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选修1-1第3章、2-2第1章 导数及其应用 DAO SHU JI QI YING YONG.

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1 选修1-1第3章、2-2第1章 导数及其应用 DAO SHU JI QI YING YONG

2  内容 一、本章主要内容与结构 (1)导数的概念:平均变化率,瞬时变化率——导数
 内容 (1)导数的概念:平均变化率,瞬时变化率——导数 (2)导数的运算:常见函数的导数,函数的和、差、积、商的导数,简单复合函数的导数 (3)导数在研究函数中的应用:单调性,极值点,最大值与最小值 (4)导数在实际生活中的应用 (5)定积分:曲边形的面积,定积分,微积分基本定理

3  结构 导数 定积分 实际背景 导 数 的 概 念 导 数 的 运 算 导 数 的 应 用 定积分的概念 微分与积分的关系

4  重点  难点 二、本章教学重点和难点 (1)导数的概念、运算及其应用; (2)利用微积分基本定理计算定积分。
复合函数的导数,定积分的概念,微积分基本定理

5 三、内容解析 1.导数的概念 导 言 数学刻画 平均变化率 实 际 背 景 平均变化率 瞬时变化率 导 数

6 (1)平均变化率  生活实例——导言  几何背景 如何刻画变量变化的“快”与“慢”? 曲线的“陡峭”程度不同
 生活实例——导言 导言  几何背景 如何刻画变量变化的“快”与“慢”? 直观描述 曲线的“陡峭”程度不同 如何刻画“陡峭”程度 数学对象:平均变化率(斜率)

7 (2)瞬时变化率——导数  曲线上一点处的导数 (直观描述/探究/数值分析) 如图所示,直线l1,l2为经过 曲线上一点P的两条直线.
y O x l1 l2 P  曲线上一点处的导数 (直观描述/探究/数值分析) 如图所示,直线l1,l2为经过 曲线上一点P的两条直线. (1)试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线; (2)在点P附近能作出一条比l1,l2更加逼近曲线的直线l3吗? (3)在点P附近能作出一条比l1,l2,l3更加逼近曲线的直线l4吗? 割线→切线 切线的斜率

8  瞬时速度和瞬时加速度  运动物体位移S(t)的平均变化率 ,如果当t无限趋近于0时, 无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t = t0时的 瞬时速度。  运动物体速度的平均变化率 ,如果当t无限趋近于0时, 无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t = t0时的瞬时 加速度。

9  一般化——导数 函数在某一点处的瞬时变化率 导数
设函数y = f (x)在区间(a,b)上有定义,x0  (a, b),若x无限趋近于0时,比值 无限趋近于一个常数A,则称f (x)在点x = x0处可导,并称该常数A为函数f (x)在x = x0处的导数(derivative),记作f '(x0). 注意:书写格式问题

10 2.导数的运算 (1)求函数的导数的流程图——
求导流程图 (2)会根据定义求y = c, y = x, y = x2, y = x3, y = ,y = 的导数。 (3)基本初等函数的求导公式—— 求导公式 (4)函数的和、差、积、商的导数——会用求导法则,证明不作要求 (5)复合函数f(ax + b)的导数

11 3.导数在研究函数中的应用 (1)单调性——对于函数y = f(x): (2)极值点——函数的局部性质
如果在某区间上f '(x) > 0,那么f(x)为该区间上的增函数; 如果在某区间上f '(x) < 0,那么f(x)为该区间上的减函数. 注意:如果f(x)在某区间上单调递增,那么在该区间上必有f '(x) > 0吗? (2)极值点——函数的局部性质 (3)最大值与最小值——函数的整体性质

12 4.导数在实际生活中的应用 (1)案例1——无盖长方体容积问题 (2)案例2——罐头设计问题 (3)案例3——电功率问题
录像 (2)案例2——罐头设计问题 (3)案例3——电功率问题 (4)案例4——照度问题 (5)案例5——边际成本及利润问题

13 5.定积分 (1)曲边梯形的面积 算法思想 逼近思想 提出问题及呈现方式——  从微积分的两个基本问题出发,提出课题
 从特例情形(曲线为直线、折线)引入一般性问题 用以直代曲的方法求曲边图形的面积——  提出3种以直代曲的方案,以其中之一为例说明 算法思想 逼近思想

14 (2)定积分 (3)微积分基本定理  提出问题  呈现方式  关于随机模拟 定积分的定义 按“分割、以直代曲、作和、逼近”求积分
规律?  呈现方式 给出结论 特例验证 推导 阅读  关于随机模拟 随机模拟

15 四、教学建议 1.重视过程 2.揭示本质 提出问题的过程 / 思考问题的过程 解决问题的过程 / 概念形成的过程
提出问题的过程 / 思考问题的过程 解决问题的过程 / 概念形成的过程 2.揭示本质 注重直观,贴近生活 / 为何不先引入极限概念 有限与无限 / 形的逼近与量的逼近 借助现代技术

16 3.导函数的概念 x = 1、x = 2、…处的导数 x = a 处的导数 导函数(导数是x的函数) x = x 处的导数

17 5.有效改进教与学的方式(求导公式与求导法则的教学)
4.注重算法思想(求导步骤) 5.有效改进教与学的方式(求导公式与求导法则的教学) 6.注重教材的整体贯通 P22练习6为复合函数的导数打伏笔 P24阅读将复合函数的导数与函数图像变换相贯穿 P27习题13为定积分打伏笔 P38阅读是圆锥曲线部分的补充说明(光学性质) P57习题17与必修2中立体几何中的习题相呼应

18 特殊函数的导数 特殊函数的积分 7.感受数学研究的模式和数学知识的结构 导数——定义 积分——定义 运 算 法 则 导数的运算 积分的运算
微分与积分的关系 特殊函数的导数 特殊函数的积分

19 谢谢!


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