2017/4/10 电工技术.

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1 2017/4/10 电工技术

2 第6章 一阶动态电路分析 学习要点 掌握用三要素法分析一阶动态电路的方法 理解电路的暂态和稳态以及时间常数的物理意义
第6章 一阶动态电路分析 学习要点 掌握用三要素法分析一阶动态电路的方法 理解电路的暂态和稳态以及时间常数的物理意义 了解用经典法分析一阶动态电路的方法 了解一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念 了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件

3 第6章 一阶动态电路分析 6.1 换路定理 6.2 一阶动态电路分析方法 6.3 零输入响应和零状态响应 6.4 微分电路和积分电路

4 6.1 换路定理 电路产生过渡过程的原因 含有动态元件电容C和电感L的电路称为动态电路。动态电路的伏安关系是用微分或积分方程表示的。通常用微分形式。 一阶电路：用一阶微分方程来描述的电路。一阶电路中只含有一个 动态元件。本章着重于无源和直流一阶电路。 过渡过程：电路从一个稳定状态过渡到另一个稳定状态，电压、电流等物理量经历一个随时间变化的过程。 产生过渡过程的条件：电路结构或参数的突然改变。 产生过渡过程的原因：能量不能跃变，电感及电容能量的存储和释放需要时间，从而引起过渡过程。

5 6.1.2 换路定理 换路：电路工作条件发生变化，如电源的接通或切断，电路连接方法或参数值的突然变化等称为换路。
换路定理 换路：电路工作条件发生变化，如电源的接通或切断，电路连接方法或参数值的突然变化等称为换路。 换路定理：电容上的电压uC及电感中的电流iL在换路前后瞬间的值是相等的，即： 必须注意：只有uC 、 iL受换路定理的约束而保持不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。

6 例：图示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，US=10V，R1=10Ω， R2=5Ω，求初始值uC(0+) 、i1(0+) 、i2(0+)、iC(0+)。
解：由于在直流稳态电路中，电容C相当于开路，因此t=0-时电容两端电压分别为： 在开关S闭合后瞬间，根据换路定理有： 由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等效电路，如图所示。由图得：

7 例：图示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，求初始值uC(0+)、iC(0+)和u(0+)。
解：由于在直流稳态电路中，电感L相当于短路、电容C相当于开路，因此t=0-时电感支路电流和电容两端电压分别为： 在开关S闭合后瞬间，根据换路定理有：

8 由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等效电路，如图所示。由图得：
u(0+)可用节点电压法由t=0+时的电路求出，为：

9 6.2 一阶动态电路的分析方法 任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴微南定理或诺顿定理将其等效为一个简单的RC电路或RL电路。
6.2 一阶动态电路的分析方法 任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴微南定理或诺顿定理将其等效为一个简单的RC电路或RL电路。 因此，对一阶电路的分析，实际上可归结为对简单的RC电路和RL电路的求解。一阶动态电路的分析方法有经典法和三要素法两种。

10 经典分析法 1．RC电路分析 图示电路，t=0时开关S闭合。根据KVL，得回路电压方程为： 而: 从而得微分方程：

11 解微分方程，得： 其中uC'=US为t→∞时uC的值，称为稳态分量。 只存在于暂态过程中， t→∞时uC''→0，称为暂态分量。 τ=RC称为时间常数，决定过渡过程的快慢。 波形图：

12 电路中的电流为： 电阻上的电压为： iC与uR的波形

13 2．RL电路分析 图示电路，t=0时开关S闭合。根据KVL，得回路电压方程为： 因为： 从而得微分方程： 解之得： 式中τ=L/R为时间常数
稳态分量 暂态分量

14 经典法求解一阶电路的步骤： （1）利用基尔霍夫定律和元件的伏安关系，根据换路后的电路列出微分方程； （2）求微分方程的特解，即稳态分量； （3）求微分方程的补函数，即暂态分量； （4）将稳态分量与暂态分量相加，即得微分方程的全解； （5）按照换路定理求出暂态过程的初始值，从而定出积分常数。

15 例：图(a)所示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，求开关闭合后的电容电压uC和通过3Ω电阻的电流i。
解：用戴微南定理将图(a)所示开关闭合后的电路等效为图(b)，图中： 对图(b)列微分方程： 解微分方程：

16 由图(a)求uC的初始值为： 积分常数为： 所以，电容电压为： 通过3Ω电阻的电流为：

17 6.2.2 三要素分析法 求解一阶电路任一支路电流或电压的三要素公式为：
三要素分析法 求解一阶电路任一支路电流或电压的三要素公式为： 式中，f(0+)为待求电流或电压的初始值，f(∞)为待求电流或电压的稳态值，τ为电路的时间常数。 对于RC电路，时间常数为： 对于RL电路，时间常数为：

18 例：图示电路，IS=10mA，R1=20kΩ，R2=5kΩ，C=100μF。开关S闭合之前电路已处于稳态，在t=0时开关S闭合。试用三要素法求开关闭合后的uC。
解：（1）求初始值。因为开关S闭合之前电路已处于稳态，故在瞬间电容C可看作开路，因此： （2）求稳态值。当t=∞时，电容C同样可看作开路，因此：

19 （3）求时间常数τ。将电容支路断开，恒流源开路，得：
时间常数为： （4）求uC。利用三要素公式，得：

20 例：图示电路，US1=9V，US2=6V ，R1=6Ω，R2=3Ω，L=1H。开关S闭合之前电路已处于稳态，在t=0时开关S闭合。试用三要素法求开关闭合后的iL和u2。
解：（1）求初始值。因为开关S闭合之前电路已处于稳态，故在瞬间电感L可看作短路，因此： （2）求稳态值。当t=∞时，电感L同样可看作短路，因此：

21 （3）求时间常数τ。将电感支路断开，恒压源短路，得：
时间常数为： （4）求iL和u2。利用三要素公式，得：

22 6.3 零输入响应和零状态响应 6.3.1 一阶电路响应的分解 根据电路的工作状态，全响应可分解为稳态分量和暂态分量，即：
6.3 零输入响应和零状态响应 一阶电路响应的分解 根据电路的工作状态，全响应可分解为稳态分量和暂态分量，即： 全响应=稳态分量+暂态分量 根据激励与响应的因果关系，全响应可分解为零输入响应和零状态响应，即： 全响应=零输入响应+零状态响应 零输入响应是输入为零时，由初始状态产生的响应，仅与初始状态有关，而与激励无关。零状态响应是初始状态为零时，由激励产生的响应，仅与激励有关，而与初始状态无关。

23 将一阶RC电路中电容电压uC随时间变化的规律改写为：
零输入响应 零状态响应 将一阶RL电路中电感电流iL随时间变化的规律改写为： 零输入响应 零状态响应

24 例：图示电路有两个开关S1和S2，t<0时S1闭合，S2打开，电路处于稳态。t=0时S1打开，S2闭合。已知IS=2
例：图示电路有两个开关S1和S2，t<0时S1闭合，S2打开，电路处于稳态。t=0时S1打开，S2闭合。已知IS=2.5A，US=12V，R1=2Ω，R2=3Ω，R3=6Ω，C=1F。 求换路后的电容电压uC，并指出其稳态分量、暂态分量、零输入响应、零状态响应，画出波形图。 解：（1）全响应=稳态分量+暂态分量 稳态分量 初始值

25 时间常数 暂态分量 全响应 （2）全响应=零输入响应+零状态响应 零输入响应 零状态响应 全响应

26 6.3.2 一阶电路的零输入响应 1．RC电路的零输入响应
一阶电路的零输入响应 1．RC电路的零输入响应 图示电路，换路前开关S置于位置1，电容上已充有电压。t=0时开关S从位置1拨到位置2，使RC电路脱离电源。根据换路定理，电容电压不能突变。于是，电容电压由初始值开始，通过电阻R放电，在电路中产生放电电流iC。随着时间增长，电容电压uC和放电电流iC将逐渐减小，最后趋近于零。这样，电容存储的能量全部被电阻所消耗。可见电路换路后的响应仅由电容的初始状态所引起，故为零输入响应。 由初始值uC(0+)=U0，稳态值uC(∞)=0，时间常数τ=RC，运用三要素法得电容电压：

27 放电电流 放电过程的快慢是由时间常数τ决定。 τ越大，在电容电压的初始值U0一定的情况下，C越大，电容存储的电荷越多，放电所需的时间越长；而R越大，则放电电流就越小，放电所需的时间也就越长。相反，τ越小，电容放电越快，放电过程所需的时间就越短。 从理论上讲，需要经历无限长的时间，电容电压uC才衰减到零，电路到达稳态。但实际上，uC开始时衰减得较快，随着时间的增加，衰减得越来越慢。经过t=(3~5)τ的时间，uC已经衰减到可以忽略不计的程度。这时，可以认为暂态过程已经基本结束，电路到达稳定状态。

28 2．RL电路的零输入响应 图示电路，换路前开关S置于位置1，电路已处于稳态，电感中已有电流。在t=0时，开关S从位置1拨到位置2，使RL电路脱离电源。根据换路定理，电感电流不能突变。于是，电感由初始储能开始，通过电阻R释放能量。随着时间的增长，电感电流iL将逐渐减小，最后趋近于零。这样，电感存储的能量全部被电阻所消耗。可见电路换路后的响应仅由电感的初始状态所引起，故为零输入响应。 由初始值iL(0+)=I0，稳态值iL(∞)=0，时间常数τ=L/R，运用三要素法得电感电流：

29 电感两端的电压 RL电路暂态过程的快慢也是由时间常数τ来决定的。τ越大，暂态过程所需的时间越长。相反，τ越小，暂态过程所需的时间就越短。且经过t=(3~5)τ的时间，iL已经衰减到可以忽略不计的程度。这时，可以认为暂态过程已经基本结束，电路到达稳定状态。

30 6.3.3 一阶电路的零状态响应 1．RC电路的零状态响应
一阶电路的零状态响应 1．RC电路的零状态响应 图示电路，换路前开关S置于位置1，电路已处于稳态，电容没有初始储能。t=0时开关S从位置1拨到位置2，RC电路接通电压源US。根据换路定理，电容电压不能突变。于是US通过R对C充电，产生充电电流iC。随着时间增长，电容电压uC逐渐升高，充电电流iC逐渐减小。最后电路到达稳态时，电容电压等于US，充电电流等于零。可见电路换路后的初始储能为零，响应仅由外加电源所引起，故为零状态响应。 由初始值uC(0+)=0，稳态值uC(∞)= US，时间常数τ=RC，运用三要素法得电容电压：

31 充电电流 RC电路充电过程的快慢也是由时间常数τ来决定的，τ越大，电容充电越慢，过渡过程所需的时间越长；相反，τ越小，电容充电越快，过渡过程所需的时间越短。同样，可以根据实际需要来调整电路中的元件参数或电路结构，以改变时间常数的大小。

32 2．RL电路的零状态响应 图示电路，换路前开关S置于位置1，电路已处于稳态，电感没有初始储能。t=0时开关S从位置1拨到位置2，RL电路接通电压源US。根据换路定理，电感电流不能突变。于是US通过R对L供电，产生电流iL。随着时间增长，电感电流iL逐渐增大，最后电路到达稳态时，电感电流等于US/R。可见电路换路后的初始储能为零，响应仅由外加电源所引起，故为零状态响应。 由初始值iL(0+)=0，稳态值iL(∞)= US/R，时间常数τ=L/R，运用三要素法得电感电流：

33 电感两端的电压 RL电路暂态过程的快慢也是由时间常数τ来决定的。τ越大，暂态过程所需的时间越长。相反，τ越小，暂态过程所需的时间就越短。且经过t=(3~5)τ的时间，iL已经衰减到可以忽略不计的程度。这时，可以认为暂态过程已经基本结束，电路到达稳定状态。

34 6.4 微分电路与积分电路 微分电路 条件： (1)时间常数τ<<tw； (2)输出电压从电阻两端取出。

35 积分电路 条件： (1)时间常数τ>>tw； (2)输出电压从电容两端取出。