第6章 不定积分 6.1不定积分的概念与基本积分公式 6.2换元积分法 6.3分部积分法 6.4几类特殊函数的不定积分.

Presentation on theme: "第6章 不定积分 6.1不定积分的概念与基本积分公式 6.2换元积分法 6.3分部积分法 6.4几类特殊函数的不定积分."— Presentation transcript:

1 第6章 不定积分 6.1不定积分的概念与基本积分公式 6.2换元积分法 6.3分部积分法 6.4几类特殊函数的不定积分

2 6.1 不定积分的概念和基本积分公式 原函数和不定积分 基本积分公式表 不定积分的线性运算法则

3 一、原函数与不定积分的概念 定义1： 例

4 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例
（ 为任意常数）

5 关于原函数的说明： （1）若 ，则对于任意常数 ， （2）若 和 都是 的原函数， 则 （ 为任意常数） 证 （ 为任意常数）

6 二、不定积分 定义2 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分， 根据定义，如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则
其中 C 是任意常数，称为积分常数。

7 不定积分的相关名称：  ———叫做积分号， f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量。
 ———叫做积分号， f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量。 积分号 被积函数 被积表达式 任意常数 积分变量

8 例1． 例2． 例3． 解：

9 三、不定积分的几何意义 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。
C1 y=x2+C1 -1 O 1 x y 函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。 y=x2 C2 y=x2+C2 C3 y=x2+C3

10 例4．求过点(1, 3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。 解：设所求的曲线方程为 yf(x)，则 y f (x) 2x，
-2 -1 O 1 2 x y yx2+2 所以y=f(x)x2C。 因为所求曲线通过点(1, 3)， 故 1C，C2。 于是所求曲线方程为 yx22。 yx2 (1, 3) ．

11 四、 基本积分公式 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.

12 基本积分表  是常数); 说明： 简写为

13

14

15 例 求积分 解 根据积分公式（2）

16 例1． 例2． 例3．

17 例4．

18 例5．

19 例6． 例7． 例8． 例9． 例10．

20 例11． 例12．

21 例13．某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成
成本为1000元，求总成本与日产量的函数关系。 解：因为总成本是总成本变化率y的原函数，所以 已知当 x=0 时，y=1000， 因此有 C =1000，

22 五 、 不定积分的性质 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况）

23 例14 求积分 解 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.

24 解 所求曲线方程为

25 小结 原函数的概念： 不定积分的概念： 基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质

26 思考题 符号函数 在 内是否存在原函数？为什么？

27 思考题解答 不存在. 假设有原函数 故假设错误 所以 在 内不存在原函数. 结论 每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.

28 6.2 换元积分法

29 一、第一类换元法 问题 ？ 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令

30 在一般情况下： 设 则 如果 （可微） 由此可得换元法定理

31 定理1 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同，所得结论不同.

32 例1 求 解（一） 解（二） 解（三）

33 例2 求 解 一般地

34 例3 求 解

35 例4 求 解

36 例5 求 解

37 例6 求 解

38 例7 求 解

39 例8 求 解

40 例9 求 原式

41 例10 求 解

42 例11 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.

43 例12 求 解

44 例13 求 解（一） （使用了三角函数恒等变形）

45 解（二） 类似地可推出

46 例14 设 求 解 令

47 例15 求 解

48 二、第二类换元法 问题 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 （应用“凑微分”即可求出结果）

49 则有换元公式 定理2 证 设 为 的原函数, 令 则

50 第二类积分换元公式

51 例16 求 解 令

52 例17 求 解 令

53 例18 求 解 令

54 说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令

55 说明(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换. 也可以化掉根式 例 中, 令

56 说明(3) 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定. 例19 求 （三角代换很繁琐） 解 令

57 例20 求 解 令

58 说明(4) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例21 求 令 解

59 例22 求 （分母的阶较高） 令 解

60

61 说明(5) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例23 求 解 令

62

63 基本积分表 

64

65 三 课堂小结： ①第一换元积分法则： ②掌握常见的六种凑微分类型

66 思考题 求积分

67 思考题解答

68 分部积分法

69 复习引入 一.求下列不定积分： 解： （公式法） （凑微分法） (公式法与凑微分法都不能直接运用) 二.函数积的微分法则
d(uv)=udv+vdu 移项得 udv=d(uv)-vdu 对上式两边求不定积分，得：

70 分部积分法 新课讲授 如果函数uu(x)及vv(x)具有连续导数，则有 分部积分的过程： (uv) uvuv，
对上述等式两边求不定积分，得 这个公式称为分部积分公式。 分部积分的过程：

71 新课讲授 注： 根据LIATE法，f(x)与g(x)谁排在LIATE这一字母表 前面就选谁为u.
一.分部积分公式： 二. 关键：恰当选取u和确定v. 如何选取u:(LIATE法) L-----对数函数 I-----反三角函数 A-----代数函数 T-----三角函数 E-----指数函数 根据LIATE法，f(x)与g(x)谁排在LIATE这一字母表 前面就选谁为u. 即若选f(x)为u,则g(x)dx=dv。v=∫g(x)dx、或v'=g(x). 注： 使用分部积分公式，若选f(x)=u,则v≠g(x) 而v'=g(x).

72 例题与练习 例1.求下列不定积分 解： 解： 解： 解：

73 例题与练习 解： 练习1.求下列不定积分

74 常用解题技巧 (Ⅰ)多次使用分部积分法则 例2. 解： 练习2.求不定积分

75 常用解题技巧 (Ⅱ)还原法 例3. 解： 练习3：

76 常用解题技巧 Ⅲ 与换元法相结合 解： 练习4.求不定积分

77 例5． 例6． 例7． 例8．

78 例9． 例10． 例11．

79 例13． 解：因为

80 练习:用什么积分法求下列积分？

81 课堂小结与作业 (1)根据LIATE法，恰当选取u和确定v. (2)运用分部积分公式： (3)掌握常用三种解题技巧.

82 思考题 在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？

83 思考题解答 注意前后几次所选的 应为同类型函数. 例 第一次时若选 第二次时仍应选

84 一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分
6.3 几类特殊函数的 不定积分 一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分

85 一、有理函数的积分 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之.

86 假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. 例 难点 将有理函数化为部分分式之和.

87 有理函数化为部分分式之和的一般规律： （1）分母中若有因式 ，则分解后为 特殊地： 分解后为

88 （2）分母中若有因式 ，其中 则分解后为 特殊地： 分解后为

89 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1

90 例2 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将 值代入

91 例3 整理得

92 例4 求积分 解

93 例5 求积分 解

94 例6 求积分 令 解

95

96 说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况： 多项式； 讨论积分 令

97 记 则

98 这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数.

99 二、三角函数有理式的积分 三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为

100 令 （万能置换公式）

101 例7 求积分 解 由万能置换公式

102

103 例8 求积分 解（一）

104 解（二） 修改万能置换公式, 令

105 解（三） 可以不用万能置换公式. 结论 比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.

106 例9 求积分 解

107

108 三、简单无理函数的积分 讨论类型 解决方法 作代换去掉根号. 例10 求积分 解 令

109

110 例11 求积分 解 令 说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.

111 例12 求积分 解 先对分母进行有理化 原式

112 四、小结 有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式） 三角有理式的积分.（万能置换公式） （注意：万能公式并不万能）
简单无理式的积分.

113 思考题 将分式分解成部分分式之和时应注意什么？

114 思考题解答 分解后的部分分式必须是最简分式.

115 不定积分 习题课

116 一、主要内容 原 函 数 不 定 积 分 积分法 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 分部 积分法 直接 积分法 第一换元法
原 函 数 不 定 积 分 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 分部 积分法 积分法 直接 积分法 第一换元法 第二换元法 几种特殊类型 函数的积分

117 1、原函数 定义 原函数存在定理 即：连续函数一定有原函数．

118 2、不定积分 (1) 定义

119 (2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. (3) 不定积分的性质

120 3、基本积分表 是常数)

121

122 4、直接积分法 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法. 5、第一类换元法 第一类换元公式（凑微分法）

123 常见类型:

124 6、第二类换元法 第二类换元公式

125 常用代换:

126 7、分部积分法 8.选择u的有效方法:LIATE选择法 分部积分公式 L----对数函数； I----反三角函数； A----代数函数；

127 9、几种特殊类型函数的积分 （1）有理函数的积分 定义 两个多项式的商表示的函数称之. 真分式化为部分分式之和的待定系数法

128 四种类型分式的不定积分 此两积分都可积,后者有递推公式

129 （2） 三角函数有理式的积分 定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 令

130 （3） 简单无理函数的积分 讨论类型： 解决方法： 作代换去掉根号．

131 二、典型例题 例1 解

132 例2 解

133 例3 解

134 例4 解 (倒代换)

135 例5 解

136 解得

137 例6 解

138 例7 解

139 例8 解

140 例9 解

141 例10 解

142 例11 解

143

144