比與正反比 組員：王仁甫 林百慶 呂其翰.

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1 比與正反比 組員：王仁甫 林百慶 呂其翰

2 （一）「比」的定義 （六）比值 （二）最簡單整數比 （七）比例尺的意 義及表示法 （三）線段圖 （八）比例的意義 （四）正整數的倒 數問題 （九）兩數關係的判別 （五）對等問題

3 （一）「比」的定義 對等關係就是一種比的概念。對等關係是指兩數量Ａ、Ｂ之間，由於某種原因，而產生一種配對關係，就稱此兩數量Ａ與Ｂ有對等關係。
在數學上有人用有序數對（Ａ，Ｂ）來表示，也有人用「比」的符號「Ａ：Ｂ」來表示 ，或是用比值來表示：2/5。

4 例如: 小明的黏土是5塊重8公斤，小華的黏土是10塊重15公斤，而小黑的黏土是7塊重10公斤，…。上述各個例子的描述，皆產生一個對等關係，5塊對8公斤，10塊對15公斤，7塊對10公斤，…。
記成「5：8」、「10：15」及「7：10」等等。

5 依據情境（語意）的不同，對等關係可以分為下列四類：
（1） 若兩數量Ａ及Ｂ為同類量（被測量的性質相同），且Ａ與Ｂ都是同一全體量中的部分時，可稱為一種組合的對等關係。 （2） 若此兩數量為同類量，且一數量是全體量，另一數量是全體量的部分量時，可稱為一種母子的對等關係。

6 （3） 若Ａ、Ｂ分別描述兩個（堆）物件，於某種因素（性質），使這兩個（堆）物件具有相同的價值，可以交換，而形成Ａ與Ｂ的對等關係，則可稱為一種交換的對等關係。
（4） 若Ａ、Ｂ不為同類量，且此兩數量是描述同一物件的不同性質，Ａ、Ｂ的比值是做為密度的描述時，Ａ與Ｂ間的關係，可稱為一種密度的對等關係。

7 這四種類型的對等關係分別舉例如下： 22.母子的對等關係：成衣廠裡包裝襯衫，每1打中有4件藍襯衫，要包裝 6打需要幾件藍襯衫？
11.組合的對等關係：一種親子遊戲3個小孩需要 2個大人來協助，有15個小孩將參加遊戲，需要多少大人來協助？ 22.母子的對等關係：成衣廠裡包裝襯衫，每1打中有4件藍襯衫，要包裝 6打需要幾件藍襯衫？ 3

8 3.交換的對等關係：小明想知道用幾部舊小汽車可以換3個布偶，而他是拿了14部舊小汽車換到了6個布偶。算算看，用幾部舊小汽車可以換3個布偶？
4.密度的對等關係：3公升的水重3公斤，幾公升的水重10公斤？

9 （二）最簡單整數比 用比的方式（Ａ：Ｂ）來描述對等關係時，如果比的前項與後項，都是整數，則稱之為一個「整數比」。當存在無限多個等價的比時，其中一個前、後項數值為最小的整數比，稱之為此等價類的「最簡單整數比」，而最簡單整數比的前項與後項具有互質的特性。

10 比的化簡和把分數約成最簡分數的方法相同，教學時應引導兒童活用舊經驗來學習；利用「相等的比」之性質，讓兒童從實際操作討論及演算中，了解比的化簡的各種方法。
如： 〈1〉整數比的化簡： 20：30=（20÷10）：（30÷10）=2：3

11 〈2〉小數比的化簡：小數比的化簡可以有許 多種的方法，最好讓兒童從演算中自行 嘗試發現。 3.2：8=（3.2×10）：（8×10） = ： = ： 或 3.2：8=（3.2×5）：（8×5） = ： = ：

12 〈3〉分數比的化簡： 1.可以先通分再化簡： 1/4：2/5=5/20：8/20=5：8 2.也可用前面的數、後面的數各乘以分母 的最小公倍數。 1/4：2/5 =（1/4×20） ：（2/5×20） = ： 〈4和5的最小公倍數是20〉 3.用最簡潔的方法是 1/4：2/5 = （1×5） ： （2×4） = ：

13 當學童能用比例的線段圖來表現對等關係或分數問題中的數量後，可以進一步地依題意加以操作成線段圖，因而獲得結果。
（三）線段圖 使用不同的表徵形式來表現一個數學物件，是數學能力的一項指標，反映能由不同的觀點來掌握此數學概念。線段圖是圖象表徵的一種，使用線段圖來表現文字描述的問題，常能使問題中數量間的關係具體化。 當學童能用比例的線段圖來表現對等關係或分數問題中的數量後，可以進一步地依題意加以操作成線段圖，因而獲得結果。

14 例一： 有18個橘子，每6個裝在1個盤子上，共需 要幾個盤子？ 用數線表示 6個 個 □

15 例二：哥哥有28支鉛筆，弟弟的鉛筆是哥哥 的4/7倍。請問弟弟有幾支鉛筆？ 弟 兄〈28〉

16 有時為了避免觸及太抽象的數學定義，有些數學的書本也作以下的定義：一個不為零的數ａ，在數學上直接定義ａ的倒數是1/a。
（四）正整數的倒數問題 如果只考慮有理數系對乘法運算而言，一個數的乘法反元素又稱為倒數。 有時為了避免觸及太抽象的數學定義，有些數學的書本也作以下的定義：一個不為零的數ａ，在數學上直接定義ａ的倒數是1/a。

17 例如： 在「5條藍線和1條紅線一樣長時，問1條藍線和幾條紅線一樣長？」的問題中，答案1/5即為5的倒數

18 （五）對等問題 雖然做為基礎的對等關係（Ａ：Ｂ）與被製作出來的對等關係（Ａm：Ｂm），可以記作「Ａ：Ｂ＝Ａm：Ｂm」，但是此時的等號可能只具備「變成」的語意，而不必然是表示等價關係，如同在初次引入「2＋3＝5」 的紀錄時，等號是「得到」的意義，而非「2＋3」與「5」等價的意義。

19 例如： 「8個蘋果賣100元，多少個蘋果會賣25元？」的對等問題，是以「8個蘋果賣100元」的對等關係為基礎，來推論（製作）「2個蘋果賣25元」，為了討論的方便，用「8：100＝X：25」來代表這個問題，等號之前的對等關係「8：100」稱為「前比例項」，而等號之後的對等關係稱為「後比例項」

20 （六）比值 對等關係〈比〉的量化是數學必須的，因為量化後可以比較、運算等等，而比的量化即為比值。 例：王伯伯有15平方公尺的田地，其中有9 平方公尺種白菜。 可記成『15：9』→ 『5：3』

21 比值的表示法： 位名 十分位 百分位 千分位 萬分位 整數 1 分數 （1） 1/10 1/100 1/1000 1/10000 小數
十分位 百分位 千分位 萬分位 整數 1 分數 （1） 1/10 1/100 1/1000 1/10000 小數 0.1 0.01 0.001 0.0001 百分率 100% 10% 1% 0.1% 0.01% 相比之率 10成 1成 1分 1厘 1毛

22 （七）比例尺的意義及表示法 比例尺是表示縮圖（或擴大圖）上的長度和實際長度的比或比值。縮圖或擴大圖和比例尺，可說完全是比和比值的應用。
比例尺的求法，一般採計算縮圖（擴大圖）和原圖的對應邊長之比，常以1和其擴大（縮小）倍率的比、比值或線段圖表示。例如一張比例尺為「1:1000」的地圖，以比的觀點來看，表示地圖上的1個單位長線段，就是代表實際上的1000個單位長。若單位為公分，則地圖上的1公分，表示實際上的1000公分；以比值的觀點來看，它表示地圖上的1是實際上的1/1000。有些地圖上，比例尺的說明，除了比值或比的形式外，常配以線段圖，例如： 比例尺：參萬分之一 比例尺：1:30000

23 （八）比例的意義 1.比和比例：『比』是表示兩數量的對應關 係；而『比例』則是表示兩數量 對應關係的變化情形。 『比』 和『比例』的關係密切，我們可 以這麼說： 『比』是『比例』的 基礎，而『比例』是『比』的延 伸和發展。

24 2.正比例和反比例： 「正比例」與「反比例」是數學上許多數量關係中的較簡單且與日常生活較有關的兩個。若由函數關係引入「正比例」與「反比例」，對國小學童而言，由於函數概念尚未成熟，因而無法介紹。在這採先求取對應項的比之比值，當所有對應項的比之比值都相同時，稱這兩組數量成「正比例」。從這樣的規定來看，可以說甲組數量和乙組數量成「正比例」，也可以說乙組數量和甲組數量成「正比例」。

25 例如：分速20公尺，時間和路程的關係如下 表：
甲、乙兩個數量，當甲變成2倍、3倍、……時，乙也隨著變成2倍、3倍、……；當甲變成1/2倍、1/3倍、……時，乙也隨之變成1/2倍、1/3倍、……。像這樣的對應情形，我們說甲和乙成正比。 甲：時間〈分〉 乙：路程〈公尺〉 乙/甲〈乙÷甲〉 1 2 3 4 5 6 20 40 60 80 100 120

26 另外，把一組數量先取倒數，再求這組倒數和這 一組數量的對應項的比之比值，如果這些比值都相 同時，稱這兩組數量成「反比例」；而「反比例」
亦可說是甲組數量的倒數與乙組數量成「正比例」 時，甲組數量和乙組數量成「反比例」。例如，用 100元所能買到的郵票面值和枚數： 甲：面值〈元〉 乙：枚數〈枚〉 甲 × 乙 2 4 5 10 20 50 25 100

27 甲、乙兩個數量，當甲變成2倍、4倍、……時，乙反而變成1/2倍、1/4倍、……；當甲變成1/2倍、1/4倍、……時，乙反而變成2倍、4倍、……。像這樣的對應情形，我們說乙和甲成反比。
由比值的觀點引入「正比例」與「反比例」時，由於「正比例」只是單純地判斷對應項的比之比值，故「正比例」的引入先於「反比例」。

28 （九）兩數關係的判別 （1）甲、乙兩個變動的數量中，乙÷甲的商不變時， 乙和甲成正比。 （2）甲、乙兩個變動的數量中，甲×乙的積不變時，
甲和乙成反比。 （3）甲、乙兩個變動的數量中，甲和乙的和不變時， 甲和乙不成正比，也不成反比。 Ex：周長20㎝的長方形，其長與寬的對應情形。 （4）甲、乙兩個變動的數量中，甲和乙的差不變時， Ex：爸爸的年齡和媽媽的年齡。

29 The End