第六章　貨幣的時間價值與數量方法.

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1 第六章　貨幣的時間價值與數量方法

2 複利終值 複利終值就是以複利計算的本利和，通常用在整筆投資財富累積成果的計算上面。投資一筆錢下去經過若干年後，包括本金、利息或資本利得會累積成多少錢。而現在的一筆費用在若干年之後，因為通貨膨脹的結果，屆時約需花費多少錢，才能維持同樣實質水準的生活，也是用複利終值來計算。其公式為: 終值FV(本利和)＝現值PV(本金)×(1＋r)n n＝期數，若r為年利率，則n為年數 r ＝利率、投資報酬率或通貨膨脹率 (1＋r)n＝複利終值係數 往後本書的複利終值係數，皆以CF(n，r)為代表 C代表複利(compound rate)，F代表終值(future value) n代表期間數，r代表利率、通貨膨脹率或投資報酬率。

3 複利終值的運用 1. 求存款本利和 一筆錢100萬元存銀行3年期定存，利率3%，到期一次 領取本息的本利和為：
100萬元×(1＋3%)3＝1,092,727元 92,727元為以3%複利計算的利息。 但若為存本取息，每年年底領取3%的利息3萬元，不滾 入本金計息的話，則利息總和＝3萬元 × 3 ＝9萬元，這 是以單利計息，比用複利計息算的利息總和要少2,727 元。

4 複利終值的運用 2.估算整筆投資到期可累積的目標額 如把今年的年終獎金10萬元拿去投資基金，若平均投
資報酬率為12%，5年以後可累積的金額為： 10萬元×(1＋12%)5＝10萬元×1.762＝17.62萬元 3.計算通貨膨脹效果－維持同樣購買力需累積的金額 40歲的人如果想要在60歲退休時擁有相當於現在1千 萬元的資產，假設通貨膨脹率為4%，離退休還有20年 1,000萬元×(1＋4%)20＝1,000萬元 × 2.191＝2,191 萬元 即20年後要準備的名目貨幣金額為2,191萬元，才相當 於現在1千萬元的購買力。

5 複利現值 複利現值係數為複利終值係數的倒數，若已知終值求現值，PV＝FV×(1＋r)-n或PV＝FV÷(1＋r)n
若只有複利終值表，將複利現值改為除複利終值即可。 本書後面提到的複利現值係數，皆以CP(n，r)為代表 C代表複利(compound rate)，P代表現值(present value) n代表期間數，r代表折現率、通貨膨脹率或投資報酬 率，為查表時要對照的變數。

6 複利現值的運用 1. 已知目標額與年限、報酬率，現在應該投入多少錢來 準備 在理財規劃時若確定20年後退休需要準備1千萬元，若
以平均複利報酬率10%為目標的話，現在應存多少錢到 退休金信託帳戶？以n＝目標年數，r＝預期投資報酬率 計算 1,000萬元÷(1＋10%)20＝149萬元 或查表n＝20，r＝10%的複利現值係數為0.149 1,000萬元×0.149＝149萬元

7 複利現值的運用 2. 計算零息債券的目前價值 零息債券的目前價值＝到期還本額(面值)×CP (n，r)，此
如零息債券面額100萬元，還有5年到期，市場殖利率為 4%，100萬元÷(1＋4%)5＝82.2萬元，或查n＝5，r＝4% 的複利現值係數為0.822，100萬元×0.822＝82.2萬元

8 複利現值的運用 3. 計算貨幣過去的購買力 假使現在20元可買一個麵包，而20年前5元就可以買一個麵包，目
前貨幣對麵包的購買力只有 20 年前的四分之一，可依此估計麵包 的價格上漲率。此時對過去而言，現在是終值，過去是現值。 PV＝FV/(1＋r)n PV/FV＝(1＋r)-n (PV/FV)-1/n＝1＋r r＝(PV/FV)-1/n-1 在上例中＝ (5/20)-0.05－1＝7.18% 即麵包在過去20年的平均價格上漲率達7.18% 運用查表法，現值÷終值＝5÷20＝0.25，查20年那一列的係數，7% 時為 ，因為複利現值係數是同年期，在利率愈高下係數愈 低，可知當係數為0.25時， r 應該要略高於 7 %（複利現值表可見 書末附表3、4） 。

9 年金終值 年金終值的觀念可用來計算每月應投資多少錢，才能累積至理財目標年限時應擁有的財富。年金是指每期收取或給付一定金額的意思。年金終值則表示每期收取或給付的錢，在經過一段期間後，所能累積的金額。運用年金時，須注意其是否符合兩項要件： 1. 每期的收入或支付金額固定不變。 2. 在計算期間內，每期現金流量持續不能中斷。 假使每期都有收入但金額不固定，或金額雖然固定但是 給付期間不固定，都不能直接用年金的公式，而要用複 利的公式個別算出後再加總。

10 期初年金與期末年金 在期初年金時，年金終值係數(n，r)＝複利終值係數(1，r)＋複利終值係數(2，r)＋…＋複利終值係數(n，r)
＝1.05＋1.103＋1.158＋1.216＋1.276＝5.803 在期末年金時，年金終值係數(n，r)＝複利終值係數(0，r)＋複利終值係數(1，r)＋…＋複利終值係數(n-1，r) 若n＝5，r＝5%時，期末年金終值係數 ＝1＋1.05＋1.103＋1.158＋1.216＝5.527 因此若只有如本書附件的期末年金終值表，而要使用期初年金的方法來計算，在查表時應該多查一期再減1。如上例應查n＝ 6，r＝5%的年金終值係數為6.802，6.802－1＝5.802，即為5年 期初年金終值係數。

11 年金終值係數的運用 1. 定期定額投資的計算 如每月投資5千元，1年6萬元，若30年的平均報酬率為 6%，屆時可累積的退休金為：
6萬元×　　　　＝6萬元×79.058＝474萬元 年金終值的計算為簡便計，通常是用查表法查出年金終 值係數。上面例子79.058是i＝6%，n＝30時的年金終值 係數。查表時只要先確定r與n，再查表中r與n相交叉的 數字就可以了。（期末年金終值係數表可見書末附表 5、6）

12 年金終值係數的運用 2. 已知年繳保費與滿期領回的金額，估算儲蓄險報酬率 如果年繳保費10萬元，繳期10年，屆時可領回120萬元，內
含報酬率如何計算? 先計算終值是年金的倍數。終值÷年金＝120萬元÷10萬元＝ 12倍。因為保費是期初繳，因此要運用期初年金終值係數。 查11年的期末年金終值係數-1＝12，因此要查在哪一個報酬 率下11年的期末年金終值係數最接近13，可查出n＝11，r＝ 3%時係數為12.808，r＝4%時係數為13.486，因此可推估報 酬率在3.83%左右。

13 年金現值 年金現值的觀念是把未來一段期間的每年或每月收取或給付的現金流量折現為目前的一筆錢。運用年金現值係數時，同樣要考慮是期初年金還是期末年金。 若是期末年金，年金現值係數(n，r)＝複利現值係數(1，r)＋複利現值係數(2，r)＋…＋複利現值係數(n，r) 若n＝5，r＝5%時，期末年金現值係數＝0.952＋0.907＋0.864＋0.823＋0.784＝4.330 若是期初年金，年金現值係數(n，r)＝複利現值係數(0，r)＋複利現值係數(1，r)＋…＋複利現值係數(n-1，r) 若n＝5，r＝5%時，期初年金現值係數＝1＋0.952＋0.907＋0.864＋0.823＝4.546

14 年金現值的運用 1. 計算退休後生活費用總額 退休後到終老前每年都需要生活費，假設費用固定就
適用年金現值條件。如退休後每月生活費5萬元，預估 至終老前還有20年，折現至退休當年需要準備多少退 休金？公式如下： 如每月生活費5萬元，1年60萬元，若至終老前還有20 年，折現率6%，其退休當年需累積的退休金為： 60萬元×　　　　　　＝60萬元×11.47＝688萬元

15 年金現值的運用 2.貸款本利攤還的計算 平均本利攤還的房貸，每期償還的金額固定，在借期 內一定要持續攤還，才符合年金要件。
已知貸款額計算本利攤還金額： 每期本利攤還額(年金)＝貸款額÷年金現值係數(n＝貸 款年期，r＝貸款利率) 已知本利攤還金額計算貸款額： 貸款額＝每期本利攤還金額×年金現值係數(n＝貸款年 期，r＝貸款利率) 此在購屋規劃章節會列舉實例說明。

16 年金現值的運用 3. 年繳保費折算躉繳保費 保費可選擇年繳或躉繳，知道躉繳金額與年繳金額 後，可以換算出計算的利率。若利率遠高於存款利
率，躉繳可較年繳省息。如年繳5萬元20年期保單，躉 繳要60萬元，60萬元÷5萬元＝12，因為保費年繳屬期 初年金，應查19年的期末年金現值＋1＝12，因此查期 末年金現值表，19年期末年金現值係數最接近11的利 率，可得出當利率＝6%時，期末年金現值係數為 11.158，推估折算利率高於6%。若存款利率或要保人 對資金運用的報酬率沒有把握達6%以上時，可選擇以 躉繳替代年繳的保單，較為划算。

17 年金現值的運用 4. 債券現值的計算 債券每期的票面利息固定，符合年金的原則，因此可以用年
金現值計算配息部分的債券價值，另外用複利現值計算本金 部分折現後的價值，兩者相加為債券的總價值。此時n＝債券 剩餘年期，r＝債券殖利率。例如票面利率6%，面額1百萬元 還有5年到期的債券，每年的利息收入固定為6萬元，假設市 場殖利率為5%，此時債券的現值＝6萬元×年金現值係數(n＝ 5，r＝5%)＋100萬元×複利現值係數(n＝5，r＝5%)＝6萬元 ×4.329＋100萬元×0.784＝26萬元＋78.4萬元＝104.4萬元。即 債券現值高於面值，顯示市場殖利率低於票面利率的折現效 果。

18 各項係數間的關係 在同樣的年限n與同樣的報酬率r之下： 年金終值係數×複利現值係數＝年金現值係數
因為複利終值係數與複利現值係數互為倒數，所以： 年金終值係數＝年金現值係數×複利終值係數 如目標為10年後累積1百萬元，在報酬率為10%下，n＝10、r＝10%之期末年金終值係數為15.94，100萬元÷15.94＝6.27，所以每年要投資6.27萬元才能達到。假使將理財目標負債化， n＝10、r＝10%之複利現值係數為0.386，100萬元的目標×0.386＝38.6萬元，此38.6萬元要分10年以10%的利率本利平均攤還，n＝10、r＝10%之年金現值係數為6.15，每年應以定額投資來攤還的金額＝38.6萬元÷6.15＝6.27萬元，以達到理財目標，兩種方法所算出來的每年投資額相同。

19 理財目標方程式 理財目標方程式：目前的可投資額×複利終值係數＋未來每年儲蓄金額×年金終值係數＝理財目標額
達成目標所需的時間及應有的投資報酬率，就是決定複利終值係數與年金終值係數的兩大參數。 如果理財目標是5年後要準備創業基金1百萬元，目前有現金20萬元及每月儲蓄1萬元，按理財目標公式，20萬元×複利終值係數(n＝5，r)＋1萬元×12×年金終值係數(n＝5，r)＝100萬元，可以用理財規劃軟體解方程式的方法求出應有的投資報酬率，也可以查複利終值表及年金終值表。當投資報酬率為8%時，複利終值係數＝1.469，年金終值係數＝5.867，此時算出來可達成的資產累積額＝20萬元×1.469＋12萬元×5.867＝100萬元，以目前的條件可以達到創業的夢想。假使自己的投資習性還能適應此種投資報酬率所承受風險的話，此時的投資組合就要以5年平均報酬率可達8%以上的投資工具為主。

20 投資價值方程式 合理的投資價格＝每年可領取的租金或利息×年金現值係數（n＝領取年數，r＝折現率）＋到期收回的本金×複利現值係數（n＝到期年數，r＝折現率） 折現率可用資金利率或期望報酬率計算。 假設投資房地產時，若投資時間為5年，每年可領取租金20萬元，5年後預期的房價是5百萬元，以房貸利率4% 為折現率，複利現值係數＝0.822，年金現值係數＝4.452，則合理的房地產價格為5百萬元。因此，在投資者已知的收益條件及預期的屆時房價下，高於5百萬元的房價並不值得投資。換句話說，若你預期5年後的房價不會比現在高，即使目前租金收益率接近4%，仍不宜購屋投資。

21 投資報酬率之計算 1. 基本公式－無交易成本時 Ra＝(Ve-Vb)÷Vb Vb＝期初投入本金，Ve＝期末總回收金額
2. 有交易成本時 Rb＝(Ve－Vb－C)÷Vb C＝交易成本，Rb＝有交易成本下，整段期間的投資報酬率 3. 有股利分配時 Rc＝　　　　　　 Rc＝考慮股利分配與交易成本下，整段期間的投資報酬率 D＝股利分配 Ve/ Vb＝投資市值成長倍數 D/ Vb＝以期初市值衡量的殖利率 C/ Vb＝以期初市值衡量的交易成本比率

22 年投資報酬率 1. 單利或算術平均年報酬率 年報酬率＝總報酬率÷投資年數
若總投資期間5年，總報酬率50%，則年報酬率＝50%÷5＝10%，每 年單利或算術平均報酬率為10%。通常是把每年配息領現或資本利 得贖回，沒有轉入再投資，才適用單利的算法。 若相反推算，以每年的年報酬率來計算整個投資期間的算術平均報 酬率，則會有報酬率迷思，產生高估投資績效的錯誤情況。例如第 1年投資標的物上漲了1倍，報酬率高達100%；第2年跌回原點，報 酬率為-50%，則年平均報酬率＝總報酬率0%÷2＝0%來算才對，而 不能以(100%－50%)÷2＝25%來算。計算一個市場長達數十年的算 術平均報酬率時，亦應以(期末指數－期初指數)÷年數來算，而不是 每年報酬率相加後除以年數。不過類似股票市場的年平均報酬率， 還是以幾何平均計算才有意義。

23 年投資報酬率 2. 複利或幾何平均年報酬率 年報酬率＝ －1 若總投資期間5年，總報酬率50%，(1＋50%)1/5－1＝ 8.45%。
年報酬率＝　　　　　　　 －1 若總投資期間5年，總報酬率50%，(1＋50%)1/5－1＝ 8.45%。 總報酬率與投資年數相同時，複利年平均報酬率一定 低於單利年平均報酬率。且投資年數愈長或漲幅倍數 愈高時差異愈大。 例如台灣股市加權指數由1985年的835點漲到1995年的 5,174點，以算術平均計算，則年平均報酬達62%；但 以幾何平均報酬計算，則只有20%。

24 投資期間有現金流量進出之報酬率 1. 現金持續流進投資 Rf＝ Rf＝投資期間有現金流量進出的報酬率 Fi＝每一子期間現金流量
Wi＝子期間權數＝i/n 舉例來說，若年初投資額Vb＝100萬元，在1年內每月再多投資10 萬元本金，年底投資總市值為250萬元，則投資報酬率為: ＝　　　　　＝18.18%

25 投資期間有現金流量進出之報酬率 2. 定期定額投資報酬率計算 Rs＝ 定期定額投資每月初投資1萬元，持續12個月後，月底贖回時金額
15萬元，考慮時間加權後，定期定額投資報酬率為： Rs＝　　　　　　　　 ＝　 　　　 ＝ 46.15% 如果不考慮時間加權，則投資報酬率為(15萬元－12萬元)÷12萬元 ＝25%，算出來的報酬率會比較低。因為第一筆定期定額投入12個 月，時間權數為12/12，第二筆11個月，時間權數為11/12，至最後 一筆1個月，時間權數只有1/12。 定期定額投資報酬率也可以用年金終值的方法來算。期末值÷定期 投入值＝年金終值係數，以上例15萬元÷1萬元＝15，查年金終值 表n＝12時，月利率為4%時年金終值為15.03，即年投資報酬率接 近48%。兩種算法的結果相近。

26 借款投資之報酬率計算 1. 全現金法 Rac＝(Ve＋I-Vb)÷Vb Rac＝全現金法期間報酬率
如自有本金1百萬元，借款1百萬元，合計2百萬元投資股 票，扣除利息後股票期末淨值為230萬元，計算期間的利息 為10萬元，則Rac＝(230萬元＋10萬元－200萬元)÷200萬元＝ 20%。因為期末淨值已扣除利息成本，在計算全現金法之報 酬率時應把利息加回，才能完全算出用現金投資時的報酬 率。

27 借款投資之報酬率計算 2. 自有資金法 Req＝(Ve-Vb)÷(Vb-BF) Req＝自有資金法期間報酬率
這是把股票賣掉，還清本金利息後的淨收益，與原來自有資本的比 率。 比較有借款基金與無借款基金的投資績效，應以全現金法較佳。因 為以自有資金法算出較高的績效，並非投資技巧比別人高，而是運 用財務槓桿所冒的額外風險，以全現金法算出的投資報酬率高於貸 款利率的結果。但是若以全現金法算出的投資報酬率低於貸款利 率，則自有資金法算出的報酬率低於全現金法。

28 投資風險的衡量 根據馬斯洛（Abraham H Maslow）的需求理論，人的需要層級最底部為生理需要，這是維持食衣住行等基本生活需求。生理需要得到基本滿足之後，安全需要便接踵而至。安全的另一種說法是避免風險，在理財上的危險包括生命風險、失業風險與財產減損風險。 投資上的風險有一部分可靠增加關聯性低的個股或 投資工具來分散，此種風險叫做非系統風險。另一種風險是整體市場變動的風險，又稱為系統風險，只能靠延長投資年限來涵蓋景氣循環的方式降低此種風險。惟法人還多了一項工具，即運用指數期貨等衍生工具來達到避險的目的。

29 系統風險與非系統風險 圖6-1 系統風險與非系統風險 持股數 可能降低的風險比例 年特別風險 1 33.5 2 43 23.7 3 60
33.5 2 43 23.7 3 60 19.3 4 69 16.8 5 75 14.9 6 78 13.6 7 81 12.7 8 83 11.9 9 85 11.2 10 87 10.5 15 91 8.8 20 93 7.7 50 95 4.7 100 97 3.6 所有股票 Richard Brealey, An Introduction to Risk And Return from Common Stocks 圖6-1　系統風險與非系統風險

30 衡量風險之方式 1. 損失事件發生的機率 (1) 理論機率 如重複次數很多時，一個硬幣正面出現的機率為二分之
一，骰子任何一面出現的機率為六分之一。 (2) 歷史機率 從過去歷史的軌跡，推論以後類似損失事件發生的機 率。例如過去30年，股市1年內下跌超過三成的機率為 20%。然而，歷史機率隨時空環境變化可能會改變。 (3) 預測機率 預測未來某一損失事件發生的機率，通常也是根據歷史 機率或理論模型推演，如未來1年發生通貨膨脹的機率 為10%。

31 衡量風險之方式 2. 發生事件後所遭受的損失 (1) 明確的損失－如賭注確定的賭局，及可明確估價的個別損 失。
(2) 估計的損失－系統性風險所引發龐大的連鎖效應，比較不容 易明確計算，只能大略估計其損失。 3. 風險衡量的對照原理 (1) 當輸贏機率相同時，而輸的損失與贏的利得應相同，才是公 平的賭局。 (2) 若兩椿事件發生的機率相同時，發生後可能造成的損失，以 金額大的事件風險較大。 (3) 若一旦發生兩椿事件，而損失金額相同時，發生機率大的事 件風險較大。 (4) 在預測機率下估計的損失，若因為不確定性較高，其風險會 比理論機率下所確定的損失還高。

32 衡量風險之方式 4. 風險規避的方式 (1)事前預防－不去嘗試發生損失機率高的事件，但相對應也失去賺 錢的機會，或使生活變得無聊，缺少刺激。
(2)事後補償－主要是以保險的方式發生損失事件時，有一筆理賠金 可以彌補全部或部分的損失金額。 5. 風險規避的情況 (1)發生機率大，損失金額也大的事件；如戰爭期間到戰區出差旅遊 可能的傷亡，通常不容易買到足額的保險做事後補償，因此事前 預防重於事後補償。 (2)發生機率小，損失金額也小的事件；如偶爾掉一些小錢，對人生 整體風險影響不大，可以不用理會。 (3)發生機率大，但損失金額小的事件；如有些人經常遺失隨身但非貴 重的物品（雨傘等），應該當作一種日常的耗損，列入預算內的 支出。 (4)發生機率小，但一旦發生損失金額大的事件；譬如飛機失事或重 大火災、地震，最適合用大數法則來分攤風險，應該以有限的費 用安排好事後保險理賠金的補償。

33 風險衡量之基準 1. 全距(Range) 在計算可以數據顯現的歷史事件時，最容易觀察到的就是全距，也
就是在過去歷史上最好與最壞數據間的差距。例如以年度來看台灣 股票，過去最佳年度可以漲125%，最差年度可以跌61%。相較美國 大型股，最好的1年漲54%，最差的1年跌43%，可知台灣股票的風險 比美國高。 2. 標準差(Standard Deviation) 可用來衡量可能發生事件的分布狀況。計算標準差時要先算出變異 數(variance)，因為標準差＝變異數開平方根，而計算變異數要先算 出平均值或期望值。假使用歷史事件，就是把過去發生的數據相加 後除以觀察的次數，以算出平均值。假使用預測事件，就是把預測 的機率乘以該事件下的數據，算出期望值。每一個觀察值減去平均 值或期望值後平方，再乘以事件發生的機率，就等於變異數。

34 風險衡量之基準(標準差) 以Xi代表第i個觀察值，n代表觀察數據數，P(Xi)為各事件可能發生的機率，V(X)為變異數，標準差通常以希臘字母σ來表示： 期望值E(X)＝X1×P(X1)＋X2×P(X2)＋…＋Xn×(Pn) 當P(Xi)＝1/n時， E(X)＝(X1＋X2＋…＋Xn)/n，此時通稱為平均數 變異數V(X)＝[X1－E(X)]2×P(X1)＋[X2－E(X)]2×P(X2) ＋…＋[Xn－E(X)]2×P(Xn)，當P(Xi)＝1/n 時，V(X)＝[X1－E(X)]2＋[X2－E(X)]2＋… ＋[Xn－E(X)]2/n 標準差σ＝或V(X)＝σ2

35 風險衡量之基準(標準差) 舉例來說，X基金與Y基金過去10年報酬率如表6-4。X基金的平均報酬率10%大於Y基金的5%，但X基金的標準差16.49%也大於Y基金的標準差3.07%，代表X基金的風險比Y基金的風險大。對照一般人的風險觀念，X 基金10年中有3年虧損，Y基金最差的情況是不賺不賠，損失的機率X基金為30%，Y基金為0%。X基金最大的損失達15%，Y基金為0%。若用全距來衡量，X基金最佳報酬率40%，最差-15%，全距達55%，Y基金最佳10%，最差0%，全距只有10%。另一例為在不同的經濟狀況下的預測機率，以及在該狀況發生時X股票與Y股票的預期表現，如表6-5。

36 風險衡量之基準(標準差) 表6-4 平均報酬率與標準差計算－歷史機率 年度 報酬率Xi Xi-Ax (Xi-Ax)2 報酬率Yi Yi-Ay
表6-4 平均報酬率與標準差計算－歷史機率 年度 報酬率Xi Xi-Ax (Xi-Ax)2 報酬率Yi Yi-Ay (Xi-Ay)2 1 27% 17.00% 2.89% 8% 3.00% 0.09% 2 5% -5.00% 0.25% 0.00% 3 -10% -20.00% 4.00% 2% -3.00% 4 40% 30.00% 9.00% 10% 5.00% 5 -5% -15.00% 2.25% 6 25% 15.00% 7 15% 7% 2.00% 0.04% 8 9 -2.00% 3% 10 -15% -25.00% 6.25% 0% 合計 100% 27.18% 50% 0.94% 平均值Ax 10.00% 平均值Ay 變異數Vx 2.72% 變異數 標準差Sx 16.49% 標準差 3.07%

37 風險衡量之基準(標準差) 情況 發生機率 報酬率Xi Xi-Ax (Xi-Ax)2 報酬率Yi Yi-Ay (Xi-Ay)2 很好 30%
● 表6-5 平均報酬率與標準差計算－預測狀況機率 情況 發生機率 報酬率Xi Xi-Ax (Xi-Ax)2 報酬率Yi Yi-Ay (Xi-Ay)2 很好 30% 22.00% 4.84% 8% 3.00% 0.09% 好 25% 10% 2.00% 0.04% 6% 1.00% 0.01% 普通 20% 0% -8.00% 0.64% 4% -1.00% 差 15% -10% 3.24% 2% -3.00% 很差 -20% 7.84% -5.00% 0.25% 平均值Ax 8.00% 平均值Ay 5.00% 變異數Vx 2.86% 變異數Vy 0.07% 標準差Sx 16.91% 標準差Sy 2.65%

38 風險與報酬率間之關係 圖6-2 超額報酬與超額風險 如圖6-2，前面所述的依歷史報酬率的X基金或預測狀況機率的
圖6-2 超額報酬與超額風險 如圖6-2，前面所述的依歷史報酬率的X基金或預測狀況機率的 X股票，與Y基金或Y股票比較，擁有超額報酬，但也承擔了超額風險。

39 夏普(Sharpe)指數 風險與報酬的綜合考量－夏普(Sharpe)指數
夏普指數＝(平均報酬率－無風險利率)÷標準差，代表每承受一份風險會有多少風險貼水。夏普指數大者，具有相對較佳的報酬風險組合，常用在同類型基金的比較篩選上。 ● 表6-6 夏普指數的計算 項目 X基金 Y 基金 X股票 Y股票 平均報酬率 10% 5% 8% 無風險利率 3% 標準差 16.49% 3.07% 16.91% 2.65% 夏普指數 0.4245

40 夏普(Sharpe)指數 以上例X基金與Y基金比較，Y基金的夏普指數高於X基金。不過若兩基金不屬於同一區域或類型，就不能僅以夏普指數來決定基金的選擇標的。夏普指數在基金選擇上仍為同類型基金篩選的指標。不同區域或產業的基金選擇，還要加上未來經濟、區域與產業因素等判斷。不過像X股票與Y股票，雖然屬於不同類股，但因為是根據經濟好壞的機率所做出來的結果，而且算出來的夏普指數值Y股票遠比X股票為高；因此除非是具冒險性格的投資人，一般人還是選擇Y股票為宜。

41 機率分配與常態分配 所謂機率是以數值表示某事件發生的可能性，機率分配是事件發生次數的分布狀況，而常態分配是一般最常使用的機率分配。統計學上的中央極限定理，指的是當實驗次數無限多次時，大多數的機率分配會接近常態分配。在經濟金融領域通常使用常態分配，因為計算上較複雜，實務上多用查表法計算。運用方式附表可參考統計學書籍。 以常態分配所表示事件的機率、平均值與標準差之間， 有如下重要的關係，如圖6-2所示： 在平均值加減一個標準差間的機率為68.27% 在平均值加減兩個標準差間的機率為95.45% 在平均值加減三個標準差間的機率為99.73%

42 機率分配與常態分配 舉例若平均報酬率為10%，標準差為20%；在常態分配下，有68.27%的機會報酬率會落在－10%與30%之間，有95.45%的機會報酬率會落在－30%與50%之間，有99.73%的機會報酬率會落在－50%與70%之間。若是只把可能虧損的部分當風險，可先設定一個可接受的損失額；如果某甲可接受的損失額為10%，平均報酬率－標準差大於可接受損失額時，表示某甲投資此工具虧損超過設定額的機率為(1－68.27%)÷2＝15.87%。同理算出虧損達30%的機率降到只有2.28%，虧損達50%的機率更只有0.14%。

43 機率分配與常態分配 在常態分配假設下，若投資人預估之虧損額超過其可接受損失額的機率不超過5%，則應以平均報酬率減1.65個標準差計算；若投資人預估之虧損超過其可接受損失額的機率不超過10%，則應以平均報酬率減1.28個標準差計算。如此，投資人可根據此標準，篩選各種平均報酬率與標準差的投資產品，是否與自己的風險承受度相容。例如：投資人預估之虧損額超過可接受損失額之機率不超過10%，而根據股票過去多年的統計結果，平均報酬率雖有15%，但是標準差卻有30%；此即表示投資人只有10%的機率，其最差投資的績效會低於15%－（1.28×30%）＝－23.4%，超過其可接受的－10%。因此投資在股票與現金的資產配置，可配置在股票的比例＝－10%÷－23.4%＝42.7%；表示若有1百萬元可投資而42.7萬元投資股票的話，若股票最差時跌23.4%，股票市值會跌掉10萬元；因為現金不會跌，總資產剩下90萬元，與原資產1百萬元相較下跌10%，為原先可接受的最大損失率。