Systematic Analysis Methods

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1 Systematic Analysis Methods

2 電路學的基本問題：求出每個元件的電壓及電流。
被動元件有電壓及電流兩個未知數； 主動元件(即電源)的電壓或電流已知，仍有另一個未知數。 因此含有 𝑠 個電源、𝑑 個被動元件的電路，一共有 𝑠+2𝑑 個未知數。一個複雜的電路含有相當多的未知數。 事實上不必要一次求解這麼多未知數。只要知道所有元件的電壓，其電流可以用歐姆律算出；或者只要知道所有元件的電流，其壓流可以用歐姆律算出。 因此未知數的數量可以大為減少。

3 再就電壓法說，也並不要同時求所有 𝑑 個元件的電壓；只要知道某幾個點的電壓，就可以求出所元件的電壓。因此又可以大量減少未知數的數目。
這些點稱為節點 (node) 。

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8 補充說明 只連接兩個電阻的節點可忽略。 如下圖中的 𝐵 點不算節點，其電壓毋須另設為未知數。 這是因為以 𝐵 點連接的電阻為串聯，可以合併，其電流相等。 有些書把 𝐵 點稱為 nonessential (不必要) node 。 𝐴 𝐵

9 節點電壓法 辨識節點 (node) 選定地點 (datum node, ground)： 標定節點電壓： 𝑣 𝑚
計算兩點電壓： 𝑣 𝑛𝑚 = 𝑣 𝑛 − 𝑣 𝑚 用歐姆律求電流： 𝑖 𝑏 = 𝑣 𝑛𝑚 𝑅 𝑏 列電流方程式 (KCL)： 𝑖 leaving =0 注意：電壓源須與電阻串聯，否則用 supernode

10 Supernode 須知 1. 若節點之間僅有電壓源，不串聯其他電阻， 則將這些節點及電壓源視為 supernode； 2. 電壓源兩端節點僅需一個節點電壓未知數。 3. 每個 supernode 列一條電流方程式； 4. 經某元件流出(或流入) supernode 的電流 須用該元件的節點電壓。

11 流經某元件的電流只有兩種情形： 元件一端為地 元件兩端皆非地 經 𝑅 𝑎 由節點 1 流出的電流： 𝑖 𝑎 = 𝑣 1 𝑅 𝑎 經 𝑅 𝑏 由節點 1 流出的電流： 𝑖 𝑏 = 𝑣 1 − 𝑣 3 𝑅 𝑏 經 𝑅 𝑏 由節點 3 流出的電流： −𝑖 𝑏 = 𝑣 3 − 𝑣 1 𝑅 𝑏

12 Figure 4.2 只有一個節點電壓未知數： 𝑣 1 KCL 𝑣 1 𝑅 𝑎 + 𝑣 1 − − 𝑣 s 𝑅 𝑏 = 𝑖 s

13 Example 4.1 Figure 4.3

14 擇地點 標節點 標電壓 列方程 KCL at node 1: 𝑖 𝑎 − 𝑖 𝑏 − 𝑖 𝑐 =0 Branch currents:
𝑖 𝑎 − 𝑖 𝑏 − 𝑖 𝑐 =0 Branch currents: 𝑖 𝑎 = 18− 𝑣 , 𝑖 𝑏 = 𝑣 , 𝑖 𝑐 = 𝑣 2× 18− 𝑣 1 − 𝑣 1 − 3× 𝑣 =0 − 6 𝑣 1 =180−36

15 Exercise 4.1

16 Figure 4.5

17 KCL at node 1: 𝑣 1 −𝑣 𝑠 𝑅 𝑎 + 𝑣 1 𝑅 𝑏 + 𝑣 1 −𝑣 2 𝑅 𝑐 = 𝑖 𝑠 KCL at node 2: 𝑣 2 −𝑣 1 𝑅 𝑐 + 𝑣 2 𝑅 𝑑 + 𝑣 2 −𝑣 3 𝑅 𝑒 =0 KCL at node 3: 𝑣 3 −𝑣 2 𝑅 𝑒 + 𝑣 3 𝑅 𝑓 =− 𝑖 𝑠

18 Example 4.2

19 KCL at 1: −1+ 𝑣 1 − 𝑣 2 60∥ 𝑣 𝑣 1 −30 6 =0 KCL at 2: 1+ 𝑣 2 − 𝑣 1 60∥ 𝑣 2 −50 5 =0 60∥12=10 𝑣 1 − 𝑣 𝑣 𝑣 1 6 =6 𝑣 2 − 𝑣 𝑣 2 5 =9 3× 𝑣 1 − 𝑣 𝑣 1 =6×30 𝑣 2 − 𝑣 𝑣 2 =90 10 𝑣 1 −3 𝑣 2 =6×30 − 𝑣 1 +3 𝑣 2 =90 𝑣 1 =30 𝑣 2 =40

20 Example 4.3 𝑣 1 − 𝑣 1 − 𝑣 𝑣 1 4 =3 𝑣 2 − 𝑣 𝑣 2 −𝑣 =0 𝑣 𝑣 3 −𝑣 =0 10 𝑣 𝑣 1 − 𝑣 𝑣 1 =18×20=360 𝑣 2 − 𝑣 1 + 2𝑣 2 −2 𝑣 3 =−10 4 𝑣 3 − 𝑣 2 + 𝑣 3 =−60

21 未與地點聯接的電壓源稱為 floating 電壓源。
釋義 基準節點 (reference node) 稱為「地點」(gound)。以中文理解，接地稱為「腳踏實地」，若不著地則是「飄浮無根」。 所以不接地的電壓源稱為「飄浮電壓源」(floating voltage source)。

22 Floating Voltage Sources 飄浮電壓源
未與地點聯接的電壓源稱為飄浮電壓源。 注意：所謂與地點聯接是指電壓源所在的分支 (branch) 與地點聯接，而無須直接聯接。 如原圖，取右邊節點為地，則 15 V 電壓源與 48 V 電壓源都接地。 但是若取左邊節點為地，只要把 48 V 電壓源與 6 kΩ 電阻對調，則 48 V 電壓源與24 V 電壓源也都接地。

23 漂浮電壓源有兩類，一類是所在分支有串聯電阻，第一類 (飄浮) 電壓源的兩端直接就是節點 。
遇到第一類飄浮電壓源，只要按照上述步驟列電 流方程式 (KCL) 即可。 第二類飄浮電壓源的電流未知，因此無法寫所在 節點的電流方程式。 為了規避此未知電流，將此電壓源及其兩端節點 視為 supernode，進出此 supernode 的電流與流經 此電壓源電流無關。

24 把第二類飄浮電壓源及兩端節點視為 supernode 有兩個優點：既無需考慮電壓源的電流，兩端節點僅需一個節點電壓未知數。

25 Supernode 之妙用在於無須考慮內藏電壓源的電流，只須考慮進出 supernode 的電流。

26 慎選基準節點可以減少未知節點電壓。 把聯接最多電壓源的節點選為基準點。

27 Example 4.4

28 Exercise 4.5

29 Figure 4.14

30 由節點 2 經 𝑅 𝑑 流出的電流： 由節點 2 經 𝑅 𝑏 流出的電流： 𝑣 2 𝑅 𝑑 𝑣 2 − 𝑣 1 𝑅 𝑏 𝑣 2 + 𝑣 𝑦 − 𝑣 1 𝑅 𝑐 由節點 3 經 𝑅 𝑐 流出的電流： 由節點 3 經 𝑅 𝑒 流出的電流： 𝑣 2 + 𝑣 𝑦 𝑅 𝑒

31 Example 4.5

32 Consistent units: 電阻：Ω 電流：A 電壓：V 辨識節點： 一個 supernode 及節點 2 KCL for supernode 𝑣 1 − 𝑣 𝑣 1 − 𝑣 1 −30 − 𝑣 2 2 =1 KCL for node 2 𝑣 𝑣 2 − 𝑣 𝑣 2 − 𝑣 1 −30 2 =7

33 節點電壓矩陣方程式

34 以上的節點電壓方程式是多元一次聯立方程式。
這是因為我們只考慮線性電路，所有元件的電壓電流關係都是線性，所以當然是一次。 節點電壓的多元一次聯立方程式可用矩陣表示，稱為矩陣節點電壓方程式 (matrix node equation)，其通式為 𝐺 𝑣 = 𝑖 𝑠 其中係數矩陣 𝐺 由電導組成， 𝑣 由節點電壓未知數組成， 𝑖 𝑠 由電流源或等效電流源組成。

35 原則上，節點電壓矩陣方程式可用觀察法直接列出，但實際上仍有細微不易透徹了解的細節。
由電路中電壓源的位置 (或稱為拓樸 topology)，可以先依含不含受控電源分為兩大類。 包含受控電源的電路下一節再詳述。 不含受控電源的電路可再分為三種： 一、不含飄浮電壓源； 二、飄浮電壓源毋須用 supernode 三、含有須用 supernode 的飄浮電壓源。 只有第一種可以用觀察法直接列矩陣，第二種課本就用電源變換法，把電壓源變換微電流源。 第三種就根本避而不談。 以下討論這三種電路。

36 先前已經列出三個節點的電流方程式。因為電阻電流等於電壓除以電阻，為了簡潔起見，改寫為電壓乘以電導，例如：
𝑖 𝑏 = 𝐺 𝑏 𝑣 1 Figure 4.5 因此三個節點的電流方程式為： KCL at node 1: 𝐺 𝑎 𝑣 1 −𝑣 𝑠 + 𝐺 𝑏 𝑣 1 + 𝐺 𝑐 𝑣 1 −𝑣 2 = 𝑖 𝑠 KCL at node 2: 𝐺 𝑐 𝑣 2 −𝑣 1 + 𝐺 𝑑 𝑣 2 + 𝐺 𝑒 𝑣 2 −𝑣 3 =0 KCL at node 3: 𝐺 𝑒 𝑣 3 −𝑣 2 + 𝐺 𝑓 𝑣 3 =− 𝑖 𝑠

37 把以上聯立方程式依照電壓未知數改寫，例如第一式裡的 𝑣 1 項為：
把以上聯立方程式依照電壓未知數改寫，例如第一式裡的 𝑣 1 項為： 𝐺 𝑎 + 𝐺 𝑏 + 𝐺 𝑐 𝑣 1 Figure 4.5 因此三個節點的電流方程式再改寫為： KCL at node 1: 𝐺 𝑎 + 𝐺 𝑏 + 𝐺 𝑐 𝑣 1 − 𝐺 𝑐 𝑣 2 = 𝑖 𝑠 + 𝐺 𝑎 𝑣 𝑠 KCL at node 2: − 𝐺 𝑐 𝑣 1 + 𝐺 𝑐 + 𝐺 𝑑 + 𝐺 𝑒 𝑣 2 − 𝐺 𝑒 𝑣 3 =0 KCL at node 3: − 𝐺 𝑒 𝑣 𝐺 𝑒 + 𝐺 𝑓 𝑣 3 =− 𝑖 𝑠

38 最後用矩陣表示 𝐺 𝑣 = 𝑖 𝑠 其中 𝐺 = 𝐺 𝑎 + 𝐺 𝑏 + 𝐺 𝑐 − 𝐺 𝑐 0 − 𝐺 𝑐 𝐺 𝑐 + 𝐺 𝑑 + 𝐺 𝑒 − 𝐺 𝑒 0 − 𝐺 𝑒 𝐺 𝑒 + 𝐺 𝑓 𝑣 = 𝑣 1 𝑣 2 𝑣 3 ， 𝑖 𝑠 = 𝑖 𝑠 + 𝐺 𝑎 𝑣 𝑠 0 − 𝑖 𝑠 Figure 4.5 係數矩陣 𝐺 由電導組成 常數矩陣 𝑖 𝑠 由電流源及電壓源組成。

39 其次，− 𝐺 𝑚𝑛 等於聯接第 𝑚 個節點與第 𝑛 個節點的總電導。
先討論電導矩陣： 𝐺 = 𝐺 𝑎 + 𝐺 𝑏 + 𝐺 𝑐 − 𝐺 𝑐 0 − 𝐺 𝑐 𝐺 𝑐 + 𝐺 𝑑 + 𝐺 𝑒 − 𝐺 𝑒 0 − 𝐺 𝑒 𝐺 𝑒 + 𝐺 𝑓 其中每個主對角元素是由所有聯接到某個節電的電導的總和。例如有三個電阻與第一個節點聯接，其電導總和為 𝐺 11 = 𝐺 𝑎 + 𝐺 𝑏 + 𝐺 𝑐 ；依此類推，可以由觀察直接寫出 𝐺 22 與 𝐺 33 。 其次，− 𝐺 𝑚𝑛 等於聯接第 𝑚 個節點與第 𝑛 個節點的總電導。 Figure 4.5 例如 2 與 3 兩個節點之間的電阻為 𝑅 𝑒 ，所以 − 𝐺 23 = 𝐺 𝑒

40 其次討論電源行矩陣： 𝑖 𝑠 = 𝑖 𝑠 + 𝐺 𝑎 𝑣 𝑠 0 − 𝑖 𝑠
𝑖 𝑠 = 𝑖 𝑠 + 𝐺 𝑎 𝑣 𝑠 0 − 𝑖 𝑠 先討論正負。由 𝐺 𝑣 = 𝑖 𝑠 ，方程式左邊是流出電流，所以右邊是流入電流，以流入為正。電流源 𝑖 𝑠 流入第一個節點，流出第三個節點，所以 𝑖 𝑠3 等於 − 𝑖 𝑠 ，而 𝑖 𝑠1 裡有 + 𝑖 𝑠 。 但是 𝑖 𝑠1 裡還有 + 𝐺 𝑎 𝑣 𝑠 ，這是電壓源 𝑣 𝑠 產生流經電阻 𝑅 𝑎 的電流。由主動元件的電流流向，這個電流流入第一個節點，等於 + 𝐺 𝑎 𝑣 𝑠 。 Figure 4.5

41 課本並未說明其中確定正負的原則。

42 此例中的電壓源一端接地，不是漂浮電源。 因此另一端電壓為已知定值 + 𝑣 𝑠 ，所以經電阻 𝑅 𝑎 流出第一個節點的電流等於 𝐺 𝑎 𝑣 1 − 𝑣 𝑠 ，其中 − 𝐺 𝑎 𝑣 𝑠 是電壓源的貢獻。 流出 − 𝐺 𝑎 𝑣 𝑠 等於流入 + 𝐺 𝑎 𝑣 𝑠 由此例可得到一個通則： 接地電壓源的另一端若為正極，其電壓乘以與其串聯的電阻，等於流入節點的電流，須加入電流行矩陣。 仍以第一個節點說明。 電壓源 𝑣 𝑠 所產生流經 𝑅 𝑎 的電流為 + 𝐺 𝑎 𝑣 𝑠 ，流入第一個節點，須加入 𝑖 𝑠1 。

43 先辨識節點，取基準點。 以右邊節點為基準接地。 並對調 30 V 電壓源與 6Ω 電阻，則兩個電壓源都不是漂浮。

44 用觀察法即可寫下電導矩陣 𝐺 = − 1 60 − − 1 60 − 其次寫下電源行矩陣 𝑖 𝑠 流入第一個節點的電流有二：電流源 1A 流入，電壓源 30V 經由電阻 6Ω 流入第一個節點。因此 𝑖 𝑠1 = × 30 流入第二個節點的電流有二：電流源 1A 流出，電壓源 50V 經由電阻 5Ω 流入第二個節點。因此 𝑖 𝑠2 =− × 50

45 其次寫下電源行矩陣 𝑖 𝑠 = × 30 − × 50 因此矩陣節點電壓方程式為： − 1 60 − − 1 60 − 𝑣 𝑣 2 = × 30 − × 50

46 − − 𝑣 𝑣 2 = − − 𝑣 𝑣 2 = 1 3 − − 𝑣 𝑣 2 =

47 1 3 − − 𝑣 𝑣 2 = 10 −3 − 𝑣 1 𝑣 2 = ∆= 10 −3 −3 9 =81 ∆ 1 = 180 − =9×180+3×270=90× 18+9 =90×27 ∆ 2 = − =2700+3×180=90× 30+6 =90×36

48 𝑣 1 = ∆ 1 ∆ = 90×27 81 =30V 𝑣 2 = ∆ 2 ∆ = 90×36 81 =40V 𝑖 𝑎 = 30− 𝑣 1 6 =0 𝑖 𝑏 = 50− 𝑣 2 5 =2A

49 Consistent units: mA， kΩ， V 𝐺 = − − − −

50 𝑖 𝑠 = −1 −3 = 18 −1 −3 𝑣 = 𝑣 1 𝑣 2 𝑣 2 𝐺 = − − − − = − − − − 其實三階行列式並不會比較容易計算。 第一式 𝑣 1 − 𝑣 2 =18⟹ 𝑣 1 = 𝑣

51 第三式 − 1 5 𝑣 𝑣 3 =−3⟹ 𝑣 3 = 4 5 𝑣 2 −12 代入第二式 − 𝑣 𝑣 2 − 1 5 𝑣 3 =−1 − 𝑣 1 +3 𝑣 2 −2 𝑣 3 =−10 − 𝑣 𝑣 2 − 𝑣 2 −12 =−10 − − 𝑣 2 = −34 − − 𝑣 2 = −34 49×5−17×8 𝑣 2 =5×360−34×17×5 109 𝑣 2 =−1090 ∴ 𝑣 2 =−10

52 𝑣 2 =−10 代入 𝑣 1 = 𝑣 𝑣 3 = 4 5 𝑣 2 −12 ∴ 𝑣 1 = 360−20 17 =20 ∴𝑣 3 =− 4 5 ×10−12=−20

53 先辨識節點，把右上角電壓源與電阻對調，讓上半的兩個電壓源聯接於共同節點。
取基準點接地。 因此只有兩個未知節點電壓： 𝑣 1 與 𝑣 2 最下方的 48 V 電壓源兩端未接地，因此是飄浮電壓源。

54 把下方的電壓源與電阻對調，則 6Ω 電阻左端的電壓為固定已知：+24V。
Consistent units: mA, kΩ, V. 𝑣 = 𝑣 1 𝑣 2 ， 𝐺 = − 1 1 − = −1 −1 9 6 𝑖 𝑠 = − 1 4 × × ×15 = −6 9

55 7 4 −1 − 𝑣 1 𝑣 2 = −6 9 7 −4 − 𝑣 1 𝑣 2 =4× −6 9 ∆= 7 −4 −4 6 =26 ∆ 1 =4× −6 − =4×0=0 ∆ 2 =4× 7 −6 −4 9 =4×39 𝑣 1 = ∆ 1 ∆ =0， 𝑣 2 = ∆ 2 ∆ = 4×39 26 =6V 𝑖 𝑎 = 15− 𝑣 2 3 = 15−6 3 =3 mA， 𝑖 𝑎 = − 𝑣 1 2 =0mA

56 第三種是含有須用 supernode 的飄浮電壓源

57 此題雖然甚為簡單，但是可以推演出矩陣法的通則。
先依照未知數重新整理方程式： KCL for supernode 𝑣 1 − 𝑣 2 = KCL for node 2 − 𝑣 𝑣 2 =7+ −30 2

58 KCL for supernode 𝑣 1 − 𝑣 2 = 此式左邊的係數為電阻，分為兩類： 所有與 supernode 點聯接的電阻組成 𝑣 1 的係數，聯接此點與第二個節點的電阻組成 𝑣 2 的係數，這是因為由此節點向第二個節點流出的電流為 𝑣 1 − 𝑣 2 𝑅 𝑛 因為此式中的節點是 supernode，所以有兩個電阻與第二個節點聯接： 10Ω 與 2Ω。

59 KCL for supernode 𝑣 1 − 𝑣 2 = 但是 𝑣 1 還有一個係數 1 5 ，這是經由 5Ω 電阻聯接已知電壓為 50V 的節點。 此項的來源為 𝑣 1 −50V 5Ω

60 KCL for supernode 𝑣 1 − 𝑣 2 = 此式右邊為電流或等效電流，分為兩類： 第一類是與 supernode 點聯接的電流源 1A，以流入為正。

61 KCL for supernode 𝑣 1 − 𝑣 2 = 右邊電流的第二類是經由 5Ω 電阻與已知電壓 (50 V) 的節點聯接，電壓源的等效電流為 𝐴，以流入節點為正。這種項來源為 𝑣 1 −50V 5Ω

62 KCL for supernode 𝑣 1 − 𝑣 2 = 右邊電流還有一項也屬於第二類，是經由 2Ω 電阻的電流，這是因為 supernode 裡面包含 30 V 的電壓源，因為流入節點故為正。這種項來源為 𝑣 1 −30V − 𝑣 2 2Ω

63 𝐺 = − 1 10 − 1 2 − 1 10 − = − − = −3 −3 8 𝑖 𝑠 = − = 26 −8 ∆= −3 −3 8 = 23 25 ∆ 1 = −3 −8 8 = 184 5 ∆ 2 = −3 −8 = 46 5

64 𝑣 1 = ∆ 1 ∆ = ∙ =40 V 𝑣 2 = ∆ 2 ∆ = 46 5 ∙ =10 V

65 節點電壓矩陣方程式 (總結) 𝐺 𝑣 = 𝑖 𝑠 電導係數矩陣 𝐺 主對角元素 𝐺 𝑛𝑛 是所有與第 𝑛 個節點連接的電導的總和。 非對角元素 − 𝐺 𝑛𝑚 是所有連接第 𝑛 個節點與第 𝑚 個節點的電導的總和。 電源行矩陣 𝑖 𝑠 其第 𝑛 個分量 𝑖 𝑠𝑛 是所有流入第 𝑛 個節點的電流源與等效電流源的總和。有三種： 一、沒有飄浮電壓源 二、有飄浮電壓源但毋須 supernode 三、飄浮電壓源須用 supernode

66 節點電壓矩陣方程式 (評論) 𝐺 𝑣 = 𝑖 𝑠 直接用觀察可以寫下電導係數矩陣 𝐺 與第一種電流源行矩陣。 第二種與第三種電流源行矩陣其實不容易只用觀察。課本用電源變換法處理第二種，其實是畫蛇添足；第三種根本避而不談矩陣法。 最好的方法仍然是用最基本的 KCL，對每一個節點列流出電流，其物理意義最簡單明瞭。

67 Exercise 4.6