第二章 导数与微分 导 数 与 微 分 *怎样求分段函数的导数；怎样讨论分段函数的连续性 左、右导数 导数的定义 导数存在的充要条件

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1 第二章 导数与微分 导 数 与 微 分 *怎样求分段函数的导数；怎样讨论分段函数的连续性 左、右导数 导数的定义 导数存在的充要条件
第二章 导数与微分 导 数 与 微 分 导数的定义 求导方法 高阶导数 定义 微分公式 微分的应用 左、右导数 导数存在的充要条件 几何意义 四则运算 基本初等函数求导公式 复合函数求导 隐函数求导 参数方程求导 常见的导数公式 *怎样求分段函数的导数；怎样讨论分段函数的连续性

2 导数 左导数: 右导数: 函数 在点 可微 微分 且

3 例题 例1 已知 在 处的导数存在，求 解 例2 设有一细棒，取棒的一端作为原点，棒上任一点的坐标为 于是分布在区间 上细棒的质量 是 的函数 应 怎样确定细棒在点 处的密度（对于均匀细棒来说，单位长度 细棒的质量叫做这细棒的线密度）。 O x 解 在 处给自变量一增量 在区间 上棒的平均密度为

4 例3 求下列函数 的 及右导数 又 是否存在？ （1） （2） 解 （1） 所以 存在，且

5 （2） 所以 不存在。

6 例4 函数 有几个不可导的点？ 解 可能出现不可导的点为 不存在 同理， 也不存在。 因此，函数有两个不可导的点。

7 例5 设 ，确定 使 在 处连续并且可微. 解 因为 欲使 在x=0处连续，必须 所以 又因为 所以 b=1 .

8 例6 设 , K是实数.问： 在 （1）当K为何值时， 处不可导； （2）当K为何值时， 处可导，但导函数不连续； （3）当K为何值时， 处导函数连续。 解 即

9 当 时, 的导函数为： 为使 则取 即可. 因此，函数 在 （1）当K≤1时， 处不可导； （2）当1<K ≤2时， 在 处可导，但导函数不连续； （3）当K>2时， 在 处导函数连续。

10 例7 求下列函数的导数 解

11 由对数求导法，得 先化简，再求导！ 先利用对数的性质，再求导！

12 设 则 设 则 故

13 设使得 的 的变化区域为D，则D: 在D上， 对上式两边取对数，得 两边对x求导，得 所以

14 例8 设函数 由方程 求 解 将 代入方程，得 方程两边同时对 求导，得 将 代入上式，得

15 例9 设方程 , 求 本例是隐函数求导问题，对隐函数求导可用下面两种方法来求. 解 (方法一) 方程两边同时对x求导，得 (方法二) 方程两边同时微分，得

16 例10 方程 所确定函数 , 求 解 方程两边取对数得 即 等式两边对x 求导得 即 所以 注意 ：求隐函数二阶导数的过程中，要注意将一阶导数化简， 不然求二阶导数将非常烦琐.

17 例11 设 , 求 解 当 时，

18 例12 设 ， 求 分析 本例是三角函数的和、差、积所构成的函数的高阶导数， 利用三角函数中积化和差与倍角公式把函数的次数逐次降低， 最后变为 之和、差的形式，再用公式 把给定函数的 阶导数写出来 解

19 例13 设 求 解 则 设 (k=1,2,… 50) (k=3,4,…50) 代入莱布尼兹公式，得

20 例14 求下列参数方程所确定的函数的一阶导数 及二阶导数 （1） （2） 解 （1） （2）

21 . 例15 试证在曲线 上，而不在 坐标轴上的点处的切线，被 轴与 轴所截部分，其长度一定. 解 取一点P，若证出在P点处切线被
其长度一定就可以。 由于该曲线上、下、左、右都对称，因此，在第一象限内 轴与 轴所截的部分， . 设P点的坐标为 在点P的切线方程为： 星形线 与 轴交点为 ，与 因此，在P点处的切线被 轴与 轴截断部分的长度L为 （为一定值）.

22 例16 溶液自深18cm顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直
当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速率为1cm/min。 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？（课本P ） 解 设圆锥形容器中溶液的深为 溶液表面的半径为 则 和 都是时间 的函数。 6 18 由题意知： 即 在漏斗中溶液表面下降的速率为 漏斗中溶液减少的速率为 由题意，知：当 时，

23 此时 漏斗中溶液减少的数量就是圆柱形筒中溶液增加的数量， 圆柱形筒中溶液表面上升的速率为 则 即 例17 设函数 可导， 当自变量 在 处取得 增量 时，相应的函数增量 的线性主部为 ，则 解

24 例18 求函数 的微分。 分析 本例可利用函数微分表达式 函数的导数，再乘以 ;也可利用一阶微分形式的不变性来求， 来求，即先求出该 下面我们利用一阶微分形式不变性来求。 解

25 例19 求由方程 所确定函数的微分 求导 (方法一) 方程两端同时对 解 所以 所以 (方法二) 方程两端取微分 所以

26 例20试从 导出 （课本P127 4） 由复合函数求导法， 在 两侧对 y 求导，得 解 上式两边再对y求导，得

27 例21 已知函数 在 内可导， 且满足 求 设 则 解 即 由于 所以 则