第 3 章 線性規劃：幾何方法.

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1 第 3 章 線性規劃：幾何方法

2 3.1 二變數線性不等式系統之繪圖 線性不等式之繪圖
Tan/管理數學 第3章 第140頁

3 線性不等式之繪圖 Tan/管理數學 第3章 第141頁

4 線性不等式之繪圖 線性不等式的繪圖程序 將式子中的不等號改成等號之後得一線方程式，將該線繪於xy平面上。若遇嚴格不等式，則以虛線表示圖形不包含該線；否則以實線表示。 在直線分割出來的任一半面中選一測試點(如有可能最 好選原點)，將其點座標代入不等式左側。 若測試點的座標滿足不等式，其所在的半面即為所求半面；否則，另一個半面才是我們要的。在選好的半面塗上陰影。 Tan/管理數學 第3章 第141頁

5 例題 1 找出2x+3y  6的解。 解： 我們先將的符號改成=，得到2x + 3y = 6的方程式，用實線將線繪於xy平面上，如圖3。接著以原點為測試點，代入不等式左側2(0) + 3(0)，由於所得的0不可能大於6，即原點的座標無法滿足不等式，因此，不含原點的另一半面才是2x + 3y  6 的解所成的集合。 Tan/管理數學 第3章 第142頁

6 例題 1（續） Tan/管理數學 第3章 第142頁

7 例題 2 繪出x  2y > 0的圖形。 解： 我們先畫出x  2y = 0的線，見圖4。由於原點落在直線上，因此不能當測試點，任選另一點如(1, 2) 為測試點，檢驗的結果1  2(2) 的值為3，無法滿足不等式，因此，不含測試點(1, 2)的另一半面才是x  2y > 0的解所成的集合。 Tan/管理數學 第3章 第142頁

8 例題 2（續） Tan/管理數學 第3章 第142頁

9 線性不等式系統的圖形 線性不等式系統(systems of linear inequalities)的解所成的集合是指滿足所有不等式的(x, y) 點所成的集合，我們也稱之為解集合(solution set)。欲求得線性不等式系統的圖形解，可將每個不等式的圖形解獨立繪出，之後找出共同交集的區域。 Tan/管理數學 第3章 第143頁

10 例題 3 繪出下列不等式系統的解集合： 解： 我們針對每個不等式先求出解所在的半面，並用箭頭標示半面的位置，如圖5。兩個半面的交集即陰影區域，此區域構成系統的解集合，區域中的任一點必滿足系統中的任一不等式。 Tan/管理數學 第3章 第143頁

11 例題 3（續） 解（續）： 其中P點座標是由下列線性方程組解得： Tan/管理數學 第3章 第143頁

12 例題 4 繪出下列不等式系統的解集合： 解： 前面兩個不等式代表解必定在第一象限。我們針對後面兩個不等式先求出解所在的半面，並用箭頭標示半面的位置，如圖6。兩個半面交集於第一象限的區域，如陰影所示，即為線性不等式系統的解集合。 Tan/管理數學 第3章 第 頁

13 例題 4（續） 解（續）： 其中P點座標是由x + y  6 = 0與2x + y  8 = 0的線性方程組解得。 Tan/管理數學
第3章 第144頁

14 線性不等式系統的圖形 解集合的有界與無界 若我們可以畫個大圓把線性不等式系統的解集合包起來，
則此解集合是有界的(bounded)；否則，即是無界的 (unbounded) 。 Tan/管理數學 第3章 第144頁

15 例題 5 繪出下列的不等式系統的解： 解： 後面兩個不等式代表解必定在第一象限。我們針對前面兩個不等式先求出解所在的半面，並用箭頭標示半面的位置，如圖7。兩個半面交集於第一象限的區域，如陰影所示，即為線性不等式系統的解集合，可以看出此解集合是無界的。 Tan/管理數學 第3章 第 頁

16 例題 5（續） Tan/管理數學 第3章 第145頁

17 3.2 線性規劃問題 線性規劃問題 一個線性規劃問題(linear programming problem) 具有一
個尋求極大化(maximization)或極小化(minimization)的線 性目標函數，且其隸屬的限制條件均以線性的等式或不 等式來呈現。 或說線性規劃問題是在線性不等式的解集合裡尋求極大值或極小值的問題。 Tan/管理數學 第3章 第149頁

18 例題 1 生產規劃 永新公司想要生產甲、乙兩款紀念品。
例題 1 生產規劃 永新公司想要生產甲、乙兩款紀念品。 一個甲紀念品的利潤是1元；乙紀念品是1.20元。 製造一個甲紀念品時，需使用機器一2分鐘、機器二1分鐘；製造一個乙紀念品時，需使用機器一1分鐘、機器二3分鐘。 已知機器一可使用的總時數是3 小時，機器二為5 小時。 試問永新公司每款紀念品應生產多少個才能使利潤最大？將此線性規劃問題公式化但不必求解(我們將於第3.3 節的例題1中求解)。 Tan/管理數學 第3章 第149頁

19 例題 1 生產規劃（續） 解： 根據題意，我們先整理出下表： 令x, y分別為甲、乙兩款紀念品的生產量，則總利潤(單位：元) 為
例題 1 生產規劃（續） 解： 根據題意，我們先整理出下表： 令x, y分別為甲、乙兩款紀念品的生產量，則總利潤(單位：元) 為 P = x + 1.2y Tan/管理數學 第3章 第150頁

20 例題 1 生產規劃（續） 解（續）： P即是欲求極大化的目標函數。此外，在x, y的產量分配下，機器一將需2x + y分鐘，而這時間不能超過機器一可使用的時間，即180 分鐘，由此列出第一條不等式： 2x + y  180 同樣地，機器二將需x+3y分鐘，而這時間不能超過機器二可使用的時間，即300分鐘，由此列出了第二條不等式： x+ 3y  300 Tan/管理數學 第3章 第150頁

21 例題 1 生產規劃（續） 解（續）： 生產量x, y不得為負，因此需加上不等式如下：
例題 1 生產規劃（續） 解（續）： 生產量x, y不得為負，因此需加上不等式如下： 故總結此問題係在下列幾個不等式的條件限制下，尋求目標函數P = x + 1.2y的極大化： Tan/管理數學 第3章 第150頁

22 例題 2 營養問題 一營養學家建議一位欠缺鐵質與維他命B的病人，應攝取至少2,400 毫克的鐵質、2,100毫克的維他命B1與1,500毫克的維他命B2一段時間。現考慮採用A, B兩個牌子的維他命丸。 維他命丸A每顆含40 毫克的鐵質、10 毫克的維他命B1與5毫克的維他命B2； 維他命丸B每顆含10 毫克的鐵質，以及各15毫克的維他命B1與B2。 已知維他命丸A 每顆要6 元，維他命丸B 每顆是8 元。 請問營養學家應建議病人兩個牌子的維他命丸各吃多少顆，才能滿足最低攝取量且花費最低？將此線性規劃問題公式化但不必求解(我們將於第3.3 節例題2 中求解)。 Tan/管理數學 第3章 第151頁

23 例題 2 營養問題（續） 解： 我們將兩種維他命丸的資訊整理於下表： 令x, y分別為維他命丸A與B所需服用的顆數，則維他命丸的花費成本為
例題 2 營養問題（續） 解： 我們將兩種維他命丸的資訊整理於下表： 令x, y分別為維他命丸A與B所需服用的顆數，則維他命丸的花費成本為 C = 6x + 8y 此即欲求極小化的目標函數。 Tan/管理數學 第3章 第151頁

24 例題 2 營養問題（續） 解（續）： 服用x顆維他命丸A與y顆維他命丸B將獲取40x + 10y毫克的鐵質，為達到最低攝取量2400毫克的要求，我們得到第一條不等式： 同樣地，為達到維他命B1與B2的最低攝取量的要求，我們列出另外兩條不等式如下： Tan/管理數學 第3章 第151頁

25 例題 2 營養問題（續） 解（續）： 故總結此問題係在下列幾個不等式的條件限制下，尋求目標函數C = 6x + 8y的極小化：
例題 2 營養問題（續） 解（續）： 故總結此問題係在下列幾個不等式的條件限制下，尋求目標函數C = 6x + 8y的極小化： Tan/管理數學 第3章 第 頁

26 例題 3 倉庫問題 雅音公司在二個不同的廠(廠Ⅰ與廠Ⅱ)生產F型喇叭系統。廠Ⅰ的月產能是400組而廠Ⅱ是600組。
例題 3 倉庫問題 雅音公司在二個不同的廠(廠Ⅰ與廠Ⅱ)生產F型喇叭系統。廠Ⅰ的月產能是400組而廠Ⅱ是600組。 目前打算運送這些喇叭系統到公司三家做為配銷中心的倉庫。 根據各倉庫的訂單情形，A, B, C三家倉庫每月最低的需求量分別是200, 300與400 組。 一組喇叭從廠Ⅰ運送到A, B, C 三家倉庫的運輸成本分別為20, 8 與10元；從廠Ⅱ運送到A, B, C三家倉庫的運輸成本分別為12, 22 與18 元。 試問雅音公司該如何訂定運輸計畫，才能滿足三家配銷中心的訂單需求，並使運輸成本最低？將此線性規劃問題公式化但不必求解(我們將於第4.2 節的例題5 中求解)。 Tan/管理數學 第3章 第152頁

27 例題 3 倉庫問題（續） 解（續）： 我們先將工廠與倉庫間的單位運輸成本資訊整理於下表： Tan/管理數學 第3章 第152頁

28 例題 3 倉庫問題（續） 解（續）： 令x1表示喇叭產品從廠Ⅰ運到倉庫A 的數量， x2表示從廠Ⅰ運到倉庫B 的數量，並以此類推，詳見下表：
例題 3 倉庫問題（續） 解（續）： 令x1表示喇叭產品從廠Ⅰ運到倉庫A 的數量， x2表示從廠Ⅰ運到倉庫B 的數量，並以此類推，詳見下表： Tan/管理數學 第3章 第152頁

29 例題 3 倉庫問題（續） 解（續）： 由表3 與表4 可知從廠Ⅰ運到倉庫A 的運輸成本為20 x1 ，運到倉庫B 的運輸成本為8 x2，並以此類推。因此，運輸的總成本為 此外，基於廠Ⅰ與廠Ⅱ在產能上的限制，故有以下兩個不等式： Tan/管理數學 第3章 第152頁

30 例題 3 倉庫問題（續） 解（續）： 而為滿足三家倉庫的最低需求量限制，分別列出三個不等式： Tan/管理數學 第3章 第152頁

31 例題 3 倉庫問題（續） 解（續）： 綜合起來，我們得到以下的線性規劃問題： Tan/管理數學 第3章 第152頁

32 3.3 線性規劃問題的圖形解 圖解法 Tan/管理數學 第3章 第157頁

33 圖解法 定理1：線性規劃 若一線性規劃問題有解，其解必然發生在可行集合S的頂點或角落點(corner point) 上。若目標函數P在兩個相鄰的頂點上都達到最佳值，則連接這兩相鄰頂點之線段上的任一點均為最佳解，亦即此線性規劃問題有無限多個解。 Tan/管理數學 第3章 第158頁

34 圖解法 定理2：解的存在與否 假設一線性規劃問題的可行集合為S，目標函數為P = ax + by。
a. 若S為有界，則P在S上可找到最大值及最小值。 b. 若定義S的限制式包括x  0及y  0，當a與b均是非負的數，且 知S為無界時，則P在S上可找到最小值。 c. 若S是空集合，則此線性規劃問題無解，亦即無最大值也無最 小值。 Tan/管理數學 第3章 第159頁

35 圖解法 角落法 畫出可行集合。 找出可行集合上所有角落點(或頂點)的座標。 算出各角落點的目標函數值。
找出使目標函數值最大(或最小)的角落點。若此角落點是唯一的，則代表這是唯一的解。若目標函數於兩個相鄰的角落點上都得到最大值(或最小值)，則此線性規劃問題有無限多個解，而連接這兩相鄰角落點之線段上的任一點均為最佳解。 Tan/管理數學 第3章 第159頁

36 例題 1 利潤極大化 在第3.2節的例題1中，我們已將線性規劃問題公式化，其結果如下： 本節則利用角落法求解。 解：
例題 1 利潤極大化 在第3.2節的例題1中，我們已將線性規劃問題公式化，其結果如下： 本節則利用角落法求解。 解： 我們首先繪出可行集合S，見圖10。 Tan/管理數學 第3章 第159頁

37 例題 1 利潤極大化（續） 解（續）： Tan/管理數學 第3章 第160頁

38 例題 1 利潤極大化（續） 解（續）： 在S上的角落點有A (0, 0) , B (90, 0) , C (48, 84)與D (0, 100)。將各角落點座標及其目標函數值列表整理於 Tan/管理數學 第3章 第160頁

39 例題 1 利潤極大化（續） 解（續）： 從表上的值可比較出來，最大的目標函數值發生在C (48, 84) 的角落點，其值為148.8。因此，永新公司應生產甲款的紀念品48 個，乙款的紀念品84 個，如此可以得到最大利潤148.8 元。 Tan/管理數學 第3章 第160頁

40 例題 2 營養問題 在第3.2 節的例題2中，我們已將線性規劃問題公式化，其結果如下： 本節則利用角落法求解。 Tan/管理數學
例題 2 營養問題 在第3.2 節的例題2中，我們已將線性規劃問題公式化，其結果如下： 本節則利用角落法求解。 Tan/管理數學 第3章 第160頁

41 例題 2 營養問題（續） 解： 我們首先繪出可行集合S，見圖11。 Tan/管理數學 第3章 第161頁

42 例題 2 營養問題（續） 解（續）： 在S上的角落點有A (0, 240), B (30, 120), C (120, 60)與D (300, 0)。將各角落點座標及其目標函數值列表整理於下： Tan/管理數學 第3章 第161頁

43 例題 2 營養問題（續） 解（續）： 從表上的值可比較出來，最小的目標函數值發生在B (30, 120) 的角落點，其值為1,140。因此，營養學家應建議病人購買30顆維他命丸A、120 顆維他命丸B，如此可以得到最低成本1,140 元。 Tan/管理數學 第3章 第161頁

44 例題 3 多重解的線性規劃問題 在以下線性不等式系統的條件下，求函數P = 2x + 3y之最大值與最小值： Tan/管理數學
例題 3 多重解的線性規劃問題 在以下線性不等式系統的條件下，求函數P = 2x + 3y之最大值與最小值： Tan/管理數學 第3章 第161頁

45 例題 3 多重解的線性規劃問題（續） 解： 我們首先繪出可行集合S，見圖12。 Tan/管理數學 第3章 第162頁

46 例題 3 多重解的線性規劃問題（續） 解（續）： 在S上的角落點有A (5, 0), B (10, 0), C , D (3, 8)
例題 3 多重解的線性規劃問題（續） 解（續）： 在S上的角落點有A (5, 0), B (10, 0), C , D (3, 8) 與E (0, 5)。將各角落點座標及其目標函數值列表整理於下： Tan/管理數學 第3章 第162頁

47 例題 3 多重解的線性規劃問題（續） 解（續）：
例題 3 多重解的線性規劃問題（續） 解（續）： 從表上的值可比較出來，最小的目標函數值發生在A (5, 0)的角落點，其值為10；而最大的目標函數值發 生在C 與D (3, 8) 兩個角落點，代表線段 上的每一點均得到最大值30。 Tan/管理數學 第3章 第162頁

48 例題 4 無界的線性規劃問題 解出下列的線性規劃問題： 解： 我們首先繪出可行集合S，見圖13。 Tan/管理數學 第3章 第162頁

49 例題 4 無界的線性規劃問題（續） 解（續）： 由於區域S無界，x與y可以是任意大的數，因此這是一個無解的線性規劃問題。這類問題稱之為無界的(unbounded)。 Tan/管理數學 第3章 第163頁

50 例題 5 不可行的線性規劃問題 解出下列的線性規劃問題： 解： 由於兩個不等式所得到的半面彼此並無交集，因此可行集合S為空集合，見圖14。
例題 5 不可行的線性規劃問題 解出下列的線性規劃問題： 解： 由於兩個不等式所得到的半面彼此並無交集，因此可行集合S為空集合，見圖14。 Tan/管理數學 第3章 第163頁

51 例題 5 不可行的線性規劃問題（續） 解（續）：
例題 5 不可行的線性規劃問題（續） 解（續）： 故本題為無解的線性規劃問題。這類問題稱之為不可行的(infeasible) 或不一致的(inconsistent)。 Tan/管理數學 第3章 第 頁

52 3.4 敏感度分析 當線性規劃問題之參數改變時，最佳解會受到影響，這類問題的分析稱為敏感度分析(sensitivity analysis)
目標函數之分析(例題1) 資源項(限制式右手邊之常數值)之分析(例題2) Tan/管理數學 第3章 第173頁

53 例題 1 利潤函數之分析 凱尼製造公司生產甲、乙兩型鐵窗。 一個甲型鐵窗的利潤是2.00元；乙型鐵窗是1.50元。
例題 1 利潤函數之分析 凱尼製造公司生產甲、乙兩型鐵窗。 一個甲型鐵窗的利潤是2.00元；乙型鐵窗是1.50元。 製造一個甲型鐵窗需使用3磅鑄鐵，以及6分鐘人工；製造一個乙型鐵窗需使用4磅鑄鐵，以及3分鐘人工。 已知鐵窗製造每天可使用的資源為1,000磅鑄鐵，以及20 人工時。 此外，因甲型鐵窗尚有庫存，公司規定其產量每天不超過180 個。 Tan/管理數學 第3章 第173頁

54 例題 1 利潤函數之分析（續） a. 利用角落法求解，找出凱尼製造公司甲、乙兩型鐵窗各應生產多少個才能使利潤最大？
例題 1 利潤函數之分析（續） a. 利用角落法求解，找出凱尼製造公司甲、乙兩型鐵窗各應生產多少個才能使利潤最大？ b. 在不影響最佳解情況下，找出甲型鐵窗對利潤的貢獻值範圍。(或說甲型鐵窗的利潤在何變動範圍內，不會影響該點為利潤最大的解) c. 在不影響最佳解情況下，找出乙型鐵窗對利潤的貢獻值範圍。 (或說乙型鐵窗的利潤在何變動範圍內，不會影響該點為利潤最大的解) Tan/管理數學 第3章 第173頁

55 例題 1 利潤函數之分析（續） 解 a： 令x、y分別為甲、乙兩型鐵窗的生產量，則利潤總和為 P = 2x + 1.5y
例題 1 利潤函數之分析（續） 解 a： 令x、y分別為甲、乙兩型鐵窗的生產量，則利潤總和為 P = 2x + 1.5y P即是欲求極大化的目標函數。此外，由1,000磅鑄鐵的資源限制可列出第一條不等式： 3x + 4y  1000 Tan/管理數學 第3章 第 頁

56 例題 1 利潤函數之分析（續） 解 a（續）： 由20 人工時的資源限制可列出第二條不等式： 6x + 3y  1200
例題 1 利潤函數之分析（續） 解 a（續）： 由20 人工時的資源限制可列出第二條不等式： 6x + 3y  1200 由甲型鐵窗的日產量限制可列出第三條不等式： x  180 Tan/管理數學 第3章 第174頁

57 例題 1 利潤函數之分析（續） 解 a（續）： 因此得到線性規劃問題如下： 極大化 P = 2x + 1.5y
例題 1 利潤函數之分析（續） 解 a（續）： 因此得到線性規劃問題如下： 極大化 P = 2x + 1.5y 條件 3x + 4y  限制式1 6x + 3y  限制式2 x  180 限制式3 x  0, y  0 其可行集合S繪於圖17。 Tan/管理數學 第3章 第174頁

58 例題 1 利潤函數之分析（續） 解 a（續）： Tan/管理數學 第3章 第174頁

59 例題 1 利潤函數之分析（續） 解 a（續）： 在S上的角落點有A(0, 0), B(180, 0), C(180, 40) , D(120, 160)與E(0, 250)。將各角落點座標及其目標函數值列表整理於下： Tan/管理數學 第3章 第175頁

60 例題 1 利潤函數之分析（續） 解 a（續）： 從表上的值可比較出來，最大的目標函數值發生在角落點D(120, 160)，其值為P = 2x + 1.5y = 480。因此，凱尼製造公司每天應生產甲型鐵窗120 個，乙型鐵窗160個，如此可以得到最大利潤480 元。 Tan/管理數學 第3章 第175頁

61 例題 1 利潤函數之分析（續） 解 b： 令甲型鐵窗對利潤的貢獻為每個c元，故 P = cx + 1.5y 再將其改寫成斜截式如下：
例題 1 利潤函數之分析（續） 解 b： 令甲型鐵窗對利潤的貢獻為每個c元，故 P = cx + 1.5y 再將其改寫成斜截式如下： Tan/管理數學 第3章 第175頁

62 例題 1 利潤函數之分析（續） 解 b（續）： 由圖17 可以看出，如果等利潤線的斜率大於限制式1 所對應直線之斜率，則最佳解的位置將從D點移轉到E點。因此，只要等利潤線的斜率小於或等於限制式1對應直線之斜率，則最佳解的位置維持於D點不變。由於限制式1對應直線為3x + 4y = 1,000，寫成 斜截式為 ，其斜率等於 。 Tan/管理數學 第3章 第175頁

63 例題 1 利潤函數之分析（續） 解 b（續）： 又等利潤線的斜率為2c / 3，所以得知 Tan/管理數學 第3章 第175頁

64 例題 1 利潤函數之分析（續） 解 b（續）： 另由圖17 也可以看出，如果等利潤線的斜率小於限制式2 所對應直線之斜率，則最佳解的位置將從D點移轉到C點。反之，只要等利潤線的斜率大於或等於限制式2所對應直線之斜率，則最佳解的位置維持於D點不變。 Tan/管理數學 第3章 第175頁

65 例題 1 利潤函數之分析（續） 解 b（續）： 由於限制式2對應直線為6x + 3y = 1,200，寫成斜截式為y = 2x + 400，故其斜率等於 2，所以得知 Tan/管理數學 第3章 第 頁

66 例題 1 利潤函數之分析（續） 解 b（續）： 綜合前述討論可知，甲型鐵窗在1.125  c  3的係數範圍下，最佳解的位置將維持於D點不變；亦即甲型鐵窗對利潤的貢獻每個在1.125 元至3.00 元之間時，最佳解不受影響。 Tan/管理數學 第3章 第176頁

67 例題 1 利潤函數之分析（續） 解 c： 令乙型鐵窗對利潤的貢獻為每個c 元，得 P = 2x + cy 再將其改寫成斜截式如下：
例題 1 利潤函數之分析（續） 解 c： 令乙型鐵窗對利潤的貢獻為每個c 元，得 P = 2x + cy 再將其改寫成斜截式如下： Tan/管理數學 第3章 第176頁

68 例題 1 利潤函數之分析（續） 解 c（續）： 由圖17可以看出，如果等利潤線的斜率小於或等於限制式1所對應直線之斜率，則最佳解的位置維持於D點不變。因此，寫成不等式得 Tan/管理數學 第3章 第176頁

69 例題 1 利潤函數之分析（續） 解 c（續）： 此外，如果等利潤線的斜率大於或等於限制式2所對應直線之斜率，則最佳解的位置維持於D點不變。因此，寫成不等式得 Tan/管理數學 第3章 第176頁

70 例題 1 利潤函數之分析（續） 解 c（續）： 綜合前述討論可知，乙型鐵窗在1.00  c  2.67的係數範圍下，最佳解的位置將維持於D點不變；亦即乙型鐵窗對利潤的貢獻每個在1.00元至2.67元之間時，最佳解不受影響。 Tan/管理數學 第3章 第176頁

71 陰影價格(shadow price) 指第i項資源每增加一個單位時，其目標函數改進(增加或減少)量的大小。
當目標函數欲求極大化時，陰影價格表示目標函數增加的量 當目標函數欲求極小化時，陰影價格表示目標函數減少的量。 Tan/管理數學 第3章 第179頁

72 例題 2 資源項之分析 承例題1 凱尼製造公司之線性規劃問題： 極大化 P = 2x + 1.5y
例題 2 資源項之分析 承例題1 凱尼製造公司之線性規劃問題： 極大化 P = 2x + 1.5y 條件 3x + 4y  限制式1 6x + 3y  限制式2 x  180 限制式3 x  0, y  0 a. 請找出資源1 的範圍(即限制式1 右手邊常數值範 圍)。 b. 求出資源1 的陰影價格。 Tan/管理數學 第3章 第179頁

73 例題 2 資源項之分析（續） 解 a： 若限制式1右手邊常數值取代為1,000 + h，h為實數，則最佳解的位置將自D點移轉到D' 點，見圖19。 Tan/管理數學 第3章 第180頁

74 例題 2 資源項之分析（續） 解 a（續）： Tan/管理數學 第3章 第180頁

75 例題 2 資源項之分析（續） 解 a（續）： 接著，我們可以經由解下列二直線的交點求出D'的座標： 3x + 4y = 1,000 + h
例題 2 資源項之分析（續） 解 a（續）： 接著，我們可以經由解下列二直線的交點求出D'的座標： 3x + 4y = 1,000 + h 6x + 3y = 1,200 將上面第1 式乘以-2，加上第2 式後得到 Tan/管理數學 第3章 第180頁

76 例題 2 資源項之分析（續） 解 a（續）： 再將y的結果代入第2 式，得到 Tan/管理數學 第3章 第180頁

77 例題 2 資源項之分析（續） 解 a（續）： 此外，為滿足y非負的性質，我們得到h  400；
例題 2 資源項之分析（續） 解 a（續）： 此外，為滿足y非負的性質，我們得到h  400； 為滿足x非負的性質，我們得到h  600。 加上限制式3 的規定x  180 ，故 Tan/管理數學 第3章 第 頁

78 例題 2 資源項之分析（續） 解 a（續）： 綜合上述，h必須符合不等式300  h  600。由此可進一步計算資源1 的範圍為(1,000  300)至(1, )，即700至1,600，亦即凱尼製造公司所提供之鑄鐵介於700 至1,600 磅時，可推算最佳解(D' )的位置。 Tan/管理數學 第3章 第181頁

79 例題 2 資源項之分析（續） 解 b： 將h = 1代入a.的解，得到 Tan/管理數學 第3章 第181頁

80 例題 2 資源項之分析（續） 解 b（續）： 因此，所得利潤為
例題 2 資源項之分析（續） 解 b（續）： 因此，所得利潤為 又原始問題的最佳利潤為480 元(詳見例題1a.)，因此，資源1 的陰影價格為0.20元。 Tan/管理數學 第3章 第181頁