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非线性物理—混沌实验报告 报告人：张子恒 秦雨舟
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非线性系统本质 1.自然界几乎所有已知的系统，当输入足够 大时，都是非线性的； 2.从数学上看，非线性系统的特征是叠加原 理不再成立；
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非线性系统的分类 1.混沌 2.分形； 3.模式形成； 4.孤立子； 5.元胞自动机； 6.复杂系统。
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混沌现象的发现与发展 19世纪法国数学物理学家庞加莱 在研究太阳系的三体运动时，发 现三体引力的互相作用能产生惊 人的复杂行为，确定系物理方程 的解具有不可预见性。随后，他 将动力学系统与拓补学相结合， 指出了混沌存在的可能性，不意 识到了混沌不可预测的偶然性起 源于不稳定性
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20世纪五六十年代，前苏联概率 论大师A. N. Kolmogorov及其学生 V. I. Arnolg以及瑞典数学家 J
20世纪五六十年代，前苏联概率 论大师A.N.Kolmogorov及其学生 V.I.Arnolg以及瑞典数学家 J.Moser先后证明了一个充分接 近可积Hamilton系统的不可积 Hamilton系统当做Hamilton系统 的扰动来处理时，在无论是较大 和较小的扰动时，系统的图像发 生了本质性的变化，及混沌现象， 称为KAM定理，被誉为现代混沌 学的一个开端。
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1963年，美国气象学家洛伦兹在 对一个由确定性的三阶常微分方 程组描述的大气对流模型的研究 中发现，系统的长期行为对初值 的微小变化具有高度的敏感依赖 性，即“蝴蝶效应”，这结果表明， 对天气的长期预报将是不可能的， 随后他也揭示了混沌系统的不可 预测性，为耗散系统的混沌研究 铺平了道路。
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实验原理 测量数据： C1=0.106uF，C2=10.47nF，L=21.8mH 蔡氏电路示意图 返回
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非线性负阻 理想非线性负阻I-V曲线图 非线性负阻内部结构
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内置信号测量I-V特性电路图
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混沌信号的观察 𝑅=0Ω 𝑅=1.801𝑘Ω 𝑅=1.964𝑘Ω 𝑅=2.010𝑘Ω
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混沌信号的观察 𝑅=2.020𝑘Ω 𝑅=2.050𝑘Ω 返回 𝑅=2.060𝑘Ω
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倍周期分岔的解释 一维非线性迭代方程Xn+1=λXn(1-Xn) (0<Xn<1)
当1<λ<3时，极限为1-1/λ； 当λ>3时，周期1不再稳定，初值稍有变化，最后迭代结果不再 回到1-1/λ，出现了周期二； 当λ继续增大时，周期二也开始不稳定从而出现了周期四解； 以此类推，迭代稳定解为 2 ∞ 周期解，即没有周期，迭代数据到 处乱跑，最后形成混沌状态。
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阵发混沌 系统的运动性在某些段落， 十分接近周期过程，而在规 则运动的段落之间，又夹杂 着看起来很随机的跳跃，呈 现出阵发行为。
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奇异吸引子 系统状态进入相应吸引域内，运 动的轨道都会向吸引子汇聚，但 是，一切到达吸引子的轨道由于 其对初值条件的敏感性又会急剧 的分离发散，轨道来回纠缠，永 不相交。
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双吸引子 耗散系统其相体积需要收缩，相 空间轨迹经过足够长时间都要收 缩到有限区域内，如不动点，周 期子，他们是稳定的。
这里表现为有两个不动点，即两 个吸引子；
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混沌系统的特点 1.对初值极为敏感； 2.有界性； 3.便历性； 4.内随机性； 5.非周期定常态特性（确定性）； 6.长期行为不可预见性
后续讨论
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蔡氏电路电路图
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蔡氏电路电路图
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实验中的可调节量 电容C1，C2； 电阻Ru1，Ru2，其和为总电阻R=1/G； 电感L
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关于R的调节 随着R的变化，示波器上显示出的混沌现象也会随之变化。 不同的图像的变化不是平均的。
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随R变化的图像变化 𝑅=0Ω 𝑅=1.801𝑘Ω 𝑅=1.964𝑘Ω 𝑅=2.020𝑘Ω 𝑅=2.050𝑘Ω
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随R变化的图像变化 随着R的变化，图像在很大一个范围内的变化是很小的，而且在该范围中没有表 现出混沌现象。
在之后的很小的一个范围中，图像剧烈变化，电阻对于图像的影响明显，并且图 像表现出明显的混沌特征。 在各种混沌，现象中，双吸引子对应的R范围较大；其他几种的范围较小。
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对于电容的调节 由于接线和时间等原因，采用模拟方法。 实验中有两个电容器，采用控制变量的方法逐一调节。
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模拟所使用的电路
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对于C2的调节 𝐶 2 =100𝑛𝐹 𝐶 2 =120𝑛𝐹 𝐶 2 =140𝑛𝐹 图形没有明显差别，但是肉眼观察发现图线“绕圈”的速度逐渐变快，但是不是特别明显。 𝐶 2 =160𝑛𝐹
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对C1的调节 𝐶 1 =10𝑛𝐹 𝐶 1 =12𝑛𝐹 𝐶 1 =14𝑛𝐹 𝐶 1 =8𝑛𝐹
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对电容的调节 实验说明，电路中的电阻改变和电容改变都会影响到观察到 的混沌现象。 电阻和电容小范围变化时，混沌现象整体变化不大；
电阻和电容的改变到达一定范围时，出现不同混沌状态的跳 变。
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非线性负阻的I-U曲线 测量电路
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非线性负阻的I-U曲线 图像是分段的； 中间一部分图像分成三段，中间一段的斜率明显较大； 图线中间部分明显比两端翘起的部分要粗
图线分段说明非线性负阻在不同段的特性不同； 中间部分粗说明中间部分应为两条分裂的线。
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不同状态下的I-U曲线 直线状态 “瓜子形”状态 图像整体的形貌相似 非负阻区随着混沌状态的改变（即电阻的改变）而减小；
图像中心对称，但是对称性不是特别好 返回 双吸引子状态
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不同状态下的I-U曲线 图像只显示了之前的一部分； 原因应该是只有该部分是处于正常的工作区域； 一定程度上说明混沌有一定的区域性。 三周期
双周期 图像只显示了之前的一部分； 原因应该是只有该部分是处于正常的工作区域； 一定程度上说明混沌有一定的区域性。
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模拟得到的I-U图 连线 30Hz 300Hz 3000Hz
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参考资料 罗页, and 乐永康. "蔡氏非线性电路的深入研究——参数测量和实验现象观察的新 方法." 大学物理 (2010): 汤琳. 基于蔡氏电路的混沌保密通信的研究. Diss. 天津: 天津大学, 2005. 谢红梅. 基于混沌理论的信号处理方法研究. Diss. 西北工业大学, 2003. 毛自灿. "混沌调制实验研究." 电子科技大学学报 2 (1995). circuit:start
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