近世代数(Abstract Algebra)

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1 近世代数(Abstract Algebra)
近世代数以群、环、域等代数系统为其基本内容。它对高等代数中出现的数域、多项式、矩阵、线性空间等概念进一步概括，具有抽象的特点，适宜于培养学生抽象思维和逻辑推理的能力。它不仅是将来学习代数的一个入门，而且与其它学科，如几何、拓扑、泛函和有限数学等有密切联系.

2 第三章 环与域 加群、环的定义 交换律、单位元、零因子、整环 除环、域 无零因子环的特征 子环、环的同态 多项式环 理想
第三章 环与域 加群、环的定义 交换律、单位元、零因子、整环 除环、域 无零因子环的特征 子环、环的同态 多项式环 理想 剩余类环、同态与理想 最大理想 商域

3 §1加群、环的定义 定义：一个交换群叫做一个加群，假如将群的代数运算叫做加法，并且用称号+表示。 的和有意义，这个和 因此在加群里n个元
用符号 即： 加群中的唯一元用0表示，称为零元。元a的逆元用-a表示 则有运算规则：

4 §1加群、环的定义 规定: 则有： （0为Ｒ中零元）

5 §1加群、环的定义 定义 一个集合Ｒ叫做环，假如 1、Ｒ是个加群，即Ｒ对于一个叫做加法的代数运算来说作成一个交换群；
定义　一个集合Ｒ叫做环，假如 1、Ｒ是个加群，即Ｒ对于一个叫做加法的代数运算来说作成一个交换群； ２、Ｒ对于一个叫做乘法的运算来说是闭的； ３、关于乘法满足结合律： ４、关于乘法与加法满足分配律： 则有运算规则：

6 §1加群、环的定义 （0为Ｒ中零元）

7 §1加群、环的定义 规定： 则有：

8 §２交换律、单位元、零因子、整环 定义 一个环Ｒ叫做交换环，假如 其中a,b为Ｒ中任意元。 所以有：
定义　一个环Ｒ叫做交换环，假如 其中a,b为Ｒ中任意元。 所以有： 定义　一个环Ｒ的一个元e叫做一个单位元，假如有 其中a为Ｒ中任意元。 注：不是所有环都有单位元，如下例。

9 §２交换律、单位元、零因子、整环 例１Ｒ＝｛所有偶数｝，Ｒ对于普通数的加法和乘法作成一个环，但Ｒ没有单位元。
单位元的唯一性：一个环Ｒ如果有单位元则其单位元是唯一的。 证明：设Ｒ有两个单位元e和e’则有 所以性质成立。 注一个环Ｒ中的单位元用1表示，且规定

10 §２交换律、单位元、零因子、整环 定义 一个有单位元环的一个元b叫做元a的逆元，假如 逆元唯一性：环一个元a若有逆元，则最多只有一个逆元。
证明：设a有两个逆元b和b’，则 所以性质成立。 注：不是环中所有元都有逆元，如整数环中除１和-1外其余元都滑逆元。

11 §２交换律、单位元、零因子、整环 用a-1表示a的逆元，且规定 则对任何整数都有 定义 若在一个环Ｒ里 但
定义　若在一个环Ｒ里 但 则称a是环Ｒ的一个左零因子，b是环Ｒ的一个右零因子。

12 §２交换律、单位元、零因子、整环 例２ Ｒ＝｛所有模n的剩余类｝规定R中的加法和乘法如下： 可以验证Ｒ是一个环，称为模n的剩余类环。
但 所以n非平凡因子均为Ｒ的零因子。

13 §２交换律、单位元、零因子、整环 例３ 高等代数中一个数域Ｆ上一切n阶方阵对于矩阵的加法和乘法来说做成一个有单位元的环， 则当
时有非0矩阵乘积为０矩阵，所以有零因子。 如 但ＡＢ＝０

14 §２交换律、单位元、零因子、整环 定理 在一个没有零因子的环里两个消去律成立。反之一个环里消去律成立，则这个环没有零因子。
定理　在一个没有零因子的环里两个消去律成立。反之一个环里消去律成立，则这个环没有零因子。 证明：因为Ｒ没有零因子，所以由 和 消去律成立。 得 即

15 §２交换律、单位元、零因子、整环 反之，假设消去律成立，因为 所以由消去律知若 则 所以环Ｒ没有零因子。
推论　一个环若有一个消去律成立，则另一个消去律也成立。

16 §２交换律、单位元、零因子、整环 定义 一个环Ｒ叫做一个整环，若 １、乘法适合交换律： ２、Ｒ有单位元１: 3、Ｒ没有零因子：
定义　一个环Ｒ叫做一个整环，若 １、乘法适合交换律： ２、Ｒ有单位元１: 3、Ｒ没有零因子： 其中a,b为Ｒ中任意元素。 例如整数环是一个整环。

17 §３除环、域 例１Ｒ只包括一个元a加法和乘法规定为： 则Ｒ是个环，它只一个元a既是0元，也是a的逆元等。
定义　一个环Ｒ叫做一个除环，若 １、Ｒ至少包含一个不等于零的元； ２、Ｒ有一个单位元； ３、Ｒ每一个不等零的元都逆元。 定义　一个交换除环叫做一个域。

18 §３除环、域 除环的性质： １、除环无零因子。 因为 ２、除环Ｒ的不等零的元对于乘法来说作成一个群Ｒ＊ 称为除环Ｒ的乘法群。
注：除环由两个群构成，分配律是一这两个群之间联系的桥梁。

19 §３除环、域 方程ax=b和ya=b各有一个唯一解是a-1b和ba-1. 但是a-1b不一定等于ba-1，而在域中，则有a-1b＝ba-1
所以在域中可以用 表示a-1b和ba-1。 则有以下结论： １、 当且仅当ad=bc时成立； ２、 ３、

20 §３除环、域 例３Ｒ＝｛所有复数对 ｝。这里规定 则Ｒ是一个除环，但不是交换环。 因为对于非零元 均有逆元
但是(i,0)(0,1)=(0,i),(0,1)(i,0)=(0,-i)所以 这个环是四元数除环。

21 §３除环、域 环的分类： 环 交换环 有单位元环 无零因子环 整环 除环 域

22 §４无零因子环的特征 讨论规则： 例１设p是一个素数，则模p的所有剩余类Ｆ构成一个环，则可以证明Ｆ是一个域。
证明：只需证明Ｆ的所有非零元Ｆ＊作成一个乘群。 １、结合律成立，则数的乘法结合律知； ２、由于p是素数，所以p不整除a，p不整除b时一定有p不整除ab,所以 时有 即

23 §４无零因子环的特征 ３、p不整除a，但p整除a(x-x’)时，则p整除x-x’，即有 所以Ｆ＊是一个乘法群，则Ｆ是一个域。
证明：因为p[a]=[a]+[a]+…+[a]=[pa]=[0]. 分析原因：是因为Ｆ中除零元外，其余元的阶（加法）均为p是一个有限数。

24 §４无零因子环的特征 定理１ 在一个无零因子环中所有不等于零的元的阶（对于加法来说）都一样。
定理１　在一个无零因子环中所有不等于零的元的阶（对于加法来说）都一样。 证明：如果每个非零元的阶都是无限大，则结论成立。假设Ｒ的某一个元a的阶是有限整数n，b是Ｒ的另一个非零元，则(na)b=a(nb)=0,由 R是无零因子环知nb=0。 所以a的阶不超过b的阶，b的阶不超过a的阶，所以 a的阶＝b的阶.

25 §４无零因子环的特征 定义 一个无无零子环Ｒ的非零元的相同的（加法）阶叫做环Ｒ的特征。
定义　一个无无零子环Ｒ的非零元的相同的（加法）阶叫做环Ｒ的特征。 定理２若无零因子环Ｒ的特征是一个有限数n，则n一定是素数. 证明：假如n不是素数，n=n1n2，那么对于Ｒ的一个非零元a有 但是 与Ｒ是无零因子环矛盾，所以n是素数。

26 §４无零因子环的特征 推论　整环、除环、域的特征或是无限大，或是一个素数。 结论：在一个特征为p的交换环中有

27 § 5 子环、环的同态 定义 一个环R的一个子集S叫做R的一个子环，假如S本身对于R的代数运算来说作成一个环。
同样可以规定子整环、子域概念。 结论：一个环的非空子集S作成子环的充要条件是：

28 § 5 子环、环的同态 一个除环的非空子集S作成子除环的充要条件是： 1、 S包含一个不等于零的元； 2、
例1 R本身是环R的子环。由0一个元作成的集合也是R的子环。 例2 一个环R可以同每一个元交换的元作成一个子环，叫作环R的中心。

29 § 5 子环、环的同态 定理1 设R是一个环， 是一个不空子集，且有一个加法和 一个乘法运算，若存在一个R到 的满射，使得R与
对于一对加法和一对乘法来说同态，则 也是一个环。 定理2 设R和 是两个环，并且R与 同态，则R的零元的象是 的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元，R是交换环则 也是交换环，R若有单位元1 ，则 也有单位元 而且 是1的象。

30 § 5 子环、环的同态 例3 设R是整数环， 是模n的剩余类环，则 显然是R到 的一个同态满射。 注：R是无零因子环， 是一个有零因子。

31 § 5 子环、环的同态 例4 R={所有整数对(a,b)}，对于代数运算 R是一个环，用 表示整数环，则
显然是R到 的一个同态满射。R的零元是（0，0），而 注：R是有零因子环， 是一个无零因子。

32 § 5 子环、环的同态 定理3 假设R与 是两个环，且 若R是整环，则 也是整环； 若R是除环，则 也是除环； 若R是域，则 也是域。

33 § 5 子环、环的同态 定理4（挖补定理）设S是环R的一个子环，S在R里的补足集合与另一个环 没有共同元，并且 ，则存在一个与R同构的环 而 是 的子环。 证明思路：令 因 所以有同构映射

34 § 5 子环、环的同态 R中不属于S的元为a,b,c,… 则 规定一个映射 则可以证明 。

35 § 6、多项式环 定义 一个可以写成 形式的R0的元叫做R上的一个多项式，ai叫做多项式的系数。其中
定义加法与乘法运算如下： 加法

36 § 6、多项式环 乘法 其中 结论：1、加法与乘法封闭。 2、 是一个环（包含R0和 的最小子环）。 定义 叫做R上的 的多项式环。

37 § 6、多项式环 定义 R0的一个元x叫做R上的一个未定元，若R中找不到不都等于0的元a0,a1,…an，使得 定义 令
是环R上的多项式，则n称为为个多项式的次数，0多项式没有次数。

38 § 6、多项式环 定理1 有单位元交换一定有未定元x存在。 证明思路：1、利用交换环R构造一环
其中只有有限个ai不等于零.则定义加法和乘法可证明其为交换环。 2、利用 可以得到一个包含R的环P 3、证明P包含R上的未定元。

39 § 6、多项式环 定义 一个有形式 的元叫做R上的 的多项式。 则R上的所有 的多项式构成一个环称为 多项式环记作
定义 R上的x1,x2,…,xn任何一个系数不全为零的多项式不等于0，则称x1,x2,…,xn为R上的无关未定元。

40 § 6、多项式环 定理2 R为一个交换环，n为一个正整数，则一定有R上的无关未定元x1,x2,…,xn存在。
证明思路：由定理1和数学归纳法得到。 定理3 设 和 是R上的多项式环， x1,x2,…,xn是无关未定元则 与 同态。

41 § 6、多项式环 证明思路： 则定义映射： 可以证明其为一个同态映射。

42 § 7 理想 定义环R的一个非空子集 叫做一个理想子环（理想）若： 1、 2、 显然：只包含零元的集合，是R的理想，称为R的零理想。

43 § 7 理想 定理1 除环R中有零理想和单位理想。 证明：设 是R的一个理想，且不是零理想，则由 得 所以对任意 所以
注：理想对除环和域没有用处。

44 § 7 理想 例1 设R是整数环，n为是0，1的整数，则所有倍数rn作成一个理想。
例2 环R上的一元多项式环R[x]则所有次数不超过n次的多项式构成的集合是R[x]的理想。

45 § 7 理想 设R一个环，若a为R的一个非0元，则所有形式为 的元构成一个集合是R的一个理想记作 。 结论： 是包含a的最小理想。

46 § 7 理想 定义 上面得到的理想叫做由a生成的主理想，记作(a). 当R为交换环时 当R有单位元时 当R有单位元且为交换环时

47 § 7 理想 设R是一个环，若 是R的m个元，则 是R的一个理想。 证明：因为 则 所以是R的理想。

48 § 7 理想 注： 是包含 的最小理想。 定义 称为由 生成的理想。 记作

49 § 7 理想 例3 设R[x]整数环R上的一元多项式环，则 1、可以证明 2、可以证明 不是R[x]主理想。 因为若 则 则 矛盾。

50 § 8 剩余环、同态与理想 设R为一个环， 为其一个理想，则对加法运算 是R的一个不变子群，所以 的陪集
显然

51 § 8 剩余环、同态与理想 把R的所有剩余类作成的集合记作 在其上规定 加法 乘法 则有结论：
定理1 设R是一个环， 是它的一个理想， 是所有模 的剩余类作成的集合，则 是一个环且与R同态。

52 § 8 剩余环、同态与理想 证明 映射 是R到 的同态满射，所以 与R同态，所以 是一个环。 定义 叫做环R的模 的剩余类环记作

53 § 8 剩余环、同态与理想 证明：1、证明 是R的一个理想。 假设 那么 即 则有 假设 那么 则有 即 所以 是R的一个理想.

54 § 8 剩余环、同态与理想 2、证明 规定一个法则 则由 得 是一个映射，且是一个满射。 而 所以 是一个一一映射。 由于 所以