第二章 直流电阻性电路的分析 2.1电阻的串联、并联和混联电路 2.2电阻的星形、三角形连接及其等效变换

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1 第二章 直流电阻性电路的分析 2.1电阻的串联、并联和混联电路 2.2电阻的星形、三角形连接及其等效变换
第二章 直流电阻性电路的分析 2.1电阻的串联、并联和混联电路 2.2电阻的星形、三角形连接及其等效变换 2.3 电源的连接及两种实际电源模型的等效变换 2.4 基尔霍夫定律 2.5 支路电流法 2.6 网孔电流法 2.7 节点电位法 2.8 叠加定理 2.9 戴维南定理与诺顿定理 2.10 最大功率传输定理

2 §2.1 电阻的串联、并联和混联 在实际电路中，电阻的联接方式多种多样，最常用的是电阻的串联，并联和串并联组合(又称为混联)。
一个电路不论它的联接有多复杂，只要能用电阻的串联各并联的方法将其化简为单回路的电路称为简单电路。反之，如果不能化简为单回路的电路称为复杂电路。 下面就分别介绍电阻的串联和关联及其性质。

3 §2.1.1 电阻的串联及其分压 1.串连的电路形式： 电路中若干个电阻依次连接，各电阻流过同一电流，这种连接形式称为电阻的串联。

4 2. 电路的特点： （1）通过各个电阻的电流相同，即： I1=I2=I3=……=Ii
（2）串联时电路两端的总电压U等于各串联电阻电压的代数和，即： U总=U1+U2+……+Ui （3）串联电路的总电阻（等效电阻）R等于各串联电阻值的代数和，即： R总=R1+R2+……+Ri 推理略。高中物理知识。

5 (4) 该串联电路中，各电阻电压与它们各自的阻值呈正比。
可见，电阻串联时，各电阻上分得电压大小与其电阻值成正比。上式说明各电阻上的电压是接电阻的大小进行分配的，即具有分压限流 的特性。此特性在实际电路中得到了广泛应用，如扩展电压表量程等。

6 P=I2R=(R1+R2+R3)I2=R1I2+R2I2+R3I2
P=P1+P2+P3 推理过程如下： P=I2R=(R1+R2+R3)I2=R1I2+R2I2+R3I2 将以上特性推广到一般情况下。

7 例2-1 如下图所示为某万用表直流电压挡等效电路，其表头内阻Rg=3KΩ，满偏电流Ig=50μA，各挡电压量程分别为U1=2
例 如下图所示为某万用表直流电压挡等效电路，其表头内阻Rg=3KΩ，满偏电流Ig=50μA，各挡电压量程分别为U1=2.5V，U2=10V，U3=50V，U4=250V，U5=500V，试求各分压电阻R1、R2、R3、R4、R5的大小。 要点：

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9 §2.1.2 电阻的并联及其分流 1.并联的连接方式： 电路中若干个电阻连接在两个公共点之间，每个电阻承受同一电压，这样的连接形式称为电阻的并联，如图2-1-4所示。

10 2.并联电阻电路的特点： （1）并联电阻电路中，各并联电阻的端电压相同， U1=U2=U3
（2）流过并联电阻电路的总电流I等于各支路电流的代数和，即 I=I1+I2+I3

11 可见，电阻并联电路具有分流 的特性。

12 在实际中，电阻并联是很常用的。 例如各种负载(电灯，电炉，电烙铁等)都是并联在电网上的。另外，万用表中测量电流时，为了扩展量程，也是应用电阻并联分流的原理来实现的。

13 例2－2 欲将一内阻Rg=2KΩ，满偏电流Ig=80μA的表头，构造成量程为1mA的电流表，应如何实现?
解：可以利用并联电路的分流特性，在表头两端并联电阻R，R称为分流电阻，如图2-1-5所示。由分流公式:

14 §2.1.3 电阻的串并混联 既有电阻串联又有电阻并联的电路称为电阻混联电路。一般情况下，电阻混联电路，可以通过串、并联等效概念逐步化简，最后化为一个等效电阻。 在求解电阻混联电路时，有时电路的联接关系看起来不十分清楚，这时就需要将原电路改画成串并联关系十分清楚的电路。 改画电路时，应该注意在改画过程中要保证电阻元件之间的联接关系不变。 无电阻的导线最好缩成一点，并尽量避免交叉；同时为防止出错，可以先标明各节点的代号，再将各元件画在相应节点间。

15 【例】分别计算下图中开关打开与闭合时的等效电阻Rab。
由(b)图可知K闭合c与d为同一点 ，故等效电阻为： 由(C)图可知K断开后，R1和R3 串联，R2和R4 串联，然后再并联 ，故等效电阻为： 书中的例2－3。

16 [例如] 如a图所示，已知每一电阻的阻值R= 10Ω，电源电动势E=6V，电源内电阻r = 0.5Ω，求电路上的总的电流。
解：先将a图的电路进行整理。A点与C点等电位，B点与D点等电位，因此UAB = UAD = UCB = UCD，即4个电阻两端的电压都相等，故画出等效电路如b图所示。

17 电路中的总的等效电阻是 R总= R/4 = 10/4 = 2.5Ω 所以，电路上的总的电流是
I = E/(R总 + r) = 6/( ) = 2A 由以上分析与计算可以看出，混联电路计算的一般步骤为： （1）首先把电路进行等效变换。也就是把不容易看清串、并联关系的电路，整理、简化成容易看清串、并联关系的电路（整理电路过程中绝不能把原来的联接关系搞错）； （2）先计算各电阻串联和并联的等效电阻值，再计算电路的总的等效电阻值； （3）由电路的总的等效电阻值和电路的端电压计算电路的总电流； （4）根据电阻串联的分压关系和电阻并联的分流关系，逐步推算出各部分的电压和电流值。

18 [再例如]求图所示的电阻组合的等效电阻Rab（已知R=2Ω，R1=4Ω）
c d e f g 阻值 3Ω 1.243 Ω 1 Ω 0.5 Ω 1.2 Ω 2.4 Ω 5 Ω 答案：

19 再例: 求图所示电路中a、 b两端的等 效电阻

20 解 把图（a）逐步化简，可得图2.6(b)、 (c)、 (d)， 由此可得
Rab=2+3=5Ω

21 §2.2 电阻的Y形连接与△形连接的等效互换 §2.2.1 电阻的Y形(星形)连接 在有的电路中，电阻的连接既不是串联也不是并联。
把三个电阻的一端接在一起，另一端分别外电路相连，这种连接方式叫做电阻的星形连接，又称为Y形连接或T形连接。如图2-2-1所示：

22 § 电阻的三角形连接 把三个电阻分别接在三个端钮的两个之间，三个端钮分别与外电路相连这种连接方式叫做电阻的三角形连接，又称为△形连接或π形连接。如图2-2-2所示：

23 §2.1.3 电阻的星形连接与三角形连接之间的等效变换
§ 电阻的星形连接与三角形连接之间的等效变换 如下图中，R1、R2和R3及R1、R2和R3这两组电阻的联接就不能用串并联来等效。我们把电阻R1、R2和R3的联接方式叫做Y形联接或星形联接，这三个电阻的一端接在同一点(C点)，另一端分别接到三个不同的端钮上(a，b，c)。把图中R1、R2和R3的联接方式叫作Δ形联接或三角形联接，这三个电阻中每个电阻分别接在三个端钮(a，c，d)的每两个之间 。

24 当电路中出现电阻的Y形联接Δ或形联接时，就不能用简单的串并联来等效。而我们发现如果把图(a)中按星形联接的R1、R2和R3这三个电阻等效变换成按三角形联接Ra、Rb和Rc时，见图(b)，则端钮a、b之间的等效电阻就可以用串联、并联公式求得。同样若把图(a)中R1、R2和R4等效变换成图(c)中Ra′、Rc′和Rb′，那么a、b间的等效电阻Rab也就不难求出了。

25 1．星形电阻网络等效变换为三角形电阻网络 等效变换公式为 ：

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27 2．三角形电阻网络等效变换为星形电阻网络 等效变换公式为 ：

28 【例】对下图所示桥式电路，求1、2两端的等效电阻R12。
解 (1) 将Δ形网络134用等效Y网络代替得： 然后用串并联方法可得 (2) 另一种方法是Y网络用等效Δ网络替代。 利用电阻串并联公式化简可得

29 §2-3 电源的连接 及两种实际电源模型的等效变换
§2-3 电源的连接 及两种实际电源模型的等效变换 § 电源的连接 （1）电流源并联 如上图所示: n个电流源相并联，对外可等效为一个电流源，其电流为各个电流源电流的代数和，即：

30 （2）电压源串联 如上图所示：n个电压源相串联，对外可等效为一个电压源，其电压为各个电压源电压的代数和，即：

31 注意： (1) 只有电压相等、极性一致的电压源才允许并联，否则违背KVL。其等效电压源为其中任一电压源，但是这个并联组合向外提供的电流在各个电压源之间如何分配则无法确定。 (2) 只有电流相等且方向一致的电流源才允许串联，否则违背KCL。其等效电流源为其中任一电流源，但是这个串联组合的总电压如何在各个电流源之间分配则无法确定。 (3) 一个电流源IS与电压源或电阻相串联，对外就等效为一个电流源，等效电流源的电流为IS，等效电流源的电压不等于替代前的电流源的电压而等于外部电压U。 (4)  一个电压源US与电流源或电阻相并联，对外就等效为一个电压源，等效电压源的电压为US，等效电压源中的电流不等于替代前的电压源的电流而等于外部电流I。

32 §2.3.2 两种实际电源模型的等效变换 两种实际电源模型等效变换时，其端口电压与电流关系应是相同的，等效电路如图所示：
§ 两种实际电源模型的等效变换 两种实际电源模型等效变换时，其端口电压与电流关系应是相同的，等效电路如图所示： 对于图（a）所示实际电压源模型端口电压电流关系为： U=US-RiI 对于图（b）所示实际电流源模型端口电压电流关系为： U=RiIS-RiI

33 实际电压源模型和实际电流源模型等效变换条件为：
特别注意： （1）在等效的过程中注意电压源的参考极性与电流源的参考方向，电流源的参考方向一定是要指向电压源的正极性端。 （2）两种实际电源模型等效变换是指外部等效，对外部电路各部分的计算是等效的，但对电源内部的计算是不等效的。 （3）理想电压源与理想电流源不能进行等效变换。

34 例2-5 试将图2-3-4（a）中的实际电压源模型转换为电流源模型，将图2-3-4（b）中的实际电流源模型转换为电压源模型。
利用两种实际电源模型等效变换，可以简化电路的分析计算。

35 学生动手做例2－6。 注意：在用两种电源模型的等效变换来做题时，其中要求的电流所在的支路通常在做题过程中不要参与变换！

36 再例:试求图2.15(a)所示电路中的电流I1、I2、I3。
解：电流源与电压源变换如上图(a) (b) (c)

37 解：根据电源模型等效变换原理可将图(a)依次变换为图(b)(c)。 根据图(c)可得
从图(a)变换到图(c)，只有ac支路未经变换，故知在图(a)的ac支路中电流大小方向与已求出的I完全相同，即为1A，则： 再根据图(a)得：

38 §2.4 基尔霍夫定律 §2.4.1 关于电路结构的几个名词 支路：
§2.4 基尔霍夫定律 § 关于电路结构的几个名词 支路： 电路中通过同一电流的每一个分支，该分支上至少有一个元件，这个分支称为支路。图2-4-1中baf、bcd、be均为支路，fe则不是支路。 流过支路的电流，称为支路电流。含有电源的支路叫含源支路，图2-4-1中baf、bcd为含源支路，不含电源的支路叫无源支路，图2-4-1中be为无源支路。

39 2.节点：三条或三条以上支路的连接点叫节点。上图中b点和e点都是节点。
3.回路：电路中任意闭合路径叫回路。上图中abef、bcde、acdf都是回路。 4.网孔：内部没有跨接支路的回路叫网孔。上图中abef、bcde都是网孔。

40 即：对电路任一节点而言，电流的代数和恒等于零。
§ 基尔霍夫电流定律(KCL) 任一时刻，流入电路中任一节点的电流之和 等于流出该节点的电流之和，即： －－－节点电流方程 注意： （1）KCL中所提到的电流的“流入”与“流出”，均以电流的参考方向为准，而不论其实际方向如何。流入节点的电流是指电流的参考方向指向该节点，流出节点的电流其参考方向背离该节点。 （2）KCL可改写为ΣI=0。 即：对电路任一节点而言，电流的代数和恒等于零。

41 例2-7 如图2-4-2电路中，已知I1=1A，I2=2A，I5=3A，求该电路的未知电流。
解：由KCL定律。对于节点a，有I3=I1+I2=1+2=3A 对于节点b，有 I5=I3+I4 所以I4=I5-I3=3-3=0A 对于节点c，有I6=I2+I4=2+0=2A

42 KCL的推广： KCL不仅适用于电路中的任一节点，还可用于电路中任意假定的闭合曲面。

43 § 基尔霍夫电压定律(KVL) 任一时刻，沿任一闭合回路内各段电压的代数和恒等于零------绕闭合回路一周,电压的升降为0

44 注意：（1）在列写回路电压方程时，首先应选定回路的绕行方向。凡电压参考方向与回路绕行方向一致时，该电压取正：凡电压参考方向与回路绕行方向相反时，该电压取负。
（2）KVL 不管是线性电路还是非线性电路，定律都是适应的，对于电阻这种特殊情况，若把电阻元件上电压U（u）与电流I(i)的关系代入可得到KVL的另一种表达式： 直流时∑(RI+US) 交流时∑(Ri+uS) 。 当流过电阻的电流、电压与回路的绕行方向选取一致，则RI（Ri）和US(us)为“+”，反之则取“-”。 （3）如果回路为一单回路通常选回路的绕行方向与回路的电流的参考方向一致。

45 例2-8如图电路中，US1=100V,US2=150V,R1=15Ω,R2=25Ω,R3=40Ω,R4=20Ω 试求电路中的电流I 及A、B两点间的电压U。
解：设回路绕行方向与回路电流参考方向一致，由KVL定律，列回路电压方程如下： -US1+R1I+US2+R2I+R3I+R4I=0 则: UAB=US2+UR2+UR3=US2+R2I+R3I=117.5V

46 2.KVL的推广： KVL不仅适用于闭合回路，还可推广应用于电路的任意不闭合回路，但列写回路电压方程时，必将开路处电压列入方程。
如图为某电路的一部分，a、b两点间没有闭合，设回路绕行向为顺时针，由KVL可得 Ua-US3-US1-UR1-UR3=Ub Uab=Ua-Ub=US3+US1+UR1+UR3

47 可见，a、b两点间电压等于从a到b路径上，各个元件电压Ui的代 数和，若元件电压参考方向与从a到b方向一致，则该电压 取正；反之，取负。利用上式，可以很方便地计算电路中任意两点之间的电压。

48 例2-9 如图2-4-5所示电路中， 已知US1=2V,US2=12V,US3=6V,R1=4Ω,R2=1Ω,R3=3Ω,试求a、b两点间的电压Uab。
解：因为a , b 两端为开路，所以电路中只有一个闭合的回路，选回 路的绕行方向与其电流的参考方向一致，如图所示，则据KVL得：

49 § 2.5 支路电流法 复杂电路 -----组成电路的电阻元件不能用简单的串并联方法计算其等效电阻的电路。
在计算复杂电路的各种方法中，必须用电源等效变换来化简电路，支路电流法是最基本，最直观的方法。 支路电流法 ----以支路电流为未知量，根据KCL和KVL列出独立的支路电流方程和独立的回路电压方程，然后联立求解方程的分析方法，从而求解出各支路电流。

50 支路电流法求解电路的方法： （1）先找出电路中一共有几条支路，然后设每个支路电流为未知要求量，并在相应的支路处标出各个电流。
（2）然后标出电路中的节点，然后据KCL列写方程。注：因为在电路中若有n个节点，只能列出（n-1)个独立的节点方程，所以在列KCL方程时只要列（n-1)个节点方程就可。 （3）找出电路中的网孔，并且标出网孔的绕行方向，然后据KVL列写出回路方程。 （4）将（2）（3）步中列出的方程组成一个方程组，求解出支路电流。

51 举例说明 1、设各支路电流为 I1、I2、I3，参考方向如图所示。该电路有三条支路，二个节点。 2、根据KCL列出节点a和b的电流方程：
节点a I1+I2-I3=0；节点b -I1-I2+I3=0 上两式中只是各量正负相反，显然只有一个方程是独立的。一般说来，对具有n个节点的电路应用KCL列方程式时，只能得出(n-1)个独立方程。 3、上图电路中有三个回路，根据KVL列出回路电压方程。其回路绕行方向示于图中。 三个回路方程中，任何一个方程都可以从其它两个方程导出。所以三个方程中只有两个是独立的。

52 （1）从电路中可看出共有3条支路，标上其支路电流分别为I1、I2、I3
（2）从电路可看出一共有两个节点e、b。可用其中的任何一个列写KCL方程，若用节点b,则有： I1+I2-I3=0 (3) 在电路中找出两个网孔，分别为abefa,bcdeb,标出其网孔的绕行方向如图所示，据KVL列回路方程，则有： 解由以上三个方程构成得方程组即可求出三个支路电流。

53 §2-6 网孔电流法 网孔方程 用支路电流法求解电路时，需要求解b个独立方程，当电路复杂时，计算量也就相当繁重。为了减少求解方程数，可采用网孔电流为电路变量（未知量）来列写方程，这种方法称为网孔分析法，也称为网孔电流法。 若I1=Ia，I2=IC分别看作是沿网孔1和网孔2流过的电流——网孔电流，其参考方向如左图所示。则有：

54 R12与R21为两个网孔的公共电阻(R12=R21=R2)，称为互电阻。由于列方程时网孔绕行的方向选定为与网孔电流参考方向一致，所以自电阻总是正的。当通过互电阻的网孔电流的参考方向一致时，互电阻R12与R21取正；当与参考方向相反时，互电阻R12与R21取负。如本例中互电阻R12=R21=-R2 。

55 式中的US11和US22分别表示两个网孔电压源电压的代数和。各电压源电压顺着绕行方向由负极到正极取正号；
US11=US1-US2，US22=US2-US1 相反则取负号。

56 § 网孔分析法的计算步骤 （1）选定各网孔电流的参考方向，它们也是列方程时的绕行方向。 （2）列网孔方程

57 R11、R22、……Rmm 等有相同下标的电阻为各网孔的自电阻，它们分别是各网孔电阻之和，恒为正值。
一般情况下有RjK=RKj（含受控源的电路除外）。

58 式中右端项 Us11、Us22 、……Usmm分别为各个网孔电压源电压的代数和。各电压源电压顺着绕行方向由负极到正极取正号；相反则取负号。
（3）求解网孔方程，解得网孔电流。 （4）指定各支路电流的参考方向，支路电流则为有关网孔电流的代数和。 在网孔分析法中，省略了KCL方程，与支路电流法比较，联立方程的数目由等于支路数减少到网孔数，因而计算有所简化。但网孔分析法只适用于平面电路。

59 一般在平面电路内可选网孔作为回路，列网孔方程，保证了方程的独立性。或选取独立回路列方程，所谓独立回路是指每次所选回路中至少有一条新支路(即该支路在已选取的回路里未出现过)，这样的回路列出的方程是独立的。但是应该注意电路的网孔个数和独立回路的个数相等，独立回路却不一定是网孔，而网孔却是独立回路。 一个电路如果有n个节点，b条支路，那么网孔(或独立回路)数为m=b-(n-1)个。 把独立节点电流方程与独立回路的电压方程联立起来，如下式，三个未知量，三个方程刚好求解出支路电流。 从以上的讨论中看出，对复杂电路来说，参考方向尤为重要。 支路电流法首先要选定支路电流及参考方向，其次根据KCL与KVL列出独立的方程，然后求解出支路电流。

60 例 用网孔法求图所示电路的各支路电流。 解 （1） 选择各网孔电流的参考方向, 如图所示。 计算各网孔的自电阻和相关网孔的互电阻及每一网孔的电源电压。

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63 【例】如图所示电路，用支路电流法求各支路电流及理想电流源上的端电压U。
解：设各支路电流为I1、I2、I3，参考方向如图所示，电流源端电压为U参考方向如图所示。 根据KCL和KVL列出下述方程。 解得 I1=-0.4A，I3=1.6A，U =148V 注意：此题应注意根据KVL列回路2的方程时，要把电流源两端电压考虑进去。而电流源所在支路的支路电流大小就等于电流源的电流大小，方向相同，则I=IS，否则I=-IS。

64 【例】如图所示电路，用网孔电流法求各支路电流及理想电流源上的端电压U。

65 § 含电流源支路时的求解方法 如果电路中存在电流源与电阻的并联组合时，应先把它们等效变换为电压源与电阻的串联组合，然后再列出方程。但如果电路中存在理想电流源（与电流源并联电阻为无穷大）支路时，为按上式列网孔方程，要做特殊处理。 （1） 当理想电流源在边界支路时，所在网孔的电流成为已知量，等于该电流源的电流，因而不必再列写该网孔的网孔方程。 （2） 当理想电流源在公共支路时，应把电流源电压设为新的未知变量列入网孔方程，并将电流源电流与相邻两个网孔电流的关系作为补充方程，一并求解。

66 §2.7 节点电位法 节点电压法是以电路中的节点电压为未知量，根据KCL写出独立的节点电流方程，然后联立求解出节点电压的方法。 这种方法对多支路两节点电路的计算尤为简便。   所谓节点电压是指电路中任一节点到参考点之间的电压。电路中，任意选择某一节点为参考节点，其他节点与参考节点间的电压便是节点电压。节点电压的参考极性以参考节点为负。 所以分析电路之前，应首先选择一个节点为参考点（该节点电位为0），其余各节点到参考点的电压就是要求解的节点电压，有时又叫节点电位。一旦求出各节点电压，再利用欧姆定律和不闭合回路的KVL，就可求出各支路电流或电压。

67 图中IS1，US1及R1，R2，R3，R4，R5均为已知。
设以节点O为参考点，则节点1和节点2的节点电压分别为U10，U20。本书规定节点电压的参考极性均以参考点处为负极性。 各支路电流的参考方向标在图上，根据KCL写出 根据欧姆定律和不闭合电路KVL得：

68 将各支路电流代入节点方程并整理得： 或用电导表示电阻得: 由上两式可解得，将代入支路电流表达式中，就可以求出各支路电流了。上式的一般式为： 式中G11=G1+G2+G3，G22=G3+G4+G5，分别叫做节点1、2的电导，分别为联到节点1、2的所有电导之和；G12=G21=-G3，代表节点1和节点2的互导，它们等于两节点间的公共电导之和并取负号。IS11、IS22分别表示汇集到节点1和节点2所有电流源的代数和，当电流源电流方向指向节点时，前面取正号，否则取负号。

69 一般3个以上节点的电路多采用回路电流法进行分析。
节点电压法最适合两个节点的电路，通常把用来解由电压源和电阻组成的两个节点电路的节点电压法又叫做弥尔曼定理。 对于两个节点电路的节点电压法一般式为：

70 § 节点电位法的计算步骤 （1）选定一个参考节点，一般取连接支路较多的节点。其余各独立节点与参考节点间的电压即是节点电压，其参考方向是由独立节点指向参考节点。

71 G11、G22、……G(n-1)(n-1)等有相同下标的电导为各节点的自电导，它们分别是各节点上电导的总和，恒为正值。
G12、G13、G23……有不同下标的电导为互电导，分别等于两个相关节点的公有电导，它们恒为负值；如果两个节点之间没有支路直接相连，则相应的互电导为零。一般情况下有Gjk=Gkj（含受控源的电路除外）。 右端项IS11、IS22、……、IS(n-1)(n-1)分别为电流源流入各节的电流代数和（流入为正，流出为负）。 （3）求解节点方程，解得节点电压。 （4）指出各支路电流的参考方向，根据欧姆定律可求出各支路电流 如果电路的独立节点数少于网孔数，与网孔分析法比较，节点分析法所需求解联立方程数较少，较易求解。

72 【例】用节点法求下图所示电路中各支路电流。已知。
解：设O点为参考点，则节点电压为 由欧姆定律及KVL得：

73 § 2.7.3 含电压源支路时的求解方法 如果电路中存在电压源与电阻的串联组合，应先把它们等效变换为电流源与电阻并联的组合，然后再列写方程。
§ 含电压源支路时的求解方法 如果电路中存在电压源与电阻的串联组合，应先把它们等效变换为电流源与电阻并联的组合，然后再列写方程。 但如果电路中存在理想电压源（与电压源串联电阻为零）支路时，需做如下特殊处理： （1）当有理想电压源支路，且一端在参考节点时，另一端所连节点的电压成为已知量，等于该电压源的电压，因而不必再列写该节点的节点方程。 （2）当有理想电压源支路，且两端都不与参考节点相连时，应把电压源电流设为新的未知变量列入节点方程，并将电压源电压与两端节点电压的关系作为补充方程，一并求解。其实在这里用了混合变量，除节点电压外，还把电压源的电流作为变量。有的教材把这种方法称为改进节点法。

74 几种分析电路方法的比较 以上介绍了分析线性电路的支路电流法、网孔分析法和节点分析法，下面对这几种分析方法进行比较。
就方程数目来说，支路电流法为支路数b，网孔分析法为网孔数b-(n-1)，节点分析法为独立节点数n-1。 (2) 因为网孔分析法不存在选取独立回路问题，节点分析法的节点电压也容易选取，所以手算时通常采用网孔分析法或节点分析法。

75 (3)如果电路的独立节点数少于网孔数宜采用节点分析法；
如果电路的网孔数少于独立节点数，则宜采用网孔分析法。 但是还要考虑其他的一些因素，例如电路中电源的种类，如果已知的电源是电流源，则节点分析法更为方便，方程式往往由观察可直接写出；如果电源为电压源，则网孔分析法较为方便。 (4)还可根据所求解的电路变量，来选择合适的分析方法。 如求解某个或某几个支路电压，选择节点分析法可直接求出解答，无须从网孔分析法求出网孔电流后，求支路电流，再根据支路VCR求电压； 如求解某个或某几个支路电流，选择网孔分析法求出网孔电流后，求支路电流较为简便。 (5)网孔分析法只适用于平面电路，节点分析法则无此限制，因此节点分析法更具有普遍意义。 此外，节点分析法的一个显著优点是便于编制程序，目前电路的计算机辅助分析广泛采用节点分析法。

76 §2.8 叠加定理 叠加定理的内容： 当线性电路中有多个电源同时作用时，各支路的电流（电压）等于各个电源单独作用时，在该支路产生的电流（电压）的代数和。 说明：（1）此定理可以从回路电流方程或节点电压方程导出。 所谓每一个电源单独作用，是指其余电源不作用，或者说其余电源的电压值或电流值为零，将不作用的理想电压源短路，不作用的理想电流源开路，其它元件保持原来位置不变。 如果电压源不作用，相当于短路；如果电流源不作用，相当于开路。

77 （2）应用叠加定理可以将一个复杂的电路，分成几个简单的电路研究，然后将这些简单电路的计算结果综合起来，便可求得原复杂电路中电流和电压。
下面举例说明，应用叠加定理求解电路的过程。

78 例2-11 如图2-8-1所示电路中，已知IS1=4.5A，US2=24V，R1=8Ω，R2=4Ω，R3=8Ω，R4=4Ω,试应用叠加定理，求电流I1、I2、I3及各电阻上的电压。
解：（1）画出各电源单独作用时的分解电路，如图（b）、（c）所示。其中（b）图是电流源IS1单独作用时的等效电路，电压源US2相当于短路；（c）图是电压源US2单独作用时的等效电路，电流源IS1相当于开路。

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83 （4）将IS1、US2单独作用时的结果叠加，同时考虑到总量与分量参考方向之间的关系，可以得到两个电源同时作用于电路时，电路各部分的电流和电压为：

84 【例】下图(a)所示电路中，有电压源和电流源共同作用。试用叠加定理求各支路电流。已知US=10V，IS=1A，R1=2Ω，R2=3Ω，R=1Ω
解　(1) 首先将原电路分解成每一个电源单独作用时的电路模型。按每一个电源单独作用时的电路模型求出每条支路的电流或电压。由图 (b)求出电压源单独作用时各支路电流。 由图(c)求出电流源单独作用时各支路电流 。 (2) 各电源单独作用时电流或电压的代数和就是各支路的电流或电压值

85 使用叠加定理时，应注意以下几点： (1)该定理只适用于计算线性电路的电流和电压，对非线性电路不 适用。
(1)该定理只适用于计算线性电路的电流和电压，对非线性电路不 适用。 (2)注意电压源不作用时要短路，电流源不作用时要开路。 (3)叠加时要注意电流和电压的参考方向，凡分解的电路模型中电流和电压的参考方向与原电路中参考方向相同的叠加时前面取正号，否则前面取负号。 (4)对于多电源线性电路，该定理只能用来计算电路中的电压和电流，不能用来计算功率。因为电功率与电压或电流是平方关系而不是线性关系。

86 § 2.9 戴维南定理与诺顿定理 在电路分析中，有时并不需要求出所有支路的电流，而只需知道某一支路上的电流和电压。这时若采用节点电压法和回路电流法都比较繁琐，如果用戴维南定理和诺顿定理就简单多了。 二端网络 如果网络具有两个引出端钮与其它电路联接，不管其内部结构如何都叫做二端网络。又叫做一端口网络。 如果二端网络中，其内部含有电源的称为有源二端网络，用符号NA表示。其内部不含电源的称为无源二端网络，一般用符号NP表示。 下面几个图均为二端网络。

87 § 2.9.1 戴维南定理 任何一个线性有源二端电阻性网络都可以用一个理想电压源与电阻串联的支路代替－－－戴维南定理。
§ 戴维南定理 任何一个线性有源二端电阻性网络都可以用一个理想电压源与电阻串联的支路代替－－－戴维南定理。 该定理指出任何一个线性有源二端电阻网络，其对外电路的作用总可以用一个理想电压源与电阻相串联的支路代替。 理想电压源的电压等于有源二端网络开路时的电压，其电阻等于把该网络内各理想电压源短路，各理想电流源开路后所对应无源二端网络的等效电阻。

88 【例】用戴维南定理求下图所示电路中流过R2的电流I2。
解：此题若将R2断开，则其余部分是一有源二端网络(端钮为a，b)，但不易看出电路结构。如将C点也断开，则左右两边各为一个有源二端网络ac和bc(图 (b))。 对有源二端网络ac，可求得： 对有源二端网络bc，流过的电流即IS4为，则： bc端等效电阻为： 整个电路等效为图 (c) 故： 课堂练习：书中例2-12

89 §2.9.2 诺顿定理 任何一个线性有源二端网络，对外电路来说，都可以用一个理想电流和电阻并联的模型来等效替代－－－诺顿定理
§ 诺顿定理 任何一个线性有源二端网络，对外电路来说，都可以用一个理想电流和电阻并联的模型来等效替代－－－诺顿定理 理想电流源的电流等于线性有源二端网络的短路电路Isc，电阻等于将有源二端网络变成无源二端网络的等效电阻Req。

90 Isc、Req分别在图(c)、(d)中求得。
图(b)就是图(a)诺顿等效电路 Isc、Req分别在图(c)、(d)中求得。

91 § 最大功率传输定理

92 定理:在有源二端网络内部结构及参数一定的条件下，即Uoc、Ro一定时，要使负载上的功率P最大，则：
RL=R0 此时负载获得的最大功率为： 负载获得最大功率的条件－－－最大功率传输定理 阻抗匹配：在工程上，电路满足最大功率传输条件称为阻抗匹配。

93 例2-14：电路中，已知Is=2A，Us=8V，R1=6Ω，R2=4Ω，R3=10Ω，试问为RL何值时，它能获得最大功率，最大功率为多少？
解：（1）将图(a)电路从a、b处断开，如图(b)所示，求解其戴维南等效电路，可以利用实际电源模型等效变换去做，也可以直接分析电路求得，这里采用后一种方法。由于a、b两端断开，电流源Is、电阻R1、电压源Us组成一单回路电路，因此：

94 （2）根据最大功率传输条件可知，当RL=Ro=20Ω时，将获得最大功率，其大小为：

95 §2.11 含受控源电路的分析 1.定义 独立源：前面介绍的电压源和电流源，它们的电压或电流 都是一定值或是固定的时间函数，称为独立源。
§ 含受控源电路的分析 1.定义 独立源：前面介绍的电压源和电流源，它们的电压或电流 都是一定值或是固定的时间函数，称为独立源。 受控源：在电子线路中还会遇到另一类电源，它们的电压或电流受电路中其他部分电压或电流的控制，称为受控源。 2.独立源与受控源的区别 独立源与受控源在电路中的作用不同。独立源作为电路的输入，反映了外界对电路的作用，受控源表示电路中某一器件所发生的物理现象，它反映了电路中某处的电压或电流对另一处电压或电流的控制情况。

96 3.受控源的分类 根据控制量是电压还是电流，受控量是电压源还是电流源，受控源分为四种类型：电压控制电压源（VCVS）、电压控制电流源（VCCS）、电流控制电压源（CCVS）、电流控制电流源（CCCS），四种受控源在电路中的图形符号分别如图2-11-1（a）、（b）、（c）、（d）所示。图中菱形符号表示受控源，以便与独立源的圆形符号相区别，其参考方向的表示方法与独立源相同。

97 在受控源模型中，、g、r、称为控制系数，它们反映了控制量对受控源的控制能力，其定义分别为：

98 当这些系数为常数时，被控制量与控制量成正比，这种受控源称为线性受控源。线性电路中的受控源必须是线性受控源
例2-15 某三极管放大电路的微变等效电路，其中Ui为输入电压，Uo为输出电压。已知Ui=15mV，R1=1KΩ，R2=2KΩ，R3=100Ω，β=50，试求输出电压Uo。

99 解：（1）求解I1。根据基尔霍夫电压定律，列出输入回路电压方程
由基尔霍夫电流定律，列出节点e的节点电流方程 代入数据，联立求解，得 （2）由于电阻R2上电压Uo的参考方向与流过R2的电流βI1的参考方向相反，因此输出电压为：

100 本 章 小 结 1．基尔霍夫定律 可以应用于具体电路中的某一结点，还可以推广应用任一广义结点和回路(封闭面或不闭合回路)。
电流定律（KCL）：流进节点的电流代数和为0 电压定律（KVL）：绕闭合回路一周电压的升降为0

101 2．等效变换法 （1）等效网络的概念：一个二端网络的端口电压电流关系与另一个二端网络的端口电压电流关系相同，这两个网络对外部而言称为等效网络。 （2）串联电路的等效电阻等于各电阻之和；并联电路的等效电导等于各电导之和；混联电路的等效电阻可由电阻并串联计算得出。

102 （3）电阻Y联结和Δ联结可以等效变换

103 （4）实际电压源和实际电流源可以相互等效变换。

104 3．网络方程法 （1）支路电流法是基尔霍夫定律的直接应用，其基本步骤是：首先选定电流的参考方向，以b个支路电流为未知数，列n-1各节点电流方程和m个电压方程，联立b=(n-1+m)个方程求得支路电流。 （2）节点电位法是在电路中选参考节点，以(n-1) 节点电位为未知数，列(n-1)个节点电流方程联立求得，再由节点电位与支路电流关系，求得支路电流。

105 4．网络定理法 （1）叠加定理只适用于线性电路，任一支路电流或电压都是电路中各独立电源单独作用时在该支路产生的电流或电压的代数和。当独立电源不作用时，理想电压源短路，理想电流源开路。内电阻要保留，同时注意叠加时为代数和。 （2）戴维南定理说明了线形有源二端网络可以用一个实际电压源等效替代，电压源的电压等于网络的开路电压Uoc，而等效电阻R0等于网络内部独立电源不起作用时从端口上看进的等效电阻，该实际电压源又称戴维南等效电路。诺顿定理可以用两种实际电源等效变换从戴维南定理中推得。

106 5．含受控电路分析 （3）最大功率传输定理表达了有二端网络Ns向负载RL传输功率，当RL=R0时，负载RL才能获得最大功率，其功率为
（1）应用网络方程于含受控电路时，可以暂时将受控源视为独立电源，按常规方法列网络方程，再找出受控源控制量与未知量的关系式，代入网络方程，就可求解电路。 （2）应用网络定理法分析含受控电路时，不可以将受控源视为独立电源，应将其保留在所在支路中进行分析。

107 习题解答 2-1试求如图所示的电路的等效电阻 解(a)图 Rab=8.8Ω 解(b)图 Rab=2Ω

108 2-2如图，求S断开时和S闭合时ab的等效电阻Rab

109 2-3 如图所示，表示滑线变阻器作分压器使用，其额定值为“100Ω、3A”，外加电压U=200V，滑动触点置于中间位置不动，输出端接上负载RL，试问：(1)及RL= ；(2)及RL=50Ω；(3)只RL=20Ω时，输出电压U2各是多少?滑线变阻器能不能正常工作? 解： (1)相当于RL开路， U2=U1/2=100V

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111 2-4 有一个直流电表，其量程Ig=50uA，表头内阻Rg=2kΩ。现要改装成直流电压表要求直流电压挡分别为10V、100V、500V。如题图所示。试求所需串联的电阻R1、R2、R3的值。
解：U1=Ig(Rg+R1)得R1=200KΩ-2KΩ=198KΩ U2=Ig(Rg+R1+R2)得R2=2000K-200K=1800KΩ U3=Ig(Rg+R1+R2+R3) 得R3=10000K-2000K=18000KΩ=18MΩ

112 2-5 有一个直流电流表，其量程Ig=10mA，表头内阻Rg=2001Ω ，现将量程扩大到1A，试画出电路图，并求需并联的电阻应多大。

113 2-6试求ab等效电阻 解(a)图：先将△形变Y形

114 解(b)图：先将△形变Y形

115 2-7试求电流源的端电压U 解:将中间Y形变△形

116 2-8如图所示,求U或I 解:(a)I=6/2=3A; (b)U=2×5=10V

117 2-9化简如图所示电路 解(a) 解(b)

118 2-10如图所示，试求电路中的I和Uab 解：因I+1-2-1=0，所以I=2A 流过10Ω的电流为1A，且向右 Ub-1×3Ω+1×10Ω+5V=Ua 所以Uab=Ua-Ub=12V

119 2-11 如图，已知3Ω上的电压为6V，试求电路中的I
解：因3Ω上的电压为6V，所以其电流为2A， 方向向上； 而I+5A+2A=0；故I=-7A

120 2-13：如图，已知I1=1A， I2=3A，试求R1和R2 解：∵设R2上电流 为I，则I1+I=I2得 I=2A，向上

121 1-16：如图，试求I1和I2 解： 方法一：列网孔方程

122 方法二：用节点电压法：

123 方法三：用支路电流法：

124 解2-12；2-14；2-15；2-17；2-20: 如图所示，求I1、I2和I3（课本中题图2-22a) ①用支路电流法解：

125 ②用网孔电流法解： 设两网孔电流均为顺时针方向，分别为I1、I3

126 ③用节点电位法解:

127 ④用叠加原理法求解： 只10V作用时：

128 只有6V作用时：

129 只有20V作用时：

130 三者同时作用时： 用此方法解最不合适

131 如图所示，求I1和I2 （课本中题图2-11b） ①用支路电流法解：

132 ②用网孔电流法解： 设左右网孔电流均为 顺时针方向，分别不 I3、I2

133 ③用节点电位法解：

134 ④用叠加原理求解： 当只有2A作用时：

135 当只有5V作用时：

136 如图所示，求I。 （课本题图2-13） 用支路电流法解： 设2Ω和3Ω电流向 右分别为I1、I2

137 ②用网孔电流法解： 设上、左、右网孔电流 均为顺时针方向，且分 别为I1、I2、I3

138 ③用节点电压法解： 用这种方法解此题较方便

139 ④用叠加原理求解： 当只有2A作用时： 当只有10V作用时

140 当只有1V作用时 叠加法不适宜解此题

141 2-18如图 所示，求I

142 2-19求各节 点电位

143 解(b)图：显然b点电位 为10V，设流过电压源5V 由负到正的电流为I

144 2-21如图所示，试用叠 加原理求电压U 当只有电流源作用时， 其电路如右下流过10Ω 电阻上电流为1.5 故U1=1.5×10=15V

145 (2)当只有电源作用时，其电路如右图，10Ω电阻上的电压为U2=10V
当两者共同作用时： U=U1+U2=25V

146 2-22如图所示，当S闭合 在a点时，I1=5A，I2=3A I3=15A，求当S闭合在b 点时各电流值 解：当S与a闭合时： -4I1-4I3+US1=0，故US1=80V； -2I2-4I3+US2=0，故US2=80V

147 2-23如图所示，试求 其戴维宁等效电路和 诺顿等效电路。 解(a图)：

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149 解(b)图 ∵Ub+0×10+3+2×6-9=Ua ∴Uab=Ua-Ub=6V Rab=10+6=16Ω

150 2-24如图所示，试用戴 维宁定理求U或I 解：将ab开路，电路变换成上图Ub+9V+6A×3Ω=Ua 故Uab=27V；

151 Rab为9V短路，6A开路时的Rab=3Ω 故U=27/9×6=18V

152 图2-20b，求I 解：将原图变为右下： ∵ Ub+40V-2A×2Ω-2A×3Ω-15V=Ua Uab=15V

153 Rab为2A开路，15V、40V短路的电阻Rab=5Ω
∴I=1.5A

154 2-21所示,当RL为何值时负载RL能获得最大的功
率,并求此最大功率Pm 解(a)图,将RL开路，电路变换如下：

155 解(a)图,将RL开路，电路变换如下： I=5/8A;Uab= =37.5V;Rab=10Ω，当RL=Rab时RL上获得的功率最大，P=Pm=35.16W

156 2-21(b)所示当RL为何值时负载RL能获得最大的功率,并求此最大功率Pm

157 由戴维南定理： Rab=20Ω，Uab=20V 所以当RL=Rab=20Ω时，RL上获得的功率最大P=Pm=Uab2/4RL=5W

158 2-26如图所示，求电压U和电流I 解：如图：∵I+2I=-6A；∴I=-2A U=2I×3Ω=2（-2）×3=-12V