* 第十三章 数值计算初步 第三节 曲线拟和的最小二乘法 第四节 数值积分 第一节 误差与方程求根 第二节 拉格朗日插值公式

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1 * 第十三章 数值计算初步 第三节 曲线拟和的最小二乘法 第四节 数值积分 第一节 误差与方程求根 第二节 拉格朗日插值公式
* 第十三章 数值计算初步 第一节 误差与方程求根 第二节 拉格朗日插值公式 第三节 曲线拟和的最小二乘法 第四节 数值积分 第五节 常微分方程的数值解法

2 第一节 误差与方程求根 一、误差 二、方程求根

3 第一节 误差与方程求根 一、误差 1.绝对误差与相对误差

4

5

6 2．有效数字

7 3. 数值运算的误差估计 即

8 解

9 4. 数值运算应注意的若干原则

10 把运算写成规格化形式

11 二、方程求根 1. 方程求根的二分法

12

13 由于

14

15

16 （ ，2.125）

17 （*）

18

19

20

21 整理得 得 （**）

22 思考题

23 第二节 拉格朗日插值公式 一 、多项式的存在惟一性 二、插值多项式的构造 三、插值多项式的余项

24 第二节 拉格朗日插值公式

25 一 、多项式的存在惟一性

26 二、插值多项式的构造 （2）

27

28 （3）

29 ,

30

31 三．插值多项式的余项 (4).

32

33 于是

34 思考题

35 第三节 曲线拟和的最小二乘法 一、直线拟和 二、将非多项式曲线拟合转化为线形拟合

36 第三节 曲线拟和的最小二乘法

37 一、直线拟和

38 (1) (2）

39 141 148 123 125 150 172 126 165 187

40 二、将非多项式曲线拟合转化为线性拟合 ⑵ 若拟合曲线的一般形式为 将其两边取对数得 (a,b 为待定系数).

41 思考题

42 第四节 数 值 积 分 一、求积公式的建立 二、求积公式的误差估计 三、复化求积公式 四、变步长的求积公式

43 第四节 数 值 积 分 一、求积公式的建立

44 (1)

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50 二、求积公式的误差估计

51 三、复化求积公式

52 1. 复化梯形公式

53 2 . 复化辛普森公式

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55

56 四 步长的求积公式

57

58 1.变步长梯形法则的递推公式

59 即

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61

62

63 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6 k

64 思考题

65 第五节 常微分方程的数值解法 一、欧拉方法 二、改进的欧拉方法 三、龙格—库塔方法 四、误差的分析

66 第五节 常微分方程的数值解法 应用解析方法求解常微分方程初值问题.

67 一、欧拉方法

68 （3）

69 二、改进的欧拉方法

70 （6）

71

72

73

74 三、龙格—库塔方法 （8）

75

76 例2 四阶龙格—库塔方法求解例1中的初值问题. 解 初值问题

77 , . 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1

78 四、误差的分析

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80

81

82 k1=f(x0,y0), k2=f(x0+h0/2,y0+ h0 k1/2), k3=f(x0+h0/2, y0+ h0 k2/2), k4=f(x, y0+ h0k3), y1= y0+( k1+2k2+2k3+ k4) h0/6. 计算y1 k1=f(t1,g0), k2=f(t1+h1/2,g0+ h1 k1/2), k3=f(t1+h1/2, g0+ h1 k2/2), k4=f(t1 +h1, g0+ h1k3), y2= g0+( k1+2k2+2k3+ k4) h1/6. 计算y2

83 思考题 ⒈是否每个微分方程都能求其数值解. ⒉用欧拉方法能够求出初值问题的足够精确的解吗？