§5 微分及其应用 一、微分的概念 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..

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1 §5 微分及其应用 一、微分的概念 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.

2 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
再例如, 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?

3 定义 (微分的实质)

4 由定义知:

5 可微的条件 定理5.10 证 (1) 必要性

6 (2) 充分性

7 例1 解

8 微分的几何意义 (如图) T N P M ）

9 二、微分的求法 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式

10 2. 函数和、差、积、商的微分法则 3.复合函数的微分法

11 例2 解 例3 解

12 微分形式的不变性 结论： 微分形式的不变性

13 例3 解 例4 解

14 三、高阶微分

15 对高阶微分，不具的微分形式的不变性

16 四、微分的应用 1、计算函数的近似值 例 解

17

18 常用近似公式 证明

19 例 解

20 2、误差估计 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差. 定义： 问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?

21 办法:将误差确定在某一个范围内. 通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差.

22 相对误差限为

23 例3 解

24 P (2) (6) (1)