第二章 利息：現值與終值.

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1 第二章 利息：現值與終值

2 利息：現值與終值 利息 複利之觀念 年金之觀念 現值與終值在會計上之應用

3 2.1 利息

4 利息 利息之性質 計算利息之方法 複利次數、利率與期數 名義利率與實際利率 利息之意義 計算利息之三要素 單利 複利
I＝本金×利率×期數＝p × i× n 複利 複利次數、利率與期數 名義利率與實際利率

5 計算利息之三要素 本金(p) 原始借入之金額 期間(n) 使用本金之時間 利率(i) 每一單位時間所付利息與本金之比率

6 【釋例一】 設借款$20,000，年利率8%，兩年期滿本利一次償還，試分別按單利與每年複利二種情形分別計算兩年之利息。

7 【解析】 P＝$20,000，i＝8%，n＝2 兩年按單利與複利計算之利息如下表所示。

8 複利次數、利率與期數之關係

9 名義利率與實際利率 名義利率 年利率 實際利率 依實際利息推算之利率

10 2.2 複利之觀念

11 複利之觀念 複利終值 複利現值 複利終值a、複利現值p與期數n及利率i之關係 a一定時，n、i愈大，p即愈小 p一定時，n、i愈大，a亦愈大
一元複利現值與一元複利終值互為倒數 a、p、n、i四項中，若知其中任何三項，即可求得另一未知之項目

12 部分一元複利終值表

13 複利終值 單一金額之本金，每期按複利計息，至最後一期終止之本利和 a＝p(1＋i) n＝p×a n,i

14 【釋例二】 現在存款$50,000，年利率12%，每半年複利一次，試求八年期滿時之本利和。

15 【解析】 每期計息利率i＝12%÷2＝6% 計息期數n＝2×8＝16(期) P＝$50,000，n＝16，i＝6%，求a。
a＝p×a n,i＝$50,000×a 16,6% ＝$50,000× ＝$127,018

16 複利現值

17 【釋例三】 大山公司希望於六年後可有$100,000供更新設備之用，若銀行存款利率為9%，每年複利一次，該公司現應存款若干？

18 【解析】 i＝9%，n＝6，a＝$10,000，求P。 P ＝a×p 6,9% ＝$100,000×0.596267＝$59,627
故大山公司現在應存$59,627，六年後始 有$100,000可供使用。

19 【釋例四】 有一工作酬勞之給付方式有兩種，甲案為兩年後給付$40,000，乙案為五年後給付$50,000。若無通貨膨脹顧慮，且每年複利一次，則在12%及6%兩種利率下，各應如何選擇較為有利？

20 【解析】 本例係已知a、n、i求p。 利率為12% 在利率為12%時，甲案複利現值較多，應選擇甲案。

21 【解析】 利率為6% 在利率為6%時，乙案複利現值多$1,763，應選擇乙案。

22 【釋例五】 本金$20,000，年利率8%，每年複利一次，試計算若干年後可得$29,386.56。

23 【解析】 已知p＝$20,000，a＝$29,386.56，i＝8%，求n 按複利現值公式計算複利現值因子 查複利現值表以求期數
p＝a×p n,8% $20,000＝$29,386.56×p n,8% , p n,8%＝ 查複利現值表以求期數 查複利現值表，利率為8%一欄，期數為5時現值為 ，故知本金應存五年方可獲得$29,386.56。

24 【釋例六】 X1年1月1日存款$100,000，每年複利二次，於X10年12月31日獲得$180,611，試求銀行存款利率。

25 【解析】 已知P＝$100,000，n＝20，a＝180,611，求i。 按複利終值公式計算複利終值因子 查複利終值表以求i
a＝p×a 20,i (或p＝a×p20,i亦可) $180,611＝$100,000×a 20,i，a 20,i＝ 查複利終值表以求i 複利終值表中期數為20一行，利率為3%時現值為 。故知每期利率為3%，惟因每年複利二次，年利率應為6%。

26 【釋例七】 現在存款$30,000每年複利一次，二十年後本利和為$88,500，試求存款利率。

27 【解析】 P＝$30,000，n＝20，a＝$88,500，利用插補法求i。 按複利終值公式計算複利終值因子
a＝p×a 20,i $88,500＝$30,000×a 20,i a 20,i ＝$88,500÷$30,000＝2.95 查複利終值表，並利用利插補法求i 查複利終值表期數為20之一行並無2.95之終值，此時應用插補法求出利率。n＝20之一行接近2.95之兩數為 （利率5%）及 （利率6%），故知實際利率介於5%與6%之間。

28 利用插補法求i

29 2.3 年金之觀念

30 2.3年金之觀念 年金之意義及種類 年金終值 年金現值 與年金有關其他項目之計算 遞延年金現值

31 年金之意義及種類 意義 特徵 種類 連續數期，每期支付或收取一定之金額，如分期償還借款。 每期相隔之時間相等。 每期支付之金額相同。
每期計息之利率相同。 種類 普通年金 到期年金

32 年金終值 普通年金終值 到期年金終值

33 普通年金終值 意義 每期期末支付一定金額，各期金額複利終值之總和。 計算方式 查普通年金終值表找出An,i 普通年金終值（A）=R×An,i

34 普通年金終值

35 【釋例八】 設每年底存款$50,000，年利率12%，每年複利一次，求五年後之年金終值。

36 【解析】 R＝$50,000，i＝12%，n＝5，求A。 A＝$50,000×A5,12%
＝$50,000× ＝$317,642

37 到期年金終值 意義 計算方式 每期期初支付一定金額，各期金額複利終值之總和。 到期年金終值因子比普通年金多了一期利息。
Ad = R × An,i ×（1+i） Ad = R ×(An+1,i － 1)

38 到期年金終值

39 到期年金轉換為普通年金

40 【釋例九】 設王君自X1年7月1日起每年存款$150,000，年利率為8%，每年複利一次，求四年後之存款餘額。

41 【解析】 R＝$150,000，i＝8%，n＝4，求Ad。 方法一：Ad＝R×An,i×(1＋i)
＝$150,000× ×1.08 ＝$729,990 方法二：Ad＝R×(A(n+1),i－1) ＝$150,000×(A5,8%－1) ＝$150,000×( －1)

42 年金現值 普通年金現值 到期年金現值

43 普通年金現值 意義 計算方式 每期期末支付一定金額，按複利折算至第一期期初之現值的總和。 查普通年金現值表找出Pn,i
P = R × Pn,i

44 普通年金現值

45 【釋例十】 民生公司於X4年1月1日購置機器一部，價款自當年12月31日起，每年償還$100,000，五年付清，年利率為10%，每年複利一次，試求：(1)若購買時一次付清所應支付之價款。(2)分期付款方式下，各期間之利息費用。

46 【解析】 R＝$100,000，i＝10%，n＝5 計算一次付清所應支付價款 P P＝R×Pn,i＝$100,000×P5,10%
＝$100,000× ＝$379,079

47 分期付款期間之利息與償還情形

48 到期年金現值 意義 計算方式 每期期初支付一定金額，各金額按複利折算至第一期期初之現值總和 Pd = R ×Pn,i ×（1+i）或

49 到期年金現值轉換為普通年金

50 【釋例十一】 大明公司租用機器一部，租期五年，每年租金$160,000於年初支付，設年利率為9%，每年複利一次，試求機器租金之年金現值。

51 【解析】 R＝$160,000，i＝9%，n＝5，求Pd。 方法一 ＝$160,000×P5,9%×(1＋0.09) 方法二
Pd＝R×Pn,i×(1＋i) ＝$160,000×P5,9%×(1＋0.09) ＝$160,000× ×1.09＝$678,355 方法二 Pd＝R×(Pn-1,i＋1) ＝$160,000×(P4,9%＋1) ＝$160,000×( ＋1)＝$678,355

52 與年金有關其他項目之計算 已知P、n、i求R 已知P、R、i求n 已知P、R、n求i

53 【釋例十二】已知P、n、i求R 中強公司於X5年7月1日向銀行借入$75,000，年利率12%，約定自X6年6月30日起，本息分五年平均償還，求每年應償還之金額。

54 【解析】 本例為一普通年金問題 已知P＝$75,000，n＝5，i＝12%，求R。 P＝R×Pn,i $75,000＝R×P5,12%

55 【釋例十三】已知P、R、i求n 支昌公司於X5年8月1日購入機器一部，向銀行借款$267,763，年利率為10%，約定自即日起每年8月1日償還$50,000，其中包括期初借款利息及本金之償還，試計算該公司需幾年始能將借款償清？

56 【解析】 本例為一到期年金問題 已知Pd＝$267,763，R＝$50,000，i＝10%，求n。 求n－1期之年金現值因子 查表求n
Pd＝R×(Pn-1,i＋1) $267,763＝$50,000×(Pn-1,10%＋1)， Pn-1,10%＝ －1＝ 查表求n 查普通年金現值表中利率10%一欄，期數6之現值為 ，亦即n－1＝6，故n＝7，亦即該公司需七年始能將借款還清。

57 【釋例十四】已知P、R、n求i 吉星公司於X5年2月1日向銀行借入$203,400，約定自X6年2月1日起分十期償還，每年償還$36,000，試求該項借款之利率。

58 【解析】 本題為一普通年金問題 已知P＝$203,400 ，R＝$36,000，n＝10，求i。 P＝R×P10,i

59 遞延年金現值 意義 計算方式 遞延數期後開始於每期收付一定金額，按複利折算至第一期期初之現值總和。
先求出數期後(m)之年金現值，再計算至目前之複利現值 年金現值P=R×Pn-m,i×p m,i 以兩項年金現值差額計算遞延年金現值 年金現值P=R×Pn,i －R×Pm,i

60 【釋例十五】 張君於X4年計劃於銀行存款以供其子日後升大學之用，其子預定X8年可入學，自X8年8月1日起每年預計提款$50,000共四年。若銀行利率為8%，每年複利一次，則張君於X4年8月1日應於銀行存款若干？

61 【解析】 方法一 先將X7年至X11年部分求出X7年之年金現值。 再以此金額求其X4年之複利現值，即為所求之遞延年金現值。
P＝$50,000×P4,8%＝$50,000× ＝$165,606 再以此金額求其X4年之複利現值，即為所求之遞延年金現值。 X4年8月1日複利現值 P＝$165,606×p3,8%＝$165,606× ＝$131,463

62 遞延年金現值(方法一)

63 【解析】 方法二 將前三年與後四年合併為一七年之年金，計算其普通年金現值(A)。
再計算前三年之年金現值(B)，由(A)中減除(B)，其餘額即為所求之遞延年金現值。 P＝$50,000×P7,8%－$50,000×P3,8% ＝$50,000×( － ) ＝$131,463

64 遞延年金現值(方法二)

65 2.4 現值與終值在會計上之應用

66 現值與終值在會計上之應用 不附息或票面利率不合理之長期應收、應付票據之評價。 應付公司債理論發行價格之決定，及按利息法攤銷之溢折價。
資本租賃租賃資產成本及租賃負債金額之決定。 退休金成本之衡量。 償債基金每期應提撥金額之決定。 分期付款銷貨(或分期付款購買固定資產)入帳金額之決定。

67 不附息長期票據之評價 票據之現值 ＝票據之面額按市場利率折算之現值

68 【釋例十六】 太康公司購入機器一部，以面額$120,000之二年期不附息票據抵付，若當時之市場利率為10%，試決定機器之成本及票據之現值。

69 【解析】 機器之成本＝票據之現值 ＝$120,000×p2,10%＝$120,000×0.826446 ＝$99,174
機器之成本及應付票據均應按$99,174入帳。 票據面額$120,000與$99,174之差額應先以「應付票據折價」科目列為票據面額之減項。 若不按現值評價 資產(機器)及負債(應付票據)之評價錯誤 利息費用及折舊費用之認列不正確。

70 公司債理論發行價格之決定 公司債發行時發行公司收取之發行價格，應等於未來發行公司支付之利息與面額，按市場利率折算之現值。 發行價格
＝利息之年金現值＋面額之複利現值

71 【釋利十七】 湖南公司於X5年1月1日發行年利率8%之五年期公司債，面額$1,000,000，每年12月31日付息一次，若發行時市場利率為10%，試求該公司債之理論發行價格。

72 【解析】

73 本章結束