第八章 不定积分.

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1 第八章 不定积分

2 §1 不定积分的概念和基本积分公式 原函数和不定积分 基本积分公式表 不定积分的线性运算法则

3 一、原函数与不定积分的概念 定义： 例

4 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例
（ 为任意常数）

5 关于原函数的说明： （1）若 ，则对于任意常数 ， （2）若 和 都是 的原函数， 则 （ 为任意常数） 证 （ 为任意常数）

6 不定积分的定义： 积分号 被积函数 被积表达式 任意常数 积分变量

7 例1 求 解 例2 求 解

8 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为

9 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.

10 二、 基本积分表 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.

11 基本积分表  是常数); 说明： 简写为

12

13

14 例4 求积分 解 根据积分公式（2）

15 三、 不定积分的性质 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况）

16 例5 求积分 解

17 例6 求积分 解

18 例7 求积分 解

19 例8 求积分 解 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.

20 解 所求曲线方程为

21 四、 小结 原函数的概念： 不定积分的概念： 基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质

22 思考题 符号函数 在 内是否存在原函数？为什么？

23 思考题解答 不存在. 假设有原函数 故假设错误 所以 在 内不存在原函数. 结论 每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.

24 练习题

25

26

27 练习题答案

28

29 §2 换元积分法和分部积分法

30 一、第一类换元法 问题 ？ 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令

31 在一般情况下： 设 则 如果 （可微） 由此可得换元法定理

32 定理1 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同，所得结论不同.

33 例1 求 解（一） 解（二） 解（三）

34 例2 求 解 一般地

35 例3 求 解

36 例4 求 解

37 例5 求 解

38 例6 求 解

39 例7 求 解

40 例8 求 解

41 例9 求 原式

42 例10 求 解

43 例11 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.

44 例12 求 解

45 例13 求 解（一） （使用了三角函数恒等变形）

46 解（二） 类似地可推出

47 例14 设 求 解 令

48 例15 求 解

49 二、第二类换元法 问题 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 （应用“凑微分”即可求出结果）

50 则有换元公式 定理2 证 设 为 的原函数, 令 则

51 第二类积分换元公式

52 例16 求 解 令

53 例17 求 解 令

54 例18 求 解 令

55 说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令

56 说明(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换. 也可以化掉根式 例 中, 令

57 说明(3) 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定. 例19 求 （三角代换很繁琐） 解 令

58 例20 求 解 令

59 说明(4) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例21 求 令 解

60 例22 求 （分母的阶较高） 令 解

61

62 说明(5) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例23 求 解 令

63

64 基本积分表 

65

66 三、小结 两类积分换元法： （一）凑微分 （二）三角代换、倒代换、根式代换 基本积分表(2) 思考题 求积分

67 思考题解答

68 练 习 题

69

70

71

72 练习题答案

73

74

75 一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分
§3 几类特殊函数的不定积分 一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分

76 一、有理函数的积分 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之.

77 假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. 例 难点 将有理函数化为部分分式之和.

78 有理函数化为部分分式之和的一般规律： （1）分母中若有因式 ，则分解后为 特殊地： 分解后为

79 （2）分母中若有因式 ，其中 则分解后为 特殊地： 分解后为

80 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1

81 例2 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将 值代入

82 例3 整理得

83 例4 求积分 解

84 例5 求积分 解

85 例6 求积分 令 解

86

87 说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况： 多项式； 讨论积分 令

88 记 则

89 这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数.

90 二、三角函数有理式的积分 三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为

91 令 （万能置换公式）

92 例7 求积分 解 由万能置换公式

93

94 例8 求积分 解（一）

95 解（二） 修改万能置换公式, 令

96 解（三） 可以不用万能置换公式. 结论 比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.

97 例9 求积分 解

98

99 三、简单无理函数的积分 讨论类型 解决方法 作代换去掉根号. 例10 求积分 解 令

100

101 例11 求积分 解 令 说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.

102 例12 求积分 解 先对分母进行有理化 原式

103 四、小结 有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式） 三角有理式的积分.（万能置换公式） （注意：万能公式并不万能）
简单无理式的积分.

104 思考题 将分式分解成部分分式之和时应注意什么？

105 思考题解答 分解后的部分分式必须是最简分式.

106 练习题

107

108

109 练习题答案

110

111

112

113 不定积分习题课

114 一、主要内容 原 函 数 不 定 积 分 积分法 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 分部 积分法 直接 积分法 第一换元法
原 函 数 不 定 积 分 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 分部 积分法 积分法 直接 积分法 第一换元法 第二换元法 几种特殊类型 函数的积分

115 1、原函数 定义 原函数存在定理 即：连续函数一定有原函数．

116 2、不定积分 (1) 定义

117 (2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. (3) 不定积分的性质

118 3、基本积分表 是常数)

119

120 4、直接积分法 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法. 5、第一类换元法 第一类换元公式（凑微分法）

121 常见类型:

122 6、第二类换元法 第二类换元公式

123 常用代换:

124 7、分部积分法 8.选择u的有效方法:LIATE选择法 分部积分公式 L----对数函数； I----反三角函数； A----代数函数；

125 9、几种特殊类型函数的积分 （1）有理函数的积分 定义 两个多项式的商表示的函数称之. 真分式化为部分分式之和的待定系数法

126 四种类型分式的不定积分 此两积分都可积,后者有递推公式

127 （2） 三角函数有理式的积分 定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 令

128 （3） 简单无理函数的积分 讨论类型： 解决方法： 作代换去掉根号．

129 二、典型例题 例1 解

130 例2 解

131 例3 解

132 例4 解 (倒代换)

133 例5 解

134 解得

135 例6 解

136 例7 解

137 例8 解

138 例9 解

139 例10 解

140 例11 解

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143 测 验 题

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150 测验题答案

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