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第五章导数和微分 在许多实际问题中,需要从数量上研究变量的
变化速度。如物体的运动速度,电流强度,线密度,比热,化学反应速度及生物繁殖率等,所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题,即导数。 本章将通过对实际问题的分析,引出微分学中 两个最重要的基本概念——导数与微分,然后再建立求导数与微分的运算公式和法则,从而解决有关变化率的计算问题。
2
重点 难点 导数和微分是继连续性之后,函数研究的进一步
深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况,而微分则是指明当自变量有微小变化时,函数大体上变化多少。 重点 导数与微分的定义及几何解释 导数与微分基本公式 四则运算法则 复合函数求导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导 难点 导数的实质,用定义求导,链式法则
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基本要求 ①准确叙述导数定义并深刻理解它的实质 ②会用定义求导数 ③熟记求导基本公式 ④牢固掌握链式法则 ⑤掌握隐函数和参量函数求导法
⑥理解高阶导数,掌握求高阶导数的方法 ⑦弄清微分与导数的联系与区别,理解并会运用 一阶微分的形式不变性
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5.1 导数的概念 一、问题的提出 1.自由落体运动的瞬时速度问题 如图, 取极限得
5
上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也同样适用。设物体作变速直线运动,其运动路程为s = s(t),则物体在时刻
速度反映了路程对时间变化的快慢程度
6
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放
7
如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.
如图, 极限位置即
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二、导数的定义 定义
9
即 其它形式
10
关于导数的说明: 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出
的一个更一般、更抽象的概念,它撇开了变量所代表的特殊意义,而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质
12
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.
注意: 2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数. 播放
13
单侧导数 1.左导数: 2.右导数: ★
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三、由定义求导数(三步法) 步骤: 例1 解
17
例2 解
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例3 解 更一般地 例如,
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例4 解 特别地
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例5 解 特别地
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例6 解
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四、导数的几何意义与物理意义 1.几何意义 切线方程为
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法线方程为 切线方程为 法线方程为 切线方程为 法线方程为
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例7 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为
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2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率. 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度. 交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.
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五、可导与连续的关系 定理 凡可导函数都是连续函数. 证
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注意: 该定理的逆定理不成立. 连续函数不存在导数举例 例如,
28
1 例如,
29
例如, 1 1/π -1/π
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例8 解
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六、函数极值的定义
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定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
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Fermat定理 定理1(必要条件) 定义 注意: 例如,
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注 可疑极值点:驻点、不可导点 ①这个结论又称为Fermat定理 ②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点
则此函数没有极值,此时导数不改变符号 ③不可导点也可能是极值点 可疑极值点:驻点、不可导点
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七、小结 1. 导数的实质: 增量比的极限; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续,但连续不一定可导;
1. 导数的实质: 增量比的极限; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续,但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数. 不连续,一定不可导. 6. 判断可导性 直接用定义; 连续 看左右导数是否存在且相等.
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作业 p94 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 思考题
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思考题解答
61
5.2 求导法则
62
和、差、积、商的求导法则 定理
63
证(1)、(2)略. 证(3)
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推论
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例题分析 例1 解 例2 解
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例3 解 同理可得
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例4 解 同理可得 例5 解 同理可得
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例6 解
71
隐函数的导数 定义: 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
72
两边对 x 求导,当遇到 y 的函数 f(y)时
73
将求出的这些导数代入 得到关于 的代数方程, 至于隐函数求二阶导数,与上同理
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例1 解 解得
75
例2 解 所求切线方程为 显然通过原点.
76
例3 解
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补证反函数的求导法则 由隐函数的微分法则
78
例4 解
79
例5 求证抛物线 上任一点的切线 在两坐标轴上的截距之和等于a
80
证 故曲线上任一点 处切线的斜率为 切线方程为
81
故在两坐标轴上的截距之和为 对数求导法 有时会遇到这样的情形,即虽然给出的是显函数 但直接求导有困难或很麻烦
82
观察函数 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化求导运算。 对数求导法 适用范围: 例6 解 等式两边取对数得
83
例7 解 这函数的定义域
84
两边取对数得 两边对 x 求导得 两边取对数得
85
两边对 x 求导得 同理 例8 解 两边取对数得
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两边对 x 求导得 例9 解 两边取对数得 两边对 x 求导得
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例10 解 等式两边取对数得
88
一般地
89
三、小结 注意: 分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求. 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;
分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求. 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导;
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作业 p , 2, 3, 4. 思考题 求曲线 上与 轴平行的切线方程.
91
思考题解答 令 切点为 和 所求切线方程为
92
5.3 由参数方程所确定的函数的导数 例如 消去参数 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
93
——参量函数 由复合函数及反函数的求导法则得
94
例11 解
95
所求切线方程为
96
例13 设曲线Γ由极坐标方程r=r(θ)所确定,试求该 曲线上任一点的切线斜率,并写出过对数螺线 上点 处的切线的直角坐标方程
97
解 由极坐标和直角坐标的变换关系知 切线斜率为
98
故切线的直角坐标方程为 例14
99
解
100
相关变化率
101
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 例15 4000m 解
102
水面上升之速率
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五、小结 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链 式求导法求解. 作业 p , 2, 3.
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思考题
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思考题解答 不对.
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5.4高阶导数 一、高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度. 定义
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记作 二阶导数的导数称为三阶导数, 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
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二、 高阶导数求法举例 1.直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例1 解
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例2 解
110
例3 解
111
例5 解 同理可得
112
求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)——逐阶求导,寻求规律,写出通式
注意: 例4 解
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例6 解
114
2. 高阶导数的运算法则: 莱布尼兹公式
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例7 解
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例8 解 由Lebniz公式,两边求 n 阶导数,有
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注意到 注 这一解法的特点:找到了 的连续三阶导数之间的关系,利用 得到两相隔导数之间的关系,解决问题
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3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式
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例9 解
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例10 解
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试从 导出 例11 ① ② 解 ①
122
②
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注 ①关于抽象函数求导数,必须注意并分清是对哪 一个变量来求导数,尤其是求高阶导数。 ② 都是对 x 求导 ③
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容易漏掉
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例12 证
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三、小结 高阶导数的定义及物理意义; 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); n阶导数的求法; 1.直接法; 2.间接法.
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作业 p , 2, 3, 4, 5, 6. 思考题 设 连续,且 , 求
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思考题解答 可导 不一定存在 故用定义求
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5.5 函数的微分 前面我们从变化率问题引出了导数概念,它是
5.5 函数的微分 前面我们从变化率问题引出了导数概念,它是 微分学的一个重要概念。在工程技术中,还会遇到与导数密切相关的另一类问题,这就是当自变量有一个微小的增量时,要求计算函数的相应的增量。一般来说,计算函数增量的准确值是比较繁难的,所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概念——微分。
131
一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
132
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
再例如, 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
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二、微分的定义 定义 (微分的实质)
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由定义知:
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三、可微的条件 定理 证 (1) 必要性
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(2) 充分性
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由微分的定义及上述定理可知
138
这表明 不仅是比 高阶的无穷小,而且也是比 高阶的无穷小,因此
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四、微分的几何意义 几何意义:(如图) T N P M )
140
五、微分的求法 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式
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2. 函数和、差、积、商的微分法则
142
例1 解 例2 解
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六、微分形式的不变性 结论: 微分形式的不变性
144
例3 解 例4 解
145
例5 解一 两边同时求微分得 解二 两边取对数得
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两边对 x 求导,有 由上面的例子还可以看出,求导数与求微分的方法 在本质上并没有区别,因此把两者统称为微分法
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七、微分在近似计算中的应用 1.计算函数的近似值
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2.常用近似公式 证明
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八、小结 微分学所要解决的两类问题: 导数与微分的联系: 函数的变化率问题 导数的概念 函数的增量问题 微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学. 导数与微分的联系:
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导数与微分的区别:
151
近似计算的基本公式
152
作业 p , 2, 3 ,4, 5. 思考题
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思考题解答 说法不对. 从概念上讲,微分是从求函数增量引出线性主部而得到的,导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限,它们是完全不同的概念.
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习 题 课
155
一、主要内容 关 系 基本公式 导 数 微 分 高阶导数 高阶微分 求 导 法 则
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1、导数的定义 单侧导数 2、基本导数公式 3、求导法则 左导数,右导数,可导的充要条件 常、反、对、幂、指、三、双曲——18个公式
(常数和基本初等函数的导数公式) 常、反、对、幂、指、三、双曲——18个公式 3、求导法则
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4、高阶导数 (1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 (3) 复合函数的求导法则——注意不要漏层
(4) 对数求导法——注意适用范围 (5) 隐函数求导法则——注意y的函数的求导 (6) 参变量函数的求导法则——注意不要漏乘 4、高阶导数 (二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数) 方法:逐阶求导
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5、微分的定义 6、导数与微分的关系 7、 微分的求法 8、 微分的基本法则 微分的实质 基本初等函数的微分公式
函数和、差、积、商的微分法则 微分形式的不变性——复合函数的微分法则
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二、典型例题 例1 解 例2
160
解 例3 求下列函数的导数 ①
161
②
162
③ 解
163
第二个方程两边对 t 求导得 ④
164
2001个 例4 A.充分必要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.非充分非必要
165
证一 则
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证二
168
设 确定了 求 例5 解 两边对 x 求导得
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例6 解 分析: 不能用公式求导.
170
例7 解
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例8 设 在 x = a 处连续,讨论 ① ② ③ 在 x = a 处的可导性 解 ① 在 x = a 处可导 ②
172
在 x = a 处不可导 在 x = a 处可导
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③ 在 x = a 处可导 例9 在什么条件下,函数 ① ② ③ ④
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解 首先注意到 是初等函数,连续 ① 因此要使 要使 ②
175
存在 此时 ③ 要使
176
注 ④ 要使 存在 此时 通过本例,我们可以进一步加深对连续和可导
的关系的认识。函数从连续到可导再到导数连续,再到二阶可导,所要求的条件逐步加强。
177
例10 解一 联立解得 解二 联立方程组
178
两边对 x 求导 解得 例11
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证 在 中令 有 再由 得 注意到 存在
180
例12 设 对所有的 x,有 证明 证 两边同除以 得
181
由 由夹逼定理得
182
例13 证 不妨设 观察下图 x y o y=f(x) a b
183
由 及函数极限的保号性质可知 使当
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由于f ( x )在[ x1 , x2 ]上连续 故由零点定理知 使 例14 选择常数 a , b , c,使函数 二次可微 证 依题设知
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是一多项式,也是二次可微 因此要想使F(x)二次可微,只须使其在x=x0处二次可微 F(x)在x0处连续 F(x)在x0处可导 F(x)在x0处二阶导数存在 由F(x)在x0处连续
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其次由F(x)在x0处可导 此时 最后由F(x)在x0处二次可导
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