h(9)=6，小于或者等于9且与9互素的数：1，2，4，5，7，8
例：G=3Z={3z|zZ}，G是无限循环群，生成元为：3，-3

53 10.3 循环群与置换群 定理：下列性质成立 设G＝<a>是循环群，则G的子群也是循环群
若G＝<a>是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无限循环群 若G＝<a>是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d阶子群(<an/d>)

54 10.3 循环群与置换群 置换：设S={1,2,…,n}，S上的双射为S上的n元置换 例：S={1,2,3,4,5} 2 … n

55 10.3 循环群与置换群 置换乘积：设S={1,2,…,n}， 和是S上n元置换， 和的复合也是置换，称为和的乘积
= = =

56 10.3 循环群与置换群 n元对称群：<Sn, >, Sn为所有的n元置换 n元置换群：Sn的子群
恒等置换为单位元 任何Sn, -Sn n元置换群：Sn的子群

57 10.3 循环群与置换群 k阶轮换：是S={1,2,…,n}S上n元置换 轮换分解：是S={1,2,…,n}S上n元置换
(i1)=i2, (i2)=i3,…, (ik-1)=ik, (ik)=i1 (ij)=ij , 其他ij 对换：2阶轮换 轮换分解：是S={1,2,…,n}S上n元置换 第一步：找到一个有限序列i1,…,ik，k¸ 1，使得 令1=(i1 i2 …ik), ’作用于S-{i1,…,ik}, 则= 1’ 第二步：继续分解’，可以得到 = 12 … t

58 10.3 循环群与置换群 例：设S={1,2,…,8}， =(1 5 2 3 6)(4)(7 8) 1 2 3 4 5 6 7 8
=

59 10.3 循环群与置换群 k阶轮换对换： 是S={1,2,…,n}S上n元置换
(i1 i2 …ik)=(i1 i2)(i1 i3)…(i1,ik) 例：设S={1,2,…,8}， =( )(4)(7 8) =(1 5)(1 2)(1 3)(1 6)(4)(7 8) =

60 第十章 习题课 主要内容 半群、独异点与群的定义 群的基本性质 子群的判别定理 陪集的定义及其性质 拉格朗日定理及其应用
循环群的生成元和子群 置换群与Polya定理

61 基本要求 判断或证明给定集合和运算是否构成半群、独异点和群 熟悉群的基本性质 能够证明G的子集构成G的子群 熟悉陪集的定义和性质
熟悉拉格朗日定理及其推论，学习简单应用 会用Polya定理进行计数 会求循环群的生成元及其子群 熟悉n元置换的表示方法、乘法以及n元置换群

62 练习1 1. 判断下列集合和运算是否构成半群、独异点和群. (1) a 是正整数，G = {an | nZ}, 运算是普通乘法.
(2) Q+是正有理数集，运算为普通加法. (3) 一元实系数多项式的集合关于多项式加法. 解 (1) 是半群、独异点和群 (2) 是半群但不是独异点和群 (3) 是半群、独异点和群 方法：根据定义验证，注意运算的封闭性

63 练习2 2. 设V1= <Z, +>, V2 = <Z, >,其中Z为整数集合, + 和 分别代表普通加法和乘法. 判断下述集合S是否构成V1和V2的子半群和子独异点. (1) S= {2k | kZ} (2) S= {2k+1 | kZ} (3) S= {1, 0, 1} 解 (1) S关于V1构成子半群和子独异点，但是关于V2仅构成子 半群 (2) S关于V1不构成子半群也不构成子独异点，S关于V2构 成子半群和子独异点 (3) S关于V1不构成子半群和子独异点，关于V2构成子半群 和子独异点

64 练习3 3. 设Z18 为模18整数加群, 求所有元素的阶. 解： |0| = 1, |9| = 2， |6| = |12| = 3, |3| = |15| = 6, |2| = |4| = |8| = |10| = |14| = |16| = 9, |1| = |5| = |7| = |11| = |13| = |17| =18, 说明： 群中元素的阶可能存在，也可能不存在. 对于有限群，每个元素的阶都存在，而且是群的阶的因子. 对于无限群，单位元的阶存在，是1；而其它元素的阶可能存在，也可能不存在.（可能所有元素的阶都存在，但是群还是无限群）.

65 练习4 4．证明偶数阶群必含2阶元. 由 x2 = e  |x| = 1 或2.
换句话说, 对于G中元素x，如果 |x| >2, 必有x1 x. 由于 |x| = |x1|，阶大于2的元素成对出现，共有偶数个. 那么剩下的 1 阶和 2 阶元总共应该是偶数个. 1 阶元只有 1 个，就是单位元，从而证明了G中必有 2 阶元.

66 有关群性质的证明方法 有关群的简单证明题的主要类型 证明群中的元素某些运算结果相等 证明群中的子集相等 证明与元素的阶相关的命题.
证明群的其它性质，如交换性等. 常用的证明手段或工具是 算律：结合律、消去律 和特殊元素相关的等式，如单位元、逆元等 幂运算规则 和元素的阶相关的性质. 特别地，a为1阶或2阶元的充分必要条件是a1= a.

67 证明方法 证明群中元素相等的基本方法就是用结合律、消去律、单位元及逆元的惟一性、群的幂运算规则等对等式进行变形和化简.
证明子集相等的基本方法就是证明两个子集相互包含 证明与元素的阶相关的命题，如证明阶相等，阶整除等. 证明两个元素的阶r 和 s 相等或证明某个元素的阶等于r，基本方法是证明相互整除. 在证明中可以使用结合律、消去律、幂运算规则以及关于元素的阶的性质. 特别地，可能用到a为1阶或2阶元的充分必要条件是a1 = a.

68 练习5 5．设G为群，a是G中的2 阶元，证明G中与a可交换的元素构成G的子群.
证 令H= { x | xG  xa = ax}, 下面证明H是G的子群. 首先e属于H，H是G的非空子集. 任取x, y H，有 (xy1) a = x(y1a ) = x(a1y)1 = x(ay)1 = x(ya)1 = xa1y1 = xay1 = axy1 = a(xy1) 因此 xy1属于H. 由判定定理命题得证. 分析： 证明子群可以用判定定理，特别是判定定理二. 证明的步骤是： 验证 H 非空 任取 x, yH，证明xy1H

69 练习6 6. (1) 设G为模12加群, 求<3> 在G中所有的左陪集
(2) 设 X= {x | xR, x 0,1}, 在X上如下定义6个函数： f1(x) = x， f2(x) =1/x, f3(x) = 1x, f4(x) = 1/(1x), f5(x) = (x1)/x, f6(x) = x/(x1), 则G = {f1, f2, f3, f4, f5, f6}关于函数合成运算构成群. 求子群 H={f1, f2} 的所有的右陪集. 解 (1) <3> = {0, 3, 6, 9}, <3>的不同左陪集有3个，即 0+<3> = <3>, 1+<3> = 4+<3> = 7+<3> = 10+<3> = {1, 4, 7, 10} , 2+<3> = 5+<3> = 8+<3> = 11+<3> = {2, 5, 8, 11}. (2) {f1, f2}有3个不同的陪集，它们是： H，Hf3 = {f3, f5}, Hf4 = {f4, f6}.

70 练习7 7．设 H1,H2分别是群G 的 r, s 阶子群，若(r,s) = 1，证明H1H2 = {e}.
证 H1H2≤H1，H1H2 ≤H2. 由Lagrange定理，|H1H2| 整除r，也整除s. 从而 |H1H2| 整除 r与s 的最大公因子. 因为(r,s) = 1, 从而 |H1H2 | = 1. 即 H1H2 = {e}. 某些有用的数量结果：设a是群G元素，C为G的中心 N(a)={ x | xG, xa=ax }， |C| 是 |N(a)| 和 |G| 的因子，|a| 是 |N(a)| 和 |G| 的因子 |H| = | xHx1| |an| 是 |a| 的因子 a2=e  a=a1 |a|=1,2

71 练习8 8．设 i 为虚数单位，即 i 2 = 1, 令 则G关于矩阵乘法构成群. 找出G的所有子群. 解 令A, B, C, D分别为
平凡子群：<A> = {A}, G 2 阶子群：<-A> = {A, -A}, 4 阶子群：<B> = {A,B,-A,-B}, <C> = {A,C,-A,-C}, <D> = {A,D,-A,-D}, ,

72 练习9 9．设群G的运算表如表所示，问G是否为循环群？如果是，求出它所有的生成元和子群. 解 易见 a 为单位元.
由于|G|=6, |b|=6, 所以 b 为生成元. G=<b>为循环群. |f |=6, 因而 f 也是生成元 |c|=3, |d|=2, |e|=3, 因此 c,d, e不是生成元. 子群：<a>={a}, <c>={c, e, a}, <d>={d, a}, G .

73 练习10 10. 证明Fermat小定理：设 p为素数，则 p|(npn) 证：考虑一个圆环上等距离穿有 p个珠子，用 n 种颜色对珠
子着色. 考虑围绕中心旋转，则群是 G={ 1, 2, … , p } 1=()()…() 2=(  … ) … p=(  … ) 根据Polya定理，不同的着色方案数是 于是 p|(npn)