第五章 定积分及其应用.

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1 第五章 定积分及其应用

2 主要内容 广义积分 定积分 微元法 定积分 的性质 定积分的 计算法 问题1: 问题2: 牛顿-莱布尼茨公式 曲边梯形的面积
变速直线运动的路程 定积分 微元法 广义积分 定积分 的性质 定积分的 计算法 牛顿-莱布尼茨公式

3 第五章定积分及其应用 第一节 定积分的概念与性质 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的积分法 定积分换元法 定积分的分部积分法
第一节 定积分的概念与性质 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的积分法 定积分换元法 定积分的分部积分法 第四节 广义积分及Γ函数 第五节 定积分的应用

4 重点和难点 重点： 微积分基本公式及定积分的应用。 难点： 积分的计算。
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5 第二节 微积分基本公式 一、积分上限函数及其导数 二、牛顿-莱布尼兹公式 重点： 牛顿-莱布尼兹公式。 难点： 积分上限函数。

6 定理 设f（x）在[a，b]上连续，则变上限定积分
一、积分上限函数及其导数 1.积分上限函数及其导数 定理 设f（x）在[a，b]上连续，则变上限定积分 是上限x的可微函数，且

7 证：令 只要证 设在区间[x, x+△x]上，f(x)的最大值为M，最小值为m，则有

8 说明： 路程函数是速度函数的原函数

9 2.原函数存在定理 就是f(x)在[a,b]上的一个 原函数. 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函 数之间的联系.

10 二、牛顿—莱布尼茨公式 定理 （微积分基本公式）

11 [证]

12 牛顿—莱布尼兹公式将定积分的计算问题转化为求被积函数的一个原函数的问题.
微积分基本公式表明： 牛顿—莱布尼兹公式将定积分的计算问题转化为求被积函数的一个原函数的问题. 数学小语录 人和人就像数轴上的有理数点，彼此可以靠得很近很近，但你们之间始终存在隔阂。

13 [解] 回顾

14 [解] 结论

15 [解]

16 [解] [注意] 变上限定积分给出一种表示函数的方 法，对这种函数也可以讨论各种性态。

17 [解]

18 [解]

19 思考与练习

20 小节 一、积分上限函数及其导数 二、牛顿-莱布尼兹公式 作业：习题 (单), 2 (单), 3, 6, 8