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第5章 知识表示与推理 5.1 概述 5.2 基于谓词逻辑的机器推理 5.3 基于产生式规则的机器推理 5.4 几种结构化知识表示及其推理
5.5 不确定性知识的表示与推理
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5.1 概述 5.1.1 知识及其表示 ◆一些常用的知识表示形式：
一阶谓词逻辑、产生式规则、框架、语义网络、类和对象、模糊集合、贝叶斯网络、脚本、过程等。 5.1.2 机器推理 ◆演绎推理、归纳推理和类比推理 ◆不确定性推理和不确切性推理 ◆约束推理、定性推理、范例推理、非单调推理
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5.2 基于谓词逻辑的机器推理 基于谓词逻辑的机器推理也称自动推理。它是人工智能早期的主要研究内容之一。一阶谓词逻辑是一种表达力很强的形式语言，而且这种语言很适合当前的数字计算机。因而就成为知识表示的首选。基于这种语言，不仅可以实现类似于人推理的自然演绎法自动推理，而且也可实现不同于人的归结（或称消解）法自动推理。本节主要介绍基于谓词逻辑归结演绎推理。
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归结演绎推理是基于一种称为归结原理(亦称消解原理principle of resolution)的推理规则的推理方法。归结原理是由鲁滨逊(J
归结演绎推理是基于一种称为归结原理(亦称消解原理principle of resolution)的推理规则的推理方法。归结原理是由鲁滨逊(J.A.Robinson)于1965年首先提出。它是谓词逻辑中一个相当有效的机械化推理方法。归结原理的出现，被认为是自动推理，特别是定理机器证明领域的重大突破。
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5.2.1 子句集 定义1 原子谓词公式及其否定称为文字，若干个文字的一个析取式称为一个子句，由r个文字组成的子句叫r—文字子句，1—文字子句叫单元子句，不含任何文字的子句称为空子句，记为或NIL。 例： P∨Q∨﹁R P(x,y)∨﹁ Q(x)
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定义2 对一个谓词公式G，通过以下步骤所得的子句集合S，称为G的子句集。
(1)消去蕴含词→和等值词←→。 (2)缩小否定词﹁的作用范围，直到其仅作用于原子公式。 (3)适当改名，使量词间不含同名指导变元和约束变元。 (4)消去存在量词。 (5)消去所有全称量词。 (6)化公式为合取范式。 (7)适当改名，使子句间无同名变元。 (8)消去合取词∧，以子句为元素组成集合S。
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定理1 谓词公式G不可满足当且仅当其子句集S不可满足。
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5.2.2 命题逻辑中的归结原理 定义 设C1,C2是命题逻辑中的两个子句，C1中有文字L1，C2中有文字L2，且L1与L2互补，从C1,C2中分别删除L1,L2，再将剩余部分析取起来，记构成的新子句为C12，则称C12为C1,C2的归结式(或消解式)，C1,C2称为其归结式的亲本子句， L1,L2称为消解基。 例5.9 设C1= ﹁ P∨Q∨R, C2= ﹁ Q∨S, 则C1,C2的归结式为 ﹁ P∨R∨S
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C1∧C2＝＞ (C1-｛L1｝)∪(C2-｛L2｝)
定理2 归结式是其亲本子句的逻辑结果。 由定理2即得推理规则： C1∧C2＝＞ (C1-｛L1｝)∪(C2-｛L2｝) 其中C1,C2是两个子句，L1,L2分别是C1,C2中的文字，且L1,L2互补。 此规则就是命题逻辑中的归结原理。
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例3.10 用归结原理验证分离规则和拒取式 A∧(A→B) ＝＞ B (A→B)∧﹁ B ＝＞﹁ A 解
例3.10 用归结原理验证分离规则和拒取式 A∧(A→B) ＝＞ B (A→B)∧﹁ B ＝＞﹁ A 解 A∧(A→B) ＝ A∧(﹁ A∨B) ＝＞ B (A→B)∧﹁ B ＝ (﹁ A∨B)∧(﹁ B) ＝＞ ﹁ A
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例5.11 证明子句集{ P∨﹁Q,﹁P,Q }是不可满足的。
(5)□ 由(3),(4)
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例5.12 用归结原理证明R是 P,(P∧Q)→R,(S∨U)→Q,U 的逻辑结果。 证 由所给条件得到子句集 S=｛P,﹁ P∨﹁ Q∨R,﹁ S∨Q,﹁ U∨Q,U,﹁ R｝ 然后对该子句集施行归结，归结过程用下面的归结演绎树表示（见图5―1）。由于最后推出了空子句，所以子句集S不可满足，即命题公式 P∧(﹁ P∨﹁ Q∨R)∧(﹁ S∨Q)∧(﹁ U∨Q)∧U∧﹁ R 不可满足，从而R是题设前提的逻辑结果。
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图5―1 例5.12归结演绎树
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例： 5.2.3 替换与合一 C1=P(x)∨Q(x) C2=﹁P(a)∨R(y) 用a替换C1中的x，则得到 C1′=P(a)∨Q(a)
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定义6 一个替换(Substitution)是形如｛t1/x1,t2/x2,…,tn/xn｝的有限集合，其中t1,t2,…,tn是项，称为替换的分子；x1,x2,…,xn是互不相同的个体变元，称为替换的分母；ti不同于xi，xi也不循环地出现在tj(i,j=1,2,…,n)中；ti/xi表示用ti替换xi。若t1,t2,…,tn都是不含变元的项（称为基项）时，该替换称为基替换；没有元素的替换称为空替换，记作ε，它表示不作替换。
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例如： ｛a/x, g(y)/y ,f(g(b))/z｝ 就是一个替换，而 {g(y)/x, f(x)/y} 则不是一个替换,因为x与y出现了循环替换。 定义7 设θ=｛t1/x1,…,tn/xn｝是一个替换，E是一个表达式，把对E施行替换θ，即把E中出现的个体变元xj(1≤j≤n)都用tj替换，记为Eθ，所得的结果称为E在θ下的例(instance)。
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定义9 设S=｛F1,F2,…,Fn｝是一个原子谓词公式集，若存在一个替换θ，可使F1θ=F2θ=…=Fnθ，则称θ为S的一个合一(Unifier)，称S为可合一的。
定义10 设σ是原子公式集S的一个合一，如果对S的任何一个合一θ，都存在一个替换λ，使得 θ=σ·λ 则称σ为S的最一般合一(MostGeneralUnifier)，简称MGU。
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例5.14 设S=｛P(u,y,g(y)),P(x,f(u),z)｝，S有一个最一般合一
σ=｛u/x,f(u)/y,g(f(u))/z｝ 对S的任一合一，例如： θ=｛a/x,f(a)/y,g(f(a))/z,a/u｝ 存在一个替换 λ=｛a/u｝ 使得 θ=σ·λ
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3.2.4 谓词逻辑中的归结原理 定义12 设C1,C2是两个无相同变元的子句，L1,L2分别是C1,C2中的两个文字，如果L1和L2有最一般合一σ，则子句 (C1σ-｛L1σ｝)∪(C2σ-｛L2σ｝)称作C1和C2的二元归结式(二元消解式)，C1和C2称作归结式的亲本子句，L1和L2称作消解文字。
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例5.18 设C1=P(x)∨Q(x),C2=﹁P(a)∨R(y)，求C1,C2的归结式。
解 取L1=P(x),L2=﹁P(a),则L1与﹁ L2的最一般合一σ=｛a/x｝，于是, (C1σ-｛L1σ｝)∪(C2σ-｛L2σ｝) =(｛P(a),Q(a)｝-｛P(a)｝)∪ (｛﹁P(a),R(y)｝-｛﹁P(a)｝) =｛Q(a),R(y)｝ = Q(a)∨R(y) 所以，Q(a)∨R(y)是C1和C2的二元归结式。
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例5.19 设C1=P(x,y)∨﹁Q(a),C2=Q(x)∨R(y),求C1,C2的归结式。
解 由于C1,C2中都含有变元x,y，所以需先对其中一个进行改名,方可归结（归结过程是显然的，故从略）。 还需说明的是，如果在参加归结的子句内部含有可合一的文字，则在进行归结之前，也应对这些文字进行合一，从而使子句达到最简。例如，设有两个子句： C1=P(x)∨P(f(a))∨Q(x) C2=P(y)∨R(b)
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定义13 如果子句C中，两个或两个以上的文字有一个最一般合一σ，则Cσ称为C的因子，如果Cσ是单元子句，则Cσ称为C的单因子。
例5.20 设C=P(x)∨P(f(y))∨﹁Q(x), 令σ=｛f(y)/x｝，于是 Cσ=P(f(y))∨﹁Q(f(y)) 是C的因子。
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定义14 子句C1,C2的消解式，是下列二元消解式之一：
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定理4 谓词逻辑中的消解式是它的亲本子句的逻辑结果。
由此定理我们即得谓词逻辑中的推理规则： C1∧C2＝＞(C1σ-｛L1σ｝)∪(C2σ-｛L2σ｝) 其中C1,C2是两个无相同变元的子句，L1,L2分别是C1,C2中的文字，σ为L1与L2的最一般合一。 此规则称为谓词逻辑中的消解原理（或归结原理）。
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例5.21 求证G是A1和A2的逻辑结果。 A1: x(P(x)→(Q(x)∧R(x))) A2: x(P(x)∧S(x)) G: x(S(x)∧R(x)) 证 我们用反证法，即证明A1∧A2﹁G不可满足。首先求得子句集S：
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(1) ﹁ P(x)∨Q(x) (2) ﹁ P(y)∨R(y) (3) P(a) (4) S(a)
(5) ﹁ S(z)∨ ﹁ R(z)(﹁ G) 然后应用消解原理，得 (6)R(a) ［(2),(3),σ1=｛a/y｝］ (7)﹁R(a) ［(4),(5),σ2=｛a/z｝］ (8)□ ［(6),(7)］ 所以S是不可满足的，从而G是A1和A2的逻辑结果。 (A1) S (A2)
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例 设已知： (1)能阅读者是识字的； (2)海豚不识字； (3)有些海豚是很聪明的。 试证明：有些聪明者并不能阅读。 证 首先，定义如下谓词： R(x)：x能阅读。 L(x)：x识字。 I(x)：x是聪明的。 D(x)：x是海豚。
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然后把上述各语句翻译为谓词公式： (1) x(R(x)→L(x)) (2) x(D(x)→ ﹁ L(x)) 已知条件 (3) x(D(x)∧I(x)) (4) x(I(x)∧﹁R(x)) 需证结论
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求题设与结论否定的子句集，得 (1)﹁ R(x)∨L(x) (2)﹁ D(y)∨ ﹁ L(y) (3)D(a) (4)I(a) (5)﹁ I(z)∨R(z)
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归结得 (6) R(a) (5)，(4)，{a/z} (7) L(a) (6)，(1)，{a/x} (8) ﹁ D(a) (7), (2), {a/y} (9)□ (8), (3) 这个归结过程的演绎树如图5―2所示。
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图5-2 例 归结演绎树
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定理5 （归结原理的完备性定理）如果子句集S是不可满足的，那么必存在一个由S推出空子句□的消解序列。
(该定理的证明要用到Herbrand定理，故从略。)
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5.3 基于产生式规则的机器推理 5.3.1 产生式规则 一般形式： 〈前件〉→〈后件〉
其中, 前件就是前提, 后件是结论或动作,前件和后件可以是由逻辑运算符AND、OR、NOT组成的表达式。 语义: 如果前提满足,则可得结论或者执行相应的动作, 即后件由前件来触发。 所以, 前件是规则的执行条件, 后件是规则体。
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例： (1) 如果银行存款利率下调, 那么股票价格上涨。 (2) 如果炉温超过上限, 则立即关闭风门。
(3) 如果键盘突然失灵, 且屏幕上出现怪字符, 则是病毒发作。 (4) 如果胶卷感光度为200, 光线条件为晴天, 目标距离不超过5米, 则快门速度取250, 光圈大小取f16。
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5.3.2 基于产生式规则的推理模式 5.3.3 产生式系统 推理机 动态数据库。 A ————— B A →B 1．系统结构
产生式规则库 推理机 动态数据库。
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图 6-2 推理机的一次推理过程
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3．控制策略与常用算法 1) 正向推理 正向推理算法一： 步1 将初始事实/数据置入动态数据库。
步1 将初始事实/数据置入动态数据库。 步2 用动态数据库中的事实/数据, 匹配/测试目标条件, 若目标条件满足, 则推理成功, 结束。 步3 用规则库中各规则的前提匹配动态数据库中的事实/数据, 将匹配成功的规则组成待用规则集。 步4 若待用规则集为空, 则运行失败, 退出。 步5 将待用规则集中各规则的结论加入动态数据库, 或者执行其动作, 转步2。
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例 动物分类问题的产生式系统描述及其求解。
例 动物分类问题的产生式系统描述及其求解。 r1： 若某动物有奶, 则它是哺乳动物。 r2： 若某动物有毛发, 则它是哺乳动物。 r3： 若某动物有羽毛, 则它是鸟。 r4： 若某动物会飞且生蛋, 则它是鸟。 r5： 若某动物是哺乳动物且有爪且有犬齿且目盯前方, 则它是食肉动物。 r6： 若某动物是哺乳动物且吃肉, 则它是食肉动物。 r7： 若某动物是哺乳动物且有蹄, 则它是有蹄动物。 r8： 若某动物是有蹄动物且反刍食物, 则它是偶蹄动物。 r9： 若某动物是食肉动物且黄褐色且有黑色条纹, 则它是老虎。 r10：若某动物是食肉动物且黄褐色且有黑色斑点, 则它是金钱豹。 r11：若某动物是有蹄动物且长腿且长脖子且黄褐色且有暗斑点, 则它是长颈鹿。 r12：若某动物是有蹄动物且白色且有黑色条纹, 则它是斑马。 r13：若某动物是鸟且不会飞且长腿且长脖子且黑白色, 则它是驼鸟。 r14：若某动物是鸟且不会飞且会游泳且黑白色, 则它是企鹅。 r15：若某动物是鸟且善飞且不怕风浪, 则它是海燕。
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规则集形成的部分推理网络
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再给出初始事实： f1：某动物有毛发。 f2：吃肉。 f3：黄褐色。 f4： 有黑色条纹。 目标条件为： 该动物是什么？ 该系统的运行结果为： 该动物是老虎。
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关于“老虎”的正向推理树
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2) 反向推理 反向推理算法： 步1 将初始事实/数据置入动态数据库, 将目标条件置入目标链。
反向推理算法： 步1 将初始事实/数据置入动态数据库, 将目标条件置入目标链。 步2 若目标链为空, 则推理成功, 结束。 步3 取出目标链中第一个目标, 用动态数据库中的事实/数据同其匹配, 若匹配成功, 转步2。 步4 用规则集中的各规则的结论同该目标匹配, 若匹配成功,则将第一个匹配成功且未用过的规则的前提作为新的目标, 并取代原来的父目标而加入目标链, 转步3。 步5 若该目标是初始目标, 则推理失败, 退出。 步6 将该目标的父目标移回目标链, 取代该目标及其兄弟目标, 转步3。
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例 对于上例中的产生式系统, 改为反向推理算法, 则得到下图所示的推理树。
关于“老虎”的反向推理树
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3) 冲突消解策略 正向推理算法二： 步1 将初始事实/数据置入动态数据库。
步1 将初始事实/数据置入动态数据库。 步2 用动态数据库中的事实/数据, 匹配/测试目标条件, 若目标条件满足, 则推理成功, 结束。 步3 用规则库中各规则的前提匹配动态数据库中的事实/数据, 将匹配成功的规则组成待用规则集。 步4 若待用规则集为空, 则运行失败, 退出。 步5 用某种策略,从待用规则集中选取一条规则, 将其结论加入动态数据库,或者执行其动作, 撤消待用规则集, 转步2。
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◆常用的冲突消解策略有： 优先级法(优先级高者 优先)、 可信度法(可信度高者优先)、代价法(代价低者优先)及自然顺序法等。 ◆产生式系统的推理方式、搜索策略及冲突消解策略等, 一般统称为推理控制策略, 或简称控制策略。一个产生式系统的控制策略就体现在推理机的算法描述中。
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4．程序实现 1) 产生式规则的程序语言实现 将规则的前提部分做成形如 条件1 AND 条件2 AND … AND 条件n 或
1) 产生式规则的程序语言实现 将规则的前提部分做成形如 条件1 AND 条件2 AND … AND 条件n 或 条件1 OR 条件2 OR … OR 条件m 将规则结论部分做成形如 断言1/动作1 AND 断言2/动作2 AND … AND 断言k/动作k 断言1/动作1 OR 断言2/动作2 OR … OR 断言k/动作k 一般地做成 条件1 AND 条件2 AND … AND 条件n→断言/动作
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在PROLOG程序中要表示产生式规则, 至少有两种形式：
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例 把上述动物分类系统中的产生式规则用PROLOG的规则可表示如下：
animal_is(″老虎″):-it_is(″食肉动物″), fact(″黄褐色″), fact(″有黑色条纹″). it_is(″食肉动物″):-it_is1(″哺乳动物″), fact(″有爪″), fact(″有犬齿″), fact(″目盯前方″). fact(″吃肉″). it_is1(″哺乳动物″):-fact(″有奶″). it_is1(″哺乳动物″):-fact(″有毛发″).
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也可以将上面的规则表示成如下的形式: rule(［“食肉动物”, “黄褐色”, “有黑色条纹” ］, “老虎”).
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2）规则库的程序实现 3）动态数据库的程序实现 4）推理机的程序实现 5. 产生式系统与图搜索问题求解
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5.4 几种结构化知识表示及其推理 5.4.1 框架 1.框架的概念 <框架名> <槽名1><槽值1>| <侧面名11><侧面值111，侧面值112，…> <侧面名12><侧面值121，侧面值122，…> <槽名2><槽值2>|<侧面名21><侧面值211，侧面值212，…> <侧面名22><侧面值221，侧面值222，…> … … … <槽名k><槽值k>| <侧面名k1><侧面值k11，侧面值k12，…> <侧面名k2><侧面值k21，侧面值k22，…>
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例7.1 下面是一个描述“教师”的框架： 框架名:<教师> 类属:<知识分子> 工作:范围:(教学，科研) 缺省:教学 性别:(男，女) 学历:(中师，高师) 类型:(<小学教师>，<中学教师>，<大学教师>)
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例7.2 下面是一个描述“大学教师”的框架： 框架名:<大学教师> 类属:<教师> 学历:(学士，硕士，博士) 专业:<学科专业> 职称:(助教，讲师，副教授，教授) 外语:语种:范围:(英，法，日，俄，德，…) 缺省:英 水平:(优，良，中，差) 缺省:良
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例7.3 下面是描述一个具体教师的框架: 框架名:<教师-1> 类属:<大学教师> 姓名:李明 性别:男 年龄:25
职业:教师 职称:助教 专业:计算机应用 部门:计算机系软件教研室 工作: 参加工作时间:1995年8月 工龄:当前年份-参加工作年份 工资:<工资单>
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2. 框架的表达能力 例7.4 下面是关于房间的框架: 框架名:<房间> 墙数x1: 缺省:x1=4 条件:x1>0
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后墙:(墙框架(w2，d2)) 左墙:(墙框架(w3，d3)) 右墙:(墙框架(w4，d4)) 天花板:<天花板框架>
地板:<地板框架> 门:<门框架> 窗:<窗框架> 条件:w1+w2+w3+w4=x2 d1+d2+d3+d4=x3 类型:(<办公室>，<教室>，<会客室>，<卧室>，<厨房>，< 仓库>，…)
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例7.5 机器人纠纷问题的框架描述如图7-1所示。 图7―1 机器人纠纷问题
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例如，产生式 如果头痛且发烧，则患感冒。 用框架表示可为： 框架名：<诊断1> 前提：条件1:头痛 条件2:发烧 结论: 患感冒
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3. 基于框架的推理 基于框架的推理方法是继承。所谓继承，就是子框架可以拥有其父框架的槽及其槽值。实现继承的操作有匹配、搜索和填槽。
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框架名: 〈教师-1〉 姓名: 李明 性别: 男 年龄: 25 职称: 助教 专业: 计算机应用 部门: 计算机系软件教研室 外语水平：
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FRL(Frame Representation Language)
4. 框架的程序语言实现 FRL(Frame Representation Language) PROLOG
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例: frame(name("教师")， kind_of("<知识分子>")，
work(scope("教学"，"科研")，default("教学"))， sex("男"，"女")， reco_of_f_s("中师"，"高师")， type(“<小学教师>”，“<中学教师>”，“<大学教师>”)).
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frame(name("教师")， body(［st("类属"，［st("<知识分子>"，［］)］)， st(“工作”，［st(“范围”，［st(“教学”，［］)，st(“科研”， ［］)］)，st("缺省"，［st("教学"，［］)］)］)， st("性别"，［st("男"，［］)，st("女"，［］)］)， st("学历"，［st("中师"，［］)，st("高师"，［］)］)， st(“类型”，［st(“<小学教师>”，［］)，st(“<中学教师>”， ［］)，st("<大学教师>"［］)］)］))
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语义网络是由节点和边（也称有向弧）组成的一种有向图。其中节点表示事物、对象、概念、行为、性质、状态等；有向边表示节点之间的某种联系或关系。
5.4.2 语义网络 1. 语义网络的概念 语义网络是由节点和边（也称有向弧）组成的一种有向图。其中节点表示事物、对象、概念、行为、性质、状态等；有向边表示节点之间的某种联系或关系。
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图7―2 苹果的语义网络
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2. 语义网络的表达能力 （1）实例关系：实例关系表示类与其实例之间的系。 （2）分类（泛化）关系：分类关系是指事物间的类属关系。
（3）组装关系：如果下层概念是上层概念的一个方面或者一部分，则称它们的关系是组装关系。 （4）属性关系：属性关系表示对象的属性及其属性值。 （5）集合与成员关系：成员（或元素）与集合之间的关系。 （6）逻辑关系 （7）方位关系 （8）所属关系： “具有”的意思。 （9）语句或事件 （10）谓词公式
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3. 基于语义网络的推理 例： 基于语义网络的推理也是继承。继承也是通过匹配、搜索实现的。 苹果 x 富士 特点 AKO
图7―15 语义网络片段
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4. 语义网络的程序语言实现 a_kind_of("苹果"，"水果"). … … … ● 语义网络是一个二元关系图 例：
taste("苹果"，"甜"). a_kind_of("富士"，"苹果"). intro_from("富士"，"日本"). is_a("日本"，"亚洲国家"). … … …
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也可以表示为 arc(a_kind_of，"苹果"，"水果"). arc(taste，"苹果"，"甜"). arc(a_kind_of，"富士"，"苹果"). arc(intro_from，"富士"，"日本"). arc(is_a，"日本"，"亚洲国家"). … … … 或者 net1( a_kind_of(“苹果”，“水果”)， taste(“苹果”，“甜”)， a_kind_of(“秦冠”，“苹果”)， produ_in("秦冠"，"陕西")).
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5.4.3 类与对象
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图7―4 表示实例关系的语义网络 小华 大学生 是一个
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图7―5 表示分类关系的语义网络
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桌子 桌腿 桌面 一部分 图7―6 表示组装关系的语义网络
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图7―7 表示属性关系的语义网络
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张三 计算机学会 是成员 图7―8 表示集合—成员关系的语义网络
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雨天 外出 AND OR 带雨披 带雨伞 则 图7―9 表示逻辑关系的语义网络
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电子2路 石油学院 张宏 助教 西安市区 25岁 位于 工作在 职务 属于 年龄 图7―10 表示方位关系的语义网络
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图7―11 表示所属关系的语义网络 狗 尾巴 have
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图7―12 语句(事件)的语义网络
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图7―13 谓词公式的语义网络
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又如： x(student (x) → read (x, 三国演义)) 即“每个学生读过《三国演义》”, 其语义网络表示为图 7-14。 图7―14 分块语义网络
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◆广义不确定性：（狭义）不确定性、不确切性亦称模糊性）、不完全性、不一致性和时变性等几种类型。 1.（狭义）不确定性
5.5 不确定性知识的表示与推理 5.4.1 不确定性及其类型 ◆广义不确定性：（狭义）不确定性、不确切性亦称模糊性）、不完全性、不一致性和时变性等几种类型。 1.（狭义）不确定性 不确定性(uncertainty)就是一个命题(亦即所表示的事件)的真实性不能完全肯定，而只能对其为真的可能性给出某种估计。 例 如果乌云密布并且电闪雷鸣，则很可能要下暴雨。 如果头痛发烧，则大概是患了感冒。
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2. 不确切性（模糊性） 不确切性(imprecision)就是一个命题中所出现的某些言词其涵义不够确切，从概念角度讲，也就是其代表的概念的内涵没有硬性的标准或条件，其外延没有硬性的边界，即边界是软的或者说是不明确的。 例 小王是个高个子。 张三和李四是好朋友。 如果向左转，则身体就向左稍倾。
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3. 不完全性 4. 不一致性 5. 时变性
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5.5.2 不确定性知识的表示及推理 ◆不确定性产生式规则的表示为 A→(B，C(B|A)) 例
如果乌云密布并且电闪雷鸣，则天要下暴雨(0.95)。 如果头痛发烧，则患了感冒(0.8)。 ◆不确定性推理的一般模式 不确定性推理＝符号推演＋信度计算
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◆不确定性推理与通常的确定性推理的差别：
(1) 不确定性推理中规则的前件能否与证据事实匹配成功，不但要求两者的符号模式能够匹配（合一），而且要求证据事实所含的信度必须达“标”，即必须达到一定的限度。这个限度一般称为“阈值”。 (2) 不确定性推理中一个规则的触发，不仅要求其前提能匹配成功，而且前提条件的总信度还必须至少达到阈值。 (3) 不确定性推理中所推得的结论是否有效，也取决于其信度是否达到阈值。 (4)不确定性推理还要求有一套关于信度的计算方法，包括“与”关系的信度计算、 “或”关系的信度计算、“非”关系的信度计算和推理结果信度的计算等等。
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◆不确定性推理模型 ●确定性理论（确定因素方法） ●主观贝叶斯方法 ●证据理论
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1. 不确定性度量 5.5.3确定性理论简介 CF (Certainty Factor), 称为确定性因子, (一般亦称可信度), 其定义为
其中, E表示规则的前提, H表示规则的结论, P(H)是H的先验概率, P(H|E)是E为真时H为真的条件概率。 CF的取值范围为[-1，1]。CF=1，表示H肯定真；CF= -1，表示H肯定假；CF=0，表示H与E无关。 当P(H|E)>P(H) 当P(H|E)=P(H) 当P(H|E)<P(H) CF（H∣E）=
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原来, CF是由称为信任增长度MB和不信任增长度MD相减而来的。 即
CF(H, E)＝MB(H, E)-MD(H, E) 而 当P(H)=1 否则 当P(H)=0
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当MB(H, E)>0, 表示由于证据E的出现增加了对H的信任程度。 当MD(H, E)>0, 表示由于证据E的出现增加了对H的不信任程度。由于对同一个证据E, 它不可能既增加对H的信任程度又增加对H的不信任程度, 因此, MB(H,E)与MD(H,E)是互斥的, 即 当MB(H,E)>0时, MD(H, E)＝0； 当MD(H, E)>0时, MB(H, E)＝0。
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如果 例 细菌的染色斑呈革兰氏阳性, 且 形状为球状,且 生长结构为链形, 则 该细菌是链球菌(0.7)。
这就是专家系统MYCIN中的一条规则。这里的0.7就是规则结论的CF值。
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其中E1，E2，…，En是与规则前提各条件匹配的事实。
2.前提证据事实总CF值计算 CF(E1∧E2∧…∧En)＝min{CF(E1)，CF(E2)，…，CF(En)} CF(E1∨E2∨…∨En)＝max{CF(E1)，CF(E2)，…，CF(En)} 其中E1，E2，…，En是与规则前提各条件匹配的事实。
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其中E是与规则前提对应的各事实，CF(H，E)是规则中结论的可信度，即规则强度。
CF(H)＝CF(H，E)·max{0，CF(E)} 其中E是与规则前提对应的各事实，CF(H，E)是规则中结论的可信度，即规则强度。
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4. 重复结论的CF值计算 若同一结论H分别被不同的两条规则推出, 而得到两个可信度CF(H)1和CF(H)2, 则最终的CF(H)为 CF(H)1＋CF(H)2－CF(H)1·CF(H)2 当CF(H)1≥0，且CF(H)2≥0 CF(H)= CF(H)1＋CF(H)2＋CF(H)1·CF(H)2 当CF(H)1＜0，且CF(H)2＜0 CF(H)1＋CF(H) 否则
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规则: 例 设有如下一组产生式规则和证据事实，试用确定性理论求出由每一个规则推出的结论及其可信度。 ① if At hen B(0.9)
例 设有如下一组产生式规则和证据事实，试用确定性理论求出由每一个规则推出的结论及其可信度。 规则: ① if At hen B(0.9) ② if B and C then D(0.8) ③ if A and C then D(0.7) ④ if B or D then E(0.6) 事实: A，CF(A)=0.8;C，CF(C)=0.9
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解 由规则①得: CF(B)＝0.9×0.8＝0.72 由规则②得: CF(D)1＝0.8×min{0.72，0.9)＝0.8×0.72＝0.576 由规则③得: CF(D)2＝0.7×min{0.8，0.9)＝0.7×0.8＝0.56 从而 CF(D)＝CF(D)1＋CF(D)2－CF(D)1×CF(D)2 ＝0.576＋0.56－0.576×0.56＝ 由规则④得: CF(E)＝0.6×max{0.72， }＝0.6× ＝
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1. 基于程度语言值的不确切性知识表示及推理 5.5.4 不确切性知识的表示及推理 ◆程度语言值，就是附有程度的语言值，其一般 形式为
(LV, d ) 其中，LV为语言值，d为程度，即 (<语言值>，<程度>) 程度d 的取值范围为实数区间[α,β] (α≤0, β≥1)。
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（1） 程度元组 一般形式： （<对象>，<属性>，(<语言属性值>，<程度>)）
例 我们用程度元组将命题：“这个苹果比较甜”表示为 （这个苹果，味道，(甜，0.95)） 其中的0.95就代替“比较”而刻划了苹果“甜”的程度。
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（2）程度谓词 形式： Pd 或 dP 其中，P 表示谓词，d 表示程度；Pd为下标表示法，dP 为乘法表示法。 例 采用程度谓词，则
① 命题“雪是白的”可表示为 white1.0(雪) 或 1.0white(雪) ② 命题“张三和李四是好朋友”可表示为 friends1.15(张三，李四) 或 1.15 friends(张三，李四)
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（3）程度框架 含有程度语言值的框架称为程度框架。 例 下面是一个描述大枣的程度框架。 框架名: <大枣> 类属: (<干果>, 0.8) 形状: (圆, 0.7) 颜色: (红, 1.0) 味道: (甘, 1.1) 用途: 范围：（食用，药用） 缺省: 食用
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（4） 程度语义网 含有程度语言值的语义网称为程度语义网。 例 下面是一个描述狗的程度语义网。
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含有程度语言值的规则称为程度规则。其一般形式为
（5）程度规则 含有程度语言值的规则称为程度规则。其一般形式为 (Oi,Fi,(LVi, xi))→(O,F,(LV,D(x1,x2,…,xn))) 其中，Oi, O表示对象，Fi, F表示特征，LVi, LV表示语言特征值，x, D(x1, x2,…, xn )表示程度，D(x1, x2,…, xn )为x1, x2,…, xn 的函数。 例 设有规则：如果某人鼻塞、头疼并且发高烧，则该人患了重感冒。我们用程度规则描述如下： (某人，症状，(鼻塞，x))∧(某人，症状，(头疼，y))∧(患者，症状，(发烧，z)) → (该人，患病，(感冒，1.2(0.3 x +0.2 y +0.5 z)))
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◆程度推理的一般模式： 程度推理＝符号推演＋程度计算
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5.5.5 基于模糊集合与模糊逻辑的模糊推理 1. 模糊集合 一个映射 μ:Ｕ ［0，1］
定义1 设Ｕ是一个论域,Ｕ到区间［0, 1］的 一个映射 μ:Ｕ ［0，1］ 就确定了Ｕ的一个模糊子集Ａ。映射μ称为A的隶属函数, 记为μA(u)。对于任意的u∈Ｕ,μA(u)∈［0, 1］称为u属于模糊子集A的程度, 简称隶属度。
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●模糊子集实际是普通子集的推广, 而普通子集就是模糊子集的特例。
论域Ｕ上的模糊集合Ａ, 一般可记为
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● 模糊集合的记法
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例 设Ｕ＝｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10｝, 则 S1＝0/0＋0/1＋0/2＋0.1/3＋0.2/4＋0.3/5＋0.5/6＋0.7/7＋0.9/8＋1/9＋1/10 S2＝1/0＋1/1＋1/2＋0.8/3＋0.7/4＋0.5/5＋0.4/6＋0.2/7＋0/8＋0/9＋0/10 就是论域U的两个模糊子集, 它们可分别表示U中“大数的集合”和“小数的集合”。
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例 通常所说的“高个”、“矮个”、“中等个”就是三个关于身高的语言值。我们用模糊集合为它们建模。
取人类的身高范围［1.0, 3.0］为论域U, 在U上定义隶属函数μ矮(x)、μ中等(x)、μ高(x)如下。这三个隶属函数就确定了U上的三个模糊集合,它们也就是相应三个语言值的数学模型。
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身高论域上的模糊集“矮”、 “中等”、 “高”的隶属函数
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2. 模糊关系 定义2 集合U1，U2，…，Un的笛卡尔积集U1×U2×…×Un的一个模糊子集 ，称为U1，U2，…，Un间的一个n元模糊关系。特别地，Un的一个模糊子集称为U上的一个n元模糊关系。
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例 设U＝{1，2，3，4，5}，U上的“远大于”这个模糊关系可用模糊子集表示如下:
R远大于＝0.1/(1，2)＋0.4/(1，3)＋0.7/(1，4)＋1/(1，5)+0.2/(2，3)＋0.4/(2，4)＋0.7/(2，5)＋0.1/(3，4)＋0.4/(3，5)＋0.1/(4，5)
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表示模糊关系的矩阵一般称为模糊矩阵。
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3. 模糊集合的运算 定义3 设A、B是X的模糊子集, A、B的交集A∩B、并集A∪B和补集A′, 分别由下面的隶属函数确定：
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表示一个模糊命题。定义这个模糊命题的真值为其中对象x1, x2, …, xn对模糊集合P的隶属度, 即 设n元谓词
4.模糊逻辑 表示一个模糊命题。定义这个模糊命题的真值为其中对象x1, x2, …, xn对模糊集合P的隶属度, 即 设n元谓词
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三种模糊逻辑运算： Ｔ(P∧Q)＝min(Ｔ(P),Ｔ(Q)) Ｔ(P∨Q)＝max(Ｔ(P),Ｔ(Q)) Ｔ(P)＝1-Ｔ(P) 其中P和Q都是模糊命题。 ●由这三种模糊逻辑运算所建立的逻辑系统就是所谓的模糊逻辑。 ●模糊逻辑是传统二值逻辑的一种推广。
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5. 模糊推理 模糊推理是基于不确切性知识(模糊规则)的一种推理。 如果x小, 那么 y大。 x较小 y? 就是模糊推理所要解决的问题。 例如
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(1) 语言变量, 语言值 简单来讲, 语言变量就是我们通常所说的属性名, 如“年纪”就是一个语言变量。语言值是指语言变量所取的值,如“老”、“中”、“青”就是语言变量年纪的三个语言值。
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(2) 用模糊(关系)集合表示模糊规则 例如, 设有规则 如果x isA 那么 y isB
其中A、B是两个语言值。那么,按Zadeh的观点, 这个规则表示了A、B之间的一种模糊关系R。于是, 有 其中U、V分别为模糊集合A、B所属的论域,μR(ui,vj) (i, j=1, 2, …)是元素(ui, vj) 对于R的隶属度。
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m ( u , v ) =( u ( u ) Ù m ( v )) Ú ( 1 - u ( u )) (i, j=1, 2, …)
R 1 1 A i B j A i (i, j=1, 2, …) 其中∧、∨分别代表取最小值和取最大值, 即min、max。
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令A、B分别表示“小”和“大”, 将它们表示成论域U、V上的模糊集。
例如, 对于规则 如果x小 则 y大 令A、B分别表示“小”和“大”, 将它们表示成论域U、V上的模糊集。 设论域 U＝V＝{1, 2, 3, 4, 5} 定义 A＝1/1＋0.8/2＋0.5/3＋0/4＋0/5 B＝0/1＋0/2＋0.5/3＋0.8/4＋1/5
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则 从而 R＝0/(1, 1)＋0/(1, 2)＋0.5/(1, 3)＋…＋0.5/(2, 3)＋…＋1/(5, 5)
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A→B＝R 如果只取隶属度, 且写成矩阵形式, 则 R= 于是, 原自然语言规则就变成了一个数值集合(矩阵), 即
R= 于是, 原自然语言规则就变成了一个数值集合(矩阵), 即 A→B＝R
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（3） 模糊关系合成 Zadeh的模糊关系合成法则 设
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则 即,对R1第i行和R2第j列对应元素取最小,再对k个结果取最大, 所得结果就是R中第i行第j列处的元素。
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例如：设 则
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用隶属函数来表示, Zadeh的模糊关系合成法则就是：
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其中, 关系A′是证据事实，R 为规则，B′就是所推的结论。
（4）基于关系合成的模糊推理 推理模式 B′＝A′·R 其中, 关系A′是证据事实，R 为规则，B′就是所推的结论。 该推理模式用隶属函数表示，则为
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例 已知 (1) 如果x小,那么y大。 (2) x比较小。 问：y怎么样？ 解 如前所述, 由(1)得
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由(2)得 A′＝(1, 1, 0.5, 0.2, 0) 从而 B′＝A′·R＝(0.5, 0.5, 0.5, 0.8, 1) 即 B′＝0.5/1＋0.5/2＋0.5/3＋0.8/4＋1/5 B′可以解释为: y比较大。
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●上述的Zadeh给出的模糊推理方法, 一般称为模糊推理的CRI (Compositional Rule of Inference)法。
●否定后件的模糊推理： A′＝R·B′ ●上述的Zadeh给出的模糊推理方法, 一般称为模糊推理的CRI (Compositional Rule of Inference)法。
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