微積分 精華版 Essential Calculus

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1 微積分 精華版 Essential Calculus
第 7 章 無窮級數

2 7.1 數列 7.2 級數和收斂 7.3 積分檢定和互比檢定 7.4 其他收斂檢定 7.5 泰勒多項式和近似值 7.6 冪級數 7.7 以冪級數表示函數 7.8 泰勒和馬克勞林級數

3 7.1 數列 數列 數列一詞的意義是指將一組數依序排列，另一種說法是把數列（sequence）定為一個以正整數為定義域的函數，雖然將數列看成函數，習慣上一向是以足碼記號表示此一函數，而非以標準的函數記號來表示。例如將下面這個數列 看成函數時，1 對到 a1，2 對到 a2 … 等，a1 , a2 , a3 , ..., an , ... 稱為此一數列的各項（terms），an 是第 n 項，數列的全體以 {an} 表示。 p.318

4 例 1 依序排出數列 p.318

5 c. 假設遞迴（recursively defined）數列 {cn} 的第一項 c1 是25，並且 cn+1 = cn – 5，則此數列的前四項依序是
25, 25 – 5 = 20, 20 – 5 = 15, 15 – 5 = 10, . . . p.318

6 定義數列的極限 {an} 是一個數列，L 是一個實數。如果任予一個ε> 0，都
能找到 M > 0，使得 n > M 可以推得 |an – L| <ε，我們就稱 數列 {an} 的極限（limit）是 L，記成 以 L 為極限的數列，也可稱為收斂到 L 的數列，或是簡稱為 收斂（converge）數列；如果數列的極限不存在就稱為發散 （diverge）數列。 p.319

7 只要 n > M，數列的每一項都在 L 上，下ε單位之內。
圖 7.1 只要 n > M，數列的每一項都在 L 上，下ε單位之內。 p.319

8 定理 7.1 數列的極限 已知函數 f 在 x →∞ 時有極限 L，亦即
定理 7.1 數列的極限 已知函數 f 在 x →∞ 時有極限 L，亦即 如果 f (n) = an，n 是正整數，則數列 {an} 亦以 L 為極限 p.319

9 例 2 求數列的極限 已知數列的一般項為 ，求此數列的極限。 解 由定理 1.9 我們有 再利用定理 7.1 得出 p.319

10 定理 7.2 數列極限的性質 p.320

11 例 3 決定數列的斂散性 a. 我們可以將數列 的分子分母同除以 n 得到 因此數列收斂到。
例 3 決定數列的斂散性 a. 我們可以將數列 的分子分母同除以 n 得到 因此數列收斂到。 b. 由於數列 {bn} = {3 + (–1)n} 依序為 2, 4, 2, 4,. . . 其中，2 和 4 輪流出現，因此極限 不存在，也就是說此數列發散。 p.320

12 例 4 利用羅必達規則決定數列的收斂 求證數列 收斂。 解 考慮函數 應用兩次羅必達規則，得到
例 4 利用羅必達規則決定數列的收斂 求證數列 收斂。 解 考慮函數 應用兩次羅必達規則，得到 由於 f (n) = an，利用定理 7.1 得出 所以數列收斂到 0。 p.320

13 定理 7.3 求數列極限的夾擠定理 p.321

14 例 5 應用夾擠定理 求證數列 收斂，並求其極限。 解 先找可以夾住 {cn} 的兩個收斂數列，取 an = –1/2n，bn =
例 5 應用夾擠定理 求證數列 收斂，並求其極限。 解 先找可以夾住 {cn} 的兩個收斂數列，取 an = –1/2n，bn = 1/2n 這兩個數列都趨近於 0，將 n ! 與 2n 比較，可以看出 而且 p.321

15 這表示，只要 n ≥ 4，就有 2n < n!，因此
如圖 7.2 所示。所以由夾擠定理，得到 p.321

16 n ≥ 4 時，(–1)n/n! 夾在 –1/2n 和 1/2n 之間。
圖 7.2 n ≥ 4 時，(–1)n/n! 夾在 –1/2n 和 1/2n 之間。 p.321

17 定理 7.4 絕對值定理 如果 ，則 。 證明 考慮 {|an|} 和 {–|an|}，因為它們都收斂到 0，並且
定理 7.4 絕對值定理 如果 ，則 。 證明 考慮 {|an|} 和 {–|an|}，因為它們都收斂到 0，並且 –|an| ≤ an ≤ |an| 再利用夾擠定理可知 {an} 也收斂到 0。 p.321

18 例 6 求數列的第 n 項 已知數列 {an} 的前五項是 請自行選擇 an 的一般項，並決定 {an} 的斂散性。
解 注意到分子是 2 的連續次方，而分母是正奇數，發現到 規律是 利用羅必達規則求 f (x) = 2x/(2x – 1) 的極限，得到 因此，{an} 發散。 p.322

19 單調數列的定義 如果一個數列 {an} 的各項是遞增的 a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤．．．≤ an ≤．．． 或是遞減
我們就稱 {an} 是單調（monotonic）數列。 p.323

20 例 7 決定數列是否單調 決定下列各數列是否單調。 解 a. 數列以 2、4 交替出現，因此不是單調數列。
例 7 決定數列是否單調 決定下列各數列是否單調。 解 a. 數列以 2、4 交替出現，因此不是單調數列。 b. 由於 ，後項大於前項，所以是單調數列。 c. 非單調，因為 c1 = 1，c3 = 9/7 而 c2 = 4/3，c2 > c1，c2 > c3（但是如果第一項不計的話，c2, c3, c4 , ... 是單調數列），如圖 7.3 所示。 p.323

21 圖 7.3 p.323

22 有界數列的定義 1. 如果有一個實數 M，使得數列 {an} 中的每一項都滿足 an ≤ M，就稱數列 {an} 有上界（bounded above），而稱 M 是 {an} 的一個上界（upper bound）。 2. 如果有一個實數 N，使得數列 {an} 中的每一項都滿足 an ≥ N，就稱數列 {an} 有下界（bounded below），而稱 N 是 {an} 的一個下界（lower bound）。 3. 如果數列 {an} 同時有上界和下界，就稱 {an} 是有界（bounded）數列。 p.323

23 完全性（complete）是實數的一個重要的性質。對完全性一個非正式的描述是說實數線沒有任何的間隙。實數的完全性可以保證如果一個數列有上界的話，就一定會有一個最小上界（least upper bound）。 定理 7.5 單調有界數列 如果 {an} 是一個單調有界的數列，則 {an} 一定收斂。 p.323

24 圖 7.4 每一個遞增並且有界的數列都會收斂。 p.324

25 例 8 單調有界數列 a. 數列 {an} = {1/n} 滿足有界並且單調，因此，由定理 7.5 此數列收斂。
例 8 單調有界數列 a. 數列 {an} = {1/n} 滿足有界並且單調，因此，由定理 7.5 此數列收斂。 b. 發散數列 {bn} = {n2/ (n + 1)} 滿足單調但非有界（此數列有下界，但無上界）。 c. 發散數列 {cn} = {(–1)n} 滿足有界但非單調。 p.324

26 7.2 級數和收斂 無窮級數 如果 {an} 是一個無窮數列，則
7.2 級數和收斂 無窮級數 如果 {an} 是一個無窮數列，則 就是一個無窮級數〔infinite series，簡稱級數（series）〕， a1, a2, a3, …稱為級數的項（terms）。 p.325

27 級數收斂或發散的定義 以 Sn = a1 + a2 +．．．+ an 表無窮級數Σan 的部分和（nth partial sum）。
如果數列 {Sn} 收斂到 S，則級數Σan 收斂，並且以 S 為級數 和（sum of the series）表成 S = a1 + a2 +．．．+ an +．．． 或Σan = S。 如果 {Sn} 發散，則Σan 發散。 p.326

28 例 1 級數的收斂和發散 a. 級數 的部分和如下。 p.326

29 圖 7.5 p.326

30 由於 Sn 的極限是 1，所以此級數收斂，其和為 1。 c. 級數
由於 所以此級數收斂，其和為 1。 b. 級數 的第 n 個部分和為 由於 Sn 的極限是 1，所以此級數收斂，其和為 1。 c. 級數 的部分和 Sn = n，部分和發散，所以原級數也發散。 p.327

31 圖 7.6 p.327

32 例 1(b) 中的級數是一個所謂的望遠鏡級數（telescoping series），有如一個用無窮多個由大到小的套筒套成的望遠鏡，以下列形式呈現

33 例 2 改寫為望遠鏡級數 求級數 的和。 解 以部分分式的方法，將級數的一般項改寫為 這是一個望遠鏡級數，第 n 個部分和是
例 2 改寫為望遠鏡級數 求級數 的和。 解 以部分分式的方法，將級數的一般項改寫為 這是一個望遠鏡級數，第 n 個部分和是 所以級數收斂，其和為1，亦即 p.327

34 定理 7.6 幾何級數的收斂和發散 幾何級數 例 1(a) 中的級數稱為幾何級數（geometric series），幾何級數一般的形式是
定理 7.6 幾何級數的收斂和發散 如果幾何級數的公比為 r，當 | r | ≥ 1 時，級數發散；而當 0 < | r | < 1 時，級數收斂，其和為 p.328

35 例 3 幾何級數的收斂和發散 a. 幾何級數 公比 r = ½ ，首項 a = 3。因為 0 < | r | < 1，級數收斂，其和 為 b. 幾何級數 公比 r = 3/2，因為 | r | ≥ 1，級數發散。 p.328

36 例 4 循環小數化為分數 請將 0.08 化為分數。 解 首項 a = 8/102，公比 r = 1/102，所以
例 4 循環小數化為分數 請將 0.08 化為分數。 解 首項 a = 8/102，公比 r = 1/102，所以 你可以用電算器計算 8 除以 99，看看結果是否為 0.08。 p.329

37 定理 7.7 無窮級數的性質 如果Σan = A，Σbn = B，而 c 是一個實數，則下列級數會收斂到等號右邊的和。 p.329

38 定理 7.8 收斂級數一般項的極限 定理 7.9 利用一般項檢驗發散 p.329

39 例 5 利用一般項檢驗發散 雖然一般項的極限是 0，卻不能結論此級數是否收斂。 p.330

40 例 6 小皮球彈跳問題 一皮球從 6 呎的高度落下，每次反彈的高度都是上一次的 3/4，求皮球經歷的總垂直距離。
例 6 小皮球彈跳問題 一皮球從 6 呎的高度落下，每次反彈的高度都是上一次的 3/4，求皮球經歷的總垂直距離。 證明 如圖 7.7 所示，總距離是 p.330

41 圖 7.7 每次反彈高度是前次的四分之三。 p.330

42 7.3 積分檢定和互比檢定 定理 7.10 積分檢定 如果 f 在 [1,∞) 上是一個非負的、連續並且遞減的函數，
7.3 積分檢定和互比檢定 定理 積分檢定 如果 f 在 [1,∞) 上是一個非負的、連續並且遞減的函數， 令 an = f (n)，則 同時收斂，或同時發散。 p.332

43 圖 7.8 p.332

44 例 1 應用積分檢定 應用積分檢定討論級數 的斂散性。 解 函數 f (x) = 1/(x2 + 1) 恆正並且連續。求 f 的導函數
例 1 應用積分檢定 應用積分檢定討論級數 的斂散性。 解 函數 f (x) = 1/(x2 + 1) 恆正並且連續。求 f 的導函數 當 x > 1時，f '(x) 恆負，所以 f 遞減，因此滿足積分檢定的條 件。從 1 到 ∞ 積分得到 因此原級數收斂。 p.332

45 圖 7.9 因為瑕積分收斂，所以原級數也收斂。 p.333

46 稱為 p-級數（p-series），其中 p 是一個正數，判斷 p-級數的 斂散性非常簡單，當 p = 1 時，級數
稱為調和級數（harmonic series）。一個廣義調和級數（general harmonic series）形如Σ1/(an + b)。 p.333

47 定理 7.11 p-級數的收斂和發散 p-級數 1. 當 p > 1 時，p-級數收斂，而

48 例 2 p-級數的收斂和發散 a. 由定理 7.11，調和級數發散。 b. 由定理 7.11，p = 2 時下列級數收斂。 p.334

49 例 3 檢定級數的斂散性 決定級數 是否收斂。 解 此級數與發散的調和級數類似，如果一般項比調和級數
例 3 檢定級數的斂散性 決定級數 是否收斂。 解 此級數與發散的調和級數類似，如果一般項比調和級數 的一般項大的話，此級數就一定發散，但是，它的一般項事 實上比較小，應用積分檢定令 首先，在 x ≥ 2 的範圍，f (x) 恆正並且連續。其次將 f (x) 改寫 為 (x ln x)–1 並求其導函數得到 p.334

50 可以看出當 x ≥ 2 時，f '(x) < 0，所以 f 遞減，結論是 f (x) 在 [2, ∞) 上滿足積分檢定的條件。
所以原級數發散。 p.334

51 定理 7.12 （直接）互比檢定 已知 0 < an ≤ bn 對所有 n 都成立。 1. 如果 收斂，則 收斂。
定理 （直接）互比檢定 已知 0 < an ≤ bn 對所有 n 都成立。 1. 如果 收斂，則 收斂。 2. 如果 發散，則 發散。 p.335

52 例 4 應用（直接）互比檢定 決定級數 是否收斂。 解 此級數很像 逐項比較得到 不等式不適用發散檢定的先決條件（定理 7.12），不妨選另
例 4 應用（直接）互比檢定 決定級數 是否收斂。 解　此級數很像 逐項比較得到 不等式不適用發散檢定的先決條件（定理 7.12），不妨選另 一個發散級數來比較。 p.335

53 此時逐項比較，得到 由定理 7.12 （直接）互比檢定得知此級數發散。 p.335

54 定理 7.13 極限互比檢定 假設 an > 0，bn > 0 並且
定理 極限互比檢定 假設 an > 0，bn > 0 並且 其中 L 是一個有限的正數，則 Σan 和 Σbn 同時收斂或同時 發散。 p.336

55 例 5 應用極限互比檢定 決定級數 是否收斂。 解 參考分子和分母的最高次，我們選擇與 比較，因為 根據極限互比檢定，此級數收斂。
例 5 應用極限互比檢定 決定級數 是否收斂。 解　參考分子和分母的最高次，我們選擇與 比較，因為 根據極限互比檢定，此級數收斂。 p.337

56 7.4 其他收斂檢定 定理 7.14 交錯級數檢定 正項和負項輪流出現的級數，稱為交錯級數（alternating series）。
7.4 其他收斂檢定 正項和負項輪流出現的級數，稱為交錯級數（alternating series）。 定理 交錯級數檢定 令 an > 0，交錯級數 只要滿足下列兩個條件 交錯級數就會收斂。 p.338

57 例 1 利用交錯級數檢定 決定級數 是否收斂？ 解 因為 對所有 n 都成立，並且當 n → ∞ 時，1/n → 0，由交錯級數
例 1 利用交錯級數檢定 決定級數 是否收斂？ 解　因為 對所有 n 都成立，並且當 n → ∞ 時，1/n → 0，由交錯級數 檢定得知此級數收斂。 p.339

58 例 2 無法引用交錯級數檢定的情形 a. 交錯級數 符合檢定的第二個條件，an + 1 ≤ an 恆成立，但不符合第一個
例 2 無法引用交錯級數檢定的情形 a. 交錯級數 符合檢定的第二個條件，an + 1 ≤ an 恆成立，但不符合第一個 條件，不過由於一般項不趨近到 0，此級數發散。 b. 交錯級數 符合第一個條件，一般項趨近於 0，但不符合第二個條件， 不過由於 S2N 實際上是調和級數的第 N 個部分和，由於調和 級數發散，所以此級數也發散。 p.340

59 定理 7.15 交錯級數的餘項 如果一個收斂的交錯級數一般項滿足 an+1 ≤ an，則其餘項 RN = S – SN 的絕對值滿足
定理 交錯級數的餘項 如果一個收斂的交錯級數一般項滿足 an+1 ≤ an，則其餘項 RN = S – SN 的絕對值滿足 p.340

60 例 3 求交錯級數的近似值 求下列級數前六項的和以估計 S。 解　由於 原交錯級數收斂。 前六項的和是 p.340

61 再看餘項 RN = S – SN，得到 所以和 S 介於 0.63194 – 0.0002 和 0.63194 + 0.0002 之間，亦
即 ≤ S ≤ p.341

62 定理 7.16 絕對收斂 如果級數 Σ|an| 收斂，則級數 Σan 也會收斂。
定理 絕對收斂 如果級數 Σ|an| 收斂，則級數 Σan 也會收斂。 定理 7.16 的逆敘述不正確，例如，交錯調和級數（alternating harmonic series） 收斂，但是調和級數發散，這種收斂稱為條件（conditional）收斂。 p.341

63 絕對和條件收斂的定義 1. 如果 Σ|an| 收斂，我們稱 Σan 絕對收斂（absolutely convergent）。
2. 如果 Σan 收斂但是 Σ|an| 發散，我們稱 Σan 條件收斂（conditionally convergent） p.342

64 例 4 絕對和條件收斂 決定下列級數是否收斂，並區分絕對和條件收斂。 解 a. 由於一般項不趨近於 0，此級數發散。 p.342

65 b. 由交錯級數檢定可知此級數收斂，但是因為 p-級數
發散，所以原級數是條件收斂。 c. 此級數並非交錯，但是因為 是收斂的幾何級數，利用定理 7.16，可以推得原級數是絕 對收斂（注意到絕對收斂是比收斂更強的結論）。 p.342

66 例 5 級數的重排 交錯調和級數收斂到 ln 2，亦即 請重排此一級數以得出不同的和。 解　重排如下 p.342

67 重排之後，得到的和是原來和的一半。 p.343

68 定理 7.17 比例檢定 令 Σan 表一個一般項不為 0 的級數。 1. 如果 ，則 Σan 絕對收斂。
定理 比例檢定 令 Σan 表一個一般項不為 0 的級數。 1. 如果 ，則 Σan 絕對收斂。 2. 如果 或 ，則 Σan 發散。 3. 如果 ，本檢定暫無結論。 p.343

69 例 6 利用比例檢定 決定級數 的斂散性。 解　|an + 1/an| 的極限小於 1，級數收斂。 p.344

70 例 7 利用比例檢定 決定級數 的斂散性。 解　|an + 1/an| 的極限大於 1，級數發散。 p.344

71 例 8 比例檢定失效 決定級數 是否收斂。 解 |an + 1/an| 的極限是 1。 比例檢定無法判定，我們可以試一試其他的檢定，例如，交
例 8 比例檢定失效 決定級數 是否收斂。 解　|an + 1/an| 的極限是 1。 比例檢定無法判定，我們可以試一試其他的檢定，例如，交 錯級數檢定。 p.344

72 當 x > 1 時，導數恆負，所以 f 是遞減函數。再由羅必達規則
先證 an + 1 ≤ an，令 導函數是 當 x > 1 時，導數恆負，所以 f 是遞減函數。再由羅必達規則 因此，由交錯級數檢定，此級數收斂。 p.345

73 定理 7.18 根式檢定 令 Σan 表一個級數。 1. 如果 ，則 Σan 絕對收斂。 2. 如果 或 ，則 Σan 發散。
定理 根式檢定 令 Σan 表一個級數。 1. 如果 ，則 Σan 絕對收斂。 2. 如果 或 ，則 Σan 發散。 3. 如果 ，本檢定暫無結論。 p.345

74 例 9 利用根式檢定 決定級數 是否收斂。 解　利用根式檢定，計算如下 由於極限值小於 1，原級數絕對收斂（因此原級數收斂）。 p.345

75 1. 觀察一般項是否趨近於 0？如果不是的話，級數發散。 2. 是否級數有特別的形式──幾何級數，p-級數、望遠鏡級數，或交錯級數？
檢定斂散性的指導原則 1. 觀察一般項是否趨近於 0？如果不是的話，級數發散。 2. 是否級數有特別的形式──幾何級數，p-級數、望遠鏡級數，或交錯級數？ 3. 積分檢定，比例檢定或根式檢定能否用上？ 4. 是否能有一個恰當的已知級數可以用來互相比較？ p.345

76 p.346

77 p.346

78 7.5 泰勒多項式和近似值 基本函數的多項式近似 如果要找一個多項式 P 近似另一個函數 f，方法是先在 f 的定義域中選一個點 c，讓 P 和 f 在 c 取同樣的值，亦即 從幾何的觀點看來，P(c) = f (c) 等於是要求 P 的圖形過點 (c, f (c))。一多項式在 (c, f (c)) 的切線斜率也和 f 相同。 在以上這兩個要求下，我們可以得到一個 f 的最佳線性近似。 p.347

79 在 (c, f (c)) 附近 P 的圖形近似 f 的圖形。
圖 7.10 在 (c, f (c)) 附近 P 的圖形近似 f 的圖形。 p.347

80 例 1 f(x) = ex 的一次多項式近似 求與 f (x) = ex 在 x = 0 的值和斜率都符合的一次多項式
P1(x) = a1 + a1x 解　因 f (x) = ex 且 f '(x) = ex。f (x) 在 x = 0 的值和斜率分別是 f (0) = e0 = 和 f '(0) = e0 = 1 因為 P1(x) = a0 + a1x，由條件 P1(0) = f (0) 可得 a0 = 1，又因 P1'(x) = a1，由條件 P1'(0) = f ' (0) 可得 a1 = 1。因此， P1(x) = 1 + x。 圖 7.11 是 P1(x) = 1 + x 和 f (x) = ex 的圖形。 p.348

81 圖 7.11 P1 是 f (x) = ex 的一次多項式近似。 p.348

82 圖 7.12 P2 是 f (x) = ex 的二次多項式近似。 p.348

83 例 2 f (x) = ex 的三次多項式近似 列表說明多項式 和 f (x) = ex 在 x = 0 附近近似的情形。
p.348

84 圖 7.13 P3 是 f (x) = ex 的三次多項式近似。 p.348

85  n 次泰勒多項式和 n 次馬克勞林多項式的定義
如果 f 在 c 有 n 階導數則 稱為 f 在 c 的 n 次泰勒多項式（nth Taylor polynomial for f at c），如果 c = 0，則 也稱為 f 的 n 次馬克勞林多項式（nth Maclaurin polynomial for f）。 p.349

86 例 3 f (x) = ex 的馬克勞林多項式 求 f (x) = ex 的 n 次馬克勞林多項式。
p.349

87 例 4 求 ln x 的泰勒多項式 求 f (x) = ln x 在 c = 1 的泰勒多項式 P0、P1、P2、P3 和 P4。
解　f (x) 在 c = 1 展開，得到下列數據： p.349

88 因此，相關的泰勒多項式如下： p.350

89 圖 7.14 比較了 P1、P2、P3、P4 和 f (x) = ln x 的圖形。注意到
在 x = 1 附近圖形非常貼近，例如，P4(0.9) ≈ – ，而 ln(0.9) ≈ – 。 p.350

90 當 n 遞增時，在 x = 1 附近，圖形 Pn 近似圖形 f (x) = ln x 的情形越來越好。
圖 7.14 當 n 遞增時，在 x = 1 附近，圖形 Pn 近似圖形 f (x) = ln x 的情形越來越好。 p.350

91 例 5 求 cos x 的馬克勞林多項式 求 f (x) = cos x 的馬克勞林多項式 P0、P2、P4 和 P6，並以
P6 (x) 求 cos (0.1) 的近似值。 解　在 c = 0 展開 f (x)，得到下列數據： 繼續微分，可以看出 1，0，–1，0 的規律重複出現，因此得 出馬克勞林多項式。 p.350

92 以 P6 (x) 代 x = 0.1 得到 cos (0.1) ≈ 0.995004165，此近似值與
計算器符合到 9 位小數。圖 7.15 比較了f (x) = cos x 和 P6 的 圖形。 p.351

93 在 (0, 1) 附近，P6 的圖形可以近似 f (x) = cos x 的圖形。
圖 7.15 在 (0, 1) 附近，P6 的圖形可以近似 f (x) = cos x 的圖形。 p.351

94 例 6 求 sin x 的泰勒多項式 求 f (x) = sin x 在 c =π/6 的第三個泰勒多項式。
解　f (x) 在 c =π/6 展開，得到下列數據。 p.351

95 所以，f (x) = sin x 在 c =π/6 展開的第三個泰勒多項式是
圖 7.16 比較了f (x) = sin x 和 P3 的圖形。 p.351

96 在 (π/6, ½) 附近，P3 的圖形可以近似 f (x) = sin x 的圖形。
圖 7.16 在 (π/6, ½) 附近，P3 的圖形可以近似 f (x) = sin x 的圖形。 p.351

97 例 7 以馬克勞林多項式求近似值 利用第四個馬克勞林多項式求 ln (1.1) 的近似值。
例 7 以馬克勞林多項式求近似值 利用第四個馬克勞林多項式求 ln (1.1) 的近似值。 解　由於 1.1 比較靠近 1，我們應該用函數 g(x) = ln (1 + x) 的 馬克勞林多項式。 注意所得的數據與例 4 相同，因此 g(x) = ln (1 + x) 的第四個 馬克勞林多項式是 p.352

98 與例 4 的差異只是此處以 x 代替了例 4 中的 x – 1。再以 P4 (0.1) 求近似值得到
ln (1.1) = ln( ) ≈ P4(0.1) ≈ 若將例 4 中的 x 以 1.1 代入，所得與此處相同。 p.352

99 我們定義 f (x) 被泰勒多項式 Pn(x) 近似的餘項（remainder）如下：
泰勒多項式的餘項 我們定義 f (x) 被泰勒多項式 Pn(x) 近似的餘項（remainder）如下： 也就是說 Rn(x) = f (x) – Pn(x)，Rn(x) 的絕對值稱為近似值的誤 差（error），亦即 p.352

100 定理 泰勒定理 如果 f 在一個含 c 的區間 I 上可以連續微分 n + 1 次，則對任一個 I 中的 x，都會在 x 和 c 之間存在一點 z 使得 式中 p.353

101 例 8 決定近似值的準確度 f (x) = sin x 的第三個馬克勞林多項式是
例 8 決定近似值的準確度 f (x) = sin x 的第三個馬克勞林多項式是 請以 P3(0.1) 近似 sin (0.1) 並決定近似值的準確度。 解　由泰勒定理，得到 式中，0 < z < 0.1，因此 p.353

102 由於 f (4)(z) = sin z，誤差 |R3(0.1)| 的大小可以估算如下
這表示 < sin(0.1) = R3(x) < < sin(0.1) < p.354

103 例 9 要求準確度的近似值 如果要求近似 ln(1.2) 精確到 0.001，則在 c = 1 要取幾次的泰 勒多項式？
例 9 要求準確度的近似值 如果要求近似 ln(1.2) 精確到 0.001，則在 c = 1 要取幾次的泰 勒多項式？ 解　先將 f (x) = ln(x) 的 (n + 1) 次導函數算出 由泰勒定理，誤差 |Rn(1.2)| 的大小可以估算如下 p.354

104 式中 1 < z < 1.2，此時 (0.2)n+1/zn+1(n + 1) 小於 (0.2)n+1/n + 1。
p.354

105 7.6 冪級數 冪級數的定義 x 表一個變數，形狀如下的無窮級數 稱為一個冪級數。一般說來，如果以 x – c 代換 x ，得到形狀
7.6 冪級數 冪級數的定義 x 表一個變數，形狀如下的無窮級數 稱為一個冪級數。一般說來，如果以 x – c 代換 x ，得到形狀 如下的冪級數 稱為一個以 c 為中心的冪級數（power series centered at c）， c 為常數。 p.355

106 例 1 冪級數 a. 下面是一個以 0 為中心的冪級數。 b. 下面是一個以 –1 為中心的冪級數。
例 1 冪級數 a. 下面是一個以 0 為中心的冪級數。 b. 下面是一個以 –1 為中心的冪級數。 c. 下面是一個以 1 為中心的冪級數。 p.356

107 冪級數的定義域只有三種形式：一個點，一個以 c 為中心的區間（可能包含端點）或是實數全體。
圖 7.17 冪級數的定義域只有三種形式：一個點，一個以 c 為中心的區間（可能包含端點）或是實數全體。 p.356

108 定理 7.20 冪級數的斂散性 一個以 c 為中心的冪級數，必滿足下列三者之一。 1. 此級數只在 c 收斂。
定理 冪級數的斂散性 一個以 c 為中心的冪級數，必滿足下列三者之一。 1. 此級數只在 c 收斂。 2. 存在一個實數 R > 0，使得此級數在 |x – c| < R 時絕對收斂，而在 |x – c| > R 時發散。 3. 對所有的 x，此級數絕對收斂。 R 稱為此冪級數的收斂半徑（radius of convergence），如果 級數只在 c 收斂，收斂半徑 R = 0；而如果級數對所有的 x 都 收斂，則收斂半徑 R = ∞，至於收斂區間（interval of convergence）就是使此冪級數收斂的 x 全體。 p.356

109 例 2 求收斂半徑 求 的收斂半徑。 解 x = 0 代入得到 如果 |x| > 0，令 un = n ! xn，則有
例 2 求收斂半徑 求　　　 的收斂半徑。 解　x = 0 代入得到 如果 |x| > 0，令 un = n ! xn，則有 由比例檢定得知，級數除了在中心 0 之外，到處發散，因此 收斂半徑 R = 0。 p.357

110 例 3 求收斂半徑 求 的收斂半徑。 解 x ≠ 2 時，令 un = 3(x – 2)n，則有
例 3 求收斂半徑 求 的收斂半徑。 解　x ≠ 2 時，令 un = 3(x – 2)n，則有 由比例檢定得知，|x – 2| < 1 時級數收斂，|x – 2| > 1 時級數發 散，因此收斂半徑 R = 1。 p.357

111 例 4 求收斂半徑 求 的收斂半徑。 解 令 un = (–1)n x2n+1/(2n + 1) ! 則有
例 4 求收斂半徑 求 的收斂半徑。 解　令 un = (–1)n x2n+1/(2n + 1) ! 則有 對任意 x，此極限為 0。由比例檢定得知，級數到處收斂，因 此收斂半徑 R = ∞。 p.357

112 定理 7.21 以冪級數定義的函數的性質 函數 f (x) 以冪級數表示如下
定理 以冪級數定義的函數的性質 函數 f (x) 以冪級數表示如下 假設收斂半徑 R > 0，則在區間 (c – R, c + R) 上 f 可微（因此 連續）。f 的導函數和反導數可以逐項計算如下： p.358

113 以上兩式以 f (x) 右端逐項微分和積分得出的冪級數，其收斂 半徑和 f (x) 一樣都是 R。但收斂區間可能因為各自在端點的
行為而有差異。 p.358

114 例 5 f(x)，f '(x) 和∫f(x) dx 的收斂區間
考慮冪級數 求下列各冪級數的收斂區間。 a. ∫f (x) dx b. f (x) c. f '(x) 解　由定理 7.21，得到 和 p.358

115 由比例檢定，每一個冪級數的收斂半徑都是 R = 1，考慮 (–1, 1) 和端點，得到 a.
在 x = ±1 收斂，收斂區間是 [–1, 1]，見圖 7.18(a)。 b. 在 x = –1 收斂，而在 x = 1 發散，收斂區間是 [–1, 1)，見圖 7.18(b)。 c. 在 x = ±1 發散，收斂區間是 (–1, 1)，見圖 7.18(c)。 p.359

116 圖 7.18 p.359

117 7.7 以冪級數表示函數 幾何冪級數 考慮 f (x) = 1/(1 – x)，f 的形式和下列幾何級數的求和公式非 常相似。
7.7 以冪級數表示函數 幾何冪級數 考慮 f (x) = 1/(1 – x)，f 的形式和下列幾何級數的求和公式非 常相似。 換句話說，令 a = 1，r = x，一個以 0 為中心代表 1/(1 – x) 的 冪級數是 當然，冪級數只能在 (–1, 1) 代表 f (x) = 1/(1 – x)，而 f (x) = 1/(1 – x) 卻是除了 x = 1 之外，到處都有定義，如圖 7.19 所 示。如要在其他區間以冪級數代表 f，需要不同的冪級數。 p.360

118 圖 7.19 p.360

119 例 1 求以 0 為中心的幾何冪級數 求一個以 0 為中心的冪級數代表 。 解 先將 f (x) 改寫成 a/(1 – r) 的形式。
例 1 求以 0 為中心的幾何冪級數 求一個以 0 為中心的冪級數代表 。 解　先將 f (x) 改寫成 a/(1 – r) 的形式。 這表示 a = 2，而且 r = –x/2，所以代表 f (x) 的冪級數是 此冪級數在 時收斂，收斂區間是 (–2, 2)。 p.361

120 例 2 求以 1 為中心的幾何冪級數 求一個以 1 為中心的冪級數代表 。 解 先將 f (x) 改寫成 a/(1 – r) 的形式
例 2 求以 1 為中心的幾何冪級數 求一個以 1 為中心的冪級數代表　　　 。 解　先將 f (x) 改寫成 a/(1 – r) 的形式 這表示 a = 1，而且 r = 1 – x = – (x – 1)。所以代表 f (x) 的冪 級數是 此冪級數在 | x – 1| < 1 時收斂，收斂區間是 (0, 2)。 p.361

121 冪級數的運算規則 令 f (x) =Σanxn，g(x) =Σbnxn，則 p.362

122 例 3 兩個冪級數的和 求一個以 0 為中心的冪級數代表 。 解　先將 f (x) 寫成部分分式 再將兩個幾何冪級數 和 p.362

123 相加，得到下面的結果。 此冪級數的收斂區間是 (–1, 1)。 p.362

124 例 4 積分求冪級數 求一個以 1 為中心的冪級數代表 f (x) = ln x。 解 從例 2 得知 將此冪級數積分得到
例 4 積分求冪級數 求一個以 1 為中心的冪級數代表 f (x) = ln x。 解　從例 2 得知 將此冪級數積分得到 令 x = 1，求出 C = 0，因此 注意此冪級數在 x = 2 收斂。這就是先前曾經提過積分可能 會改變在收斂區間端點的斂散性。 p.362

125 例 5 積分求冪級數 求一個以 0 為中心的冪級數代表 g(x) = arctan x。
例 5 積分求冪級數 求一個以 0 為中心的冪級數代表 g(x) = arctan x。 解　由於 Dx [arctan x] = 1/(1 + x2)，我們可以從 將式中的 x 代以 x2 而得 兩邊同時積分，得到 p.363

126 p.364

127 例 6 π的近似值 以三角等式 求π的近似值。 解　個別級數各取五項計算得到 與π近似到 10–7。 p.364

128 7.8 泰勒和馬克勞林級數 定理 7.22 收斂冪級數的形式
7.8 泰勒和馬克勞林級數 定理 收斂冪級數的形式 如果冪級數 Σan (x – c)n 在一個含 c 的開區間 I 上代表函數 f，亦即對所有 I 中的 x 恆有 f (x) =Σan (x – c)n 則 an = f (n)(c)/n!，且 p.365

129 泰勒和馬克勞林級數的定義 如果函數 f 在 x = c 無窮次可微，則我們稱下列級數
為 f (x) 在 c 的泰勒級數（Taylor series for f (x) at c）；如果 c = 0，此級數也稱為 f 的馬克勞林級數（Maclaurin series for f）。 p.366

130 例 1 寫下冪級數 寫下 f (x) = sin x 的馬克勞林級數，並討論收斂區間。 解　連續微分 f (x) 得出 p.366

131 等，從三階導數之後數字出現規律性，因此，冪級數為
由比例檢定得知此級數對所有的 x 都收斂。 p.367

132 圖 7.20 p.367

133 定理 泰勒級數的斂散性 如果對區間 I 中所有的 x 都有 ，則 f 的泰勒級數會收斂並且收斂值等於 f (x)， p.367

134 例 2 一個收斂的馬克勞林級數 求證對所有的 x，f (x) = sin x 的馬克勞林級數都收斂到sin x。
例 2 一個收斂的馬克勞林級數 求證對所有的 x，f (x) = sin x 的馬克勞林級數都收斂到sin x。 解　利用例 1 的結果，我們要證明 對所有的 x 都成立。由於 f (n+1)(x) = ± sin x 或 f (n+1)(x) = ± cos x 所以 |f (n+1)(z)| ≤ 1 恆成立，固定 x，應用泰勒定理（定理 7.19）推得 p.368

135 從 7.1 節關於指數和階乘收斂快慢的討論，我們知道對固定 的 x
再由夾擠定理，得知對任意的 x，當 n → ∞時，Rn(x) → 0 恆 成立。由定理 7.23，對所有的 x，sin x 的馬克勞林級數都會 收斂到 sin x。 p.368

136 當 n 增加的時候，Pn 的圖越來越像正弦函數。
圖 7.21 當 n 增加的時候，Pn 的圖越來越像正弦函數。 p.368

137 1. 連續微 f (x) 若干次後，在 x = c 求各階導數
求泰勒級數的指導原則 1. 連續微 f (x) 若干次後，在 x = c 求各階導數 f (c), f '(c), f ''(c), f '''(c), …, f (n)(c), … 看看是否能找出規律。 2. 以係數 an = f (n)(c)/n! 寫下泰勒級數 並決定收斂區間。 3. 在收斂區間中，決定此一冪級數是否收斂到 f (x)。 p.368

138 例 3 二項級數 假設 k 非正整數，求 f (x) = (1 + x)k 的馬克勞林級數並決定收 斂區間。 解　連續微分，得到 p.369

139 由於 an+1/an → 1，應用比例檢定得知收斂半徑 R = 1，所以 級數在區間 (–1, 1) 上收斂到某一個函數。
寫下馬克勞林級數 由於 an+1/an → 1，應用比例檢定得知收斂半徑 R = 1，所以 級數在區間 (–1, 1) 上收斂到某一個函數。 p.369

140 例 4 求二項級數 求 的馬克勞林級數。 解 由例 3 中所得的二項級數 令 代入得 此一冪級數在 –1 ≤ x ≤ 1 上收斂。
例 4 求二項級數 求 的馬克勞林級數。 解　由例 3 中所得的二項級數 令 代入得 此一冪級數在 –1 ≤ x ≤ 1 上收斂。 p.369

141 p.370

142 例 5 從基本表求冪級數 求　　　　　　 的馬克勞林級數。 解　利用冪級數 以　　代 x 得出 此一冪級數對所有 x ≥ 0 都收斂。 p.370

143 例 6 冪級數的乘除 求下列各馬克勞林級數的前三項。a. ex arctan x b. tan x
例 6 冪級數的乘除 求下列各馬克勞林級數的前三項。a. ex arctan x b. tan x 解 a. 利用表格中 ex 和 arctan x 的馬克勞林級數，得到 把兩式乘開，以升冪排列 p.371

144 b. 利用表格中 sin x 和 cos x 的馬克勞林級數得到
所以， 。 b. 利用表格中 sin x 和 cos x 的馬克勞林級數得到 以長除法進行， p.371

145 所以， 。 p.371

146 例 7 定積分的冪級數近似法 利用冪級數求 的近似值，準確到 0.01。 解　將 ex 的級數中以 –x2 代 x 後得出 p.372

147 對前四項求和，得出 從交錯級數檢定，得知誤差小於 。 p.372