§ 7.1 线性空间的概念 我们考察数域P上全体m×n矩阵的集合Mn,n(P)和数域P上全体n维向量集合（即n维向量空间）Pn, 可以看出，这两个集合中元素的加法与数域P中数与集合元素之间的数量乘 法都有十分相似的运算性质.如果它们抽象出来，就得出一般线性空间的概念.

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1 § 线性空间的概念 我们考察数域P上全体m×n矩阵的集合Mn,n(P)和数域P上全体n维向量集合（即n维向量空间）Pn, 可以看出，这两个集合中元素的加法与数域P中数与集合元素之间的数量乘 法都有十分相似的运算性质.如果它们抽象出来，就得出一般线性空间的概念.

2 定义7.1 设V为一个非空集合,P是一个数域.假若V上定义了一个代数运算(通常叫加法):对V中任意两个元素a,
定的法则,都有唯一确定的元素r与它们对应,称r为a与 的和,记 ,按某种固 r=a+ ; 又定义了P中数与V中元素的一种代数运算(通常叫数量乘法):对任意k∈P,a∈V,按照某种固定的法则,都有V中唯一确定的元素 与它们对应,称为k与a的数量乘积, 记 =ka. 并且,这两种代数运算都满足下列运算规律: 对任意 有 (1)加法交换律: (2)加法结合律:

3 (3) 零元素:在V中存在一个元素(记作0),使对任意a∈V有a+0=a;
(4) 负元素:对任意a∈V,都存在一个依赖于a的元素(通常叫做a的负元素),记为-a,使a+(-a)=0; (5) 1a=a; (6) k(la)=(kl)a; (7) (k+l)a=ka+la; (8) 则称集合V连同上面的两种代数运算构成一个数域P上的线性空间,记为V/P或(V/P,+,˙)或(V,+, ˙)或简记为V.特别地,当P为实数域时,称V为实线性空间;当P为复数域时,称V为复线性空间.

4 习惯上,我们把数域P上的线性空间V中的元素也称为向量,用小写希腊字母
字母a,b,c,…表示。 例1 设V= 只含有一个元素，P为数域，规定V中 加法为a+a=a;对任意k∈P,规定ka=a.则V构成数域P上线性空间，称为零空间，记成V= 或V=0. 例2 n维向量空间Pn对向量加法、数量乘法构成一个线性空间.特别地,Rn对向量加法、数量乘法构成一个实线性空间.

5 例3 数域P上全体m×n矩阵的集合Mm,n(P)对矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间，称为矩阵空间，记为Mm,n(P) （或Pm×n)
例3 数域P上全体m×n矩阵的集合Mm,n(P)对矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间，称为矩阵空间，记为Mm,n(P) （或Pm×n).如果m=n，通常把Mm,n(P)简写为Mn(P),它是由数域P上全体n级矩阵的集合对矩阵的加法、数量乘法构成的线性空间. 例4 设P为数域，取集合V=P，并规定V中加法就是数域P中的加法，P与V之间的数量乘法就是数域P中的乘法.则V=P构成数域P上的线性空间. 例5 定义在闭区间[a,b]上的全体连续函数的集合对函数的加法和数量乘法构成实线性空间，记为C[a,b].

6 例6 设R+为全体正实数的集合.规定R+中加法为ab=ab，a,b∈R+，实数域R与R+之间的数量乘法为k。a=ak, k∈R, a∈R+,则R+构成一个实线性空间.
证明 对任意a，b∈R+，k∈R,有ab=ab∈R+,ka=ak∈R+,所以R+对上述定义的加法和数量乘法是封闭的，且a,b,c∈R+, k,l∈R,有： (1) ab=ba; (2) ( ab) c=a(bc); (3) R+中零元素1，使1a=a1=a; (4) 对任意a∈R+，有负元素 ，使 (5) 1a=a1=a;

7 (6 ) k(la)=k(al)=(al)k=akl=(kl) a;
(7) (k+l) a=ak+l=akal=akal=(ka) (la); (8) k(ab)=k(ab)=(ab)k=akbk=akbk=(ka) (kb), 所以R+构成一个实线性空间. 例8 设A为数域P上的m×n矩阵，V为齐次线性方程组AX=0的全部解的集合，则V为n维列向量空间Pn的一个子集合，且V对Pn中向量加法和数量乘法构成数域P 的线性空间。这就是前面我们所提到的解空间的概念。 （思考题：如果把齐次线性方程组换成非齐次线性方程组，其全部解的集合，如果非空的话，是否有可能构成一个线性空间？）

8 因此，不论是几何中的向量，微积分中的函数，还是矩阵，都可以抽象地作为我们线性空间中的元素（向量）。我们把它们的加法、数乘运算抽象成一般线性空间中的加法、数乘运算，去研究其共性，掌握一般规律。
数域P上的线性空间V具有下列性质： （1）线性空间V中的零元素是唯一的（因此我们可以把零元素用0表示）； （2）线性空间V中的任意元素a的负元素-a由a唯一确定； （3）(-1)a=-a （4）ka=0当且仅当k=0或a=0

9 证明 我们只证明（1）和（2），（3）和（4）由读者自己证明。设01和02都是V中零元素，则01=01+02=0.
设a∈V有负元素 ，则 ,于是 □ 利用负元素的概念，我们可以定义线性空间V中减法运算如下：a-=a+(-). 类似第4章Pn中的讨论，我们可以把线性组合、线性表出、线性相关、线性无关、极大线性无关组等概念照搬到一般线性空间中，并且相应的结论也都成立，我们不再述。

10 § 维数、基和坐标 一、维数、基 类似于Pn中讨论，可以在线性空间中引入维数、基的概念 定义7.2 设V为数域P上的线性空间，如果V中有一个线性无关的向量组a1,a2,…,an,使得对任意一个向量∈V,都可由a1,a2,…,an线性表出,则称V为n 维线性空间，又称 为V的一个基，n称V的维数，记dimV=n. 如果对任意正整数n，在V中都存在n个线性无关的向量a1,a2,…,an，则称V为无限维线性空间.

11 如果V为零空间{0} ，则称V的维数为0，即dimV=0. 这时，V没有基
如果V为零空间{0} ，则称V的维数为0，即dimV=0.这时，V没有基.不难看出，n维线性空间V的一个基实际上就是V的一个极大线性无关组，而dimV=n就是极大线性无关组中所含向量个数，即秩。 需要指出，基是有序的向量组，同样一个基向量组如果排列顺序不同，就是不同的基。例如，若n＞1，基 与基 就是两个不同的基，有时，我们把基 简写成a1,a2,…,an.

12 例1 数域P上n维向量空间Pn中基本向量组 1=(1,0,…,0)， 2=(0,1,…,0)，  n=(0,0,…,1)， 是Pn的一个基（事实上，Pn中的基就是一个由n个线性无关的向量所组成的向量组），所以dimPn=n.

13 例2 在数域P上全体n级矩阵所构成的线性空间Mn(P)中,令Eij第(ij)元素为1，其余元素为0的矩阵，则Eij，
构成Mn( P)的一个基，从而dimMn(P)=n2. 事实上 ，令 ，即, 故 所以 线性无关。另一方面，对 任意n级矩阵 ,显然有 例3 零空间V= 没有基，其维数dimV=0

14 例4 由数域P上次数小于n的多项式全体，添上零多项式组成的集合Pn[x]，对于多项式的加法和数量乘法，即如设
规定 构成数域P上的线性空间(请同学自己证明),则a1=1, a2=x, a3=x2,…,an=xn-1 是Pn[x]的一个基。由此，dimPn[x]=n. 事实上，a1,a2,…,an显然线性无关。又对任意 有 所以有dimPn[x]=n.

15 二、坐标 类似于定理4.5，我们有：设a1,a2,…,an为n维线性空间V的一个基，则V中任意向量都可以由a1,a2,…,an唯一地线性表出，即存在数域P上唯一的有序数组（k1,k2,……,kn）,使 定义7.3 设a1,a2,…,an是数域P上n维线性空间V的一个基。若V， (其中x1,x2,…,xn∈P), 则称有序数组（x1,x2,…,xn）为在基a1,a2,…,an下的坐标，又称xi为在基a1,a2,…,an下的第i个坐标。

16 习惯上，如果 ，则我们采用形式记号 写成 显然，n维线性空间V中向量在一个基a1,a2,…,an下的坐标由这个基a1,a2,…,an和向量 唯一确定。 易见，对线性空间V的任意一个基，两个向量a, 之和(差)的坐标对应于它们坐标的和（差），数乘向量ka的坐标就是 ，其中（x1,x2,…,xn）为a的坐标。 一般地，同一个向量在不同基下的坐标未必相同。

17 例5 在Pn[x]中，1，x,x2,……,xn-1是一个基，令
则f(x)在这个基下的坐标是 若在Pn[x]中另取一个基 则依f(x)在x=a处的泰勒展开式，得 显然f(x)在基 下的坐标为

18 例6 求向量a=（1,-4,-4,-6）P4在基a1=(1,1,3,2), a2=(1,2,-1,3),a3=(2,3,-1,-1),a4=(3,-1,-2,-1)下的坐标。
解 设 写成矩阵方程和 解得 即a在基 下的坐标是（-1,-1,0,1） □

19 三、坐标变换公式 为研究线性空间中两个基之间的联系，先引入一个基到另一个基的过渡矩阵的概念，我们利用矩阵作为工具进行研究。 定义7.4 设 和 为数域P上n维 线性空间V的两个基，且 （1）

20 采用形式记号,(1)可写成 其中 （3） 我们称矩阵A为由基a1,a2,…,an到基 的过渡矩阵 显然，基a1,a2,…,an到基 的过渡矩阵A的第j个 列向量恰好是j在基a1,a2,…,an下的坐标（写成列向量），j=1,2,…,an到基 的过渡矩阵为A，则从基 到a1,a2,…,an过渡矩阵就是A-1。

21 定义7.1 设a1,a2,…,an与 为n维线性空间V 的 两个基，由基a1,a2,…,an到 的过渡矩阵是A。 如果a为V中的任意向量，它在a1,a2,…,an和 下的坐标分别为（x1,x2,…,xn）和 则 （4） （4）称为坐标变换公式

22 证明 设 （5） （6） 则把（2）代入（5），得 （7） 比较（6）与（7），并注意到向量a在基 下的坐标是唯一的，即得（4） □

23 例7 已知 分别是Pn中的两组基，求坐标变换公式 解 从基 的过渡矩阵为

24 设a在a1,a2,…,an下的坐标是（a1,a2,…,an），a在
，则 下的坐标是 □

25 §7.3 子空间 我们知道,齐次线性方程组AX=0的全体解向量构成一个向量空间W,即解空间W.比较解空间W与Pn之间的关系,我们可以看出W为Pn的非空子集，且对Pn中加法和数量乘法也构成线性空间。 定义7.5 设V是数域P上线性空间，V1为V的非空子集。若V1对于V中加法和数量乘法也构成P上的线性空间，则称线性空间V1是V的一个子空间。 显然，零空间{0}和整人空间V都是V的子空间，这两个子空间称为V的平凡子空间。 下面的定理告诉我们，判断线性空间V的非空子集V1是否作成子空间，只要检验V1是否对V中的加法、数乘运算封才即可。

26 定理7.2 线性空间V 的非空子集V1作成V的子空间的充要条件是对任意a，V1，kP,有a+V1,kaV1
证明 由于V1，设aV1,则0=a+(-1) aV1,且-a=(-1) aV1,只要注意到V1V，V1对V的加法、数量乘法也满足定义7.1中的（1）—（8），就不难得到定理7.2。 □ 例1 Pn[x]是P[x]的一个子空间。 证明 Pn[x]= 它对于Pn[x]中加法、数乘都是封闭的。由定理7.2知Pn[x]是P[x]的子空间。 □

27 类似于定理4.8的证明，可得 定理7.3 n维线性空间V的子空间V1的任一个基都可以扩充为V的基。 定理 7.3告诉我们,n维线性空间V的基可以从它的子空间V1的基添加若干向量后得到。因此dimV1dimV. 设V1，V2都是线性空间V的子空间，则V1V2也是V的子空间，称为V1与V2的交空间。 设a1,a2,……am为V中向量，则L（a1,a2,……am）= 也构成V的一个子空间，称为由a1,a2,……am生（张）成的子空间。它是V中包含 的最小的子空间，是V中所有包含 的子空间的交空间。

28 定理7.4 (1)向量组a1,a2,…,am的任意一个极大线性无关组都是L(a1,a2,…,am)的一个基；
（2）由a1,a2,…,am张成的子空间L(a1,a2,…,am)的维数dim L(a1,a2,…,am)等于向量组a1,a2,…,am的秩，即 dim L(a1,a2,…,am)= r(a1,a2,…,am) 证明 设ai1,ai2,…air是a1,a2,…,am的一个极大线性无关组，则ai1,ai2,…air与a1,a2,…,am等价。由L(a1,a2,…,am)的定义知L(a1,a2,…,am)中每个向量都可以由a1,a2,…,am线性表现，从而也可以由ai1,ai2,…,air线性表出，因此 的一个基，且dim L（a1,a2,…,am）=r,其中r为a1,a2,…,am的秩。

29 对于齐次线性方程组AX=0，其解空间的基就是它的基础解系。因此解空间的维数为n-r，其中n为未知量个数，r为A的秩。
例2 求L（a1,a2,a3）L(a4,a5)的维数和一个基，其中a1=(1,-2,3),a2=(2,-1,3),a3=(1,-5,6),a4=(1,1,1), a5=(1,1,-4) 解 令a∈L（a1,a2,a3）L(a4,a5)，则存在P中数x1,x2,x3,x4,x5,使 从而得

30 即 系数矩阵

31 取X3，X5为自由未知量，并令x3=c1,x5=c2,其中c1,c2为任意常数，则
故 因此，L（a1,a2,a3）L(a4,a5)= L(a4,a5)的一个基为 =（5,5,0），维数为1，事实上， = -5a1+5a2 ∈L（a1,a2,a3）L(a4,a5) □