第五章 IIR DF的设计方法.

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1 第五章 IIR DF的设计方法

2 第一节 引言

3 一、滤波器的设计方法 因为，DF是一种具有频率选择性的离散线性系统。它是在确定信号与随机信号的数字处理中有着广泛的应用。
所以，数字滤波器的设计是确定其系统函数并实现的过程。

4 二、滤波器设计的步骤 1.根据任务，确定性能指标。 2.用因果系统的线性时不变系统函数去逼近。
3.用有限精度算法实现这个系统函数。（包括选择运算结构、选择合适的字长、有效数字处理方法。） 4.用适当的软、硬件技术实现 包括采用：通用计算机软件、数字滤波器硬件、或者二者结合。

5 三、性能指标 我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。 因为理想滤波器物理不可实现的。（由于从一个频带到另一个频带之间的突变）
要物理可实现：应从一个带到另一个带之间设置一个过渡带且在通带和止带内也不应该严格为1或零。应给以较小容限。

6 1、低通滤波器的性能指标 |H(ejw)|或|H(f) δ1:通带的容限 1 δ2：阻带容限 Ap 1-δ1
通带截止频率：fp(wp)又称为通带上限频率。 通带衰减：Ap 阻带截止频率：fp(ws)又称阻带下限截止频率。 阻带衰减：As δ2 As fs ws fp wp f w

7 2、高通滤波器的性能指标 |H(ejw)|或|H(f) Ap 通带截止频率：fp(wp)又称为通带下限频率。 通带衰减：Ap
阻带截止频率：fp(ws)又称阻带上限截止频率。 阻带衰减：As 1 As fs ws fp wp f w

8 3、带通滤波器的性能指标 |H(ejw)|或|H(f) Ap 通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。
阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。 阻带衰减：As 1 As f w fs1 ws1 fp1 wp1 fs2 ws2 fp2 wp2

9 4、带阻滤波器的性能指标 |H(ejw)|或|H(f) Ap 通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。
阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。 阻带衰减：As 1 As fs1 ws1 f w fp1 wp1 fs2 ws2 fp2 wp2

10 5、通常具体技术指标

11 四、H(z)如何推导出 （1）根据提出对滤波器的性能要求、频率特性（低、高、带通、带阻）来设计系统H(z).
(2)根据时域波形提出要求来设计-->单位冲激响应h(n)或g(n)的形状。 （3）有时也直接给出H(z).(但要求因果稳定).

12 五、确定DF的采用的结构及运算结构的好坏
确定DF的采用的结构将会影响DF的精度、稳定性、经济性及运算速度等很多重要性质。 1.计算复杂性 一个运算结构应含有最少的乘法器和最少的延时器。乘法器最费时间，乘法器少，运算速度快， 延时器最费存储单元，延时器少，存储器用的少，计算少。 2.有限存储器的长度的影响与运算结构有关。即有时会希望使用一种运算结构，虽然它的乘法器和延时器并不是最少的，但它对存储器的有限字长效应是最不敏感的。

13 六、本章主要内容 1.设计IIR DF两种变换法（模拟频率变换法，数字频率变换法）。
2.利用模拟滤波器来设计数字滤波器的两种方法（冲激不变法、双线性变换法）。 3.（计算机辅助设计）最优化技术设计 （最小均方误差法、最小误差设计法）

14 第二节 IIR DF 设计方法

15 一、IIR DF 系统函数 IIR DF 是一个递归型系统，其系统函数：

16 二、IIR DF频率特性 它是由三个参量来表征： 1.幅度平方响应 2.相位响应 3.群延时

17 1.幅度平方响应

18 2.相位响应

19 3.群延时 它是滤波器平均延迟的一个度量，定义为相频特性对角频率w的一阶导数的负值。即：

20 三、IIR DF 的设计方法 设 计 IIR 数 字 滤 波 器 系 统 函 数 有 两 种 方 法： 1、简单滤波器的零、极点累试法
2、间 接 方 法 3、直 接 方 法

21 1、简单滤波器的零、极点累试法 在z平面上直接设计IIR数字滤波器，即以所希望的滤波器响应作为依据，直接在z平面上，通过多次选定极点和零点位置以逼近该响应。即在单位园内， 在处设置一对共轭极点的话，那么，频响在w0处就有一峰值。 当r越近于1，即极点位置越接近单位园，则峰值就越尖锐。同理，若在单位园上，设置一对零点， 则频响就会在w1处出现各值，即可实现陷波。这样如果，特性尚达不到要求，可再移动零、极点，这样作二、三次调整后，就可以获得一些简单的要求DF.这种方法，可以设计一些简单阶数很低（1~2阶)的DF。 Im[z] * * Re[z] * *

22 2、间 接 方 法 由于模拟滤波器设计技术是非常成熟的，归一化各种模拟低通滤波器的系统函数已有表可查，利用成熟的设计技术，可得到一个间接设计IIR DF的方法，即间接设计方法。 这 种 方 法 通 常 要 先 设 计 一 中 间 滤 波 器 ， 然 后 通 过 映 射 或 频 率 变 换 完 成 最 终 IIR 数 字 滤 波 器 的 设 计。 这 种 间 接 设 计 方 法 包 括： (1) 由模 拟滤波器设计数字滤波器 (2) 频 率 变 换 法（分为模拟频率变换法和数字频率变换法）来设计数字滤波器

23 3、直 接 方 法 直 接 方 法( 计 算 机 辅 助 设 计 法 ) （1）在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数字滤波器。
直 接 方 法( 计 算 机 辅 助 设 计 法 ) （1）在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数字滤波器。 （2）在时域直接设计IIR数字滤波器 此 法 根 据 性 能 指 标 和 一 定 的 逼 近 准 则， 直 接 利 用 计 算 机 完 成 设 计。

24 第三节 由模拟滤波器设计数字滤波器的方法

25 一、由模拟滤波器设计数字滤波器步骤 用间接方法之一即由模拟滤波器设计IIR DF的 系 统 函 数. 这 种 方 法 设 计 ， 要 经 过 以 下 三 步： 1、数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器指标 2、模拟滤波器设计 3、映射实现：从模拟滤波器再转换在数字滤波器

26 1、数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器指标
根 据 给 定 设 计 要 求， 把 数 字 滤 波 器 的 性 能 指 标 变 成 模 拟 滤 波 器 的 性 能 指 标。

27 2、模拟滤波器设计 设 计 出 符 合 要 求 的 模 拟 滤 波 器 的 系 统 函 数。可以选择多种类型的滤波器。如Butterworth,Chebyshev,Elliptic,Bessel等。

28 3、 映 射 实 现 利 用 一 定 的 映 射 方 法， 把 模 拟 滤 波 器 系 统 函 数 数 字 化， 完 成 IIR 数 字 滤 波 器 系 统 函 数 的 设 计。

29 二、由模拟滤波器设计 数字滤波器条件 完成由模拟变换到数字的映射必须满足两条基 本 要 求：
条 件①为 保 持 模 拟 滤 波 器 的 频 率 轴 的 映 射 关 系，S 平 面 的 虚 轴 jΩ 必 须 映 射 到 Z 平 面 的 单 位 圆上， 即[S=jΩ,∞＜Ω＜∞]→[Z=,－π＜ω＜π] 条 件②为 保 持 滤 波 器 稳 定 性，S 平 面 的 左 半 平 面 必 须 映 射 到Z 平 面 的 单 位 圆 内， 即Re[s]<0 → |z|<1 z S - π π ω Ω z S - π π ω Ω

30 三、由模拟滤波器设计数字滤波器这种方法的局限性
用 这 方 法 设 计IIR 数 字 滤 波 器 存 在 一 定 的 局 限 性： (1) 这 种 方 法 只 适 于 设 计 振 幅 响 应 分 段 恒 定 的 滤 波 器， 不 能 解 决 多 带 或 任 意 幅 度 的 滤 波 器 的 设 计 问 题。 (2) 它 只 是 一 种 可 行 的 方 法， 而 不 是 最 优 的 方 法。

31 四、映射实现的方法 由模拟滤波器映射成数字滤波器的方法，也即，数字滤波器能模仿滤波器的特性。 主要有以下几种映射方法：
冲 激 响 应 不 变 法 阶 跃 响 应 不 变 法（不讲，同学们自已看） 双 线 性 变 换 法

32 第四节 常用模拟低通滤波器的设计

33 一、为何要设计模拟低通滤波器 由于模拟滤波器来设计数字滤波器：必须先将数字滤波器的设计技术指标转换成模拟低通滤波器的设计指标，设计出模拟低通滤波器的原型，然后进行映射。再此节我们先复习如何设计模拟低通滤波器。 首先将要设计的数字滤波器的指标，转变成模拟低通原型滤波器的指标(此节不讲)后，我们就只设计“模拟低通原型”滤波器。 模拟滤波器的设计(逼近)不属于本课程的范围，但由于没学过,在此介绍常用的二种模拟低通滤波器的设计。 1、Butterworth巴特渥斯滤波器(最平幅度) 2、Chebyshev切比雪夫滤波器(通带或阻带等波纹）

34 二、模拟滤波器设计思想 将一组规定的设计要求，转换为相应的模拟系统函数Ha(s)使其逼近某个理想滤波器的特性。(滤波器的特性包括有：幅度特性、相位特性/群时延特性)，模拟滤 波器经常借助其幅度平方函数特性来设计。

35 三、根据幅度平方函数确定系统函数 1、求滤波器的幅度平方函数
设 计 模 拟 滤 波 器 经 常 要 借 助 其 幅 度 平 方 函 数 其中:Ha(s)是模拟滤波器的系统函数。 假 设p1, z1为Ha(s) 的一个零点和一个极点，则-p1, -z1必为Ha(-s)的一个零点和极点，Ha(s)、Ha(-s)的零极点成象限对称分布。所以必然有如下形式： z1 p1 -z1 -p1 ＊ ＊ ＊ ＊

36 2、根据幅度平方函数设计模拟滤波器的系统函数的步骤
我 们 知 道， 实 际 滤 波 器 都 是 稳 定 的， 因 此 其 极 点 一 定 位 于S 平 面 左 半 平 面， 这 样 可 根 据 幅 度 平 方 函 数 通 过 如 下 步 骤 分 配 零、 极 点 来 设 计 出 模 拟 滤 波 器 的 系 统 函 数 。 (1)由 来 确 定 象 限 对 称的 S 平 面 函 数。 (2)将 因 式 分 解， 得 到 各 零 点 和 极 点。 (3) 按 照 与Ha(s) 的 低 频 特 性 或 高 频 特 性 的 对 比 就 可 确 定 出 增 益 常 数。

37 (1)由 来 确 定 象 限 对 称的 S 平 面 函 数。 将 代入 中即得到s平面函数。

38 (2)将 因 式 分 解， 得 到 各 零 点 和 极 点。 将左半平面的极点归于Ha(s)。
(2)将 因 式 分 解， 得 到 各 零 点 和 极 点。 将左半平面的极点归于Ha(s)。 如无特殊要求，可取 的对称零点的任一半作为 Ha(s) 的零点。 如要求是最小相位延时滤波器，则应取左半平面零点作为Ha(s) 的零点。且 轴上的零点或极点都是偶次的，其中一半属于Ha(s) 。

39 (3) 按 照 与Ha(s) 的 低 频 特 性 或 高 频 特 性 , 确 定 出 增 益 常 数。
由 的条件，代入可求得增益常数。

40 例子 根据以下幅度平方函数 确定系统函数Ha(s).

41 四、Butterworth巴特渥斯低通滤波器 1、幅度平方函数
Butterworth 低 通 滤 波 器 具 有 通 带 最 大 平 坦 的 幅 度 特 性， 是 一 全 极 点 型 滤 波 器，且极点均匀分布上Ωc的园上，并且与虚轴对称。 其特点：在通带内，幅频特平坦，随着频率的升高而单调下降。其幅 度 平 方 函 数为 其 中N 为 整 数， 表 示 滤 波 器 的 阶 次，Ωc 定 义 为 截 止 频 率， 为 振 幅 响 应 衰 减 到 - 3dB 处 的 频 率。

42 2、Butterworth滤波器的极点分布
由 可知Butterworth的零点全部在S=∞处，它是全极点型滤波器，且分布在半径为Ωc 的圆上,呈象限对称分布。 为了得到稳定的滤波器，s左半平面的极点必须分配给Ha(s)，s右半平面的极点分配给Ha(-s)。 取其分布在左平面的极点, 设计出巴特沃斯低通滤波器.

43 3、Butterworth的幅度响应 及极点分布
极点不会落在S平面上的虚轴上

44 4、Butterworth滤波器阶数N与幅度响应的关系

45 5、3dB带宽

46 6、Butterworth滤波器的特点 (1)N阶滤波器在Ω=0处幅度平方函数的前(N-1)阶导数等于零。即 在Ω=0处，最平坦，且随着Ω的增加单调下降。 (2)在止带内的逼近是单调变化的，不管N为多少，所有 都经过 点（-3dB)处。 (3)滤波器的特性完全由其阶数N决定。N越大，则通带内在更大范围内更接近于1，在止带内迅速地接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形频率特性。

47 7、归一化的Butterworth滤波器的系统函数
在一般设计中，都先把Ωc 设为1rad/s，这样使频率得到归一化。归一化的Butterworth滤波器的极点分布以及相应系数都有现成表可查（P148）。 即若令

48 8、Butterworth滤波器设计步骤 (2) 由 确 定Ha(s)Ha(-s) 的 极 点。
(1) 根 据 设 计 规 定， 确 定Ωc 和N。 (2) 由 确 定Ha(s)Ha(-s) 的 极 点。 (3) Sk 的 前N个值(k=1,2,...,N) ， 即 Re(Sk)<0部 分 的极点，构成Ha(s). (4)常 数K0 可 由A(Ω) 和Ha(s) 的 低 频 或 高 频 特 性 对 比 确 定。

49 9、例子 导出Butterworth低通滤波器的系统函数，设Ωc=1rad/s，N =3。 解：方法一：根据幅度平方函数：

50 方法二 方法二：由于Ωc=1rad/s,查表得

51 10、Butterworth滤波器的阶数N 设计公式

52 (1)已知Ωc 、 Ωs和As求Butterworth DF阶数N

53 （2）已知Ωc 、 Ωs和Ω=Ωp的衰减Ap 求Butterworth DF阶数N

54 （3）已知Ωp 、 Ωs和Ω=Ωp的衰减Ap 和As 求Butterworth DF阶数N

55 例子 试设计一个模拟低通Butterworth滤波器

56 作业 1.试设计一个模拟低通Butterworth（BW）型滤波器，要求截止频率fp=5000Hz,通带最大衰减Ap=3dB,阻带超始频率fs=10000Hz,阻带衰减As=30dB

57 五、切贝雪夫低通滤波器Chebyshev 1、引入原因
Butterworth滤波器频率特性，无论在通带与阻带都随频率而单调变化，因此如果在通带边缘满足指标，则在通带内肯定会有富裕量，也就是会超过指标的要求，因而并不经济，所以更有效的方法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内，或均匀分布在阻带内，或同时均匀在通带与阻带内，这时就可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成。

58 2、Chebyshev滤波器的种类 在一个频带中，通带或阻带具有这种等纹特性可分为：
（1）Chebyshev I型：在通带中是等波纹的，在阻带内是单调的； （2）Chebyshev II型：在通带中是单调的，在阻带内是等波纹的； 由应用的要求，决定采用哪种型式的Chebyshev滤波器

59 （1）Chebyshev I型幅频特性和零极点图（N=3）
N=3Chebyshev I型 ，下面我们仅讲此类型

60 （2）Chebyshev II型幅频特性和零极点图（N=3）
N=3Chebyshev II型，其设计思想同Chebyshev I型，在此课程中我们就不作介绍。

61 3、Chebyshev I型幅度平方函数 Chebyshev I型模拟滤波器的振幅平方函数为：

62 4、CN(x):N阶Chebyshev多项式 (1)函数

63 （2）Chebyshev多项式图形 CN(x) C4(x) 1 -1 1 x C5(x) -1

64 5、通带等波纹振荡

65 6、确定通带内波纹值ε

66 7、确定阶数N （1）N阶特性 阶数N等于通带内最大和最小值个数的总和。 可由幅频特性中看出N阶数。且当： N=奇数，则Ω=0处有一最大值，

67 （2）N阶公式

68 8、求滤波器的系统函数Ha(s) (1)求极点--1

69 8、求滤波器的系统函数Ha(s) (1)求极点--2

70 8、求滤波器的系统函数Ha(s) (1)求极点--3

71 9、Chebyshev I型滤波器的归一化系统函数

72 10、Chebyshev DF设计步骤 ① 首 先 要 先 确 定ε，N 和Ωc 。 ② 计 算a，b。
③ 确 定 Ha(s)Ha(-s)的 极 点。 ④ 取Re(Si)<0 的 极 点， 得 到Ha(s)。 K 可 由 A(Ω) 和Ha(s) 低 频 或 高 频 特 性 对 比 确 定。

73 例1--1 设N=4，确定Chebyshev I型，极点位置。 解：N=4，则有8个极点，我们要求在S左半平面上为稳定系统的四个极点。 jΩ
σ

74 例1--2 看出：对于N=4，只须求出一点，即可求出其它共轭。 画极点：过小园交点画垂直线；过大园交点画水平线。

75 例1--3 由上图可知，确定Chebyshev I型滤波器极点在椭园上的位置办法： (1)先求出大园（半径为b Ωc)和小园半径a Ωc。
(2)等间隔角 均分，各点是虚轴对称的，且一定不落在虚轴上，N为奇数时，有落在实轴上的点；N为偶数时，实轴上也没有。 (3)幅度平方函数的极点(在椭园上)的位置确定： 其垂直坐标由落在大园上的各等间隔点规定；其水平坐标由落在小园上的各等间隔点规定

76 例2--1 试导出2阶Chebyshev I型DF 系统函数(已知通带波纹为 ,归一化频率为Ωc=1rad/s。

77 例2--2

78 例3--1 设Chebyshev模拟滤波器的技术指标

79 例3--2

80 例3--3

81 例3--4

82 作业 设计一个Chebyshev(CB)型低通滤波器其指标为：

83 六、椭 圆 (Elliptic) 低 通 滤 波 器 椭 圆 低 通 滤 波 器 是 一 种 零、 极 点 型 滤 波 器， 它 在 有 限 频 率 范 围 内 存 在 传 输 零 点 和 极 点。椭 圆 低 通 滤 波 器 的 通 带 和 阻 带 都 具 有 等 波 纹 特 性，因 此 通 带，阻 带 逼近 特 性 良 好。 对 于 同 样 的 性 能 要 求， 它 比 前 两 种 滤 波 器 所 需 用 的 阶 数 都 低， 而 且 它 的 过 渡 带 比 较 窄。

84 1、 幅 度 平 方 函 数 其 中 是 雅 可 比(Jacobi) 椭 圆 函 数， ε 为 与 通 带 衰 减 有 关 的 参 数。

85 2、 幅 度 特 性

86 3、特点 从上看出：椭圆滤波器即有极点也有零点，由于误差均匀分布在通带和 阻带内。
与Butterworth和Chebyshev两种滤波器相比，在同样误差指标下，阶数最小。即同样阶数N下，通带到阻带变化最陡峭，看出它是最优秀滤波器。 在给出同样通点平滑度，瞬变带宽和阻带衰减指标下，三种滤波器所需的阶数: Butterworth 6阶，Chebyshev 4阶 椭园 阶

87 七、其它滤波器 Butterworth和Chebyshev及椭园Elliptic都是从幅度响应去逼近，并未考虑相位响应(由于对信号实现无失真传输的重要条件：系统函数具有线性相位特性），为此往往在相位失真比较严重情况下，常常采取在原滤波器后面组联上一个相移网络，即全通滤波器(幅频等于常数，相频是频率的函数），在相位上给以均衡补偿，使之接近无失真传输的条件。 考虑最平时延(MFTD)逼近也即相位响应，其主要特点：直流附近使群时延最平 这类(最平时延)滤波器是以人名命名的有： 贝塞尔(Bessel)滤波器(用到贝塞尔多项式). 高斯（Gauss)滤波器(用到高斯特性） 托马森（Thomson)滤波器 斯托奇（Storch)滤波器（由他提出方法而得名）

88 第五节 模拟低通滤波器至其他类型(高通、带通、带阻）类型的变换

89 一、各种模拟滤波器的理想幅频特性 |H(ej Ω) |H(ej Ω) |H(ej Ω) |H(ej Ω) Ω wc Ω Ω wc w1 w1
（低通） （高通） （带阻） （带通）

90 二、低通AF-->高通AF的变换--1
即如何从归一化模拟低通-->归一化模拟高通。 |Hal(p)| |Hah(s)|

91 二、低通AF-->高通AF的变换--2
即用低通 变成高通 看出：高通系统函数的阶次与低通系统函数阶次相同。

92 例子--1 设计模拟高通滤波器的系统函数。满足如下条件： (a)3个极点(b)Butterworth响应(c)3dB截止频率=100Hz.

93 例子--2

94 三、低通-->带通的变换--1 即如何从归一化模拟低通变换到归一化模拟带通。 设p为低通L变换，s为带通L变换。

95 三、低通-->带通的变换--2 |Hap(p)| 平移中心频率至坐标原点 变成低通滤波器 平移压缩 平移至高端

96 三、低通-->带通的变换--3

97 三、低通-->带通的变换--4

98 三、低通-->带通的变换--5

99 三、低通-->带通的变换--6

100 例子--1 设计一模拟带通滤波器具有如下特性：
(a)4个极点(b)Butterworth响应(c)3dB截止频率=200Hz(d)几何中心频率=1kHz.

101 例子--2

102 四、低通-->带阻变换--1 即如何从归一化模拟低通变换到归一化模拟带阻。 设p为低通L变换，s为带阻L变换。

103 四、低通-->带阻变换--2 |Has(s)| |HaL(p)| 平移压缩 平移压缩

104 四、低通-->带阻变换--3

105 例子--1 设计一模拟带阻滤波器具有如下特性：
(a)4个极点(b)Butterworth响应(c)3dB截止频率=200Hz(d)几何中心频率=1kHz.

106 例子--2

107 第六节 冲激不变法 （脉冲响应不变法） 由雷道（Rader),戈尔德（Gold)提出

108 一、冲 激 响 应 不 变 法引入 上节我们讲到模拟滤波器设计方法，现在我们要讲如何将设计好的模拟滤波器系统函数转换成我们所需的数字滤波器系统函数。在此我们介绍两种方法（冲激不变法，双线性变换法）之一的冲激不变法。 冲 激 响 应 不 变 法由雷道（Rader),戈尔德（Gold)提出.

109 一、变 换 原 理 1、什么是冲激不变法 冲 激 响 应 不 变 法 是 从 时 域 出 发， 要 求 数 字 滤 波 器 的冲 激 响 应 h(n) 对 应 于 模 拟 滤 波 器ha(t) 的 等 间 隔 抽 样。 h(n)=ha(nT) ， 其 中 T 是 抽 样 周 期。 因 此 时 域 逼 近 良 好。

110 2、数字滤波器与模拟滤波器的频率的响应映射关系
由 于 在 时 域 抽 样， 导 致 在 频 域 内， 数 字 滤 波 器 的 频 率 响 应H(ejw) 为 模 拟 滤 波 器 频 率 响 应 的 周 期 延 拓. 存 在 多 对 一 的 映 射 关 系。

111 3、冲激响应不变法的映射规则 冲激响应不变法的映射规则为:z=esT ( T 为 抽 样 周 期).这 种 映 射 并 不 是 简 单 的 代 数 映 射， 故 不 能 将 其 直 接 代 入Ha(s) 来 得 到 H(z).

112 4、映射规则的要点 S平面上每一条宽为 的横带部分，将重叠映射到z平面的整个平面上。 每一横条的左半边映射到z平面单位园内，
S平面的虚轴（j )轴映射到z平面单位园上，虚轴上每一段长为 的线段都映射到z平面单位园上一周。 数字滤波器的频响并不是简单地重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓。

113 二、性 能 分 析 数 字 滤 波 器 的 冲 激 响 应 为 对 应 模 拟 滤 波 器 冲 激 响 应 的 抽 样， 由 抽 样 定 理 可 知 其 频 谱 为 模 拟 滤 波 器 频 谱 的 周 期 延 拓。 只 有 模 拟 滤 波 器 的 频 谱 限 带 于 折 叠 频 率 内 时， 即 要 满 足 才 能 避 免 混 叠 失 真。 而 实 际 的 滤 波 器 并 非 严 格 限 带， 所 以 用 冲 激 响 应 不 变 法 设 计 的 数 字 滤 波 器 不 可 避 免 地 会 产 生 混 叠 失 真。 所 以 此 法 只 适 于 设 计 带 限 滤 波 器。

114 三、设计流程的公式推导 1、设计步骤 冲激响应不变法设计数字滤波器的思路为: (1) 先根据要求，设计出中间模拟滤波器系统函数,
(2)然后经下列 变 换 设 计 出H(z)： Ha(s) →ha(t)→ h(n)→H(z) 即：Ha(s)求ha(t)=L-1[Ha(s)] ha(t)抽样，h(n)=ha(t)|t=nT=Ha(nT)(会导致频谱中幅度变小） Th(n)=Tha(t)|t=nT（把幅度加大，让它频谱幅度一样） H(z)=Z[Th(n)] 可见整个过程很复杂。

115 2、设计流程中注意点 冲 激 响 应 不 变 法是Ha(s)-->H(z).
即: 将 S 平 面 极 点sk 映 射 -->到 Z 平 面 极 点z=eskT 因而只有极点有这种简单映射关系，而零点不满足这种简单 的 对 应关系。 将模 拟 滤 波 器 系 统 函 数 展 开为并联 形式（即部分分式展开），且要求其分母的阶次大于分子的阶次。（因为只有这样才是一个稳定的模拟系统） 下面通过推导变换 关 系 完 成 数 字 滤 波 器 系 统 函 数 设 计。

116 3、设计公式推导

117 四、模拟滤波器与数字滤波器的变换关系

118 五、数字滤波器的频率响应 数 字 滤 波 器 的 频 率 响 应：
与 抽 样 周 期T 成 反 比， 当 抽 样 频 率 很 高 时， 将 产 生 很 高 的 增 益， 为 稳 定 增 益， 令h(n)=Tha(nT) 则

119 六、用冲激不变法设计IIR DF 的一般流程（总结）
1、根据设计要求，设定指标。 2、将数字滤波器性能指标变换为中间模拟滤波器的性能指标。 3、设计出符合要求的中间模拟滤波器的系统函数Ha(s)。 4、将Ha(s)展成部分分式的并联形式，利用 式设计出H(z) 。 5、 将 H(z)乘 以 抽 样 周 期T， 完 成 数 字 滤 波 器 系 统 函 数H(z) 的 设 计。

120 七、冲激不变法设计IIR DF 的优缺点 （1）冲激不变法使得数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好。
（2）模拟频率Ω和数字频率w之间呈线性关系：w=ΩT 如：一个线性相位的模拟滤波器（例贝塞尔滤波器）可以映射成一个线性相位的数字滤波器。 （3）缺点：由于有频率混叠效应，所以冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器。

121 八、冲激不变法应用的局限性 由于具有频率的混叠效应，所以高通和带阻滤波器不宜采用冲激不变法。因为它们高频部分不衰减，将完全混淆在低频中，从而使整个频响面目全非。 若要对高通和带阻实行冲激不变法，则必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频带。它会增加设计的复杂性和滤波器的阶数，因而只有在一定要追求频率线性关系或保持网络瞬态响应不变时才使用。 对于带通和低通滤波器，需充分限带，若阻带衰减越大，则混叠效应越小。

122 例子1 |Ha(jΩ)| Ω |H(ejw)| 由于模拟滤波器不是充分限带，所以数字滤波器产生很大的频谱混叠失真。 w

123 例子2--1 设低通DF的3dB带宽频率wc=0.2π, 止带频率ws=0.4π,
在 w=ws处的止带衰减20lg|H(ejws)|=-15dB,试用脉冲响应不变法（冲激不变法）设计一个Butterworth低通DF。 解：设计分为4步。 （1）将数字滤波器的设计指标转变为模拟滤波器的设计指标。 采样频率由采样定理决定，设为fs=20kHz,则采样间隔为T=1/fs=1/20kHz

124 例子2--2 对于冲激不变法，频率变换是线性的。

125 例子2--3 (2)设计Ha(s) 将上述设计指标代入 求出N阶数

126 例子2--4

127 例子2--5

128 例子2--6

129 例子2--7 x(n) 并联型 y(n) y(n) 级联型 x(n) 0.534 1.599 -0.533 -0.533 1.241
1.001 0.534 1.241 0.306

130 例3--1 设通带范围为0≤w≤0.2 π,在通带边缘wc=0.2 π处幅频特性的衰减大于-1dB，即通带波纹在1dB内；止带范围为0.3 π ≤w≤π，在止带起始频率ws=0.3π处的幅频特性衰减小于-15dB,设采样周期T=1/（20＊103 )s,试用脉冲响应不变法（冲激不变法）设计一个Chebyshev低通DF。 解：设计分为4步。 （1）将数字滤波器的设计指标转变为模拟滤波器的设计指标.

131 例3--2

132 例子3--3 (2)设计Ha(s) 将上述设计指标代入 求出N阶数.

133 例子3--4

134 例子3--5

135 例子3--6 级联型 y(n) x(n) 1.3768 0.0829 0.7132 0.0663

136 第七节双线性变换法 冲激不变法（和阶跃响应）：是使数字滤波器在时域上模仿模拟滤波器，但它的缺点：产生频率响应的混叠失真。这是由于从S平面->Z平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，我们采用双线性变换法

137 一、变换原理 1、定义 双线性变换法：是从频域出发，使DF的频率响应与AF的频率响应相似的一种变换法。

138 2、双线性变换法的映射关系 实现S平面与Z平面一一对应的关系。 S1平面 S平面 Z平面 第二次变换：数字化 第一次变换： 频率压缩

139 3、双线性变换法的映射规则 双线性变换法的映射规则： （1）频率压缩：把整个S平面压缩变换到某一中介的S1平面的一条横带里。
变换到z平面。

140 （1）频率压缩 把整个S平面压缩变换到某一中介的S1平面的一条横带里。

141 （2）数字化 将S1平面通过标准变换关系变换到z平面。

142 （3）变换常数C的选择1 调节C，可使AF与DF在不同频率点处有对应的关系。 （a）使AF与DF在低频处有较确切的对应关系。

143 （3）变换常数C的选择2

144 二、性能分析1 1.解决了冲激不变法的混叠失真问题。 2.它是一种简单的代数关系。
只须将上述关系代入AF的Ha(s)中（对直接、级联、并联结构都适用）即可求出DF的H(z),设计十分方便。 3.由于双线性变换中， 即模拟角频率与数字角频率存在非线性关系。 所以双线性变换避免了混叠失真，却又带来了非线性的频率失真。

145 二、性能分析2 4.双线性变换法不适用于设计： （1）设计线性相位的DF
（2）它要求AF的幅频响应是分段常数型.(即幅度变换是线性的）。（一般低通，高通，带通，带阻型滤波器的频率响应特性都是分段常数）

146 二、性能分析3 5.同时，看出双线性变换： （1）在零频附近，模拟角频率与数字角频率变换关系接近线性关系。
（2）又要求AF的幅频响应是分段常数型，即幅度变换是线性的 所以称之为双线性变换。 频率升高时，非线性失真严重。

147 二、性能分析4 6.对于分段常数型AF滤波器，经双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的DF.但在各个分段边缘的临界频率点产生畸变，这种频率的畸变，可通过频率预畸变加以校正。

148 例1 一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位。如一个模拟微分器将不能通过双线性变换成为数字微分器。 数字 模拟微分器

149 例2--1 对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘临界频率点产生了畸变。这种频率的畸变，可以通过频率的预畸变加以校正，也就是临界频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的频率。

150 例2--2

151 三、设计流程 1.根据要求，设定指标。 2.将各分段频率临界点预畸变。 3.将数字滤波器的性能指标转换为中间模拟滤波器的性能指标。
4.根据设计要求，选定双线性变换常数C。 5.设计中间模拟滤波器的系统函数Ha(s). 6.将 代入Ha(s)中，得到DF 的H(z).

152 例子1-1 试用双线性变换法设计Butterworth低通DF。 已知低通DF的3dB带宽频率 ，止带起始频率 ，在 处的止带衰减
对双线性变换法 根据3dB带宽频率 求出:

153 例子1-2

154 例子1-3

155 例子2 试用双线性变换法设计一个切比雪夫数字滤波器，使其逼近一个低通切比雪夫模拟滤波器的技术指标。

156 第八节 数字频带变换法 -----将原型低通数字滤波器变换成其它数字滤波器 （z平面变换法）

157 一、变换函数 如果已经有一个低通数字滤波器的系数函数Hp(z),
可以通过一个变换来设计其它各种不同类型的数字滤波器的系统函数H(z).这种变换是一种映射变换。

158 1.变换关系函数表示式

159 2.变换关系g(z-1)的形式--1 要求：（1）变换以后的系统函数应保持稳定性不变。所以要求u的单位园内部必须对应z的单位园内部。

160 2.变换关系g(z-1)的形式--2

161 3.变换关系g(z-1)的特性--1

162 3.变换关系g(z-1)的特性--2

163 二、低通---低通--1

164 二、低通---低通--2 另一指标的低通 原型低通

165 二、低通---低通--3 低通--低通变换特性

166 三、低通--高通 通过将单位圆旋转180。，能使低通数字滤波器变到高通数字滤波器。

167 例1--1 试设计一个高通Chebyshev数字滤波器。 其指标是：通带宽度为：

168 例1--2

169 三、低通--带通--1

170 三、低通--带通--2 低通滤波器 带通滤波器 可以看出：根据全通函数的相位变化量为N 的性质，应取N=2

171 三、低通--带通--3

172 例1--1 试由Butterworth低通滤波器，通过映射变换，设计一个带通的数字滤波器。

173 例1--2

174 四、低通--带阻--1

175 四、低通--带阻--2 低通滤波器 带通滤波器 可以看出：根据全通函数的相位变化量为N 的性质，应取N=2

176 四、低通--带阻--3

177 总结

178 第八节 频率变换法

179 一、频率变换法 从上面几节可以看出设计各类数字滤波器可以有以下两种方法： （1）模拟频率变换法 （2）数字频率变换法

180 二、模拟频率变换法 1、原理 把一个归一化原形模拟低通滤波器经模拟频带变换成所需要类型（截止频率为另一低通、或高通、带通、带阻）的模拟滤波器。然后再通过冲激响应不变法或双线性变换法数字化为所需的数字滤波器。

181 2、模拟频率变换法的原理框图 模拟归一化低通原型 数字低通、高通、带通、带阻 模拟低通、高通、带通、带阻 先模拟频率变换，再数字化 频带变换
双线性变换法 或冲激不变法 先模拟频率变换，再数字化

182 3、注意点 实际上把以上合成二步来实现。 模拟归一化低通原型变换到模拟低通、高通、带通、带阻等滤波器的公式+与双线性变换得到相应数字滤波器的公式。 将以上两公式合并，就可直接从模拟低通归一化原型通过一定的频率变换的关系，一步完成各类数字滤波器的设计。 这里只谈双线性变换法，因为冲激响应不变法有频率混叠失真效应，只对能严格限带的数字低通、带通滤波器的设计才能应用。对于数字高通、带阻滤波器，不能直接应用。

183 4、设计方案和步骤 （1）频率变换 （2）去归一化（模拟归一化-->模拟滤波） （3）频率预扩展 （4）数字化

184 5、数字低通滤波器设计公式--1 要设计数字低通滤波器无须频率变换。

185 5、数字低通滤波器设计公式--2

186 6、数字高通滤波器设计公式--1

187 6、数字高通滤波器设计公式--2

188 7、数字带通滤波器设计公式--1

189 7、数字高通滤波器设计公式--2

190 8、数字带阻滤波器设计公式--1

191 8、数字带阻滤波器设计公式--2

192 三、数字频率变换法 1.原理 由模拟低通原型先利用冲激响应不变法或双线性变换法进行数字化成数字低通滤波器，然后利用数字频带变换法，将它变换成所需要的各型数字滤波器（另一截止频率的数字低通、高通、带通、带阻）。

193 2、数字频率变换法的原理框图 模拟归一化低通原型 数字低通、高通、带通、带阻 数字低通 先数字化，再频率变换。 频带变换 数字化
双线性变换法 或冲激不变法 先数字化，再频率变换。

194 3.设计步骤 (1)模拟归一化原型Ha(s). (2)去归一化 (3)数字化 (4)频率变换

195 4、具体公式--1 采用数字频率变换法，设计步骤的前三步都一样。

196 4、具体公式--2

197 4、具体公式--3

198 4、具体公式--4

199 作业 第104页第7题，第11题。要求一题用模拟频率变换法，一题用数字频率变换法求解。

200 第九节 计算机辅助设计法

201 一、计算机辅助设计法 计 算 机 辅 助 设 计 法 是 一 种 最 优 化 的 设 计 法。 所 谓 最 优 化 设 计 是 在 某 种 准 则 下 使 逼 近 误 差 最 小 所 进 行 的 设 计。 这 种 方 法 的 特 点 是 不 直 接 给 出 滤 波 器 系 统 函 数 的 显 式 解， 而 是 在 所 要 求 的 频 率 响 应 与 实 际 设 计 出 来 滤 波 器 频 率 响 应 之 间 规 定 一 个 误 差 范 围， 用 某 种 最 优 化 算 法 确 定 滤 波 器 系 统 函 数。

202 二、计算机辅助设计法的种类 下 面， 我 们 介 绍 四 种 最 优 化 的 设 计 法： 1、 最 小 均 方 误 差 设 计 法（讲）
1、 最 小 均 方 误 差 设 计 法（讲） 2、 最 小P 误 差 设 计 法（讲） 3、 线 性 规 划 设 计 法（不讲） 4、 最 小 平 方 逆 设 计 法（不讲）

203 三、最 小 均 方 误 差 设 计 法 (施泰格利茨steiglitz) 1.方法准则
最 小 均 方 误 差 设 计 法 的 最 佳 准 则 是 一 种 在 有 限 频 率 点上，频率 响 应 幅 度 均 方 误 差 最 小 的 准 则。设 在 一 组 离 散 频 率 点wi(i=1,2,3…M) 上 所 要 求 的 频 率 响 应 为Hd(ejw) ， 实 际 频 率 响 应 为 H(ejwi) ， 则 这 种 设 计 法 要 求： 最 小。

204 2.几点注意 1、 这 种 最 优 化 算 法， 对 零 、 极 点 位 置 没 有 任 何 限 制， 因 此 有 可 能 得 到 不 稳 定 的 滤 波 器（ 极 点 在 单 位 圆 外）。在 这 种 情 况 下，可 级 联 一 全 通 网 络 将 单 位 圆 外 极 点 反 射 到 单 位 圆 内。 2、 通 过 级 联 全 通 网 络 得 到 稳 定 滤 波 器 后， 可 再 次 用 此 最 优 化 算 法， 使 均 方 误 差 更 小。 3、 所 选 频 率 组 wi(i=1,2…M) 可 以 是 均 匀 分 布， 也 可 以 是 不 均 匀 分 布 的。

205 3.例1：校正不稳定滤波器--1 对于不稳定的滤波器，我们可以通过级联一个全通网络把单位圆外的极点反射到单位圆内，把它变成一稳定的滤波器。
设不稳定滤波器有一对极点在单位圆外，现在用一个全通网络，其零点对应于不稳定滤波器的一对单位圆外的极点位置，因此其极点是不稳定滤波器单位园外的极点反射到单位园内。级联后，由于不稳定滤波器的极点与全通网络的零点抵消，我们得到了稳定系统的滤波器。

206 3.例1：校正不稳定滤波器--2 级联后的稳定滤波器 不稳定滤波器 全通网络

207 四、最 小P 误 差 设 计 法 （德克茨基Deczky) 1、逼近准则
最 小P 误 差 设 计 法 是 最 小 均 方 误 差 设 计 法 的 推 广， 是 误 差 的 P 次 幂 的 加 权 平 均 的 最 小 化 作 为 逼 近 准 则。 即 使 最 小。

208 四、最 小P 误 差 设 计 法 2、应用 这 种 方 法 除 了 用 来 设 计 最 佳 的 幅 度 响 应， 还 可 用 于 群 时 延 均 衡 器 的 最 佳 设 计。 其 误 差 表 示 为 注 意：最 小 P 误 差 设 计 法 所 得 最 佳 参 数 对 应 于 稳 定 的 滤 波 器。