陳炳昌 PING-CHANG，CHEN skype:cpc1751

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1 陳炳昌 PING-CHANG，CHEN ritzcartoon51@yahoo.com.tw skype:cpc1751
控制系統 陳炳昌 PING-CHANG，CHEN skype:cpc1751

2 1 導 論 本章目的 控制系統於現代文明之應用 1. 控制系統是什麼。 2. 控制系統的重要性為何。 3. 控制系統的基本組件是什麼。
CHAPTER 導 論 本章目的 1. 控制系統是什麼。 2. 控制系統的重要性為何。 3. 控制系統的基本組件是什麼。 4. 控制系統的一些應用實例。 5. 為何大多數的控制系統需要回授。 6. 控制系統的型式。 控制系統於現代文明之應用 電力監控、工具機控制、太空技術與軍事系統、電腦控制、運輸系統、動力系統、機器人、微機電系統 、奈米生物科技與其它控制應用

3 1 導 論 控制系統的基本組件 1. 控制的目標。 2. 控制系統組件。 3. 結果或輸出。 圖 1-1 控制系統的基本組件
CHAPTER 導 論 控制系統的基本組件 1. 控制的目標。 2. 控制系統組件。 3. 結果或輸出。 圖 1-1 控制系統的基本組件 目標 就是輸入 (inputs) 或激勵訊號 (actuating signals) u，而結果就是輸出 (outputs) 或受控變數 (controlled variables) y。

4 1 導 論 控制系統應用實例 ※ 聰穎型運輸系統 ※ 智慧型系統  機器人：以更高的精確度進行更快速的運動。
CHAPTER 導 論 控制系統應用實例 ※ 聰穎型運輸系統 ※ 智慧型系統  機器人：以更高的精確度進行更快速的運動。  光石版影印術：藉由在光蝕刻電路印刷製程中，控制振動進而 製造出 更細小的微電子電路。  生物力學與生物醫學：人工肌肉、藥劑傳輸系統，及其它輔助技術。  程序控制：例如，太陽能反射器或空氣動力面板的外型開關控制。 ※ 迴圈中的硬體與建構虛擬原型機的控制 → MATLAB 及 Simulink 等設計工具 ※ 汽車的駕駛控制 → 多變數系統 (multivariable systems) ※ 汽車的惰速控制 ※ 工業用縫紉機 ※ 太陽能搜集器的循跡控制

5 1 導 論 ※ 太陽能電能搜集器的循跡控制 利用太陽能抽取地下水的示意圖
CHAPTER 導 論 ※ 太陽能電能搜集器的循跡控制 利用太陽能抽取地下水的示意圖 在白天，藉著太陽能搜集器得來的電力把地下水抽到水庫中 (水庫可能是在山邊)；清晨再利用水庫的水來灌溉。 圖 以太陽能抽取地下水之示意圖

6 1 導 論 ※ 開迴路控制系統 (無回授系統) 開迴路系統較經濟但通常較不準確 圖 開迴路控制系統之元件圖
CHAPTER 導 論 ※ 開迴路控制系統 (無回授系統) 圖 開迴路控制系統之元件圖 控制器可能是一個放大器、PID或其它控制元件，依系統的控制需求而定。在更複雜的系統中，控制器可能是一部電腦或微處理機。 開迴路系統較經濟但通常較不準確 開迴路系統控制效果較不精確，系統適應性也降低。

7 1 導 論 ※ 何謂回授及其作用為何？ ※ 回授系統之基本結構 當有一序列因果關係 存在於某系統的許多變數之間時，則回授存在。
CHAPTER 導 論 ※ 何謂回授及其作用為何？ 當有一序列因果關係 存在於某系統的許多變數之間時，則回授存在。 ※ 回授系統之基本結構 系統的輸入-輸出關係 (1-1) r 是輸入訊號，y 是輸出訊號，e 是誤差訊號，而 b 是回授訊號；參數 G 和 H 可視為順向與回授增益。 圖 回授系統

8 1 導 論 ※ 控制系統應對參數的靈敏度 ( 回授可增加或降低 系統靈敏度 對開迴路系統而言，因 ，系統增益會以 一對一的方式反應 G 的
CHAPTER 導 論 ※ 控制系統應對參數的靈敏度 ( 回授可增加或降低 系統靈敏度 對開迴路系統而言，因 ，系統增益會以 一對一的方式反應 G 的 改變。 圖 回授系統 在實際應用上，因 GH 是頻率的函數，1 + GH 的值在某些頻率範圍會小於 1。

9 1 導 論 ※ 回授對外界干擾或雜訊的影響 圖 1-13 具雜訊的回授系統 1) 若無回授 H = 0，由 n 單獨作用時的輸出 y 為 :
CHAPTER 導 論 ※ 回授對外界干擾或雜訊的影響 圖 具雜訊的回授系統 1) 若無回授 H = 0，由 n 單獨作用時的輸出 y 為 : (1-5) 2) 假定有回授存在，由 n 單獨作用所引起的系統輸出為: (1-6) 回授可降低雜訊的影響 回授會影響頻帶寬度，阻抗，暫態和頻率響應

10 1 導 論 ※ 回授控制系統的分類 ※ 線性和非線性控制系統之對比 由分析和設計的觀點:
CHAPTER 導 論 ※ 回授控制系統的分類 由分析和設計的觀點: 1) 線性 (linear) 或非線性 (nonlinear)：自然界以非線性系統佔多數 2) 時變 (time-varying) 或非時變 (time-invariant)：以採用被動元件決定之 由系統訊號型式觀點: 1) 類比訊號 (analog data) 或離散資料 (discrete-data) 系統 2) 調變 (modulated) 或未調變 (unmodulated) 系統 以系統的主要功用來分類: 位置控制系統 (position-control system) 和速度控制系統 (velocity-control system)等 ※ 線性和非線性控制系統之對比 大多數真實的控制系統都具有某些程度的非線性特質 嚴格而言，線性系統實際上並不存在 非線性系統並無通用性解法

11 1 CHAPTER 導 論 ※ 閉迴路直流控制系統 直流控制系統意謂著訊號未經調變 圖 典型的直流閉迴路控制系統示意圖

12 1 導 論 ※ 典型交流控制系統 交流控制系統的典型元件有同步器、交流放大器、交流馬達、陀螺儀、加速規等。 圖 典型交流閉迴路控制系統示意圖
CHAPTER 導 論 ※ 典型交流控制系統 系統中的訊號被調變，亦即以交流載波訊號來做資訊的傳輸。 圖 典型交流閉迴路控制系統示意圖 交流控制系統的典型元件有同步器、交流放大器、交流馬達、陀螺儀、加速規等。

13 1 導 論 ※ 離散資料控制系統 ※ 取樣資料系統的工作原理 其訊號在系統的某處或多處是以脈波序列或數位碼的形式出現稱之。
CHAPTER 導 論 ※ 離散資料控制系統 其訊號在系統的某處或多處是以脈波序列或數位碼的形式出現稱之。 離散資料控制系統：取樣資料控制系統和數位控制系統兩種。 ※ 取樣資料系統的工作原理 圖 取樣資料控制系統方塊圖 將一個連續的輸入訊號 r(t) 加於系統中，誤差訊號 e(t) 以取樣裝置 (取樣器) 加以取樣，而取樣器的輸出是一序列的脈波。 數位控制系統較不易受雜訊干擾

14 第二章 數學基礎工具 1. 介紹拉氏轉換定義與理論。 2. 說明以拉氏轉換求解線性常微分方程式。
第二章　　　數學基礎工具　　　　　 1. 介紹拉氏轉換定義與理論。 2. 說明以拉氏轉換求解線性常微分方程式。 3. 介紹系統轉移函數定義與應用於建置線性非時變系統的模型。 本章大部份習題的求解均可以MATLAB 分析 控制理論所需數學背景包括矩陣分析、線性代數、機率、複變函數理論、微分和差分方程式、拉氏轉換、z 轉換等。

15 ※ 拉氏轉換 ※ 拉氏轉換的定義 1. 自然響應與強行響應，可於同一計算分析中求得。
2. 拉氏轉換將微分方程式座標轉換為含 s 變數的代數方程式。 ※ 拉氏轉換的定義 系統稱為因果系統 (causal system) 或實際可實現的系統 (physically realizable system)。 函數 f (t) 滿足下列的條件： 對某個有限的實數 ，f (t) 的拉氏轉換定義為 右側單邊拉氏轉換 (one-sided Laplace transform) 之拉氏轉換 (2-3) 其中，s =  + j 。 嚴格而言，單邊拉氏轉換應定義成 t = 0 ＋ 至 t = 。符號 0＋ 代表由 t = 0 的右邊取 t  0 的極限。

16 １．假設 f (t) 為單位步級函數 f (t) 之拉氏轉換為 ２．自然指數函數 f (t) 之拉氏轉換為 其中  為一實數。

17 PS:其中，c 是實常數，它大於 F(s) 所有極點的實數部份。
※ 反拉氏轉換 的反拉氏轉換 反拉氏轉換積分則定義為 PS:其中，c 是實常數，它大於 F(s) 所有極點的實數部份。 ★ MATLAB 工具 (TFtool) 亦可用來解部份分式展開和反拉氏轉換。 ※ 拉氏轉換的重要定理 k 為一實常數 ■ 定理 1. 乘上常數 ■ 定理 2. 和及差

18 ※ 拉氏轉換的重要定理 ■ 定理 3. 微分 (2-13) ★ 對f (t) 的高階微分而言 (2-14)
■ 定理 3. 微分 (2-13) ★ 對f (t) 的高階微分而言 (2-14) 其中， f (i) (0) 代表 f (t) 對 t 之第 i 階微分在 t = 0 時之值。 ■ 定理 4. 積分 (2-15) ★ 對 n 階積分而言 (2-16)

19 ※ 拉氏轉換的重要定理 其中，us (t T) 為向右位移 T 時間的單位步階函數。 ■ 定理 5. 時間的移位定理 (2-17)
■ 定理 5. 時間的移位定理 (2-17) ■ 定理 6. 初值定理 假設時間極限存在 (2-18) ■ 定理 7. 終值定理 (2-19) 終值定理僅在當 sF(s) 在 j 軸和 s 平面右半平面沒有極點時才適用 若 sF(s) 包含了實數部份是零或正值的任何極點時，終值定理就不適用；亦即在定理中 sF(s) 必須是可解析函數。

20 ３．Find ４．find (2-22)  為任意常數 ■ 定理 8. 複數移位 ■ 定理 9. 實數旋捲理論 ，且 t < 0 時，f1(t) = 0，f2(t) = 0 其中，符號 ＊ 表 t 領域之迴旋積分 (convolution)。 (2-24)

21

22 ※ 以殘值求反拉氏轉換 ※ 部份分式展開法 有理函數的反拉氏轉換運算可使用部份分式展開法和拉氏轉換表來求出。
其中，P(s) 和 Q(s) 為 s 之多項式 ★ G(s) 僅有單極點時 其中， s1  s2    sn。 其中， (i = 1，2，，n)

23 以殘值找出係數 Ks1 ： ５． 求下列函數的部份分式形式： <Sol.>

24 (n  r) 個係數 Ks1，Ks2，，Ks(n  r) 對應 (n  r) 個單階極點，這些係數可依前述方法求之
極點在 s = si 是 r 階ploes (i  1，2，，n  r ) ★ G(s) 具多階極點殘值定理應用 G(s) 可展開成： (n  r) 個係數 Ks1，Ks2，，Ks(n  r) 對應 (n  r) 個單階極點，這些係數可依前述方法求之 項 單 階 極 點 項 多階 極 點 多階極點的係數 A1，，A r，則如下求算︰

25 ６． 求算下列函數的部份分式形式： <Sol.> 對應單階極點的係數求法如下： 三階極點的係數則為

26 ★ 赫j維塞德不重複因子法則：G(s) 有單共軛複數極點時
和 這些極點的對應殘值為 ７． 考慮函數 若假設 （damping ratio) 之值小於 1，試求g (t) = ? <Sol.>

27 可解出 (2-55) 式的係數為 或

28 ※ 拉氏轉換解線性常微分方程式 用拉氏轉換的方法來解線性常微分方程式的步驟如下︰ 1. 利用拉氏轉換將微分方程式轉換至 s平面。
2. 處理轉換過後的代數方程式，求Y(s)。 3. 對此代數方程式進行部份分式展開。 4. 以反拉氏轉換求y(t)。 ８． 求解微分方程式： 初值： y(0) = 1 及 <Sol.>

29 全響應 ★ 應用終值定理 求y (t) 的穩態解 (2-68) ９． 求解微分方程式： y(t) 和 dy(t)/dt 的初值皆為零。 <Sol.>

30 ※ 線性系統的脈衝響應及轉移函數 ★ 脈衝響應定義： Impulse response y (t) = g (t) LTI System
輸入 u (t) Impulse  (t) 輸出 y(t);Y(S)=G(S)

31 ※系統轉移函數定義 Impulse response y (t) = g (t) LTI System g (t) 輸入 u (t) Impulse  (t) 輸入 y (t) 令起始條件為零 SISO線性非時變系統，其輸入-輸出的關係常以微分方程式來描述。一線性非時變系統的輸入-輸出關係，為常係數 n 階微分方程式 係數 a0，a1，，an1 和 b0，b1，，bm 為實數 (2-86) u(t) 與 y(t) 之間的轉移函數為

32 ★ 轉移函數特性 1. 轉移函數只定義於線性非時變系統，對非線性系統則無意義。 2. 系統的輸入變數與輸出變數之間的轉移函數定義為脈衝響應的拉氏轉換；換言 之，是輸出的拉氏轉換與輸入的拉氏轉換之比。且系統的所有起始條件均假設　為零。 4. 轉移函數與輸入函數無關。 5. 連續資料系統的轉移函數表示成僅為複變數 s 的函數，而非實變數、時間或任 何其它獨立變數的函數。離散資料系統可用差分方程式來表示，當使用 z 轉換 時，轉移函數就變成複變數 z 的函數。 ★ 適當轉移函數 如果 分母多項式的階數大於分子多項式的階數 (即 n > m)，則稱轉移函數是嚴格適當的 (strictly proper)；若 n = m，則稱轉移函數為適當的 (proper)，若 m > n，則稱轉移函數為不適當的 (improper)。 ★ 特性方程式： 在S domaIn將轉移函數的分母設為零即可得線性系統的特性方程式

33 ※第三章： ★ 開迴路直流馬達速度控制系統 1. 直流馬達控制系統的輸入-輸出關係 圖 2. 放大器特性在線性區域內的轉移函數
方塊圖：可用來描述系統的組成及連結，也可與系統轉移函數用來表示整個系統的因果關係。 ★ 開迴路直流馬達速度控制系統 1. 直流馬達控制系統的輸入-輸出關係 圖 2. 放大器特性在線性區域內的轉移函數 K 是一個常數 圖 (a) 直流馬達控制系統的方塊圖，(b) 具轉移函數及放大器特性的方塊圖

34 ※ 控制系統的方塊圖 1. 感測裝置：有電位計、同步器、分解器、差動放大器、倍增器，及其它用於訊 號處理的換能器。 2. 感測器可執行簡單的
數學運算，如加法與 減法。 3. 方塊圖元件如圖 所示。 ★ 例如：圖（a) 中 圖 ：控制系統典型感測裝置的方塊圖元件。(a) 減；(b) 加；(c) 加和減；(d) 乘

35 ★ 線性回授控制系統的方塊圖 r(t)，R(s) ≡參考輸入 (命令) y(t)，Y(s) ≡輸出 (受控變數) b(t)，B(s) ≡回授訊號 u(t)，U(s) ≡驅動訊號 = 誤差訊號 e(t)，E(s)，當 H(s) = 1 H(s) ≡回授轉移函數 G(s)H(s) ≡L(s) = 迴路轉移函數 G(s) ≡順向路徑轉移函數 M(s) ≡Y(s)/R(s) = 閉迴路轉移函數或系統轉移函數 圖 回授控制系統的基本方塊圖 ★ 閉迴路轉移函數 M(s)

36 ※ 訊號流程圖 訊號流程圖 可視為方塊圖的簡化圖，用於描述由代數方程式所代表的線性系統的因果關係。
訊號流程圖定義︰將一組線性代數方程式的變數之間輸入-輸出關係以圖示的方式描述。 ★ 以一組 N 個代數方程式所描述的線性系統︰

37 ※ SFG 的基本名詞定義 N 個方程式寫成因果關係型式︰
當系統以一組積微分方程式來表示時，首先必須將方程式改寫成拉氏轉換方程式，然後再將後者排成 (3-21) 式的形式，或 ※ SFG 的基本名詞定義 連結點或節點用來表示變數。 支路是由支路增益和支路方向組成。 訊號可以經由支路依箭頭指示方向傳輸。 訊號流程圖的繪圖是基於因果關係，而將任一變數本身和其它變數連結在一起。

38 Ex. 單一方程式所表示的線性系統 圖 y2 = a12y1 的訊號流程圖 其中， y1 是輸入，y2 是輸出，而 a12 是兩個變數之間的增益或傳輸度。 在兩個節點 y1 和y2 之間的支路，可視為具有增益 a12 的單向放大器。 ２． 考慮下列一組代數方程式，作為建構一個 SFG 的例子︰ 上方程式的訊號流程圖圖解於下圖 中。

39 ※ 訊號流程圖的基本特性摘要 ※ SFG 的名詞定義 1. 訊號流程圖只能適用於線性系統。
2. 畫訊號流程圖時所根據的方程式，必須是因果型式的代數方程式。 3. 節點代表變數。通常，節點由左排到右，由輸入至輸出依照整個系統的因果 關係排定次序。 4. 訊號沿著支路傳送時，是沿支路上箭頭所指的方向傳送。 5. 由節點 yk 至 yj 的支路，表示變數 yj 依 yk 而變，反之並不成立。 6. 訊號 yk 沿著節點 yk 和 yj 之間的支路傳送，則到達 yj 的訊號是乘上支路增益 akj，即訊號為 akj yk。 ※ SFG 的名詞定義 輸入節點 (源點) 一個節點若只有出去的支路時稱為輸入節點。 一輸入節點僅有出去的支路 輸出節點 (汲點) 一個節點若只有進來的支路時稱為輸出節點。 一輸出節點僅有進來的支路

40 路徑 任何通過同一方向的支路群連續系列的組合均稱為
路徑 (path)。 順向路徑 若一路徑起始於輸入節點，結束於輸出節點 且沿途所經過的節點沒有超過一次以上時， 則稱此路徑為順向路徑 (forward path)。 例如，圖 中的訊號流程圖。 圖 使節點 y2 改成輸入節點的錯誤方法 在 y1 和 y3 之間有兩條順向路徑 y1 和 y4 之間找到兩條順向路徑 y1 和 y5 之間也有三條順向路徑 迴路 若一路徑的起點和終點是在同一節點，且沿途節點並沒有遭遇一次以上時，則稱此路徑為迴路 (loop)。 圖 (d) 完整的訊號流程圖

41 例如，圖 (d) 的訊號流程圖有四個迴路。這些迴路如下圖 所示。

42 路徑增益 在一路徑中所遇到的支路其支路增益的乘積稱為路徑增益 (path gain)。
順向路徑增益 順向路徑增益 (forward-path gain) 為一順向路徑的路徑增益。 迴路增益 一迴路的路徑增益即稱為迴路增益 (loop gain)。 例如，圖 中迴路 y2  y4  y3  y2 的迴路增益為 a24a43a32。 無接觸迴路 一 SFG 的兩部份若無共用節點，則稱此兩部份為無接觸的 (nontouching)。 一 SFG 的兩部份如果沒有共有節點，則為無接觸的。 例如圖 (d) 中 SFG 的 y2  y3  y2 和 y4  y4 迴路，即為無接觸迴路。 圖 (d) 完整的訊號流程圖

43 ※ SFG 的 Mason rule增益公式 已知 SFG 有 N 個順向路徑和 K 個迴路，在輸入節點 yin 和輸出節點 yout 之間的增益為 其中 yin = 輸入節點變數 yout = 輸出節點變數 M = yin 和 yout 之間的增益 N = yin 和 yout之間順向路徑的總數 Mk = yin 和 yout 之間第 k 條順向路徑的增益

44 Lmr = r 個無接觸迴路 (1  r  K) 的第 m 種 (m = i，j，k，) 可能組合的增益乘積
或  = 1 (所有個別迴路增益和) + (兩個無接觸迴路的所有可能組合的增益 乘積總和)  (三個無接觸迴路的所有可能組合的增益乘積總和) +  k = 在訊號流程圖中與第 k 個順向路徑無接觸部份的  。 SFG增益公式僅能應用於一個輸入節點與輸出節點之間 ► 3. 以下圖 的訊號流程圖，試求系統轉移函數 Y(s)/R(s)。 圖 　回授控制系統的訊號流程圖 <Sol.> 1. 在 R(s) 和 Y(s) 之間只有一條順向路徑，順向路徑增益是

45 (3-34) 2. 只有一個迴路；迴路增益是 (3-35) 3. 因為只有一個迴路，故沒有兩個以上之無接觸迴路。且順向路徑和唯一的迴路接觸。因此 1 = 1，及 利用 (3-31) 式，閉迴路轉移函數可寫成 求圖 的 SFG。首先以mason rule增益公式來決定 y1 和 y5 之間的增益。 ４． 圖 (d) 完整的訊號流程圖

46 <Sol.> 1. 三個順向路徑與順向路徑增益為︰ 2. SFG 的四個迴路增益為︰ 3. 有一對無接觸的迴路，即下列兩個迴路 這兩個無接觸迴路的增益乘積為 4. 所有的迴路都與順向路徑 M1 和 M3 有接觸。因此 1 = 3 = 1。 5. 所有迴路中有兩個迴路與順向路徑 M2 無接觸，它們是迴路 y3  y4  y4 和 y4  y4。

47 6. y1 和 y5 之間的增益： 其中 ★ 若選 y2 為輸出，則 5. 考慮圖 中的SFG。利用mason增益公式可得下列輸入-輸出關係︰ <Sol.>

48 其中

49 ※ 增益公式在輸出節點及非輸入節點之間的應用
在 前圖 的 SFG 中，我們想找出關係 y7/y2。 令 yin 為 SFG 的輸入，而 yout 為輸出。針對非輸入節點 y2 言，增益 yout /y2 可寫成 ６． 求y2 與 y7 之間的增益可寫成 ※ 增益公式在方塊圖中的應用 1. 通用增益公式可用來求解方塊圖或訊號流程圖輸入-輸出關係。 2. 先繪出方塊圖對應的等效訊號流程圖，再應用增益公式。

50 ７．為說明如何建構一方塊圖的等效 SFG 及如何應用增益公式於方塊圖，
考慮下圖中的方塊圖。試求系統的閉迴路轉移函數 Y(s)/R(s) = ? 圖 控制系統的方塊圖； (b) 等效的訊號流程圖

51 ※ 狀態圖 <Sol.> 1. 系統的等效方塊圖示於圖 (b)。 2. 閉迴路轉移函數： 其中 ， 同理，得
1. 狀態圖用以描述狀態方程式與微分方程式。 2. 狀態圖的建構乃使用拉氏轉換後的狀態方程式，並遵循所有 SFG 的法則來完成。 3. 狀態圖的基本元件類似傳統的 SFG，但積分運算除外。

52 ★ 積分運算的狀態圖 1. 令變數 x1(t) 與 x2(t) 之間的關係為一階微分 (3-54) 圖 X1(s) = [X2(s)/s] + [x1(t0)/s] 的訊號流程圖表示法 2. 取拉氏轉換，可得

53 ★ 狀態圖的主要用途： 1. 狀態圖可直接由系統的微分方程式導出。並可決定 狀態變數及狀態方程式。 2. 狀態圖可由系統的轉移函數導出。 3. 狀態圖可用在類比計算機上做系統規劃，或在 數位計算機中做系統模擬。 4. 由狀態圖利用訊號流程增益公式法可求得拉氏 轉換領域中的狀態變換方程式。 圖 X1(s) = [X2(s)/s] + [x1(t0)/s] 的訊號流程圖表示法 5. 由狀態圖可求得系統的轉移函數。 6. 由狀態圖可決定狀態方程式和輸出方程式。

54 動態方程式 (dynamic equation)
※第五章：狀態變數分析　　　 前 言 附錄 B：線性連續-資料與離散動態系統的狀態變數與狀態方程式的觀念與定義，並舉例說明了如何選擇狀態變數，要如何寫出線性與非線性系統的狀態方程式。 狀態變數法的基本特性是線性和非線性系統、時變和非時變系統、單變數和多變數系統均可用同一模式處理。 ※ 動態方程式的向量-矩陣表示式 i = 1，2，…，n 1. n 階動態系統的 n 個狀態方程式 xi (t) 表示第 i 個狀態變數，uj (t)，j = 1，2，…，p 表示第 j 個輸入，而 wk(t) 表示第 k 個干擾輸入，k = 1，2，…，v。 2. 動態系統的輸出方程式 j = 1，2，…，q 變數 y1(t)，y2(t)，…，yq(t) 為系統的 q 個輸出變數。 動態方程式 (dynamic equation)

55 3. 動態方程式以向量-矩陣形式表示 1) 狀態向量 2) 輸入向量 (5-3) 3) 輸出向量 4) 干擾向量 (5-5) 4. 對一線性非時變系統，動態方程式可寫成

56 狀態方程式 輸出方程式 其中

57 ※ 狀態變換矩陣 在給定起始狀態，向量 x (t0)，輸入狀態向量 u (t)，及干擾向量 w (t)，(t  t0) 的條件下，求解狀態方程式 ： 1. 線性齊次狀態方程式 2. 狀態變換矩陣的定義為一滿足於線性齊次狀態方程式的矩陣。 令  (t) 為一 n  n 矩陣，代表狀態變換矩陣；則它必須滿足方程式 令 x(0) 代表在 t = 0 的起始狀態；則  (t) 也可由矩陣方程式來定義 狀態方程式在 t  0 時解 （自然響應）

58 3. 求解狀態變換矩陣： <方法一> 等號兩邊各取拉氏轉換 假設矩陣 (sI A) 為非奇異矩陣 比較 兩 式，則狀態變換矩陣  (t) 等於 <方法二> eAt解法：假設一個解：令 t  0 時 之解為 eAt 代表矩陣 At 的冪級數，即 另一個狀態變換矩陣的表示法為：

59 ※ 狀態變換矩陣的意義 ※ 狀態變換矩陣的特性
1. 狀態變換矩陣滿足齊次的狀態方程式，它代表系統的自由響應 (free response)。 2. 當輸入為零時，狀態變換矩陣  (t) 完全定義了由起始時間 t = 0 變換至任何時間 t 的狀態。 ※ 狀態變換矩陣的特性 1. (單位矩陣) 2. <pf.> 對 (5-27) 式等號兩邊後乘以 e At，可得 對 (5-30) 式等號兩邊前乘以  1(t)，可得 ★ (5-24) 式可以重新排列成

60 ※ 狀態變換方程式 狀態變換方程式的定義是，線性非齊次狀態方程式的解。 1. 線性非時變狀態方程式 2. 拉氏轉換法
x(0) 代表在 t = 0 所得的起始狀態向量 令 t0 代表起始時間，而以 x(t0) 代表響應的起始狀態，並假設輸入 u(t) 與干擾 w(t) 是在 t  0 時加進來的。 由 (5-41) 式開始，設 t = t0 並解出 x(0)

61 3. 輸出向量 １． 考慮狀態方程式 當在 t  0 時輸入 u (t) = 1，求出在 t  0 時的狀態變換矩陣 (t) 與狀態向量 x(t)。

62 <Sol.> 1. 係數矩陣 A 和 B 2. A 的狀態變換矩陣 3. 在 t  0 時的狀態變換方程式 或

63 ※ 以狀態圖求出動態方程式 1. SFG 增益公式和第三章所敘述的狀態圖，可用來解在拉氏轉換領域的狀態方程式 (5-40) 式。
2. 設起始時間為 t0，則 (5-40) 式可寫成 3. 利用增益公式，以 Xi (s)，i = 1，2，…，n 為輸出節點，上式可直接由狀態圖寫出。 4. 求解動態方程式：取反拉氏轉換

64 ※ 狀態方程式和高階微分方程式之關係 1. 線性n階微分方程式系統： 2. 狀態變數：

65 相位變數標準典型式 (phase-variable canonical form, PVCF)
3. 狀態方程式 4. 狀態方程式可以寫成向量-矩陣的形式︰ 相位變數標準典型式 (phase-variable canonical form, PVCF) 其中

66 5. 輸出方程式 其中 ４． 考慮微分方程式 試求代表此系統的動態方程式。 <Sol.> 1. 上式重新排列 (5-80) 2. 定義狀態變數：

67 3. 狀態方程式的向量-矩陣方程式形式 其中， x(t) 為 3  1 的狀態向量，u(t) 為純量輸入，而且 4. 輸出方程式： 1. nth-order system: The state variable must be chosen such that they will eliminate the derivatives of u in the state equation. 2. n state variables:

68 where are determined from With the present choice of state variables, we obtain

69 In terms of vector-matrix equations, Equation (3-36) and the output equation can be written as

70 ※ 狀態方程式與系統轉移函數之關連 1. 線性非時變系統的動態方程式： 其中
x(t) = n  1 狀態向量，y(t) = q  1 輸出向量 u(t) = p  1 輸入向量，w(t) = v  1 干擾向量 (5-87) (5-88) 2. 轉移函數：將起始條件定為零，即 x (0) = 0 ，(5-89) 式變成

71 Gu(s) 是當 w(t) = 0 時 u(t) 和 y(t) 之間的 q  p 轉移函數矩陣，而Gw(s) 則是當 u(t) = 0 時 w(t) 和 y(t) 之間的 q  v 轉移函數矩陣。
► 例題 5-5 考慮以下列微分方程式所描述的多變數系統 系統的狀態變數可設定如下

72 ※ 特性方程式、特徵值（極點）、特徵向量 ★ 以微分方程式定義特性方程式 1. 描述線性非時變系統的微分方程式 2. 定義運算子 s 為
3. 系統的特性方程式 ６． 試求特性方程式。

73 <Sol.> ★ 根據轉移函數來定義特性方程式 系統轉移函數: 將轉移函數的分母設為零即可獲得特性方程式。 ► 例題 ７：求特性方程式。 <Sol.> 轉移函數: 特性方程式： ★ 根據狀態方程式來定義特性方程式 特性方程式：Determine of A

74 ► 例題 8.(其狀態方程式的係數矩陣 A 如下式。
★ 特徵值 特性方程式的根通常稱為矩陣 A 的特徵值。 特徵值之重要特性： 1. 若 A 的係數都是實數，則其特徵值不是實數就是一對共軛複數。 2. 若 1，2，，n 是 A 的特徵值，則 亦即 A 的跡是 A 所有特徵值的和。 3. 若 i，i = 1，2，，n 是 A 的一個特徵值，則它亦是 A' 的一個特徵值。 4. 若 A 是非奇異的，其特徵值為 i，i = 1，2，，n，則 1/i，i = 1，2，，n 是 A1的特徵值。 ９． 求矩陣 A 的特徵值。 <Sol.> 可由解 特性方程式根得之，其解為

75 ★ 特徵向量 設 i，i = 1，2，，n 代表矩陣 A 的特徵值，則任何一個滿足下列矩陣方程式的非零向量 pi 就稱為 A 相關於特徵值 i 的特徵向量。 １０． 考慮 (5-38) 式中的狀態方程式，其具有下列的係數矩陣 試求矩陣 A 的特徵向量。 <Sol.> 1. A 的特性方程式為 2. 特徵值為 1 = 1，和 2 = 1。 3. 令特徵向量為

76 其中 i 代表第 i 個特徵值，i = 1，2，，q。
將 1=1 和 p1 代入 可得 針對 2 = 1， (5-126) 結論： ★ 廣義特徵向量 （eigenvalue具重根） 1. 若 A 有多階特徵值且 A 不是對稱的矩陣，則並非所有的特徵向量皆可用 (5-120) 式 找出來。 2. 若 A 的 n 個特徵值中，有 q(< n) 個是相異的。則對應這 q 個相異特徵值的特徵向 量，可由一般的方式求得 其中 i 代表第 i 個特徵值，i = 1，2，，q。 3. 其餘的高階特徵值中，令j 的階數為 m (m  n  q)，則其對應的特徵向量，稱為廣 義特徵向量，可由下列 m 個向量方程式求得︰

77 3. 與二階特徵值相關的廣義特徵 向量： 將 2 = 1 代入 (5-129) 式，可得 11. 已知矩陣 A 為 試求A矩陣的特徵向量。 (5-133) <Sol.> (5-134) 1. A 的特徵值為 1 = 2，2 = 3 = 1。 將 3 = 1 代入 (5-129) 式的第二個方程式，可得 2. 1 = 2 相關的特徵向量可由 (5-128) 式來決定： (5-131) 令 p11 = 2，則可解得 p21 = 1 和 p31 = 2

78 ※ 相似轉換與對角化 1. 單輸入-單輸出 (SISO) 系統的動態方程式: 2. 相似轉換： 3. 轉換後的動態方程式：

79 4. 取 (5-140) 式等號兩邊對於 t 的微分 比較 兩式可得： 前 式可寫成： 比較 兩式可知 ： ★ 相似轉換的不變性 相似轉換的重要特性之一是︰特性方程式、特徵值、特徵向量和轉移函數在相似轉換之下是不變的。 1. 特性方程式、特徵值、特徵向量 系統的特性方程式為  sI   = 0，可寫成

80 2. 轉移函數矩陣 系統的轉移函數矩陣為 ★ 控制性標準型 (CCF) 1. 動態方程式 (5-137) (5-138) 2. A 的特性方程式： 3. 控制性標準型的轉換方式 其中

81 可得之，但並未有任何特定的型式。 和 矩陣 １２． (狀態方程式，其係數矩陣為 試將此狀態方程式轉成控制性標準型。

82 5 狀 態 變 數 分 析 ★ 觀測性標準型 (OCF) 1. 動態方程式： 2. 轉換式： (5-164) 3. 轉換後的動態方程式：
CHAPTER ★ 觀測性標準型 (OCF) 1. 動態方程式： 2. 轉換式： (5-164) 3. 轉換後的動態方程式： (5-141) (5-142) 其中

83 4. 觀測性標準型的轉換矩陣 其中 M 示於 式中，且 矩陣 V 常被定義為觀測性矩陣 (observability matrix)，且 V 1 必須存在以使得 OCF 轉換能實現。 １０．係數矩陣為 試將此系統轉換程觀測性標準型式。 <Sol.> 1. 矩陣 M 與 (5-160) 式中的相同。

84 2. 觀測矩陣： 3. OCF 轉換矩陣： 4. 系統的 OCF 可以下式描述 ★ 對角標準型 (DCF) 1. 動態方程式： 2. 若 A 的特徵值皆互不相同，則存在一個非奇異的轉換 動態方程式轉成：

85 其中 矩陣 是對角矩陣 其中 1，2，，n 是 A 的 n 個相異特徵值。 ▼ 對角標準型 (DCF) 的好處之一是︰轉換後的狀態方程式是互相解耦的，因此可以個 別來解。 3. 形成 DCF的轉換矩陣 T： 其中 pi，i = 1，2，，n 表示相關於特徵值 i 的特徵向量。 4. 證明： 組成一個 n  n 的矩陣

86 若令 上 式可寫成： 若矩陣 A 是 CCF 且其特徵值為相異單極點，則 DCF 轉換矩陣為范得蒙 (Vandermonde) 矩陣， １４． 考慮矩陣 試將它轉成 DCF型式。 <Sol.> 1. 特徵值 1 = 1，2 = 2 和 3 = 3。

87 2. 因 A 為 CCF，若要將它轉成 DCF，則轉換矩陣為 (5-183) 式中的范得蒙矩陣。因此
3. A 的 DCF 可寫成 ★ JORDEN喬頓標準型 (JCF) 1. 當矩陣 A 有多階特徵值時，除非這矩陣為對稱的且其元素為實數，否則，它無法轉 成一個對角矩陣。 2. 典型的 JCF：

88 3. 相似轉換： 使得 能幾乎是對角的，而 就稱為喬頓標準型 (Jordan canonical form, JCF)。 4. 我們可用特徵向量和廣義特徵向量為行來形成轉換矩陣T ，執行 JCF 轉換。 ◆ 喬頓標準型通常有下列特性︰ 1. A 的主對角的元素是矩陣的特徵值。 2. A 的主對角以下的元素全為零。 3. 在主對角上多階根特徵值上方緊鄰的第一個元素為 1，這可由前 式中的例子看 出。 4. 由 1 及特徵值所組合形成的典型方塊稱為喬頓方塊。在 前 式中的喬頓方塊是 以虛線包圍者。 5. 當非對稱的 A 矩陣有多階特徵值時，其特徵向量並非線性獨立。對一 n  n 的 A， 僅有 r 個 (r < n) 線性獨立特徵向量。 6. 喬頓方塊的數目等於獨立特徵向量數目 r。只存在有一個，且只有一個線性獨立的特 徵向量與每一喬頓方塊有關。 7. 主對角上方之 1 的數目等於 n  r。

89 １５． 矩陣 試藉由 特徵向量如廣義特徵向量，來求 A矩陣的DCF 轉換矩陣。 <Sol.> 1. 矩陣A的特徵值為 2，1，1。 2. DCF 轉換矩陣： 所以，DCF 為

90 ※ 轉移函數的分解 線性系統描述法之間的關係： 通常有三種分解轉移函數的基本方法︰直接分解法、串聯分解法和並聯分解法。
圖 描述系統的各種方法之間的關係方塊圖

91 ★ 直接分解法 1. 直接分解法是用於沒有轉成因式分解形式的轉移函數。 2. n 階SISO 系統，其輸入 U(s) 與輸出 Y(s) 之間的轉移函數為 ◆ 直接分解成 CCF 步驟如下： 1. 改變轉移函數使其只含有 s 的負指數。 2. 以一個虛擬變數 X(s) 來乘轉移函數的分子和分母。 前式變成 3. 令 等號兩邊的分子和分母彼此相等。 4. 寫出適當的因果關係，使用 兩方程式作出狀態圖。 式已經滿足了這個先決要求。但 有輸入位於方程式的左邊必須重新排列。

92 5. 狀態圖示於圖 5-6 中： 圖 轉移函數直接分解成 CCF 狀態圖 1) 定義狀態變數 x1(t)，x2(t)，，xn(t) 為積分器的輸出，並依由右至左的順序排列於 狀態圖上。 2) 以狀態變數的導數當作輸出和狀態變數，以 u(t) 為輸入，忽略有積分器的分枝，就 可得到狀態方程式。 3) 動態方程式：

93 State equation: Output equation: 其中 ◆ 直接分解求 OCF 1. 轉移函數： 2. 將 上式等號右邊的分子與分母同乘以 s n 或

94 3. 狀態圖示於： 積分器的輸出被標示為狀態變數。 圖 轉移函數直接分解成 CCF 狀態圖  狀態變數由右至左以降階的順序排列。 4. 動態方程式：

95 ★ 串聯分解法 1. 串聯補償是指寫成簡單的一階或二階項乘積的轉移函數。考慮下列的轉移函數，它是 兩個一階轉移函數的乘積。 2. 每一個一階的轉移函數先做直接分解，再將所得的狀態圖以串聯的方式接在一起， 所得如圖 5-10 所示。 圖 轉移函數以串聯分解而得的狀態圖 3. 將狀態變數的微分視為輸出，而狀態變數和 u(t) 視為輸入，並將 SFG 增益公式應用 於圖 中的狀態圖，即可得到狀態方程式。

96 4. 視狀態變數和 u(t) 為輸入，y(t) 為輸出，並應用增益公式於圖 5-10，即可得輸出方
程式。 ◆ 轉移函數有複數的極點或零點時，與這些極點或零點相關的項應為二階的形式。 1. 考慮下列轉移函數 2. 系統狀態圖示於下圖 。 3. 系統的動態方程式：

97 圖 ：轉移函數以串聯分解而得的狀態圖

98 ★ 並聯分解法 1. 當轉移函數的分母是因式分解的形式，即可以利用部份分式將轉移函數展開。 2. 狀態圖將由簡單的一階或二階系統以並聯的方式組成，這可導得 DCF 或 JCF 的 狀態方程式，後者是多階特徵值的情形。 3. 考慮以下列轉移函數所表示的二階系統︰ 4. (5-217) 式以部份分式展開 5. 系統的狀態圖，如圖 所示。 6. 系統的動態方程式：

99 圖 ：轉移函數以並聯分解而得的狀態圖  結論︰ 若是相異極點的轉移函數，並聯分解將會得到 DCF 的狀態方程式； 若轉移函數有多階特徵值，則利用最少積分器的並聯分解將導出JCF 的狀態方程式。 １７． 考慮下列轉移函數及其部份分式展開︰ 試繪出系統的狀態圖並求出系統的狀態方程式。 <Sol.> 1. 在 右邊的整體階數是四，但應只用三個積分器於狀態圖中，如圖 所示。

100 圖中使用了最少的三個積分器，其中一個為兩個通道所共用。
圖 轉移函數以並聯分解而得的狀態圖 圖中使用了最少的三個積分器，其中一個為兩個通道所共用。 2. 系統的狀態方程式：

101 ※ 線性系統的控制性 控制性 (controllability) 和觀測性 (observability) 的觀念首先由卡曼(Kalman) 提倡用於現代控制理論中，它在理論和實際兩方面都扮演著極重要的角色。 控制性和觀測性的條件常可決定最佳控制問題解答之存在性。此即最佳控理論與古典控制理論的基本差異。 在古典控制理論中，設計的技巧以試誤法為主。古典控制理論是給定一組設計規格，在開始時設計者並不知道解答是否存在。 大多數的最佳控制理論針對系統參數與設計的目標，具有在設計之初就能判斷解答是否存在的標準。 系統的控制性之條件與狀態回授的解之存在性關係密切，我們可任意放置系統的特徵值使其達到控制目的。 輸出變數通常是可量測的，故觀測性的觀念與是否可由輸出變數來觀測或估計狀態變數的條件有關。 ★ 狀態回授控制系統 1. 系統方塊圖： 2. 圖 5-14(a) 中的系統，其動態特性方程式：

102 圖 (a) 狀態回授控制系統，(b) 具有觀測器和狀態回授的控制系統
3. 狀態變數經由常數矩陣 K 回授回來形成一閉迴路系統： 4. 閉迴路系統可表示為 5. 設計目標是找出回授矩陣 K，使閉迴路系統 (A–BK) 的特徵值保持於某一事先設定 的值。 6. 對於任意指定的極點，經由狀態回授的極點配置設計，其解的存在性直接與系統狀 態的控制性有關。 7. 若系統為可控制，則必存在一常數回授矩陣 K，使得 (A–BK) 的特徵值 可任意配置。

103 8. 設計和建構一個觀測器 (observer)，以便能從輸出向量 y(t) 來估測狀態向量。圖
，經由回授矩陣 K 可產生控制 u (t)。存在此種觀測器的條件稱為系統的觀測性。 ★ 控制性的一般觀念 1. 線性非時變系統方塊圖： 圖 線性非時變系統 2. 若系統的每個狀態變數可以在有限的時間內，被某一無限制 (unconstrained)的 控制 u (t) 所控制來達到某些目的時，則稱此系統為完全可控制的 (completely controllable)。 3. 只要存在著一個不可控制的狀態，系統就稱為非完全可控制的或簡稱不可控制的。 4. 圖 說明具有兩個變數的線性系統狀態圖。因為控制 u(t) 只影響狀態 x1(t) 而 x2(t) 是不可控制的。換句話說，以任何的控制 u(t) 不可能在有限的時間區間 (tf  t0) 由起始狀態 x2(t0) 來推動 x2(t) 至所要的狀態 x2(tf)。因此，整個系統稱為不可 控制的。

104 有時稱 [ A，B ] 為可控制的，這表示 S 的ＲＡＮＫ為 n。
圖 非狀態可控制系統的狀態圖 ★ 狀態控制性的定義 x(t) 為 n  1 的狀態向量，u (t) 為 r  1 的輸入向量，y(t) 為 p  1 的輸出向量，而 A，B，C 和 D 為適當維度的係數矩陣。 1. 線性非時變系統的動態方程式： 2. 若在一有限時間 (tf  t0)  0 內存在一片段連續輸入 u(t)，驅使狀態x(t0) 至任何最 終狀態 x(tf) 時，稱狀態 x(t) 在 t = t0 為可控制的。若系統的每一個狀態 x(t0) 在一 有限時間區間是可控制的，則稱此系統為完全狀態可控制的或簡稱可控制的。 ■ 定理 若 狀態方程式所描述的系統為完全狀態可控制的，則下列 n  nr 矩陣的秩為 n 是其充分且必要的條件︰ 有時稱 [ A，B ] 為可控制的，這表示 S 的ＲＡＮＫ為 n。

105  若 S 不是方矩陣，我們可以建構一個 n  n 的矩陣 SS'。若 SS' 為非奇異的，則 S
■ 定理 對於以狀態方程式 r = 1 所描述的單輸入-單輸出 (SISO) 系統，若 A 和 B 是 CCF 或可用相似轉換轉成 CCF，則 [ A，B ] 是完全可控制的。 ■ 定理 對於以狀態方程式 所描述的系統，若 A 為 DCF 或 JCF，且對應於每一個喬頓方塊最後一列矩陣 B 的列，其所有的元素皆不為零，則 [ A，B ] 為完全可控制的。 Ex. 針對一個 JCF 的系統，例如 矩陣 A 和 B 要證明其為可控制的，僅須 對應於喬頓方塊最後一列矩陣 B 的列，其所有的元素皆不為零即可。 因此，A 和 B 可控制性的條件為 b31  0，b32  0，b41  0 和b42  0。 １８． 某一系統狀態方程式的係數矩陣為 試問此系統是否為可控制？

106 考慮圖 中的系統，試討論此系統的可控制性。 <Sol.> 1. 系統的狀態方程式的係數矩陣：
這個系統是不可控制的，因其兩個狀態方程式是相依的，亦即要獨立地控制各個狀態是不可能的。我們可以很容易地證明 S = [B AB] 在此是奇異的。 ＳＩＮＧＵＬＡＲ １９． 考慮圖 中的系統，試討論此系統的可控制性。 <Sol.> 1. 系統的狀態方程式的係數矩陣： ) 2. 控制性矩陣為 S是奇異的，因此系統為不可控制的。 ► ２０ 考慮一個三階的系統，其係數矩陣為 試討論此系統的可控制性。

107 的最後一列對應於特徵值 3 的喬頓方塊，其中的元素值為零。所以轉換後
<Sol.> 1. 控制性矩陣為 S是奇異的，因此系統為不可控制的。  另一種檢測方法： 2. A 的特徵值為 1 = 2，2 = 2 和 3 = 1。 3. 相似轉換：以 x(t) = T (t) 轉換可得到 A 和 B 的 JCF，其中 因為 的最後一列對應於特徵值 3 的喬頓方塊，其中的元素值為零。所以轉換後 為不可控制的。 狀態變數 由 式中的轉換矩陣 T 可知 x2 = ，其意為原系統的 x2 是不可控制的。  喬頓方塊內 1 前面的負號並不會影響該方塊的基本定義。

108 ※ 線性系統的觀測性 1. 就本質上言，若系統的每一狀態變數都會影響到某些輸出，則系統為完全可觀測的。
2. 若任一狀態不能由測量輸出來觀測，則稱此狀態為不可觀測的，而稱系統為非完全 可觀測的或簡稱不可觀測的。 3. 圖 5-17 所示的線性系統狀態圖，其中狀態 x2 並沒有以任何方法連接至輸出 y(t)。 一旦我們測量 y(t)，就可觀測 x1(t)，因為 x1(t) = y(t)。但狀態 x2 並不能由 y(t) 觀 測出任何資料。因此，系統為不可觀測的。 圖 　不可觀測系統的狀態圖 ★ 觀測性的定義 - 1. 線性非時變系統動態方程式：

109 2. 如果已知任一輸入 u(t) ，存在一個有限時間 tf  t0 ，使得我們依據在 t0  t < tf 的 u(t)
，及 A，B，C 和 D 矩陣，以及在 t0  t < tf 的輸出 y(t) 即足以決定 x(t0)，我們稱此 x(t0)狀態為可觀測的。 觀測性的條件和系統的係數矩陣 A 和 C 有關 ■ 定理 以 的動態方程式所描述的系統若為完全可觀測的，則下列 n  np 觀測矩陣的秩為 n 是其充要條件︰ 若系統僅有一個輸出，C 為 1  n 矩陣；則 V 為 n  n 方矩陣。若 V 為非奇異的，則系統為完全可觀測。 ★ 觀測性的其它測試法 ■ 定理 對於動態方程式 所描述的單輸入單輸出(SISO) 系統 (即 r = 1 與 p = 1)，若 A 和 C 是 OCF 或可用相似轉換變成 OCF，則 [ A，C ] 為完全可觀測的。

110 ■ 定理 對於動態方程式 所描述的系統，若 A 是 DCF 或 JCF。且對應於每一個喬頓方塊第一列之 C 的行，其所有元素皆不為零，則 [ A，C ] 為完全可觀測的。  若系統的特徵值皆互不相同，亦即 A 為對角矩陣，則可觀測性的條件為沒有任何 C 的一行其元素全為零。 ► 例題 5-21 考慮圖 中的系統，其早先被定義為不可觀測的。 表示系統的動態方程式，而有 試問此系統是否具有可觀測性？ 圖 不可觀測系統的狀態圖 <Sol.>

111 ※ 控制性，觀測性和轉移函數之間的關係 1. 觀測性矩陣： 它是奇異的。因此 [ A，C ] 為不可觀測的。
2. 因為 A 為 DCF 且 C的第二行為零，所以狀態 x2(t) 為不可觀測的。 ※ 控制性，觀測性和轉移函數之間的關係 ■ 定理 如果一個系統輸入-輸出之間的轉移函數有極點-零點對消，則這個系統不是不可控制就是不可觀測，甚至兩者皆是，完全視狀態變數如何定義而定。另一方面，如果這個轉移函數沒有極點-零點對消，則可以用完全可控制且可觀測的動態方程式來描述系統。  若以轉移函數建立一個系統的模型而沒有極點-零點對消，則無論是如何導出狀態變 數模型，我們皆可確定其為可控制且可觀測的。 Ex. 某一SISO 系統，其動態方程式的係數矩陣如下所示 ： 試問此系統是否具有可觀測性或可控制性？

112 <Sol.> 1. 因為 A 是對角矩陣，其四個狀態變數的控制性與觀測性的狀況可用目視法決定如下︰ x1：可控制且可觀測的 (C 且 O) x2：可控制但不可觀測的 (C 但 UO) x3：不可控制但可觀測的 (UC 但 O) x4：不可控制且不可觀測的 (UC 且 UO) 2. 代表系統 DCF 分解的系統方塊圖： 3. 此可控制且可觀測的系統，其轉移函數為 而對應於 (5-240) 式所描述的動態特性之轉移函數為 有三個極點-零點對消。 這個單純的例子在說明︰沒有極點-零點對消且是最小階數的轉移函數，是唯一對應一可控制且可觀測系統的成分。

113 圖 ：所描述系統的方塊圖，顯示了系統可控制、不可控制、可觀測及不可觀測的成分

114 ２２．試考慮轉移函數： 試問此轉移函數所代表的系統是否具有可觀測性或可控制性？ <Sol.> 分解成 CCF 和 OCF 如下： [A] CCF: 1. 因為可以找出 CCF 轉換，所以 CCF 的 [ A，B ] 是可控制的。 2. 觀測性矩陣： 奇異矩陣，所以 CCF 的 [ A，C ] 是不可觀測的。 [B] OCF: 1. 因為可以做出 OCF 轉換，所以 OCF 的 [ A，C ] 是可觀測的。 2. 控制性矩陣： 奇異矩陣，所以 OCF 的 [ A，B ] 為不可控制的。 (5-247)

115 巴菲特之七大投資策略 尋找3~5家好公司 長期趨勢看待. 不做信用擴張.(財務杠杆) 不理會股市短期漲跌. 不擔心經濟情勢變動.
所投資企業必須簡單易於瞭解且最具競爭優勢. 企業過去之經營狀況必須穩定,長期提供同樣產品且獲利穩定. 企業前景看好,尤其是特許行業.