＊線性代數＊ Chapter.4 特徵值與特徵向量.

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1 ＊線性代數＊ Chapter.4 特徵值與特徵向量

2 Chapter.4 特徵值與特徵向量 4.0 介紹：圖形的一個動態系統 4.1 介紹特徵值與特徵向量 4.2 行列式 探索
4.3 nxn矩陣的特徵與特徵向量 4.4 相似與對角化 4.5 計算特徵值的迭代法 4.6 Perron-Frobenius 定理的應用 運動團隊排名及網路搜尋 章節複習

3 4.1 介紹特徵值與特徵向量 線性代數，Ch.4，第279頁

4 例4.1 驗證 為 的一個特徵向量，並找出 對應的特徵值。 解： 我們計算得出 x即為A對應到特徵值4的特徵向量。
驗證 為 的一個特徵向量，並找出 對應的特徵值。 解： 我們計算得出 x即為A對應到特徵值4的特徵向量。 線性代數，Ch.4，第280頁

5 例4.2 驗證5 為 的一個特徵值，並確定對應到 此特徵值的特徵向量。 解： 我們須驗證存在一個非零向量x，滿足Ax=5x 。
驗證5 為 的一個特徵值，並確定對應到 此特徵值的特徵向量。 解： 我們須驗證存在一個非零向量x，滿足Ax=5x 。 但因方程等價於(A-5I )x=0，所以我們需要算出 矩陣A-5I 的零秩空間。 線性代數，Ch.4，第280頁

6 例4.2 既然此矩陣的行向量明顯為線性相依，可逆矩陣 基本定理顯示其零秩空間非零。意即，Ax=5x有
可以找到對應的特徵向量： 所以，若 為對應到特徵值5的一個特徵向 量，其便滿足 ，或 線性代數，Ch.4，第280頁

7 例4.2 所以這些特徵向量的形式如下 也就是說 ，其為 的非零倍數(或等價的說，是 的 非零倍數)。 線性代數，Ch.4，第280頁

8 4.1 介紹特徵值與特徵向量 線性代數，Ch.4，第281頁

9 例4.3 驗證λ=6 為 的一個特徵值，並找 出其特徵空間的一組基底。 解： 如同例4.2，我們計算A－6I 的零空間。列運算後 得到
驗證λ=6 為 的一個特徵值，並找 出其特徵空間的一組基底。 解： 如同例4.2，我們計算A－6I 的零空間。列運算後 得到 線性代數，Ch.4，第281頁

10 例4.3 A-6I的零空間不為零。因此6是矩陣A的一個特徵 值，而對應到此特徵值的特徵向量滿足x1+x2-
2x3=0，或x1=-x2+2x3。接著有 線性代數，Ch.4，第281頁

11 例4.4 用幾何方法找出 的特徵向量與特徵值 解： 我們確認A為x軸上一個反射F的矩陣(見例3.56) ,唯一被F變換完仍平行自己的，只有平行於y 軸的向量及平行於x軸的向量，也就是及的倍。 前者經變換完會改變方向，所以特徵值為-1；後 者經變換仍是自己，所以特徵值為1。 線性代數，Ch.4，第281頁

12 例4.4 (見圖4.5) 由以上知λ=1，-1 為A的特徵值，對 應到的特徵空間為 與 線性代數，Ch.4，第 頁

13 例4.5 找出例4.1中，矩陣 的所有特徵值及對 應的特徵向量。 解： 前述附註顯示我們要找方程式det (A-λI)=0 的所 有解。因為
找出例4.1中，矩陣 的所有特徵值及對 應的特徵向量。 解： 前述附註顯示我們要找方程式det (A-λI)=0 的所 有解。因為 我們需要解二次式λ2-6λ+8=0。很容易知道此 方程的解為λ=4 及λ=2，也就是A的特徵值。 線性代數，Ch.4，第283頁

14 例4.5 為找出對應到特徵值λ=4 的特徵向量，我們計算A-4I的零空間。我們發現 因此，得到 是對應到λ=4 的特徵向量若且
因此，得到 是對應到λ=4 的特徵向量若且 唯若x1-x2=0，或x1=x2。因此特徵空間 線性代數，Ch.4，第284頁 線性代數，Ch.4，第284頁

15 例4.5 因此， 是對應到λ=2 的特徵向量若且唯 若y1+y2=0，或y1=-y2。因此特徵空間 同樣的，對λ=2，我們得到
因此， 是對應到λ=2 的特徵向量若且唯 若y1+y2=0，或y1=-y2。因此特徵空間 線性代數，Ch.4，第284頁

16 例4.5 圖4.8 用幾何來表示A的特徵向量乘上A之後是如何被變換：在E4特徵空間中的特徵向量x被變換成4x，在E2特徵空間中的特徵向量y被變換成2y。如圖4.7(a)顯示，只有A的特徵向量是R2上的向量，而因乘上A，被轉換成自己的係數積。 線性代數，Ch.4，第284頁

17 例4.5 線性代數，Ch.4，第284頁

18 例4.6 將例4.5 中的矩陣解釋為Z3上的矩陣，並據此找 出其特徵值。 解： 解的過程同前，只是我們必須以modulo 3來計
算。因此，二次式λ2-6λ+8=0 便變成λ2+2 =0。此方程式與λ2=-2=1 相同，因此得到x= 1 及λ=-1=2 為Z3中的特徵值。(驗證若先將A 以module 3 簡化後得到 ，然後再運算之也 會得到同樣的結果。) 線性代數，Ch.4，第285頁

19 例4.7 找出 在(a)R及(b)複數C上的特徵值。 解： 我們必須解以下方程式 (a) 在R中，無解。所以A 無特徵值。
(b) 在C中，解為λ=i 與λ=-i (見附錄C)。

20 4.2 行列式 線性代數，Ch.4，第289頁

21 例4.8 計算 的行列式值。 解： 計算 稍微練習一下，就可以用心算處理2×2 矩陣的行列式，因此上式中的第二行是不需要的。
計算 的行列式值。 解： 計算 稍微練習一下，就可以用心算處理2×2 矩陣的行列式，因此上式中的第二行是不需要的。 線性代數，Ch.4，第289頁

22 例4.9 運用(2) 式的方法，計算例4.8 中矩陣的行列式 值。 解： 我們鄰接A 的前兩行 得到 同前述。
線性代數，Ch.4，第290頁

23 4.2 行列式 線性代數，Ch.4，第290頁

24 4.2 行列式 定理4.1 線性代數，Ch.4，第291頁

25 例4.10 分別運用(a)沿第三列的共因子展式及(c)沿第二 行的共因子展式計算矩陣 的行列式 值。 解 (a)計算
行的共因子展式計算矩陣 的行列式 值。 解 (a)計算 線性代數，Ch.4，第292頁

26 例4.11 計算 的行列式值。 解： 首先注意第三行只有一個非零元，所以我們對此 行展開。接下來要注意的是加減號的規則，知道
計算 的行列式值。 解： 首先注意第三行只有一個非零元，所以我們對此 行展開。接下來要注意的是加減號的規則，知道 要將減號給元a23=2。 線性代數，Ch.4，第292頁

27 例4.11 所以，我們得到 我們現在持續對第三列展開 線性代數，Ch.4，第293頁

28 例4.11 (注意左3×3 區塊中的加減號規則，看的不是原本 的矩陣，只要看現在處理的3×3 矩陣就好。) 線性代數，Ch.4，第293頁

29 例4.12 計算 的行列式值。 解： 我們沿著第一行展開得到 線性代數，Ch.4，第293頁

30 例4.12 (我們刪除所有對應到零元的共因子。) 再對第一 行展開 持續沿第一行展開，我們便完成計算： #
線性代數，Ch.4，第 頁

31 4.2行列式 定理4.2 線性代數，Ch.4，第294頁

32 4.2行列式 定理4.3 線性代數，Ch.4，第 頁

33 例4.13 若 計算detA。 線性代數，Ch.4，第 頁

34 例4.13 (a)運用性質(f)，然後是性質(a)，我們可得到 (b)我們將A化簡成如下列階式： 線性代數，Ch.4，第296頁

35 4.2 行列式 定理4.4 線性代數，Ch.4，第297頁

36 4.2 行列式 定理4.5 線性代數，Ch.4，第297頁

37 4.2 行列式 定理4.6 線性代數，Ch.4，第297頁

38 4.2 行列式 ＊證明＊ 令A為一個n×n的矩陣，並令R為A的一個化簡列 階式。我們先證明det A≠0 的充要條件是
detR≠0。令E1、E2、…、Er是對應到將A化簡 成R所做的列運算的基本矩陣。則 等式兩邊取行列式值，並重複引理4.5，我們得 到 線性代數，Ch.4，第297頁

39 4.2 行列式 依據定理4.4，所有的基本矩陣之行列式值皆不 為零。我們得到det A≠0 的充要條件是det
R≠0。現在假定A 為可逆。則根據可逆矩陣基本 定理，R=In，所以detR=1≠0，因此det A≠0。 同樣的，若det A≠0 則det R≠0，所以R沒有一 列全零，根據定理4.3(a)，就有R 必為In (為 何？)。因此，再次根據基本定理知A 為可逆。 線性代數，Ch.4，第297頁

40 4.2 行列式 定理4.7 線性代數，Ch.4，第298頁

41 4.2 行列式 定理4.8 線性代數，Ch.4，第298頁

42 4.2 行列式 ＊證明＊ 我們將考慮兩情形：A為可逆，以及A不可 逆。若A 為可逆，則根據可逆矩陣基本定理，A 可以寫成基本矩陣的乘積，設
則AB=E1E2…EkB，所以應用引理4.5 k次後得到 線性代數，Ch.4，第298頁

43 4.2 行列式 再繼續應用定理4.5，我們得到 另一方面，若A不可逆，則AB也不可逆。再由定理4.6知，detA=0 且det (AB)=0，也就有det(AB)=(det A) (det B)，因為兩邊皆為零 線性代數，Ch.4，第 頁

44 例4.14 對 與 應用定理4.8，我們發現 且det A=4，det B=3，det(AB)=12=4‧3=(detA)(det B) 即為所求。(驗證之。) 線性代數，Ch.4，第299頁

45 4.2行列式 定理4.9 線性代數，Ch.4，第299頁

46 例4.15 驗證例4.14 中的矩陣符合定理4.9 性質。 解： 計算 所以 線性代數，Ch.4，第299頁

47 4.2 行列式 定理4.10 線性代數，Ch.4，第300頁

48 4.2 行列式 定理4.11 線性代數，Ch.4，第300頁

49 4.2 行列式 ＊證明＊ 基本矩陣I=In的行為標準單位向量。若Ax=b， 則 所以，依據定理4.8， 線性代數，Ch.4，第300頁

50 4.2 行列式 現在對第i 列展開，就有： 所以(det A)xi＝det(Ai(b))，又因A為可逆，再同 除以不為零的det A。
線性代數，Ch.4，第 頁

51 例4.16 運用Cramer 規則解方程組 解： 計算 　 與 依據Cramer 規則， 且 線性代數，Ch.4，第301頁

52 4.2 行列式 此節最後的成果是一個用行列式來表示矩陣的反 矩陣的公式。在此節最初就有對3×3矩陣的反矩
陣給出式子，只是當時沒有加以證明，因此，現 在我們就要讓它變得圓滿。 若A 為一個可逆的n×n矩陣，令A的(唯一的) 反矩 陣為X，滿足AX=I。我們要一次把X的一行解出 來。令X的第j行為xj，也就是 線性代數，Ch.4，第301頁

53 4.2 行列式 所以，Axj=ej，且依據Cramer 規則， 然而 線性代數，Ch.4，第302頁

54 4.2 行列式 其為A 的第(j, i)個共因子。由此可得xij=(1/det A)Cji，所以A-1=X=(1/det A)[Cji]=(1/det A)[Cji]T。 矩陣 便稱作A 的伴隨(adjoint 或adjugate)。記為adjA。 線性代數，Ch.4，第302頁

55 4.2 行列式 定理4.12 線性代數，Ch.4，第302頁

56 例4.17 運用伴隨法來計算以下的逆矩陣。 解： 我們計算出det A=-2，且九個共因子為 線性代數，Ch.4，第299頁

57 例4.17 鄰接為共因子構成之矩陣的轉置，也就是 則 即為我們在例3.30 之所求。

58 4.2 行列式 引理4.13 線性代數，Ch.4，第303頁

59 ＊線性代數＊ 探索

60 探索 回憶第一章的「探索：外積」中， 與 的外積為向量u×v，定義如下
回憶第一章的「探索：外積」中， 與 的外積為向量u×v，定義如下 若我們將此外積寫成(u2v3-u3v2)e1-(u1v3-u3v1)e2 +(u1v2-u2v1)e3，其中e1,e2及e3為標準基底向量，則我們可發現此公式事實上為將 線性代數，Ch.4，第311頁

61 探索 1. 運用外積的行列式方法來計算第一章習題做過的 u×v。 線性代數，Ch.4，第311頁

62 探索 2.若 ， 且 驗證 3. 運用行列式的特質(若有需要的話，還可運用上 述問題(2)，證明以下的外積性質。
2.若 ， 且 驗證 3. 運用行列式的特質(若有需要的話，還可運用上 述問題(2)，證明以下的外積性質。 (a) v×u=-(u×v) (b)u×0=0 (c) u×u= (d) u×kv=k(u×v) (e) u×(v+w=u×v+u×w 線性代數，Ch.4，第311頁

63 探索 (f)u‧(u×v)=0 及v‧(u×v)=0 (g)u‧(v×w)=(u×v)‧w (三重數量積恆等式)
形面積為 (提示：將u與v寫成 與 。) 線性代數，Ch.4，第312頁

64 探索 5.依據圖4.9的提示，以幾何方式導出問題4的面積 公式。(提示：自大矩形減去平行四邊形周邊的 面積。) 此例中何處應加上絕對值記號？
6.找出由u與v所決定的平行四邊形面積 線性代數，Ch.4，第312頁

65 探索 11.運用以上描述的方法找出通過以下各點的直線 方程式。 (a) (2, 3) 與(－1, 0) (b) (1, 2) 與(4, 3)
12. 證明(x1,y1), (x2,y2) 及(x3,y3)三點共線(都在同 一條線上) 的充要條件是 線性代數，Ch.4，第314頁

66 探索 13.證明通過三不共線點(x1,y1,z1) , (x2,y2,z2) 及(x3, y3,z3) 的平面方程式為若三點共線時，情形又會
如何？(提示：用列運算計算行列式值，從而解 釋發生的結果。) 14. 證明四點(x1, y1, z1) , (x2, y2, z2) , (x3, y3, z3) 及(x4, y4, z4) 共面(都在同一平面上) 的充要條件是 曲線 線性代數，Ch.4，第314頁

67 探索 15.由圖4.12 我們可以找到一個拋物線通過點A(-1, 10), B(0,5) 及C(3,2)。拋物線方程式的一般式
為y=a+bx+cx2。將給定的三個點代入方程式， 就建立了三個線性方程式、未知數為a、b、c 的方程組。不要真的去解方程組，而用定理4.6 來說明此方程有唯一解。 線性代數，Ch.4，第315頁

68 探索 16.運用問題15的方法，找出通過以下各點集合的多項式(多項式次數最多為2次)。
(a)A(1,-1),B(2,4),C(3,3) (b)A(-1,-3),B(1,-1),C(3,1) 17. 將問題15與問題16 一般化，設a1、a2、a3為相異實數，對任意實數b1、b2、b3，證明有唯一的二次方程式y=a+bx+cx2通過三點(a1,b1)、(a2,b2) 及(a3,b3),可以先證明此線性方程組的係數矩陣的行列式 必需不為零。(為什麼？) 線性代數，Ch.4，第315頁

69 探索 18.令a1, a2, a3及a4為相異實數。驗證 對任意實數b1, b2, b3及b4運用此結果證明存在唯
一三次方程式y=a+bx+cx2+dx3通過四點(a1,b1) , (a2,b2),(a3,b3)及(a4,b4)(不需真正解出a,b,c與d。) 線性代數，Ch.4，第315頁

70 探索 19.令 為n個實數，證明 線性代數，Ch.4，第315頁

71 4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 當我們展開det (A-λI )，我們得到一個λ的多項
式，稱作A的特徵多項式(characteristicpolyno- mial)。方程式det (A-λI )=0 則稱作A的特徵方程 式(characteristic equation)。例如，若 ，其特徵多項式即為 線性代數，Ch.4，第317頁

72 4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 若A為n×n，其特徵多項式將為n次多項式。根據 代數基本定理，一個n次實係數或是複數係數的
徵值。 線性代數，Ch.4，第317頁

73 4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 線性代數，Ch.4，第317頁

74 例4.18 找出 的特徵值與相應的特徵向量。 解： 根據上述的過程摘要，特徵多項式為 線性代數，Ch.4，第318頁

75 例4.18 為找出特徵值，我們需要解出特徵方程式det (A-λI)=0 中之λ。特徵多項式可被因式分解為-(λ-1)2(λ-2)。(因式定理在此處將有用處) 所以，特徵方程式為-(λ-1)2(λ-2)=0, 很清楚其解為λ=1 與λ=2。因為λ=1為重根，因此我們令λ1=λ2=1, λ3=2。 為了找出對應到特徵值λ1=λ2=1的特徵向量， 我們得找 的零映空間。 線性代數，Ch.4，第318頁

76 例4.18 列運算得到 (進一步我們知道，我們必然會得到。) 所以， 特徵空間E1的充要條件為x1-x3=0與x2- x3=0。
線性代數，Ch.4，第318頁

77 例4.18 為找到對應到λ3=2 的特徵向量，我們經由列運 算找出A-2I的零映空間： 所以 在特徵空間E2的充要條件為 與
線性代數，Ch.4，第319頁

78 例4.18 令自變數x3=t 得 其中我們已為了消掉分母而同乘上分母的最小公 倍數。 線性代數，Ch.4，第319頁

79 例4.19 找出 的特徵值與相應的特徵向量。 解： 特徵多項式為 線性代數，Ch.4，第 頁

80 例4.19 因此，特徵值為λ1=λ2=0 且λ3=-2。就是特 徵值0的代數重根數為2，而特徵值-2的代數重 根數為1。
當λ1=λ2=0，計算 可得到E0中滿足x1=x3的一個特徵向量。 線性代數，Ch.4，第320頁

81 例4.19 所以，x2與x3都是自變數，令x2=s 且x3=t，就有 當λ3=-2,
所以x3=t 為自變數且x1=-x3=-t, x2=3x3=3t。

82 例4.19 結果 可得λ1=λ2=0 為的幾何重根數為2，而λ3=-2 的幾何重根數為1。(在此例中，每一個特徵值的
代數重根數等於幾何重根數。)

83 4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 定理4.15 線性代數，Ch.4，第321頁

84 例4.20 依據定理4.15, 的特徵值為λ1=2,λ2=1,λ3=3,λ4=-2。(事實上，特徵多項式為(2-λ)(1-λ)(3-λ)(-2-λ)。)

85 4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 定理4.16 線性代數，Ch.4，第321頁

86 4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 定理4.17 線性代數，Ch.4，第321頁

87 4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 定理4.17(續) 線性代數，Ch.4，第322頁

88 4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 定理4.18 線性代數，Ch.4，第322頁

89 4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 解：假定Ax=λx。
（a）我們要對n做歸納法。當n=1，就是一開始所給的條件。假定對某正整數n=k 成立，即Akx=λkx。現在我們必須證明對n=k+1也成立。但依據歸納法假設， 運用定理3.3 之性質(d) , 我們得到 線性代數，Ch.4，第322頁

90 4.3nxn矩陣的特徵值與特徵向量 所以Ak+1x=λk+1x 即為所求，根據歸納法得證，對 任意整數n ≥ 1 皆成立。
(b) 證明留待在習題13。 (c) 證明留待在習題14。 線性代數，Ch.4，第322頁

91 例4.21 計算 。 解： 令 且 則我們要得出A10x。A 的特 徵值為λ1=-1 與λ2=2，而對應的特徵向量分別 為 與 。
計算 。 解： 令 且 則我們要得出A10x。A 的特 徵值為λ1=-1 與λ2=2，而對應的特徵向量分別 為 與 。 也就是 且 線性代數，Ch.4，第322頁

92 例4.21 (驗算此。) 由於{v1,v2} 構成了 的一組基底(為什麼？)，我們可將x寫成v1與v2的一個線性組合。
所以，運用定理4.18 (a) , 我們得到 此首先的確比計算A10簡單得多；事實上，其根 本不必進行矩陣的乘法運算！ 線性代數，Ch.4，第323頁

93 4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 定理4.19 線性代數，Ch.4，第323頁

94 4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 定理4.20 線性代數，Ch.4，第323頁

95 4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 ＊證明＊ 我們將間接接證明。假定 為線性相依， 然後驗證假定與結果矛盾。
我們將間接接證明。假定 為線性相依， 然後驗證假定與結果矛盾。 假設 線性相依，則其中有一個向量可以 寫成它之前的向量的線性組合。令vk＋1是滿足此 性質的第一個向量。換句話說， 為線性 獨立，但存在實數使得 (1) 線性代數，Ch.4，第 頁

96 4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 在(1)式兩邊乘上A，從左至右並運用對每一個i， Avi=λivi的事實，可得到 (2)
現在，在(1) 式兩邊乘上λk＋1可得到 (3) 線性代數，Ch.4，第324頁

97 4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 將(2)式減(3)式，可得到 由之線性獨立可推得
由於特徵值λi 皆相異，括號中的項(λi－λk＋1), i＝1, , k 皆不為零。因此，c1＝c2＝…＝ck＝ 0。由此可得 線性代數，Ch.4，第324頁

98 4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 這是有可能的，因為特徵向量vk＋1 不可為零，所 以，產生了一個矛盾。也就是說， 為線
以，產生了一個矛盾。也就是說， 為線 性相依的假設有誤，因此 必為線性獨立。 線性代數，Ch.4，第323頁

99 4.4 相似與對角化 [相似矩陣] 線性代數，Ch.4，第328頁

100 例4.22 令 且 ，則A∼B，因為 所以AP＝PB，其中 。 線性代數，Ch.4，第328頁

101 4.4 相似與對角化 定理4.21 線性代數，Ch.4，第328頁

102 4.4 相似與對角化 ＊證明＊ (a) 由I－1AI=A 可得證。 (b)若A∼B，則對某可逆矩陣P, P－1AB＝B，令Q
4.4 相似與對角化 ＊證明＊ (a) 由I－1AI=A 可得證。 (b)若A∼B，則對某可逆矩陣P, P－1AB＝B，令Q ＝P－1 我們得到Q－1BQ＝(P－1)－1BP－1＝PBP－1＝A。 (c) 此證明留待在習題30。 線性代數，Ch.4，第328頁

103 4.4相似與對角化 定理4.22 線性代數，Ch.4，第329頁

104 4.4 相似與對角化 ＊證明＊ 我們證明(a) 與(d)，並將其餘的性質留待在習題 中。設A~B，則對某個可逆矩陣P 有P－1AP＝B。
4.4 相似與對角化 ＊證明＊ 我們證明(a) 與(d)，並將其餘的性質留待在習題 中。設A~B，則對某個可逆矩陣P 有P－1AP＝B。 (a)取兩邊的行列式值，我們得到 線性代數，Ch.4，第329頁

105 4.4 相似與對角化 (d)B的特徵多項式為 最後一步與(a)作法一致，所以，det(B-λI)=
4.4 相似與對角化 (d)B的特徵多項式為 最後一步與(a)作法一致，所以，det(B-λI)= det(A-λI)。也就是說， B 與A 的特徵多項式相 同。 線性代數，Ch.4，第329頁

106 例4.23 (a) 與 不相似，因為det A=-3而detB=3。 (b) 與 不相似，因為A的特徵
λ2－4。(檢查!) 注意到，A和B還是有相通的 秩。 線性代數，Ch.4，第330頁

107 4.4 相似與對角化 [對角化] 線性代數，Ch.4，第330頁

108 例4.24 為可對角化的，因為當 且 ，則P－1AP＝D 可容易被驗算。事實 上，驗算AP=PD 快多了，因為不用再計算P－1。

109 4.4 相似與對角化 定理4.23 線性代數，Ch.4，第329頁

110 4.4 相似與對角化 ＊證明＊ 首先假定A 與一個對角矩陣D 相似(經由P -1AP＝D)，或等價地說，AP＝PD。令P 的行向量為 ，且令D 的對角位元為 。則 (1) 線性代數，Ch.4，第330頁

111 4.4 相似與對角化 或 (2) 其中等式右邊為乘積PD的行列表示式。對每行取 等式，就有 其可證明P的行向量為A對應到D對角位元(特徵值)
4.4 相似與對角化 或 (2) 其中等式右邊為乘積PD的行列表示式。對每行取 等式，就有 其可證明P的行向量為A對應到D對角位元(特徵值) 的特徵向量。因為P可逆，根據可逆矩陣基本定 理，可知P的各行為線性獨立。 線性代數，Ch.4，第331頁

112 4.4 相似與對角化 另一方面，若A有n個線性獨立的特徵向量p1、 p2 、…、pn，其對應到的特徵值分別為λ1、λ2… 、
4.4 相似與對角化 另一方面，若A有n個線性獨立的特徵向量p1、 p2 、…、pn，其對應到的特徵值分別為λ1、λ2… 、 λn，則此可推得如上方程式(2)與(1)式等價。因 此，令n×n矩陣P個各行為p1、p2、…、pn，則式(1) 變成AP＝PD。又因P的各行為線性獨立，故P為可 逆，就有P－1AP＝D，也就是A 可對角化。 線性代數，Ch.4，第331頁

113 例4.25 若可能的話，找出能將A對角化的矩陣P。其中 解： 我們在例4.18中探究過此矩陣。當時我們發現，
其有特徵值λ1=λ2=1且λ3=2，其特徵空間則 有以下基底： 當λ1=λ2=1，E1有基底 。 線性代數，Ch.4，第331頁

114 例4.25 由於所有其它的特徵向量即為此二基底向量的倍 數，所以不可能出現三個線性獨立的特徵向量。 因此，依據定理4.23，A無法被對角化。
當λ3=2，E2有基底 。 由於所有其它的特徵向量即為此二基底向量的倍 數，所以不可能出現三個線性獨立的特徵向量。 因此，依據定理4.23，A無法被對角化。 線性代數，Ch.4，第331頁

115 例4.26 若可能的話，找出能將A角化的矩陣P。其中 解： 此為例4.19的矩陣。所以，我們發現A的特徵值
為λ1=λ2=0,λ3=-2，而特徵空間的基底則如下 當λ1=λ2=0，E0的基底為 且 線性代數，Ch.4，第332頁

116 例4.26 當λ3=-2，E-2的基底為 。 可直接驗證這三個向量為線性獨立。所以，若我 們取 則P 為可逆。
線性代數，Ch.4，第332頁

117 例4.26 此外，可容易驗證 (若用筆算的話，驗證等價的式子AP=PD會更 容易。) 線性代數，Ch.4，第332頁

118 4.4 相似與對角化 定理4.24 線性代數，Ch.4，第333頁

119 4.4 相似與對角化 ＊證明＊ 令 其中 ，我們得到 為線性獨立。假定這些向量的某個有意義的線性組 合為零向量，即 (3)
4.4 相似與對角化 ＊證明＊ 令 其中 ，我們得到 為線性獨立。假定這些向量的某個有意義的線性組 合為零向量，即 (3) 將括號中的和記作 我們可將方程式(3)寫 成 (4) 線性代數，Ch.4，第333頁

120 4.4 相似與對角化 現在每一個xi 落在 中(為什麼？)。所以xi若不是 零向量就是對應到λi的特徵向量。但因為特徵值
4.4 相似與對角化 現在每一個xi 落在 中(為什麼？)。所以xi若不是 零向量就是對應到λi的特徵向量。但因為特徵值 皆相異，所以如果每一個xi都是特徵向量，那根據 定理4.20，這些向量就必線性獨立。而等式(4)是一 個線性相依的關係式，產生矛盾。就得到等式(3) 只有無聊解，也就是所有的係數階為零。所以B是 線性獨立。 線性代數，Ch.4，第333頁

121 4.4 相似與對角化 定理4.25 線性代數，Ch.4，第333頁

122 例4.27 矩陣 依據定理4.15，其有特徵值λ1=2,λ2=5,λ3=-1。既然此為3×3矩陣的三個相異特徵值，依據定理4.25，A可被對角化。(若我們確實要求一個矩陣P，使得 P－1AP為對角矩陣，我們將同上述例4.19與例4.26的算法來計算特徵空間中的基底。) 線性代數，Ch.4，第334頁

123 4.4 相似與對角化 引理4.26 線性代數，Ch.4，第334頁

124 4.4 相似與對角化 ＊證明＊ 假定λ1為A的一個特徵值，且其幾何重根數為p， 即dim 。現特別令 的基底為
4.4 相似與對角化 ＊證明＊ 假定λ1為A的一個特徵值，且其幾何重根數為p， 即dim 。現特別令 的基底為 ，令Q 為以 為作為其首p個行向量的任 意可逆n×n矩陣，即 或，如同一個分割矩陣 線性代數，Ch.4，第334頁

125 4.4 相似與對角化 令 其中C為p×n。 由於U的行向量為對應到λ1的特徵向量，AU= λ1U，我們也得到 線性代數，Ch.4，第334頁

126 4.4 相似與對角化 其中我們得到CU=IP, CV=O, DU=O 與DV=In－p 。 所以依據第4.2節的習題69，得到 (5)
4.4 相似與對角化 其中我們得到CU=IP, CV=O, DU=O 與DV=In－p 。 所以依據第4.2節的習題69，得到 (5) 但det(Q－1AQ－λI) 為Q－1AQ 的特徵多項式，依據定理4.22 (d)，其與A的特徵多項式相同。所以，由方程式(5)可推得λ1的代數重根數至少為p，也就是其幾何重根數。 線性代數，Ch.4，第334頁

127 4.4 相似與對角化 定理4.27 線性代數，Ch.4，第335頁

128 4.4 相似與對角化 ＊證明＊ (a) (b) 若A可被對角化，則依據定理4.23，其 有n個線性獨立的特徵向量。(b) (c) 令λi的幾
4.4 相似與對角化 ＊證明＊ (a) (b) 若A可被對角化，則依據定理4.23，其 有n個線性獨立的特徵向量。(b) (c) 令λi的幾 何重根數為di＝dim 並令λi的代數重根數為mi。由引理4.26，di ≤ mi，其中 ，現在 假定(b)成立，則我們也可得到 線性代數，Ch.4，第335頁

129 4.4 相似與對角化 但m1＋m2＋…＋mk＝n，因為A 之特徵值的代數 重根數之和即為A之特徵多項式的階數：n由此得
4.4 相似與對角化 但m1＋m2＋…＋mk＝n，因為A 之特徵值的代數 重根數之和即為A之特徵多項式的階數：n由此得 到d1＋d2＋…＋dk＝m1＋m2＋…＋mk， 再得到 (6) 再一次運用引理4.26，我們得知mi－di ≥ 0，其 中 ，由此可推得方程式(6) 中的每一個和為 零。也就是說，mi＝di，其中 。 線性代數，Ch.4，第335頁

130 例4.28 (a)例4.18 中的矩陣 有兩個相異特徵 值λ1=λ2=1與λ3=2。由於特徵值λ1=λ2=1
有代數重根數2，但其幾何重根數卻為1。因 此，依據對角化定理(參見例4.25)，A無法被對 角化。 (b)例4.19 中的矩陣 有兩個相異特徵 值λ1=λ2=0與λ3=-2。 線性代數，Ch.4，第335頁

131 例4.28 其中特徵值0 的代數重根數與幾何重根數皆為2， 而特徵值-2的代數重根數與幾何重根數皆為1。因
此，依據對角化定理(此與例4.26 結果相符)，A可 被對角化。 線性代數，Ch.4，第336頁

132 例4.29 若 ，計算A10。 解： 在例4.21中，我們發現此矩陣有兩個特徵值 λ1=-1與λ2=2，分別對應到特徵向量 與
λ1=-1與λ2=2，分別對應到特徵向量 與 。由此得到(從本節任一個定理)A可被對 角化，且P－1AP=D，其中 及 線性代數，Ch.4，第336頁

133 例4.29 解A，我們得到A＝PDP－1，由此可容易求得A 之 冪次，計算如下 且一般冪次An＝PDnP－1，其中n ≥ 1。(讀者可用
歸納法驗證此，由此觀察到其對任何可對角化之矩 陣都成立，非僅本例。) 由於 線性代數，Ch.4，第336頁

134 例4.29 我們得到 由於本題只要求A10，此結果已遠超過我們所需。 但現在我們可將10代入n而得到 線性代數，Ch.4，第336頁

135 4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.28 線性代數，Ch.4，第339頁

136 4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ 我們可假定A 的特徵值被標記，使得 令 為對應的特徵向量。由於
4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ 我們可假定A 的特徵值被標記，使得 令 為對應的特徵向量。由於 為線性獨立(為什麼？)，它們構成了 中的一個基 底。結果，我們可將x0寫成這些特徵向量的一個 線性組合，也就是 線性代數，Ch.4，第339頁

137 4.5 計算特徵值的迭代法 現在 且一般式為 其中 如我們在例4.21中所見者， (1) 其中我們運用了λ1≠0 的事實。
4.5 計算特徵值的迭代法 現在 且一般式為 其中 如我們在例4.21中所見者， (1) 其中我們運用了λ1≠0 的事實。 線性代數，Ch.4，第340頁

138 4.5 計算特徵值的迭代法 λ1為顯性特徵值以及每一個分數 的絕對值皆小於1。所以 當k→ 時便趨近於零。由此得到 當 (2)
4.5 計算特徵值的迭代法 λ1為顯性特徵值以及每一個分數 的絕對值皆小於1。所以 當k→ 時便趨近於零。由此得到 當 (2) 線性代數，Ch.4，第340頁

139 例4.30 運用定理4.28之方法，估計矩陣 的顯性 特徵量。 解： 我們將取 作為初始向量。則 線性代數，Ch.4，第340頁

140 例4.30 我們持續用此方法來得到xk之值，如表4.1. 線性代數，Ch.4，第340頁

141 例4.30 線性代數，Ch.4，第341頁

142 例4.30 圖4.13 是在幾何上顯示整個過程。我們知道顯性特徵值的特徵空間的維度必為1 (何故？見習題46)。因此其必為一條過原點的直線。不斷迭代產生的xk 似乎會收斂到以 為方向向量的直線。 為了確定這就是顯性特徵向量我們只需要觀察向量xk 兩分量的比值rk是否隨著k 的遞加而趨近於1。表4.1 的第二列顯示出這些數值，也可以看到它們真的是趨近於1。我們得到顯性特徵向量真的是 。 線性代數，Ch.4，第341頁

143 例4.30 現在已經找到顯性特徵向量，如何找到對應的顯性 特徵值呢？一個步驟是觀察到，如果xk 是趨近於顯
性特徵值λ1 對應的特徵顯性特徵向量，則 由此得到xk＋1 與xk 的第一個分量的比值lk 在k 增加 時，會趨近λ1 。表4.1 顯示出lk 趨近於2，也是矩 陣的顯性特徵值。 線性代數，Ch.4，第341頁

144 4.5 計算特徵值的迭代法 此方法稱作冪法(power method)，摘要如下。 線性代數，Ch.4，第342頁

145 例4.31 運用冪法，估計矩陣的顯性特徵值及一個顯性 特徵向量。 解： 取 線性代數，Ch.4，第343頁

146 例4.31 作為我們的初始向量。我們計算出內元如表4.3。 讀者可看到向量yk 趨近 ，而係數mk 則趨近16。
此意味它們分別為A 的一個顯性特徵向量及顯性特徵 值。 線性代數，Ch.4，第343頁

147 4.5 計算特徵值的迭代法 飄移冪法(shifted power method) 利用到以下觀察：
4.5 計算特徵值的迭代法 [飄移冪法與逆冪法] 飄移冪法(shifted power method) 利用到以下觀察： 如果λ是A的特徵值，則對任意係數α，λ－α是A－αI的特徵值(見4.3 習題22)。也就是，如果λ1是A 的顯性特徵值，則A－λ1I 的特徵值為0，λ2－λ1,λ3－λ1,…,λn－λ1。接著我們可以用冪法來求出λ2－λ1。重複以上步驟，我們就可以求出所有的特徵值。 線性代數，Ch.4，第344頁

148 例4.32 運用飄移冪法來計算例4.30中矩陣 的第二 個特徵值。 解： 在例4.30中，我們發現λ1＝2。為找出λ2，我們 將冪法應用在
運用飄移冪法來計算例4.30中矩陣 的第二 個特徵值。 解： 在例4.30中，我們發現λ1＝2。為找出λ2，我們 將冪法應用在 線性代數，Ch.4，第344頁

149 例4.32 取 但其它的選擇仍是可作用的。計算概 要在表4.4 中。 線性代數，Ch.4，第344頁

150 例4.32 我們對x0的選擇在兩次迭代後，可產生特徵值－ 3。所以，λ2－λ1=-3, λ2=λ1－3=2－3=-1為A的 第二個特徵值。
線性代數，Ch.4，第345頁

151 例4.33 運用逆冪法來計算例4.30 中矩陣 的第 二個特徵值。 解： 同例4.30，取 。為解Ax1=y0，我們 運用列運算：
運用逆冪法來計算例4.30 中矩陣 的第 二個特徵值。 解： 同例4.30，取 。為解Ax1=y0，我們 運用列運算： 線性代數，Ch.4，第345頁

152 例4.33 因此， 所以 。因此則由Ax2＝y1， 我們得到x2： 所以， ，經由scaling，我們得到
。持續此動作，我們可得到表4.5中的值，其中mk 收斂至-1。所以，A的最小特徵值為-1的倒數(也是 -1)。此與例4.32 的結果相符。 線性代數，Ch.4，第345頁

153 例4.33 線性代數，Ch.4，第345頁

154 4.5 計算特徵值的迭代法 [飄移冪法] 如果給定一個係數α，那飄移逆冪法(shifted
4.5 計算特徵值的迭代法 [飄移冪法] 如果給定一個係數α，那飄移逆冪法(shifted Inverse power method) 就可以找到一個特徵值近 似於α。 如果λ是A的特徵值，若α不是A的一個特徵值，則A－αI 可逆，且1/(λ－α) 是(A－λI)－1的一個特徵值(見習題45)。若α很接近λ，則1/(λ－α) 將是(A－λI) －1的顯性特徵值。事實上，如果α 很接近λ，則1/(λ－α) 會比其它特徵值大得多，因此收斂速度將很快。 線性代數，Ch.4，第346頁

155 例4.34 運用飄移逆冪法來估計 最接近5的特徵值。 解： 經由飄移，我們得到 線性代數，Ch.4，第346頁

156 例4.34 現在我們應用逆冪法，並令 解x1 中之(A－5I) x1＝y0： 線性代數，Ch.4，第346頁

157 例4.34 得到 與 我們持續此方式得到表4.6中的值。由此我們可推 論出A最靠近5 的特徵值約為5＋1/m7 ≈ 5＋1/(－1)
＝4，恰為所求。 線性代數，Ch.4，第346頁

158 例4.34 線性代數，Ch.4，第347頁

159 4.5 計算特徵值的迭代法 線性代數，Ch.4，第347頁

160 例4.35 畫出以下矩陣的Gerschgorin 圓盤與特徵值。 (a) (b) 解：
(a) 兩個Gerschgorin 圓盤之圓心分別在2 與－3，半徑分別為1與2。A 的特徵多項式為λ2＋λ－8，所以特徵值為 線性代數，Ch.4，第348頁

161 例4.35 圖4.14 顯示特徵值被包含在兩個Gerschgorin 圓盤 中。
(b) 兩個Gerschgorin 圓盤之圓心分別在1 與3, 半徑 分別為 ＝3與2。A 的特徵多項式為λ2－4λ ＋9，所以特徵值為 線性代數，Ch.4，第348頁

162 例4.35 圖4.15畫出與Gerschgorin 圓盤相關之特徵值位置 線性代數，Ch.4，第348頁

163 4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.29 線性代數，Ch.4，第349頁

164 4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ 令λ為A的一個對應到特徵向量x的特徵值。令xi 為x的位元中絕對值最大者，且因此不為零。(為什麼？) 則Ax＝λx，第i 列為 或 經由重排，我們得到 線性代數，Ch.4，第349頁

165 4.5 計算特徵值的迭代法 因為xi≠0，取絕對值並運用絕對值的性質，我們得到 因為對j≠i,
4.5 計算特徵值的迭代法 因為xi≠0，取絕對值並運用絕對值的性質，我們得到 因為對j≠i, 由此得到特徵值λ 被包含在圓心aii，半徑ri 的 Gerschgorin 圓盤中。 線性代數，Ch.4，第349頁

166 例4.36 考慮矩陣 。Gerschgorin定理告訴
我們，A的特徵值分別被包含在圓心2,6與8，且半徑1,1與2的Gerschgorin圓盤中。見圖4.16 (a)。因為第一個圓盤跟別的圓盤互斥，根據定理4.29的第二個附註，因此它恰包含一個特徵值。又因A為實係數矩陣，因此A若有複數特徵值必為共軛(見附錄D)，因此有一個實根落在1跟3之間，而有兩根(可能是複數) 的實部界於5到10之間。 線性代數，Ch.4，第350頁

167 例4.36 另一方面，4.29的第一個附註告訴我們同樣的 三個A的特徵值落在三個圓心分別為2、6、8，
半徑分別為2.5、1、0.5的圓盤，見圖4.16(b)。 圓盤都兩兩互斥，因此每一個圓盤都恰包含一 個特徵值(因此為實根)。將這兩個結果合起來 看，可以推得A有三個實特徵根，分別落在以下 的每一個區間[1,3]、[5,7] 和[7.5, 8.5] (實際求出 A的特徵值來驗證)。 線性代數，Ch.4，第350頁

168 4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.29 線性代數，Ch.4，第353頁

169 4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ 回憶每一個推移矩陣皆為隨機，因此，其每一個行向量之和皆為1。所以，若j 為由n 個1 組成的一個列向量，則jP＝j (見第3.7 節的習題13)。取其轉置，我們得到 可推得jT 為PT 對應到特徵值1的一個特徵向量。由第4.3節的習題19，P與PT有相同的特徵值，所以1也為P的一個特徵值。 線性代數，Ch.4，第353頁

170 4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.30 線性代數，Ch.4，第354頁

171 4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ 如同在定理4.30中，證明此定理的技巧便是運用PT 有相同特徵值P 的事實。
4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ 如同在定理4.30中，證明此定理的技巧便是運用PT 有相同特徵值P 的事實。 (a)令x 為PT 對應到λ的一個特徵向量，並令xk為x的分量，且其最大絕對值為m。則 ，其中i＝1,2, …, n。比較方程式PTx＝λx 的第k 個分量，我們得到 線性代數，Ch.4，第354頁

172 4.5 計算特徵值的迭代法 (記得PT 的列向量為P 的行向量。) 取絕對值，我們得到 (1)
4.5 計算特徵值的迭代法 (記得PT 的列向量為P 的行向量。) 取絕對值，我們得到 (1) 第一個不等式來自 中的三角不等式，而最後一個不等式則來自PT各列之和為1的事實。所以 。在除以m之後，我們得到 ，即為所求。 線性代數，Ch.4，第354頁

173 4.5 計算特徵值的迭代法 (b) 我們將證明等價命題：若則 =1則λ＝1。我們先證明此P(PT 亦同) 是一個正定矩陣時為。若 =1，(1) 式中的不等式中等號都會成立。特別就有 等價地說， (2) 線性代數，Ch.4，第354頁

174 4.5 計算特徵值的迭代法 現在，因為P 為正，pik＞0，其中i＝1, 2,…, n。同
4.5 計算特徵值的迭代法 現在，因為P 為正，pik＞0，其中i＝1, 2,…, n。同 時， ，其中i＝1, 2,…, n。所以(2) 式中的每 一項為0，且只 ＝m 成立，i＝1,2,3,…,n。更進 一步，為使三角不等式的等號成立的充要條件是各 項同時為正或同時為負，也就是pikxi 皆同號。這 表示 或 線性代數，Ch.4，第354頁

175 4.5 計算特徵值的迭代法 其中j為n個1構成的一個列向量，如定理4.30。因 此，在該情形下，PT 對應到λ的特徵空間為
4.5 計算特徵值的迭代法 其中j為n個1構成的一個列向量，如定理4.30。因 此，在該情形下，PT 對應到λ的特徵空間為 Eλ＝span(jT)。 但是，利用定理4.30的證明，我們可以看到jT＝ PTjT＝λjT，再比較各分量，可以發現λ＝1。 若P為正規則P的某個冪次為正定，設為Pk，則 Pk＋1 也必為正定。(為何？) 根據定理4.18，λk 及λk＋1，分別為Pk 及Pk＋1 的特徵值，我們剛 才證過λk＝λk＋1＝1，因此λ＝1。 線性代數，Ch.4，第355頁

176 例4.37 推移矩陣 有特徵方程式 所以其特徵值為λ1＝1 與λ2＝0.5。(注意，拜定理4.30 與4.31 之賜，我們進一步知道1 為其中一個特徵值，而其餘的特徵值之絕對值皆小於1。然而，我們仍需要計算出λ2。) 特徵空間為 與 線性代數，Ch.4，第355頁

177 例4.37 所以，取 ，我們知道， 從第4.4節例4.29中運用的方法，我們得到 現在， 當 ，所以 且 線性代數，Ch.4，第355頁

178 例4.37 (觀察此「有限矩陣」的行向量為相同，且皆為P 的穩定態。) 現在令 為任意的初始機率向 量(即a＋b＝1)。則
的穩定態。) 現在令 為任意的初始機率向 量(即a＋b＝1)。則 此不僅可解釋我們在例3.64中所見，也可告訴我 們，不管如何選擇x0，狀態向量 將收斂至 穩定態向量xk！ 線性代數，Ch.4，第356頁

179 4.5 計算特徵值的迭代法 引理4.32 線性代數，Ch.4，第356頁

180 4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ P與PT的特徵值相同。由定理4.31(b)證明了PT的顯
4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ P與PT的特徵值相同。由定理4.31(b)證明了PT的顯 性特徵值λ1＝1 的幾何重數為1。因為P 可對角 化，PT 亦可。再由對角化定理知特徵值λ1＝1的 代數重數為1。 線性代數，Ch.4，第356頁

181 4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.33 線性代數，Ch.4，第356頁

182 4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ 為簡化證明，我們將只考慮P 為對角化的例子。然 而若無此假定，此定理仍會成立。
4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ 為簡化證明，我們將只考慮P 為對角化的例子。然 而若無此假定，此定理仍會成立。 我們運用Q－1PQ＝D 將P 對角化，或等價來說， P＝QDQ－1 其中 線性代數，Ch.4，第356頁

183 4.5 計算特徵值的迭代法 從定理4.30 與4.31 我們知道，每一個特徵值λi 若 非1 便是滿足 。然而，當k→ ， 趨近1
4.5 計算特徵值的迭代法 從定理4.30 與4.31 我們知道，每一個特徵值λi 若 非1 便是滿足 。然而，當k→ ， 趨近1 或0，當i＝1, …, n。由此得到Dk 趨近一個對角矩 陣就稱之為D＊ 每一個對角位元不是0 就1。 所以，Pk＝QDkQ－1 趨近於L＝QD＊Q－1，我們 將之寫成 線性代數，Ch.4，第356頁

184 4.5 計算特徵值的迭代法 觀察 所以，L 的每一行皆為P 對應到λ1＝1 的特徵向 量。
4.5 計算特徵值的迭代法 觀察 所以，L 的每一行皆為P 對應到λ1＝1 的特徵向 量。 由於依據第3.7 節習題14，Pk 為一個stochastic 矩 陣。現在由第3.7 節習題13 可得到L為stochastic。 線性代數，Ch.4，第357頁

185 4.5 計算特徵值的迭代法 我們只需證明L 的各行為全同。L 的第i 行為Lei， 其中ei 是第i個標準基底向量。令v1、v2、…、vn
4.5 計算特徵值的迭代法 我們只需證明L 的各行為全同。L 的第i 行為Lei， 其中ei 是第i個標準基底向量。令v1、v2、…、vn 為P 的特徵向量並且為Rn的一基底，其中v1 對應到 λ1＝1。寫出 其中c1, c2,… , cn為係數。則，依據接下來例4.21 的評論方塊， 線性代數，Ch.4，第357頁

186 4.5 計算特徵值的迭代法 依據定理4.32，λj≠1，其中j≠1。所以，依據定 理4.31 (b)， ,其中j≠1。
4.5 計算特徵值的迭代法 依據定理4.32，λj≠1，其中j≠1。所以，依據定 理4.31 (b)， ,其中j≠1。 因此，當 ， ，其中j≠1。得到 換句話說，L 的行向量i 為對應到λ1＝1 的一個特 徵向量。 線性代數，Ch.4，第357頁

187 例4.38 回憶例3.65 的盒中之鼠。轉換矩陣為 我們決定穩定態機率向量為 線性代數，Ch.4，第357頁

188 例4.38 因此，P 的次數趨近 由此我們可看到，該隻老鼠最終將花費其25%的 時間在隔間1，並花費其37.5%的時間在其餘兩個 隔間。#
線性代數，Ch.4，第358頁

189 4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.34 線性代數，Ch.4，第358頁

190 4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ 令 其中x1＋x2＋…＋xn＝1，由於xk＝Pkx0，我們必須 驗證 。
4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ 令 其中x1＋x2＋…＋xn＝1，由於xk＝Pkx0，我們必須 驗證 。 現在，依據定理4.33，長值域轉換矩陣為 L＝[xx … x] 且 。 線性代數，Ch.4，第358頁

191 4.5 計算特徵值的迭代法 所以 線性代數，Ch.4，第358頁

192 例4.39 找出穩定態的成長率與對應的年齡類別比率， 其中Leslie 矩陣同前。 解： 我們需要找出L 所有的正特徵值與對應的特徵向
線性代數，Ch.4，第359頁

193 例4.39 所以我們必須解出－λ3＋2λ＋0.375＝0，或是 8λ3－16λ－3＝0。因式分解後，得到
第二個因式只有根 與 ，此方程式唯一的正根為λ=3/2=1.5。我們運用列運算可得出，在L－1.5I 的零空間中對應的特徵向量 線性代數，Ch.4，第359頁

194 例4.39 因此，若 為對應到λ＝1.5的一個特徵向量 ，其滿足x1＝18x3與x2＝6x3。也就是
因此，若 為對應到λ＝1.5的一個特徵向量 ，其滿足x1＝18x3與x2＝6x3。也就是 因此，穩定態成長率為1.5，且當達到此比率，年 齡類別的比例為18：6：1，與前面結果相符。

195 4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.35 線性代數，Ch.4，第360頁

196 4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ 令L 同方程式(3)，L 的特徵多項式為 的特徵值為f (λ) 的根。因為至少一個出生率bi
4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ 令L 同方程式(3)，L 的特徵多項式為 (讀者將在習題16中被要求證明此。) 所以，L 的特徵值為f (λ) 的根。因為至少一個出生率bi 是正的，而所有的存活率sj 全是正的，而f (λ) 的係數只改變過一次正負號，根據Descarte’s 規則(附錄D)，f (λ)恰只有一個正根λ1。 線性代數，Ch.4，第360頁

197 4.5 計算特徵值的迭代法 透過直接計算我們可以驗證，對應到λ1的特徵 向量為 (讀者將在習題18 中被要求證明此。) 顯然，x1
4.5 計算特徵值的迭代法 透過直接計算我們可以驗證，對應到λ1的特徵 向量為 (讀者將在習題18 中被要求證明此。) 顯然，x1 所有的分量皆為正。 線性代數，Ch.4，第 頁

198 4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.36 線性代數，Ch.4，第361頁

199 4.5 計算特徵值的迭代法 直觀而言，我們可看到前兩個性質成立的理 由。考慮在2×2正定矩陣A，對應的矩陣變換將
4.5 計算特徵值的迭代法 直觀而言，我們可看到前兩個性質成立的理 由。考慮在2×2正定矩陣A，對應的矩陣變換將 第一象限完全映到自己，因為所有的分量都為 正。如果我們重複讓A作用在產生的像上，它們 就會收斂到第一象限的某一條射線。(圖4.17) 此射線的方向向量會被映到自己的某個正倍數 λ1，因為在變換A下射線沒有變動，也就是Ax ＝λ1x，其中x與λ1都是正的。 線性代數，Ch.4，第361頁

200 4.5 計算特徵值的迭代法 線性代數，Ch.4，第361頁

201 4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ 對某個非零向量x，Ax ≥ λx，其中λ 為一係
4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ 對某個非零向量x，Ax ≥ λx，其中λ 為一係 數。此時對所有k>0，A(kx) ≥ λ(kx)。因此我 們只需要考慮單位向量x。在第七章我們將看到 A會把n中所有單位向量(單位球) 映到「橢球 體」，所以當x跑遍所有非負單位向量，將有一 個最大值λ滿足Ax ≥ λx。(圖4.18)將此數定為 λ1，對應到的單位向量為x1。 線性代數，Ch.4，第362頁

202 4.5 計算特徵值的迭代法 線性代數，Ch.4，第362頁

203 4.5 計算特徵值的迭代法 我們現在要驗證Ax1＝λ1x1 若非如此，則Ax1 ＞λ1x1，且再次應用A，我們得到
4.5 計算特徵值的迭代法 我們現在要驗證Ax1＝λ1x1 若非如此，則Ax1 ＞λ1x1，且再次應用A，我們得到 其中不等式被保持，因為A 為正(見習題40)。 但 為一個滿足Ay＞λ1y 的單位向量。所以存在某個λ2 > λ1，使得Ay ≥λ2y。此 與λ1在此性質中為最大值的事實矛盾。結果，其必為Ax1＝λ1x1，意即，λ1為A的一個特徵值。 線性代數，Ch.4，第362頁

204 4.5 計算特徵值的迭代法 現在A為正且x1為正，所以λ1x1＝Ax1 > 0。此
4.5 計算特徵值的迭代法 現在A為正且x1為正，所以λ1x1＝Ax1 > 0。此 意味著λ1> 0 且x1>0，完成了(a)與(b)的證明。 為證明(c)，假定λ為A其它對應到特徵向量z的 任意(實數或複數) 特徵值。則Az＝λz，取絕對 值可得到 (4) 其中中間的不等式來自三角不等式(見習題40) 線性代數，Ch.4，第362頁

205 4.5 計算特徵值的迭代法 由於 ，在 方向的單位向量u也為正，且符 合 。依據λ來自此證明第一部分的最大 值性質，我們必得到 。
4.5 計算特徵值的迭代法 由於 ，在 方向的單位向量u也為正，且符 合 。依據λ來自此證明第一部分的最大 值性質，我們必得到 。 線性代數，Ch.4，第362頁

206 4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.37 線性代數，Ch.4，第 頁

207 4.5 計算特徵值的迭代法 線性代數，Ch.4，第364頁

208 例4.40 考慮由初始條件x1＝1,x2＝5及遞迴關係式xn＝ 5xn－1－6xn－2，其中n≥ 2，所定義的數列(xn)。
寫出此數列的前五項。 解： 題目已給定數列的前兩項。我們運用遞迴關係式 來算出後面三項，得到 所以數列為1, 5, 19, 65, 211, …。 線性代數，Ch.4，第365頁

209 例4.41 解費波那奇數f0＝0, f1＝1，與fn＝fn－1＋fn－2， 其中n ≥ 2。 解
方程式為λ2－λ－1＝0，所以特徵值為 與 線性代數，Ch.4，第367頁

210 例4.41 由上述討論可知遞迴式之解形式如下 其中c1與c2為係數。 運用初始條件，我們得到 線性代數，Ch.4，第367頁

211 例4.40 且 解c1與c2，我們得到 與 。因 此，第n 項費波那奇數的確切公式為 線性代數，Ch.4，第367頁

212 4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.38 線性代數，Ch.4，第367頁

213 4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ (a)將我們上述的討論予以一般化，將遞迴關係式 寫成xn＝Axn－1，其中 且
4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ (a)將我們上述的討論予以一般化，將遞迴關係式 寫成xn＝Axn－1，其中 且 由於A有相異特徵值，其可被對角化。其餘細節 留待在習題51中練習。 線性代數，Ch.4，第368頁

214 4.5 計算特徵值的迭代法 (b)我們將驗證xn＝c1λn＋c2nλn滿足遞迴關係式xn ＝axn－1＋bxn－2，或等價地說， (6)
4.5 計算特徵值的迭代法 (b)我們將驗證xn＝c1λn＋c2nλn滿足遞迴關係式xn ＝axn－1＋bxn－2，或等價地說， (6) 若λ2－aλ－b＝0。由於 且 線性代數，Ch.4，第368頁

215 4.5 計算特徵值的迭代法 代入(6)式可得 線性代數，Ch.4，第368頁

216 4.5 計算特徵值的迭代法 但由於λ為λ2－aλ－b＝0 的重根，運用二次 式，我們必得到a2＋4b＝0 且λ＝a/2。結果，
4.5 計算特徵值的迭代法 但由於λ為λ2－aλ－b＝0 的重根，運用二次 式，我們必得到a2＋4b＝0 且λ＝a/2。結果， aλ＋2b＝a2/2＋2b＝－4b/2＋2b＝0，所以 假定初始值為x0＝r 與x1＝s，則，不是(a)就是 (b)會有c1與c2的唯一解(見習題52)。 線性代數，Ch.4，第368頁

217 例4.42 解： 特徵方程式為λ2－6λ＋9＝0，其中λ＝3 為一 重根。依據定理4.38 (b)，我們必得到xn＝c13n＋
解遞迴關係式x0＝1, x1＝6，且xn＝6xn－1－ 9xn－2，其中n ≥ 2。 解： 特徵方程式為λ2－6λ＋9＝0，其中λ＝3 為一 重根。依據定理4.38 (b)，我們必得到xn＝c13n＋ c2n3n＝(c1＋c2n)3n。由於1＝x0＝c1, 6＝x1＝(c1 ＋c2)3，我們發現c2＝1，所以 線性代數，Ch.4，第368頁

218 4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.39 線性代數，Ch.4，第369頁

219 例4.43 解以下的微分方程組 解： 此處的係數矩陣為 且我們找到特徵值 為λ1＝4 與λ2＝－1，分別對應到特徵向量
此處的係數矩陣為 且我們找到特徵值 為λ1＝4 與λ2＝－1，分別對應到特徵向量 及 ，所以，A可被對角化，且可 作用的矩陣P為 線性代數，Ch.4，第369頁

220 例4.43 我們知道 令x＝Py (所以x’＝Py’ ) 且將這些結果代入原 先的方程式x’ ＝Ax，得到Py’ ＝APy，或等價 的
線性代數，Ch.4，第369頁

221 例4.43 此即為方程組 且其一般解為 或 為找出x，我們便計算 線性代數，Ch.4，第369頁

222 例4.43 所以x1＝2C1e4t－C2e－t 且x2＝3C1e4t＋C2e－ t 。(驗證這些值滿足所給定的方程組。)
線性代數，Ch.4，第370頁

223 4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.40 線性代數，Ch.4，第371頁

224 例4.44 浣熊與松鼠生活在同一個生態系，且彼此競爭食物、水與勢力範圍。令浣熊與松鼠在時間為t時的數量分別為r(t)及s(t)。如果沒有松鼠，浣熊的增加率r’ (t)=2.5r(t)，但如果松鼠存在，因為競爭就會減少增加率，增加率就變為r’(t)=2.5r(t) －s(t)。松鼠的數量受到浣熊的影響也相似，如果沒有浣熊，松鼠的增加率s’(t)=2.5s(t)，若有浣熊存在，其增加率s’ (t)=-2.5r(t)+2.5s(t)。 假設一開始有浣熊與松鼠各60隻。試著確定兩 種物種的發展。 線性代數，Ch.4，第371頁

225 例4.44 (7) 解： 我們的方程組為x’＝Ax，其中 與 A的特徵值為λ1＝3 與λ2＝2，分別對應到特徵
向量 與 。依據定理4.40，我們的 方程組一般解為 (7) 線性代數，Ch.4，第372頁

226 例4.44 初始的數量向量為 所以令(7)式的t＝0，我們得到 解此方程式，我們得到C1＝15 與C2＝45。因 此，
線性代數，Ch.4，第372頁

227 例4.44 因此我們發現r(t)=-30e3t+90e2t 且s(t)=15e3t+45e2t。圖4.19 顯示了此二函數之圖形，且我們可明顯看到浣熊數量在一年剛過後便銳減。(讀者能否找到其數量銳減的確實時間？) 線性代數，Ch.4，第372頁

228 例4.45 知更鳥與毛毛蟲生活在同一個生態系，且毛毛蟲 為知更鳥唯一的食物來源。知更鳥與毛毛蟲在時
間點t年時的數量分別為r(t)及w(t)，而它們數量增 長率為 (8) 若該生態系最初有6隻知更鳥及20隻毛毛蟲，確 定此二物種隨著時間的數量變化。 線性代數，Ch.4，第373頁

229 例4.45 解： 此例中我們要注意的第一件事便是額外常數的出 現：兩方程式中的-12 與10。 (9)
可更容易進行解題。方程式(9)形式為x’ ＝Ax， 其中A＝ 。 我們新的初始條件為 與 線性代數，Ch.4，第373頁

230 例4.45 所以 。 從上一個例子可知，我們要求出A的特徵值及特徵向量。A的特徵多項式為λ2＋1，沒有實根，因此我們只好使用複數根，令λ1＝i，λ2＝－i，所對應的特徵向量也是佈於複數體，其中， 與 。依據定理4.40，我們的解之形式如下 線性代數，Ch.4，第373頁

231 例4.45 由 我們得到 其中解為C1＝－2－4i 與C2＝－2＋4i。所以方程 組(9)中的解為 線性代數，Ch.4，第373頁

232 例4.45 線性代數，Ch.4，第374頁

233 例4.45 我們對此解瞭解多少？知更鳥與毛蟲生活在一個 真實的世界，但我們的解卻牽涉到複數！但別 怕，我們運用尤拉公式(附錄C)
得到e－it＝cos(－t)＋i sin(－t)＝cos t－i sin t 代 入，可得到 線性代數，Ch.4，第374頁

234 例4.45 由此可得x(t)＝－4 cos t＋8 sin t 與y(t)＝8 cos t＋4sin t。依據我們原始的變數來設定一切，便 得 與 線性代數，Ch.4，第374頁

235 例4.45

236 例4.45 所以我們的解確實為真！圖4.20 為r(t)與w(t)的 圖，顯示出兩物種的數量是呈現週期性震盪。當
知更鳥變多時，毛毛蟲數量就減少，但唯一的食 物幾乎滅絕，知更鳥也開始減少。當補食者快消 失，毛毛蟲數量就開始增加。當食物充足，知更 鳥數量也會增加，如此不斷循環。這樣的震盪是 特徵值為複數的典型例子。 線性代數，Ch.4，第375頁

237 例4.46 令 ，計算eDt。 解： 由定義，我們得到 線性代數，Ch.4，第375頁

238 例4.47 令 ，計算eA。 解： 在例4.43中，我們發現A的特徵值為λ1＝4 與λ2 ＝－1，且分別對應到特徵向量 與
＝－1，且分別對應到特徵向量 與 因此，由P＝[v1 v2]＝ ，我們得到 P－1AP＝ 線性代數，Ch.4，第376頁

239 例4.47 由於A＝PDP－1，我們得到Ak＝PDkP－1，所以 線性代數，Ch.4，第376頁

240 4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.41 線性代數，Ch.4，第376頁

241 4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ 令P可對角化A，則A＝PDP－1，如同例4.47， 因此，我們需要驗證x＝PeDtP－1c 滿足x’＝
4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ 令P可對角化A，則A＝PDP－1，如同例4.47， 因此，我們需要驗證x＝PeDtP－1c 滿足x’＝ Ax。現在除了eDt 外，其餘皆為常數，所以 (10) 線性代數，Ch.4，第376頁

242 4.5 計算特徵值的迭代法 若 則 線性代數，Ch.4，第376頁

243 4.5 計算特徵值的迭代法 取其導數，我們得到 線性代數，Ch.4，第377頁

244 4.5 計算特徵值的迭代法 將此結果代入(10)式 即為所求。 定理的最後一句可容易由x＝x(t)＝eAtc 得到， 因此
4.5 計算特徵值的迭代法 將此結果代入(10)式 即為所求。 定理的最後一句可容易由x＝x(t)＝eAtc 得到， 因此 因為eO＝I。(為什麼？) 線性代數，Ch.4，第377頁

245 4.5 計算特徵值的迭代法 事實上，就算A不能對角化，定理4.41仍然成 立，不過我們並不加以證明。要計算指數為不
4.5 計算特徵值的迭代法 事實上，就算A不能對角化，定理4.41仍然成 立，不過我們並不加以證明。要計算指數為不 可對角化矩陣需要將矩陣化成喬丹標準形式 (Jordan normal form)，此主題可參考高等線性 代數教科書。指數為矩陣之後會是線性代數 中，不管是理論上或應用上都很重要的工具。 線性代數，Ch.4，第377頁

246 例4.48 令 。對動態系統xk＋1＝Axk，畫出以下 初始向量軌跡之前五個點： (a) (b) (c) (d) 解：
(a)我們計算x1＝Ax0＝ x2＝Ax1＝ x3＝ Ax2＝ ，x4＝Ax3＝ 這些都被畫在圖 　4.22，且點被連接到軌跡的輪廓。 線性代數，Ch.4，第378頁

247 例4.48 (b), (c) 與(d) 也是用相似的計算來產生軌跡，同 樣被畫在圖4.22。 線性代數，Ch.4，第378頁

248 例4.49 討論動態系統xk＋1＝Axk 對應到矩陣 之行為。 解： A的特徵值為分別對應到特徵向量 與
　　　 之行為。 解： A的特徵值為分別對應到特徵向量 與 的0.5 與0.8。(驗算此。) 因此，對一個初始向量 我們得到 線性代數，Ch.4，第379頁

249 例4.49 又一次看到原點是吸子，因為不管x0所選為何， xk都趨近於0。若c2≠0，軌道將會趨近過原點並
以 為方向向量的直線。圖4.23 顯示不同的軌 道，可以看到如果x0 的c2＝0，就是落在過原點 且方向向量為 的直線上，其軌道也落在此直 線上。 線性代數，Ch.4，第379頁

250 例4.49 線性代數，Ch.4，第380頁

251 例4.50 討論動態系統xk＋1＝Axk 對應到以下矩陣 (a) (b) 之行為。 解： (a)A的特徵值為分別對應到特徵向量 與
的5與3。因此，對一個初始向量 ，我們得到 線性代數，Ch.4，第380頁

252 例4.50 隨著k變大，5k與3k也同樣增加，因此xk會越來 越遠離原點。因為顯性特徵值所對應的特徵向
量為 ，c1≠0 的軌道將落在第一象限及第三 象限。C1＝0 的軌道就是y=-x的直線，見圖 4.24(a)。 且這樣的軌跡漸進式的趨近直線y＝x。見圖 4.24 (b)。 線性代數，Ch.4，第 頁

253 例4.50 線性代數，Ch.4，第381頁

254 例4.51 畫出對應到以下矩陣之動態系統xk＋1＝Axk 從 出發的軌跡。 (a) (b) 解：
軌跡分別被顯示在圖4.25 (a)與(b)。注意(a)為 螺旋進入原點之軌跡；而(b)則為一橢圓形的軌 道。

255 例4.51 線性代數，Ch.4，第382頁

256 4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.42 線性代數，Ch.4，第382頁

257 4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ 依據第4.1節習題35 (b) , A的特徵值為 圖4.26 展示了a＋bi, r 與θ。其得到
4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ 依據第4.1節習題35 (b) , A的特徵值為 圖4.26 展示了a＋bi, r 與θ。其得到 線性代數，Ch.4，第382頁

258 4.5 計算特徵值的迭代法 線性代數，Ch.4，第382頁

259 4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.43 線性代數，Ch.4，第383頁

260 4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ 令x=u+vi使得Re x=u 且Im x=v。從Ax=λx， 我們得到 令實部與虛部相等，得到 及
4.5 計算特徵值的迭代法 ＊證明＊ 令x=u+vi使得Re x=u 且Im x=v。從Ax=λx， 我們得到 令實部與虛部相等，得到 及 現在 ，所以 線性代數，Ch.4，第382頁

261 4.5 計算特徵值的迭代法 為驗證P為可逆，只需證明u與v為線性獨立。 若u與v不是線性獨立，因為u、v 都不是零向
4.5 計算特徵值的迭代法 為驗證P為可逆，只需證明u與v為線性獨立。 若u與v不是線性獨立，因為u、v 都不是零向 量，則有v＝ku，其中k為非零的常數。也就是 線性代數，Ch.4，第384頁

262 4.5 計算特徵值的迭代法 現在，因為A為實數，Ax=λx 可得到 所以 為對應到其它特徵值的一個特徵向量，但
4.5 計算特徵值的迭代法 現在，因為A為實數，Ax=λx 可得到 所以 為對應到其它特徵值的一個特徵向量，但 因為u 為一個實數向量。因此，A的特徵向量x與 皆為u 的非零倍數，也因此彼此互為倍數。而這是不可能發生的，因為根據定理4.20，對應到不同特徵值的特徵向量一定互相線性獨立。 線性代數，Ch.4，第384頁

263 4.5 計算特徵值的迭代法 由反證法知道u與v為線性獨立，因此P為可逆。 就得到 線性代數，Ch.4，第384頁

264 ＊線性代數＊ 運動團隊排名及網路搜尋

265 運動團隊排名及網路搜尋 為了建立基本概念，回想例3.68中五位網球選 手進行了一次單循環競賽，勝負關係被記錄成
有向圖，選手i 勝了選手j 就記成一個從i 到j 的 有向邊。所對應的相鄰矩陣A 將有aij＝1，若選 手i 勝選手j，不然aij＝0。 線性代數，Ch.4，第386頁

266 運動團隊排名及網路搜尋 我們將指定一個等級ri＞rj 代表選手i 是強過選手 j 的。為了達成此目的，我們令ri 為一個機率，
也就是0 ≤ ri ≤ 1，且r1＋r2＋r3＋r4＋r5＝1，再 令排名向量為 線性代數，Ch.4，第386頁

267 運動團隊排名及網路搜尋 此外，我們認為，選手i 的排名機率ri 應該與那 些他贏過的選手的排名機率總和成比例。例如
選手1 勝過2 號、4 號和5 號選手，則 其中α為常數。將其它選手類似的方程式也寫 出來 線性代數，Ch.4，第387頁

268 運動團隊排名及網路搜尋 觀察我們所要寫的這個系統的矩陣形式為 或 等價地，我們看到評價向量r必滿足 。換
句話說，r 是矩陣A的一個特徵向量 。此外，A 是一個原始非負矩陣，因此Perron Frobinus 定 理跟我們保證恰有唯一的向量r。 線性代數，Ch.4，第387頁

269 運動團隊排名及網路搜尋 在此例中，排名向量為 所以我們球員排名的順序為選手1、選手2、選 手3、選手4、選手5。以上是最簡單的例子，隨
著不同情況，我們只需要修正相鄰矩陣A 就可 以。 線性代數，Ch.4，第387頁