等离子体物理学 李毅 2011.9.

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1 等离子体物理学 李毅 2011.9

2 相关书籍 课本 参考文献 李定，陈银华，马锦绣，杨维纮，等离子体物理学，高等教育出版社，2006。
杜世刚 等离子体物理，原子能出版社，1988 Dwight R. Nicholson, Introduction to Plasma Theory, John Wiley & Sons Inc., 1983 T.J.M. Body and J. J. Sanderson, The Physics of Plasmas, Cambridge Univ. Press, 2003 Wolfgang Bamjohann and Rudolf A. Treumann, Basic Space Plasma Physics, Imperial College Press, 1997 金尚宪 徐家鸾 等离子体物理学，原子能出版社，1980 Nicholas A. Krall, ,Alvin W. Trivelpiece, Principles of Plasma Physics, 有中文译本。 Chen, F. F. Introduction to Plasma Physics. 2nd ed. Plenum Press, 有中文译本。 马腾才 胡希伟 陈银华 等离子体物理原理，中国科学技术大学出版社，1988 T. J. M. Body & J. J. Sanderson, Plasma Dynamics, Barnes & Noble Inc., 1969

3 等离子体的概念和参数范围 等离子体从广义上说，是泛指一些具有足够能量的自由的带电粒子，其运动以受电磁场力作用为主的物质，从这个意义上来说，半导体、电解液都是等离子体。但一般相对专门性地是指电离了的气体，当然它的行为是以带电粒子和电场磁场自恰地相互作用为主导。 等离子体的感性认识：是部分或完全电离了的气体，它的行为受电磁场影响。 温度是导致物质状态变化的关键参量，等离子体是物质继固态、液态、气态之后的第四种状态。

4 气体电离 气体温度升高导致电离，从而形成等离子体态。 等离子体的复合率为 这里 是常系数 只要气体有1%的电离，其行为就会由电磁场主导。
等离子体的复合率为 这里 是常系数 只要气体有1%的电离，其行为就会由电磁场主导。 等离子体的温度和电子（离子）密度是它的重要参量。

5 Saha方程描述了温度与电离度（电离和复合达到平衡）的关系。
这里ne,ni是电子和离子的密度，no是中性粒子的密度，h是Planck常数，k是Boltzmann常数。 pe, pi, po分别是电子、离子和中性粒子的统计权重，对氢(H)来说分别是2，2，1，而 Ei 是电离能，对于H原子为13.6eV。

6 动能与势能 从等离子体密度可以估算粒子之间的平均距离： 在这个距离上，带电粒子之间的势能为
而粒子的动能是与温度有关的，作为等离子体，一般来说，其动能要比势能大得多。

7 温度与速度分布 等离子体的温度常用能量 表示，如： 处于平衡态的等离子体常常具有Maxwellian分布，即
等离子体的温度常用能量 表示，如： 处于平衡态的等离子体常常具有Maxwellian分布，即 对于非Maxwellian分布的等离子体，只有有效的动力学温度：

8 等离子体的各种存在 等离子体的参数范围很大，温度跨越了约7个量级，密度跨越约25个量级，这么大的范围类，等离子体物理都是适用的。

9 等离子体的各种存在方式 虽然等离子体在日常生活中不象固态、液态、气态物质那样常见，但事实上，自然界99%以上的物质是等离子体。遥远的恒星包括太阳都是以等离子体形式存在。行星际、磁层、电离层都是等离子体态的物质。大气中的闪电、高温火焰也是等离子体。极光、霓虹灯、闪电、电弧光、火焰等都是等离子体。古希腊哲学家认为火是构成世界万物的四种元素之一，它也是中国古代五行之一，八卦中的“离”也代表火。可见很早人们就认识到等离子体是构成世界的重要的物质。 等离子体的参数范围很大，温度跨越了约7个量级，密度跨越约25个量级，这么大的范围类，等离子体物理都是适用的。

10 八卦中的“离” 代表等离子体类的物质 上、中、下三个爻全是阳爻的卦是乾卦，乾卦代表天在上。上、中、下三个爻全是阴爻的卦是坤卦，坤卦代表地在下。下面是阳爻，上面也是阳爻，中间是阴爻，是离卦，代表太阳，位置在东方，亦代表火，代表光明。下面是阴爻，中间是阳爻，上面是阴爻，卦名叫坎，代表月亮，也代表水。乾、坤、离、坎四个卦，就是天、地、日、月四个象。  

11 等离子体物理的重要应用 等离子体研究的生长点：空间等离子体，能源相关的等离子体，工业技术相关的等离子体物理
空间物理：高层大气、电离层、磁层、行星际空间、太阳日冕、太阳光球及内部，恒星，星际等，空间环境是人类活动的新领域，空间天气与人类生活越来越紧密地联系在一起。 能源需求：主要是受控热核聚变。磁约束、惯性约束。 工业技术：等离子体电视、化学、冶金、表面处理、金刚石人工合成、镀膜、焊接、灯具

12 对于等离子体的描述方法 1. 单粒子运动 2. 磁流体力学 仅考虑带电粒子在电磁场中的运动，不考虑带电粒子运动对电磁场的影响。
方法简单直观，但不自洽，无法求出电磁场的变化 2. 磁流体力学 将等离子体视为受磁场作用的流体，同时考虑流体的流动使磁场产生的变化。 结果是自洽的，但等离子体需保持电中性和高导电性，以至于无须考虑电场的影响。仅适合处理低频长波的变化，因而被称为等离子体宏观理论 。

13 对于等离子体的描述方法 3. 多成分流体与电磁场相互作用 4. 动理学理论
对于每种带电粒子视为是一种流体，等离子体由多种流体成分组成，同时与电磁场发生自洽的相互作用。 电子和离子可以分离，允许静电场存在，可以处理高频或短波长的问题，但要求同一种流体的速度分布不是远离平衡态的。 4. 动理学理论 通过等离子体中电子和离子各种成分的速度分布函数完整描述等离子体的状态。对带电粒子加速、反射等现象能够很好地描述。 需要解的信息太多，求解复杂。称为等离子体的微观理论。

14 流体的欧拉描述和拉格朗日描述 等离子体描述中，除了非自洽的单粒子运动理论，都将等离子体当作流体或相空间的流体处理。
对流体进行描述，考察各个物理量随着时间的变化，常用的是欧拉法，即考察固定的地点上物理量随时间的变化，另外一种方法是拉格朗日法，是考察固定的物质上的物理量随时间的变化。因为物质是移动的，因此不但随时间变化，也随空间变化。 微分时的关系

15 思考题 自然界中，有哪些等离子体物质？它们的温度、密度的参数范围是什么？试举例说明。
等离子体有哪些描述方式？其中，哪些是自洽的，哪些不是自洽的？ 对于流体来说，拉格朗日法和欧拉法是怎样的描述方法？指出其中各自的特点，评论其优缺点。 第1次课

16 流体的连续性方程 描述流体密度的基本方程是连续性方程 拉格朗日法给出的流体连续性方程
假设等离子体没有产生（电离）、没有消失（复合），一块等离子体的数量会保持不变。 拉格朗日法给出的流体连续性方程 随体运动时，体积和密度都在不断变化，为了弄清楚体积的变化必须先知道线段在流动中的变化。

17 拉格朗日法考察线段流动 流体中一段长度元 ，经过时间Dt之后，新的长度元满足 r1

18 拉格朗日法求连续性方程 拉格朗日法给出的流体连续性方程 不可压缩条件

19 欧拉法求连续性方程 一个小体积元中，x方向两侧净流入为 再考虑y和z方向，最后得 与拉格朗日法得到的连续性方程等价。

20 动理论方程 相空间取空间坐标和速度坐标均为自变量。分布函数 f(t,x,v) 是相空间的粒子密度。
碰撞项。带电粒子紧邻的局部电磁场迥异于平均电磁场引起的效应。在速度空间分布函数有显著改变，记为：

21 满足动理论方程的平衡分布 麦克斯韦分布。多次碰撞后，分布趋向于 显然满足动理论方程。 波尔兹曼分布。有静电势时，
显然满足动理论方程。一般带电粒子运动时，哈密顿函数H守恒的情况下，有

22 等离子体的高导电性和内部电场 等离子体是良导体。 非磁化等离子体无内部电场 磁化等离子体中的电场基本上垂直于磁场
等离子体由能够自由移动的带电粒子组成，因而具有很好的导电特性。 非磁化等离子体无内部电场 如果把等离子体视为电阻很小的良导体，非磁化的等离子体内部则相当于导体内部，电场趋向于0。 磁化等离子体中的电场基本上垂直于磁场 虽然在有磁场的等离子体中可以有电场（磁场的作用阻碍了带点粒子在垂直磁场方向做自由移动，因而），但电场只有垂直于磁场的分量，平行于磁场的电场分量也很小。

23 等离子体整体呈准电中性 等离子体整体呈电中性。 热运动引起电荷的随机涨落，电中性被破坏 准电中性
如果等离子体中有净电荷存在的话，会导致静电场产生，这与等离子体中不存在电场的假设相违背。 热运动引起电荷的随机涨落，电中性被破坏 由于等离子体具有一定的温度，带电粒子的热运动会引起电荷的随机涨落，时时会破坏电中性条件，而净电荷产生的静电场不断试图使等离子体保持净电荷分布处处为0的电中性。 准电中性 等离子体只能在一定空间范围和时间尺度上保持电中性，而小于这个空间范围或时间尺度时，等离子体会在局部或在短暂时间内偏离电中性。从长时间和大尺度范围看，等离子体仍然呈现出电中性的特点。因此，我们称等离子体呈现准中性的特点。

24 准电中性的空间尺度 等离子体偏离电中性具有一定的空间尺度和时间尺度。
考虑在等离子体中放入一个电势为f的无限大平板栅极。这时，假设栅极电位大于0，周围的离子被赶走，而电子被吸引，从而产生净电荷。净电荷产生的电场与带电粒子的热运动达到动态平衡。 此时，考虑一维静电情况下的等离子体的分布函数 f ( t, x, v )是波尔兹曼分布，满足动力论方程及静电方程：

25 德拜屏蔽和德拜长度 考虑等离子体由电子和单一成分离子组成且 其中，定义德拜长度 lD 满足 而此时静电势为：
这里电势衰减的特征长度正是德拜长度。也是等离子体在空间上能够偏离中性条件的尺度。 j0

26 点电荷的德拜屏蔽 考虑等离子体中的一个点电荷周围的电势 此时定积分常数利用无穷远处静电势为0及没有等离子体时回归真空时的电势表达式。
等离子体中的电势比真空的显著减小，以德拜长度指数递减。热运动使得屏蔽效果变差，电荷密度越大则屏蔽效果越好。 Q

27 德拜球内的电子数 计算一下以德拜长度为尺度的等离子中的电子个数。
这里L是电子之间的平均距离。U是在平均距离下的电势能。等离子体有热运动动能远大于势能的性质，因而德拜球中的电子个数远大于1，正是这样才能起屏蔽作用。

28 准电中性的时间尺度 考虑等离子体偏离电中性的时间尺度。带电粒子的热运动也会引起电荷分布的涨落，从而短时间内产生的非电中性和电场。电场试图回复等离子体的电中性，但在电荷分布回复中性时，带电粒子又具有了运动的动能，会引起新的电荷分布不均匀，结果成为振荡运动。特别对于电子振荡引起的波动，我们称电子的这种振荡为电子静电波，也叫Langmuir波。简单来说，假设电子整体移动了x，内部产生电场为

29 离子与电子同时振动的情况 等离子体中，既有电子的热运动，也有离子的热运动。简单来说，假设电子整体向右移动了xe，离子整体向右移动了xi，内部产生电场和运动为 说明振荡是以电子为主。离子作用可以忽略。

30 准电中性的时间、空间尺度和热运动 wp称为等离子体频率。其倒数是满足准电中性条件的时间尺度。它只是等离子体的密度的函数，与温度无关。
等离子体偏离电中性与带电粒子的热运动有很大关系。热运动的速度恰好是德拜长度和等离子体频率的乘积： 这说明若用以角频率wp作简谐振动模型，电子振幅是德拜长度 lDe ，过平衡点时速度为 vt。

31 思考题 验算有电势的Boltzmann分布满足动理论的稳态Vlasov方程。
等离子体若是可压缩的，试说明等离子体速度的散度正比于单位时间内此地的等离子体密度的压缩比率。 若密度为n的等离子体中，一半电子温度为T而另一半是冷的，其中的电子静电振荡的频率会如何变化？ 等离子体中的某些电子正在做简谐振动，其振幅为Debye长度，动能由热运动提供，其简谐振荡角频率是多少？ 第2次课

32 等离子体中的碰撞 vB j 经典的二体碰撞。两体碰撞在质心系中化为约化质量在有心力作用下的运动 利用角动量守恒，有 vA

33 碰撞的偏转角和微分散射截面 为经典二体碰撞的偏转角公式。当瞄准距离b=bmin 时，偏转角为90度。
碰撞的微分散射截面，即单位立体角对应的靶面积，计算为：

34 库仑碰撞 按照瞄准距离，将碰撞情况近似为： 近碰撞频率为： 处理远碰撞时，多次小角度碰撞累计为一次大角度偏转的情况， 远碰撞频率
近碰撞，转角大于90度： 远碰撞，转角小于90度： 无碰撞，因德拜屏蔽，认为无静电场： 近碰撞频率为： 处理远碰撞时，多次小角度碰撞累计为一次大角度偏转的情况， 远碰撞频率 因为 ，远碰撞比近碰撞更重要。因此，我们用远碰撞频率近似表示碰撞频率。

35 实验室坐标系中的碰撞 在实验室坐标系中，被撞的（下标2）粒子静止，偏转角与质心系中有所不同。
在 时，两者近似相等。 在 时，有 因此，在实验室坐标系中，计算等离子体中的电 子-电子，电子-离子，离子-离子彼此的碰撞频率 时也要做相应调整。 V1’(m2) V1’ qL V2’(m1)

36 实验室系的碰撞频率分析 考虑约化质量 相对速度 瞄准距离

37 实验室系的碰撞频率分析 因质心系与实验室坐标系中偏转角度的不同，有
因此，在实验室坐标系中，考虑等离子体中的电子-电子，电子-离子，离子-离子彼此的碰撞频率 这说明等离子体中，电子与其他粒子的碰撞频率很高，而离子与其他粒子碰撞的频率很低。

38 实验室系碰撞的能量交换 每种碰撞每次交换的能量为（刚性球模型）： 因此，在实验室坐标系中四种碰撞单位时间的能量交换为

39 等离子体因碰撞趋于平衡的快慢 这说明等离子体中，因碰撞趋于平衡分布的时间，电子-电子最短，离子-离子其次，而电子和离子之间达到平衡分布所需时间最久。

40 单粒子运动 等离子体的一种最简单的描述方法，它只考察带电粒子在电磁场作用下的运动： 但并不考虑带电粒子运动状态变化而引起的电磁场
适用范围：稀薄的等离子体成分，或具有强大磁场的情况。其运动状态的变化不会显著改变已存在的电磁场。优点：简单直观，物理图像清晰。缺点：不是自恰地描述物理过程。无法研究带电粒子与电磁场的相互作用。

41 带电粒子在均匀恒定磁场中的运动 回旋运动 类似旋转运动： 回旋频率（矢量） B

42 带电粒子在均匀恒定磁场中的运动 取z轴为磁场B方向 令 则 带电粒子垂直方向做回旋运动，平行方向速度不变。

43 带电粒子在均匀恒定磁场中的运动 求解得带电粒子的运动 y B Wt r x o

44 均匀恒定磁场中带电粒子的回旋运动 值得注意的是，回旋频率只与磁场的大小有关，而与回旋粒子的垂直速度或回旋半径无关。但如果相对论效应不能忽略，则带电粒子的质量会发生变化，回旋频率会随着垂直方向的速度改变。此时，带电粒子的运动方程为 其中g是相对论因子。它只与带电粒子速度的大小有关，与速度的方向无关。而事实上，只要用点乘式即可看出：

45 带电粒子在均匀恒定电磁场中运动 磁场、电场恒定 假设电场在x、z平面内 解得 即 引起y方向的漂移速度 y x z x y E B

46 带电粒子引导中心的漂移运动 引导中心的漂移运动 回旋运动时 可定义引导中心 引导中心的运动速度为 其中，加速度 B r(t) R(t)
除磁场之外的外力

47 引导中心的漂移运动 化简可得 其中，引导中心的漂移速度分为3项。 平行磁场的运动 外力引起的垂直磁场方向的漂移 磁场的不均匀性引起的漂移

48 引导中心的漂移运动 带电粒子运动大致图像：首先，它绕着磁力线旋转，但其引导中心主要是沿着磁力线方向做平行运动。其次，引导中心会在外力作用下漂移偏离磁力线，其漂移方向与磁力线垂直，也与力的方向垂直。此外，磁场的不均匀性也能引起漂移运动。 下面我们详细分析一下带电粒子的各种引导中心的漂移运动。

49 恒定电场力的漂移运动 对于恒定静电场，漂移速度为
值得注意的是，电场漂移速度与带电粒子的电荷的正负符号无关，也与带电粒子的质量无关。在等离子体中，离子和电子以相同的方向和速度漂移，不会造成的电荷分离。事实上，我们如果取一个以相对速度运动的新参考系（称为deHoffman-Teller参考系），通过洛仑兹变换可以发现，在新的参考系中电场为0，带电粒子只是简单地围绕磁力线旋转。而在我们原先的参考系中观察，所有的电子和离子除了回旋之外，均以一个相同的速度做漂移运动。

50 重力等其他恒定力的漂移运动 普通情况下，力总是引起与其方向一致的加速度。而在有磁场的情况下，力引起的是一个垂直方向的漂移速度
这个速度与带电粒子的质量也没有关系，但与其电荷有关。尤其对于电荷符号相反的带电粒子，其漂移方向也相反。在等离子体中，电子和离子漂移方向不同，会引起电荷分离，从而产生一些特殊的物理现象（如等离子体-磁场分界面上产生的瑞利-泰勒不稳定性）。

51 思考题 为什么通常Debye长度远大于近碰撞的瞄准距离？给出证明。
库仑碰撞所用的电势的模型是什么?库仑碰撞(远碰撞)和近碰撞一般情况下谁的碰撞频率更高? 在均匀电磁场 中，电子原先静止在原点，求它其后的运动轨迹并证明是摆线。 磁场中的引导中心位置如何确定？受力之后引导中心向哪个方向漂移？ 第3次课

52 磁场不均匀性引起的漂移 带电粒子感受到的磁场变化主要是磁场空间不均匀引起的
磁场变化的频率应远远小于回旋频率，否则引导中心的近似不成立。一般来说，磁场随时间变化会感应出电场，情况比较复杂，因而这里不予考虑。普通情况下，磁场变化频率很低。 空间变化的特征尺度也应该远大于回旋半径。研究漂移时需要对回旋圆周做平均。

53 磁场不均匀性引起的漂移 对回旋圆周做平均时，假设带电粒子作螺旋运动 因此 进一步化简可得：

54 磁场不均匀性引起的漂移 其中 是在垂直方向上的空间微分算符。

55 磁场不均匀性引起的漂移 即有： 在公式中，磁场在空间的变化包括两个部分，一是磁力线方向的变化，另一个是磁场强度的变化。沿着磁力线方向看磁场方向的变化，可计算磁力线的曲率可得

56 磁场不均匀性引起的漂移 即有： 在公式中， 是曲率（密切圆半径的倒数），表示磁力线的弯曲程度，方向指向磁力线密切圆圆心。
在公式中， 是曲率（密切圆半径的倒数），表示磁力线的弯曲程度，方向指向磁力线密切圆圆心。 在没有电流的地方，有（下一页给出证明） 统一为

57 磁场不均匀性引起的漂移 证明：没有电流时， 磁场的空间不均匀性引起的漂移运动分为两部分，一是离心力引起的，为（式中R为曲率半径） ：

58 磁场不均匀性引起的漂移 另一部分是磁张力引起的（也可以说是磁场梯度引起的 ），为： 这里m是回旋运动的磁矩 ：
而 体现了磁场的梯度对带电粒子所施加的等效作用力。 在无电流区域，曲率漂移和梯度漂移方向一致。

59 带电粒子在时间变化电场中的漂移 （极化漂移）
有恒定磁场和垂直于磁场的变化电场 解运动方程 ： 令

60 带电粒子在时间变化电场中的漂移 （极化漂移）
一般情况电场的变化远慢于回旋，则y方向上是普通的电漂移，x方向上即是极化漂移： 粒子越重，漂移越快。引起电流，电荷分离。

61 守恒量和绝热不变量 对于只在磁场中运动的带电粒子，其动能守恒。
有周期运动的系统中，若系统的能量变化远慢于周期运动，则周期运动的角变量q对于它的广义动量p积分一周，可得对应的作用变量 近似不变，称为绝热不变量。结论论证如下： 假设系统只有一个广义变量q（其实只需在哈密顿-雅可比方程中q可分离出来），有

62 守恒量和绝热不变量 系统的哈密顿函数为 反解为 因而 对哈密顿方程作l和E的偏导数，得到 代入得

63 回旋运动和磁矩不变量 对于回旋运动，对应磁矩不变量。
由于带电粒子在磁场中运动时，动能w不变，同时磁矩也是绝热不变量，因此沿磁场方向的动能w||可写为 如果只考虑粒子的平行方向动能，mB可看作等效势能，势能的负梯度是等效磁镜力： 这个力引起磁场梯度漂移。

64 磁镜力 如图是一个非均匀（这里以会聚的为例）磁场形态。带电粒子在磁场中旋转运动时，受力计算的结果与从能量分析得到的完全相同： z B F

65 磁镜效应 当磁场会聚时，带电粒子在回旋的同时，沿着磁场方向磁场强的区域前进时，会受到反向的磁镜力。这种力可能使粒子的平行速度减为0然后反向，使粒子被反射如同镜子反射光线。 带电粒子的速度方向与磁场的夹角称为投射角。在磁镜反射点上，投射角变成直角，平行方向的速度是0，垂直方向的速度是粒子的总速率。假设磁镜装置中的带电粒子处于磁场较弱的区域（磁场为Bmin），其投射角如果小于某个临界角qm就能通过磁场最强的地方（磁场为Bmax），则有

66 损失锥分布 投射角小于这个临界角的带电粒子能通过磁场最大的地方，是通行粒子（或逃逸粒子），而投射角大于这个临界角的带电粒子会被两端的强磁场束缚在中间的弱场区域，成为束缚粒子。束缚粒子所形成的分布称为损失锥分布，因为投射角小于临界角的粒子都逃逸了，而投射角大于临界角的粒子依然存在，其总体分布好像挖去两个对顶的圆锥而得名。由于这种分布不是各向同性的，也不处于平衡态，因而具有自由能，可以导致一些不稳定性产生。

67 弹跳运动和纵向不变量 带电粒子在做回旋运动的时候，沿着磁场方向上会在磁镜点之间被磁镜力来回反射，称为弹跳运动，也是一种周期运动，周期远长于回旋周期。相应的绝热不变量为纵向不变量，沿着磁力线方向（纵向）其动量做空间积分： 地球辐射带中捕获了不少高能带电粒子，它们在地球南北磁极之间做弹跳运动。

68 费米加速 我们常常能观测到来自宇宙中的一些能量极高的带电粒子，如有的粒子能量可达1018eV。为了解释这些高能带电粒子的来源，费米提出了一种加速机制。宇宙中有一些地方存在强磁场，当带电粒子被两个相对运动的强磁场区域捕获时，每次反射时由于强场的相对运动都获得能量。粒子能量在漫长的岁月中不断积累，从而达到极高能量，最终逃出强磁场之间的束缚，成为自由的高能粒子。

69 等磁通面上的环绕漂移运动 在弹跳运动过程中，由于磁场的空间不均匀性，导致曲率漂移和磁镜力漂移。漂移的方向是轴向的，当漂移一圈能够回到原来的磁力线上。这种周期运动的周期又远长于弹跳运动的周期。可以取球坐标的轴向角j为此种周期变化的广义变量，相应的： 称为磁通不变量。即带电粒子的漂移是沿着同一个的磁通面进行的。

70 地球磁层中的带电粒子运动 地球磁层中有内辐射带和外辐射带。这些辐射带中捕获大量的高能带电粒子，分别来自地球外层大气和太空。地球的磁场可以近似看作是偶极磁场，带电粒子在磁场中做回旋运动、弹跳运动和等磁通面上的绕地球漂移运动，这三种周期运动分别对应磁矩不变量、纵向不变量和磁通不变量。其周期也依次增加。这三个绝热不变量的不变性取决于外界环境变化的特征时间是否远远大于它们所对应的运动周期。如果外界环境变化较快，绝热不变量就无法保持其不变的特性。

71 托卡马克中的带电粒子运动 在托卡马克中，因为环向磁场与大半径R成反比，Bt~1/R，靠近中心的地方磁场更强。而带电粒子沿磁面运动时，如果投射角小于临界角，则为通行粒子，如果投射角大于临界角，则沿着磁力线运动向中心附近时，会发生反射，这些粒子称为捕获粒子。同时，因其轨道类似香蕉，也称为香蕉粒子。由于被捕获粒子和通行粒子这两类粒子的存在，速度分布也不是平衡的，能产生一些动力学效应。 R

72 思考题 假设地球赤道处的磁场为0.3G，并且它象理想偶极子一样，以r-3衰减。假设存在1eV质子和3x104eV的电子，分布各向同性。在赤道平面r=5R(R为地球半径)处，二者密度都为n=105m-3。(1)计算离子和电子的磁场梯度漂移速度。(2)电子的漂移方向如何？(3)一个电子绕地球缓转一周所需要的时间。(4)计算环向漂移电流密度。 在磁镜比Rm=5的两个运动磁镜间俘获的一个宇宙射线的质子，它的初始能量为w=103eV，并且在中间平面处有v垂直=v平行，每个磁镜以速度Vm=104m/s向中间平面运动，L=1010m。 (1)用损失椎公式和磁矩不变性，求出质子逃逸前将加速到多高能量。(2)粒子由初始被捕获到逃逸需要多少时间？ 第4次课

73 等离子体的宏观物理量 分布函数和宏观物理量
分布函数的意义在于描述了局域中具有特定速度的粒子有多少。如果所测物理量与粒子速度有关，宏观测量值应该是局域所有粒子所具有的该物理量的平均值： 这里 是与速度有关的物理量，它的宏观观测值为 ，即该物理量对粒子分布的加权平均。例如，微观速度v对应的测量量是等离子体的流动速度。

74 等离子体的流体运动模型 等离子体的流体运动模型是研究等离子体的宏观观测物理量的变化和满足的方程。 而微观的分布函数满足动理论方程：
这里的电场和磁场是尚未把碰撞项归于一起时的包含微观变化的场。为了求出宏观物理量 满足的方程，必须对动理论方程做必要的速度积分运算，同时要乘以微观量 。

75 矩方程 等离子体的流体运动模型是研究等离子体的宏观观测物理量的变化和满足的方程。 而微观的分布函数满足动理论方程：
其中，用到了分部积分及在速度无限大的地方分布函数为0的条件。所得的方程称为矩方程，是由微观动理论方程得到的宏观物理量满足的方程。

76 连续性方程和动量方程 取 ，得连续性方程： 取 ，得动量方程（守恒形式）： 其中， 为压力张量。

77 压力张量 热运动速度通常是指微观速度与宏观平均速度之差。设想流体中有一个与当地流速一样的假想小立方体，由于有热运动，粒子自由穿越立方体表面。若将立方体表面实体化，并清空外部的粒子，则立方体表面受到压力，正是压力张量的各个分量。如Pxy是法线x方向的面单位面积所受到的压力（压强）的y分量。计算如下： S

78 压力张量 对于普通的Maxwellian分布， I是单位张量。若平行磁场和垂直磁场方向的温度不同，
b是磁场方向的单位向量。对于流体力学中有粘滞情况，压力张量的非对角项不为0，相关的理论给出(h为粘滞系数，h'为体积粘滞系数，是与流体可压缩性有关)：

79 动量方程中的碰撞项 对于动量方程，其中的电磁场如果去除局域中的微观变化，归并为碰撞效应，则要考虑单位时间内因为碰撞引起的动量变化：
动量的改变量与坐标系无关。质心系中，粒子的初动量为约化质量mab乘以两粒子的速度差，末动量偏转90度方向但在垂直面内各项同性，统计平均后为0。

80 牛顿受力方程 包含碰撞项的动量方程： 与之等价的是牛顿受力方程： 单位体积中的等离子体受力分别是：压力梯度力，电磁力，碰撞阻力。
碰撞项的碰撞频率用库仑碰撞频率，而电子与离子的速度差与电流有关。负压力梯度是流体的受力。对于带电粒子，还受洛仑兹力。

81 压力满足的方程 对于矩方程，取 ，首先有 并引入热流矢量（绝热情况下这项为0） 得到压力满足的方程为： 这里使用了爱因斯坦求和约定。且

82 对角项压力满足的方程（能量方程） 对于一般情况，Pij只有对角项（i=j）不为0。取i=j并从1到3求和： 这时压力对角项之和近似等于：
热流在这种近似情况下也为0（绝热）： 如果分布函数偏离麦克斯韦分布较严重，则绝热近似并不成立。

83 能量方程的化简 利用连续性方程将能量方程化简 ： 这是常用的求解温度变化的方程。其中压力通过状态方程来用温度表达。
内能的变化来源于内能的输运和压力做的功，电场产生的焦耳热，以及热流。 当分布函数远离平衡分布时，没有统一的温度，不同的方向上的压力也不一样，需要对每个的压力张量分量分别计算。

84 压力张量满足的方程 利用连续性方程，简化消去方程前几项得 再代入得

85 压力张量满足的方程 利用牛顿方程 简化得 绝热条件下，成为（利用了连续性方程） 对于对角项，有（此式不用爱因斯坦求和约定）

86 绝热各项同性压力方程 如果压力张量只有对角项不为0，则有 对于各项同性情况，如果物理问题是D维的（D=1,2,3），则
这是绝热条件下的状态方程，多方指数g对于1维问题是3，对于2维问题是2，对于3维问题是5/3。

87 双绝热模型的压力方程 对于有磁场情况，一般来说，平行磁场方向的压力与垂直于磁场的压力不一样。 假设只有对角项压力不为0，则
另外，利用单粒子轨道理论中，带电粒子的磁矩是绝热不变量的结果，用垂直方向的热运动速度代替粒子的垂直速度，有：

88 双绝热模型的压力方程 综合双绝热模型的两个方程，可推出
这个方程也可以用后面要讲到的冻结方程导出。等离子体冻结在磁场中时，它与线元流动具有相同的方程： 取平行于磁场的方向，得：

89 压力方程的讨论 而 故 与用磁矩是绝热不变量得到的结果相同。
如果不是绝热情况，需要知道热流，而写出热流满足的方程中，又必然需要引入更高阶矩的物理量，以至于将问题复杂化。对于有热流情况处理的简化办法是设置多方指数g为合理的数值来求解，如 g=1是等温过程。

90 带电粒子的流体方程组 总结一下，通过矩方程的计算，得到带电粒子的流体方程组： 1. 连续性方程 2.动量方程（守恒型）或牛顿方程

91 带电粒子的流体方程组 3.1 能量方程： 3.2 绝热方程 3.3 双绝热方程（下面三个中取二个） 这三个方程依据具体情况选择其一。

92 思考题 从矩方程推导出等离子体的受力方程。 从能量方程 和受力方程，导出压力各向同性时，绝热情况下的状态方程。 第5次课

93 磁流体力学方程组 将等离子体中的各个成分写出的流体方程相加，得到对等离子体整体描述的磁流体力学方程组。由于有内部作用力，以等离子体质心运动描述多成分等离子体的运动。 连续性方程 ： 考虑到等离子体是准中性的，运动时，呈显出整体移动的特征，各种成分的速度基本相同。但在有电流存在时，电子速度会有所不同，由于电子很轻，电子速度对整体速度（质心速度）的贡献极小，影响可以忽略。

94 磁流体力学方程组 受力方程： 碰撞项由于是等离子体各个成分内部的碰撞，求和之后总动量并不随碰撞改变，因而相互抵消。 如果考虑准电中性条件，则

95 磁流体力学方程组 能量方程： 式中e是等离子体中的平均热运动速度。 各项同性条件下，可以使用绝热方程： 或有磁场时的双绝热方程：

96 电场、磁场、电流 利用麦克斯韦方程组，进一步给出磁场：
其中的电场的获得比较复杂，最简单的方法是，假设等离子体是良导体，内部没有平行电场，而垂直电场完全是流动造成的： 从单粒子理论我们知道，这个电场恰好导致等离子体整体以速度u流动。或者说，坐标变换到与等离子体一起运动时，就感受不到这个电场了。

97 封闭的磁流体力学方程组 简化的磁流体力学方程组如下：

98 等离子体的磁流体描述 描述等离子体的物理量，有密度r，速度u，温度T（或压力p），磁场B（或者为矢势或磁标势），它们均是随空间和时间变化的场量。 等离子体作为中性的整体运动。其中可以有电流存在，电流是由磁场形态决定的。 磁场力和热压力共同对等离子体整体运动起作用。 等离子体的运动也影响磁场变化。

99 磁压力和磁张力 磁流体区别于普通流体的一个显著特征是，在磁流体中存在磁场和电流相互作用形成的洛仑兹力。而电流也可以从磁场得到：
因此从牛顿方程看 ： 从而单位体积的受力除了普通的压力梯度力之外，磁场的作用力可化为磁压力梯度力和磁张力。

100 磁压力 从受力的表达式中，可知磁压力为： 其表现和普通的热压力行为一样。热压力与磁压力之比称为b值，是表征等离子体的磁化程度的重要参量：
行星际空间等离子体中的b值大致是1左右，此时，磁场属于较弱的形态；日冕中或聚变实验装置（如托卡马克）中，b值的典型数值是0.1，此时，磁场相对较强。

101 磁张力 受力的另一项为： 前一项是磁张力 （其值是磁压力的2倍）拉紧磁力线造成的，合力指向曲率中心，大小和磁张力及磁力线曲率成正比，是磁力线弯曲的恢复力。 磁压力梯度力不一定垂直于磁场，但总的洛仑兹力一定是垂直于磁场的。而后一项正抵消了磁压力梯度力的平行分量。

102 洛仑兹力与电磁张量 另一方面，洛仑兹力可以写为：
其中，T是电磁张量，包括各项同性的磁压力，以及沿着磁场方向的磁张力。抵消之后，是垂直于磁场的磁压力，以及沿着磁力线方向的磁张力（其最后的合力为垂直于磁场的恢复力）。

103 磁力线与等离子体一同流动 磁场的变化方程为： 这个方程可以化为：
与流动场中的线段所满足的方程形式相同。说明磁力线是冻结在等离子体中一起流动。这也是我们计算双绝热时所用的方程。

104 磁场冻结时磁通不变 u 在磁通量管中，等离子体质量不变，而 与线段元行为相同，说明磁通F也是不变的。
另一方面，我们也可以直接从方程考察磁通冻结，在同一块面积s上的磁通保持不变： u A B C dl

105 有电阻时的磁场演化方程 当碰撞存在时，等效为等离子体中存在电阻。此时，在与等离子体一起运动的坐标系中的电场和电流之间有欧姆定律
此时，磁场的变化方程变为： 这个方程我们已知右端第一项是等离子体和磁场冻结为一体的效应。而右端第二项对等离子体起到扩散作用。

106 磁场的扩散项 当碰撞存在时，等效为等离子体中存在电阻。此时，在与等离子体一起运动的坐标系中的电场和电流之间有欧姆定律
此时，磁场的变化方程变为： 最后一步等号在电阻率为常量时成立。这个方程我们已知右端第一项是等离子体和磁场冻结为一体的效应。而右端第二项对等离子体起到扩散作用。

107 磁场扩散方程的一维解 考虑在与等离子体相对速度为0的随体坐标系中，此时，等离子体的速度为0，则方程只剩扩散项： 考虑一维情况：
初始条件： ，经傅里叶变换： 解之

108 磁场扩散方程的一维解 逆变换得： 其磁通量保持常数： 但宽度与g的开平方及时间的开平方成正比。 这说明磁场随时间逐渐扩散。

109 磁雷诺数 磁场的冻结和扩散是两种相反的特性。在理想等离子体或无碰撞等离子体中，只有冻结效应。在具有有限电阻的等离子体中，扩散也起一定的作用，但总的来说，冻结是占主要地位的。 冻结项与扩散项的比值定义为磁雷诺数： 式中，L是磁场空间变化的特征尺度。

110 广义欧姆定律 当碰撞存在时，等离子体中存在等效电阻。从电子的受力方程出发，可导出广义欧姆定律
对应各项依次为：流动项，霍尔效应项，电子压力项，电子惯性项，碰撞项（电阻项）。对比先前使用的欧姆定律，有碰撞和电阻的关系：

111 广义欧姆定律中的各项 广义欧姆定律给出了电场的表达式。其中，流动项所起的作用是磁场的冻结效应，而碰撞项（电阻项）起磁场的扩散作用。霍尔效应项来源于电流和磁场作用时的霍尔效应，当电子流动速度和粒子流动速度不一致而产生电流时，在磁场的作用下，电子和离子受力不同，产生分离趋势，从而等离子体因其准中性特性而自发产生电场来抵消这种分离趋势。电子压力项能在b值大的等离子体中起作用，产生平行电场；而电子惯性项在电磁场结构的特征尺度与电子惯性长度相当时起作用，也能产生平行电场。而流动项和霍尔效应项只能提供垂直方向的电场。

112 等离子体的平衡 平衡时，等离子体不运动，满足
j B 平衡时，等离子体不运动，满足 这表明，磁力线和电流线都是在等压面内。（ 是沿着等压面的法线方向，j和B都与它垂直，因此他们都平行于等压面） 对于平直的磁力线，在垂直方向，有 对于柱等离子体，由于对称性，等压面就是柱的同心圆面。磁场既有轴向也有径向分量：

113 柱形等离子体的平衡 柱对称平衡时，磁力线具有一定的曲率： 其中 因而，径向的平衡方程为：

114 无力场的平衡 在低b等离子体中，磁场力占主导地位，热压力梯度力可以忽略不计。平衡时，必须电流与磁场平行，满足：
其中a为常数时，是线性无力场，系统达到整体势能最小的平衡状态。 做旋度，得Helmholtz方程： 可分别解其中的三个分量。太阳低日冕中常用无力场模型。 当a不为常数时，是非线性无力场，求解更困难些。

115 螺度 对于一个场矢量的旋度与其自身点乘，称之为该矢量的螺度，表征它的螺旋特性。 常见的螺度有 线性无力场中，参数 a 的选取与螺度有关。
在理想磁流体中，封闭区域内的螺度守恒。 在磁场重联过程中，螺度仍近似守恒。

116 思考题 从广义欧姆定律出发，简述等离子体中哪些原因有可能导致出现平行于磁场的电场分量。
设半径为a的柱体等离子体中，若β=1，磁场为B0沿轴，且等离子体处于平衡状态，那么电流应该是什么样的分布，外磁场的大小方向如何？ 如果磁流体中没有电阻耗散，证明磁场B、密度r和速度u满足关系 第7次课