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1.2 正余弦定理应用举例 虎山中学高一文科备课组 黄小辉
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已知向量a与b的夹角为120°， 则 等于 （A）5 （B）4（C）3 （D）1
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练习1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是 。
BC/sin60 =10/sin45 BC=10sin60 /sin45 C 60° 75° 10海里 A 答： 海里 B
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练习2、 为了测定河对岸两点A、B间的距离，在岸边选定1公里长的基线CD，并测得∠ACD=90o，∠BCD=60o，∠BDC=75o，∠ADC=30o，求A、B两点的距离.
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分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三角形，与AB联系的三角形有△ABC和△ABD，利用其一可求AB。
略解：Rt △ACD中，AD=1/cos30o △BCD中，1/sin45=BD/sin60，可求BD。 由余弦定理在△ABD中可求AB。 B D A ∠ACD=90o，∠BCD=60o，∠BDC=75o，∠ADC=30o， 1公里 C
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解斜三角形 练习3：海中有岛A，已知A岛周围8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北偏东75°，航行 海里后，见此岛在北偏东30°，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险。 A 北 北 M B C
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A 解： 在△ABC中∠ACB=120°∠ABC=15°由正弦定理得： 由BC=20 ,可求AC ∴ 得AM= ≈8.97>8 B C
北 75 30 ∴无触礁危险
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小结：求解三角形应用题的一般步骤： 1、分析题意，弄清已知和所求； 2、根据提意，画出示意图； 3、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求； 4、正确运用正、余弦定理。
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抽象概括 示意图 数学模型 实际问题 推理 演算 数学模型的解 实际问题的解 还原说明
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几个概念： 仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角; 俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角； 方位角：北方向线顺时针方向到目标方向线的夹角。
方向角是指从指定方向线到目标方向线的水平角,如北偏东30度,南偏西45度. N 视线 方位角60度 仰角 水平线 俯角 目标方向线 视线
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1.2 正余弦定理应用举例 虎山中学高一文科备课组 黄小辉
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例3.AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
D C
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例4.如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C，D两处，测得烟囱的仰角分别是α=35°12′和β=49°28′，CD间的距离是11.12m．已知测角仪器高1.52m，求烟囱的高．
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练习4、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底
部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是 ，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。 想一想 图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？
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实例讲解 分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又 已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。 A A1 B C D C1 D1 解： 答：烟囱的高为 29.9m.
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例5、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角 ,在塔底C处测得A处的俯角
已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
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如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得 ,并在点C测得塔顶A的仰角为 ，求塔高AB．
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例6、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北150的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北250的方向上,仰角为80,求此山的高度CD.
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例7、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东750的方向航行67. 5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东320的方向航行54
例7、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东750的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东320的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.10,距离精确到0.01n mile) A B C
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练习7、如图，某渔轮在航得中不幸遇险，发出 呼救信号，我海军舰艇在Ａ处获悉后，测出该 渔轮在方位角为４５°，距离为10n mile的Ｃ
处，并测得渔轮正沿方位角为105 °的方向， 以９n mile/h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇 立即以２１n mile/h的速度前去营救．求舰艇 的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到 0.1 °,时间精确到１min） 北 Ａ B C 105° 方位角：指从正北方向 顺时针旋转到目标方向线 的水平角．
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解得：x=２／３（h）=40(min)(负值舍去）
在Ｂ处靠拢渔轮，则ＡＢ＝ 21x，ＢＣ＝９x，又AC=10, ∠ACB=45°+(180°－ 105°)=120°. 北 Ａ B C 105° 由余弦定理，得： 化简得： 解得：x=２／３（h）=40(min)(负值舍去）
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由正弦定理，得 所以∠ＢＡＣ≈21.8°，方位角为45 ° + 21.8 °=66.8 ° 答：舰艇应沿着方位角66.8 °的方向航行， 经过４０min就可靠近渔轮．
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练习: 一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东150相距20km处,随后货轮按北偏西300的方向航行,半小时后,又测得灯塔在货轮的北偏东450的方向上,求货轮的速度. M S N
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练习： 勘探队员朝一座山行进，在前后两处观察山顶的仰角分别是29度和38度，两个观察点之间距离是200m,求山的高度。
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练习：3.5m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端离堤足1.2m的地面上，另一端沿堤上2.8m的地方，求地对地面的倾斜角。
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引例 在△ABC中,已知a,b及C,求△ABC的面积.
D 结论:三角形的面积公式: B
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例8、在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2)
(1)已知a=4,c=6,B=300; (2)已知B=450,C=750,b= ; (3)已知a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.
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例9、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2)
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例10. 在△ABC中,求证:
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补充练习 1.已知△ABC中,∠B=300,b=6,c=6 ,求a及△ABC的面积. 2：判断满足下列条件的三角形形状，
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小结 结论:三角形的面积公式: 海伦公式:
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练习.如图,半圆O的直径为2,A为直径延长线 上的一点,OA=2,B为半圆上任意一点,以AB 为一边作等边三角形ABC,问: 点B在什么位置时,四边形OACB的面积最大? 最大面积为多少? A O B C
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