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第二章 随机变量及其分布 关键词: 随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数
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§1 随机变量 常见的两类试验结果: 示数的——降雨量; 候车人数; 发生交通事故的次数… 示性的——明天天气(晴,云…);
§1 随机变量 常见的两类试验结果: 示数的——降雨量; 候车人数; 发生交通事故的次数… 示性的——明天天气(晴,云…); 化验结果(阳性,阴性)…
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X=X(e)--为S上的单值函数,X为实数
中心问题:将试验结果数量化 e s x X=X(e)--为S上的单值函数,X为实数
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常见的两类随机变量 离散型的 连续型的
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例:掷硬币3次,出现正面的次数记为X. X 0 1 2 3 p 1/8 3/8 3/8 1/8 样本点
TTT TTH THT HTT HHT HTH THH HHH X的值 X p 1/ / / /8
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§2 离散型随机变量及其分布 定义:取值至多可数的随机变量为离散型的随机变量。概率分布(分布律)为 …
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概率分布
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例:某人骑自行车从学校到火车站,一路上要经过3个独立的交通灯,设各灯工作独立,且设各灯为红灯的概率为p,0<p<1,以X表示首次停车时所通过的交通灯数,求X的概率分布律。
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解:设Ai={第i个灯为红灯},则P(Ai)=p,i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。
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p X 1 2 3 p(1-p) (1-p)2p (1-p)3
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例:若随机变量X的概率分布律为 求常数c.
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解:
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几个重要的离散型随机变量 若X的分布律为: X p q 1 (p+q=1,p>0,q>0)
一、0-1分布 若X的分布律为: 随机变量只可能取0、1 两个值 X p q 1 (p+q=1,p>0,q>0) 则称X服从参数为p的0-1分布,或两点分布.
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记为 它的分布律还可以写为
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对于一个随机试验,如果它的样本空间只包含两个元素,即 ,我们总能在S上定义一个服从(0-1)分布的随机变量。
来描述这个随机试验的结果。
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检查产品的质量是否合格,对新生婴儿的性别进行登记,检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用(0-1)分布的随机变量来描述 。
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一个随机试验,设A是一随机事件,且P(A)=p,(0<p<1)
一个随机试验,设A是一随机事件,且P(A)=p,(0<p<1).若仅考虑事件A发生与否, 定义一个服从参数为p的0-1分布的随机变量: 来描述这个随机试验的结果。只有两个可能结果的试验,称为Bernoulli试验。
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二、二项分布 n重贝努利试验:设试验E只有两个可能的结果: ,p(A)=p,0<p<1,将E独立地重复进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验。 即每次试验结果 互不影响 在相同条件下 重复进行
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独立重复地抛n次硬币,每次只有两个可能的结果:正面,反面,
将一颗骰子抛n次,设A={得到1点},则每次试验只有两个结果:
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从52张牌中有放回地取n次,设A={取到红牌},则每次只有两个结果:
如果是不放回抽样呢?
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设A在n重贝努利试验中发生X次,则 并称X服从参数为p的二项分布,记
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推导:以n=3为例,设Ai={ 第i次A发生 }
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例:有一大批产品,其验收方案如下:先作第一次检验,从中任取10件,经检验无次品接受这批产品,次品数大于2拒收;否则作第二次检验,从中任取5件,仅当5件中无次品便接受这批产品,设产品的次品率为p.求这批产品能被接受的概率.
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解:设A={接受该批产品}。 设X为第一次抽得的次品数,Y为第2次抽得的次品数.
则X~B(10,p),Y~B(5,p),且{X=i}与{Y=j}独立。
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例:设随机变量
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泊松分布(Poisson分布) 若随机变量X的概率分布律为 称X服从参数为λ的泊松分布,记
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例:设某汽车停靠站单位时间内候车人数 求(1)随机观察1个单位时间,至少有3人候车的概率; (2)随机独立观察5个单位时间,恰有4个单位时间至少有3人候车的概率。
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例:某地区一个月内每200个成年人中有1个会患上某种疾病,设各人是否患病相互独立。若该地区一社区有1000个成年人,求某月内该社区至少有3人患病的概率。
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超几何分布 若随机变量X的概率分布律为 称X服从超几何分布
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例:一袋中有a个白球,b个红球,a+b=N,从中不放回地取n个球,设每次取到各球的概率相等,以X表示取到的白球数,则X服从超几何分布。
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几何分布 若随机变量X的概率分布律为 称X服从参数p的几何分布
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例:从生产线上随机抽产品进行检测,设产品的次品率为p,0<p<1,若查到一只次品就得停机检修,设停机时已检测到X只产品,则X服从参数p的几何分布。
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巴斯卡分布 若随机变量X的概率分布律为 称X服从参数为(r,p)的巴斯卡分布.
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例:独立重复地进行试验,每次试验的结果为成功或失败,每次试验中成功的概率均为p,0<p<1,试验进行到出现r次成功为止,以X表示试验次数,则X服从参数为(r,p)的巴斯卡分布。
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思考题:一盒中有2个红球4个白球, (1)从中取一球,X表示取到的红球数; (2)采用不放回抽样取3球,Y表示取到的红球数; (3)采用放回抽样取3球,Z表示取到的红球数; (4)采用放回抽样取球,直到取到红球为止,U表示取球次数; (5)采用放回抽样取球,直到取到3个红球为止,V表示取球次数。 上述随机变量X,Y,Z,U,V的分布律是什么呢?
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解答:(1)X服从0-1分布,P(X=1)=1/3,P(X=0)=2/3;
(2)Y服从超几何分布, (3)Z服从二项分布B(3, 1/3), (4)U服从几何分布, (5)V服从巴斯卡分布,
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§3 随机变量的分布函数 任何随机变量都有相应的分布函数
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p X 1 q 例: p>0,q>0,q+p=1.
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解: 1 q
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例:设一物体在A,B两点间移动,A,B之间距离3个单位。该物体落在A,B间任一子区间的概率与区间长度成正比。设它离A点的距离为X ,求X的分布函数。
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与离散型随机变量的分布函数不同
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§4 连续型随机变量及其概率密度 定义:对于随机变量X的分布函数 若存在非负的函数 使对于任意实数 有: 则称X为连续型随机变量,
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与物理学中的质量线密度的定义相类似
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思考题: 答:都不一定。
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例:设X的概率密度为 (1)求常数c的值; (2) 写出X的概率分布函数; (3)要使 求k的值。
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解:
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几个重要的连续量 均匀分布定义:X具有概率密度 称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X~U(a,b)
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例:(1)在区间(-1,2)上随机取一数X,试写出X的概率密度。并求 的值;
(2)若在该区间上随机取10个数,求10个数中恰有两个数大于0的概率。
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解:(1) X为在区间(-1,2)上均匀分布 (2)设10个数中有Y个数大于0, 则:
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例:杭州某长途汽车站每天从早上6点(第一班车)开始,每隔30分钟有一班车开往上海。王先生在早上6:20过X分钟到达车站,设X服从(0,50)上的均匀分布,
(1)求王先生候车时间不超过15分钟的概率; (2)如果王先生一月中有两次按此方式独立地去候车,求他一次候车不超过15分钟,另一次候车大于10分钟的概率。
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P(一次候车时间不超过15分钟,另一次大于10分钟)
6: :50 6: : : :00 7:10
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指数分布 定义:设X的概率密度为 其中λ>0为常数,则称X服从参数为λ的指数分布。记为
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X具有如下的无记忆性:
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正态分布 定义:设X的概率密度为 其中 为常数,称X服从参数为 的正态分布(Gauss分布), 记为
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可以验证:
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正态概率密度函数
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称μ为位置参数(决定对称轴位置) σ为尺度参数(决定曲线分散性)
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X的取值呈中间多,两头少,对称的特性。 当固定μ时,σ越大,曲线的峰越低,落在μ附近的概率越小,取值就越分散,即σ是反映X的取值分散性的一个指标。 在自然现象和社会现象中,大量随机变量服从或近似服从正态分布。
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正态分布下的概率计算
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例:
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例:用天平称一实际重量为 的物体,天平的读数为随机变量 ,设 时,
(1)求读数与 的误差小于0.005的概率; (2)求读数至少比 多0.0085的概率。
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例:一批钢材(线材)长度 (1)若μ=100,σ=2,求这批钢材长度小于97.8cm的概率; (2)若μ=100,要使这批钢材的长度至少 有90%落在区间(97,103)内,问σ至多取何值?
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例:设一天中经过一高速公路某一入口的重型车辆数X近似服从 ,已知有25%的天数超过400辆,有33%的天数不到350辆,求
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例:一银行服务需要等待,设等待时间X(分钟)的概率密度为
某人进了银行,且打算过会儿去办另一件事,于是先等待,如果超过15分钟还没有等到服务就离开,设他实际的等待时间为Y,(1)求Y的分布函数;(2)问Y是离散型随机变量吗?连续型随机变量吗?
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§5 随机变量函数的分布 例如,若要测量一个圆的面积,总是测量其半径,半径的测量值可看作随机变量X,若 则Y服从什么分布?
且已知Y=g(X),求Y的概率分布。
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X pi 0.2 -1 1 0.5 0.3 例:已知X具有概率分布 且设Y=X2,求Y的概率分布。
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解:Y的所有可能取值为0,1 即找出(Y=0)的等价事件(X=0); (Y=1)的等价事件(X=1)与(X=-1)的和事件
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例:设随机变量X具有概率密度 求 的概率密度。
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解:分记X,Y的分布函数为
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Y在区间(0,16)上均匀分布。
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一般,若已知X的概率分布,Y=g(X),求Y的概率分布的过程为:
关键是找出等价事件。
100
X -1 1 例:设 Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。
101
(Z=1)的等价事件为(X=1)∪(X=-1)
解:Y的可能取值为-2,0,2 Z的可能取值为0,1 (Y=-2)的等价事件为(X=-1)… (Z=1)的等价事件为(X=1)∪(X=-1) 故得: Y -2 2 p Z 1 p
102
例:
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例如:X~U(-1, 2),求
107
例如:X~N(0, 1),求
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x h(y),y y y=g(x)
111
例:
112
解:
122
课件待续!
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