第十章 齒輪機構Gear mechanisms

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1 第十章 齒輪機構Gear mechanisms
◎最單純可產生定值轉速比的直接接觸傳動為滾動接觸傳動。但若負荷太大， 將發生滑動現象。 ◎為獲致確定驅動，可在接觸面配置適當的齒形，此類元件就稱為齒輪(Gear)。 雖然其接觸仍有些滑動現象，但是兩軸間之傳動卻可維持一定的轉速比，此 種傳動叫齒輪傳動。 ◎由齒輪所組成用來使輸出件與輸入件的轉速比維持一定的裝置，則稱為齒輪 機構(Gear mechanism)。 10-01

2 10-1 齒輪的分類 齒 輪 兩軸平行 兩軸相交 兩軸交錯 直 齒 正 齒 輪 直 齒 斜 齒 輪 歪 斜 齒 輪 齒條與小齒輪
10-1 齒輪的分類 圖10.1 齒輪的分類 齒 輪 兩軸平行 兩軸相交 兩軸交錯 直 齒 正 齒 輪 直 齒 斜 齒 輪 歪 斜 齒 輪 齒條與小齒輪 冠 狀 齒 輪 交叉螺旋齒輪 螺 旋 正 齒 輪 蝸 線 斜 齒 輪 戟 齒 輪 人 字 齒 輪 蝸 桿 與 齒 輪 針 齒 輪 10-02

3 10-1-1 平行軸齒輪parallel axes ◎直齒正齒輪(Straight spur gear)為齒腹平行於軸線的圓柱齒輪 。
(a)直齒正齒輪(外齒輪) (b)直齒正齒輪(內齒輪) (c)齒條與小齒輪 圖10.2 平行軸齒輪類型 ◎直齒正齒輪(Straight spur gear)為齒腹平行於軸線的圓柱齒輪 。 外齒輪(External gear)為齒輪在外面相接觸，相當於一對外面接觸的滾動圓柱，兩傳動軸的旋轉方向相反，大的稱齒輪(Gear)，小的稱小齒輪(Pinion)。 內齒輪(Internal gear)為小齒輪在一個較大齒輪內面接觸，其中大齒輪又稱環齒輪(Annular or ring gear)，兩傳動軸旋轉的方向相同。 ◎齒條(Rack)可視為半徑無窮大的齒輪，與其嚙合的齒輪為小齒輪，相當於一 圓柱在平面上滾動接觸，可傳遞平移與旋轉的運動。 10-03

4 ◎螺旋正齒輪(Helical spur gear)齒面的排列與軸向線形成一螺旋角(Helix angle)，
(a)螺旋正齒輪 (b)人字齒輪 (c) 針齒輪 圖10.2 平行軸齒輪類型 ◎螺旋正齒輪(Helical spur gear)齒面的排列與軸向線形成一螺旋角(Helix angle)， ，負荷是由一個齒漸漸轉移至另一個齒。與直齒正齒輪比較，陡振減少、傳 動更均勻、噪音也較少，適用於高速運轉的傳動，其缺點為齒輪需承受軸向 推力。 ◎人字齒輪(Herringborn gear)類似兩個具左、右方向相反螺旋角之螺旋正齒輪的 組合體，可傳達較大荷重。 ◎針齒輪(Pin gear)的齒形由圓銷固定在圓板面上形成，與其嚙合齒輪的齒形是由外擺線所構成，針齒輪多用於儀器上，而不作為傳達功率之用。 10-04

5 10-1-2 相交軸(intersecting axes)齒輪
(a)直齒斜齒輪 (b)冠狀齒輪 (c) 螺線斜齒輪 圖10.3 平行軸齒輪類型 ◎直齒斜齒輪(Straight bevel gear)之運動相當於兩個成滾動接觸的截頭圓錐，通 常用於傳遞具正交軸線的運動。若兩個齒輪相同，則稱為斜方齒輪(Miter gear)。 ◎冠狀齒輪(Crown gear)當兩個斜齒輪軸線間的夾角大於90時其中之一節圓錐 角等於直角，節曲面成為一平面，稱為冠狀齒輪(Crown gear)。 ◎蝸線斜齒輪(Spiral bevel gear)之齒形為曲線，具有不同的螺旋角，齒數可比直 齒斜齒輪少。蝸線斜齒輪由於接觸齒數增加，加以接觸由齒面的一端逐漸行 進而至另一端，故其傳動較直齒斜齒輪平穩安靜，尤其是以高速傳動時為然。 其強度與使用壽命皆較優，且製造成本較直斜齒輪低，但具有軸向側推力。 10-05

6 10-1-3 交錯軸(Non-parallel non-intersecting axes)齒輪
(a)歪斜齒輪 (b)交叉螺旋齒輪 圖10.4 交錯軸齒輪類型 ◎歪斜齒輪(Skew bevel gear)又稱為雙曲面齒輪(Hyperboloidal gear)有沿齒形方 向的滑動，且齒形為直線，兩軸成直角，但不相交。利用不共面軸線的雙曲 面滾動原理，可製得歪斜齒輪。常用於軸線並不相交，但很接近，無法以一 般之螺旋齒輪傳動的場合。製作與安裝較困難，一般機械較少採用。 ◎交叉螺旋齒輪(Crossed helical gear)類似螺旋正齒輪，齒輪為螺旋曲線，其節 曲面為交叉的圓柱體。 10-06

7 ◎戟齒輪(Hypoid gear)其運動相當於兩個成滾動接觸的雙曲面體，比蝸線斜齒
(c)戟齒輪 (b)蝸桿與齒輪 圖10.4 交錯軸齒輪類型 ◎戟齒輪(Hypoid gear)其運動相當於兩個成滾動接觸的雙曲面體，比蝸線斜齒 輪強軔、傳動更勻滑、陡振與噪音亦較少。戟齒輪的正確節面雖為雙曲線旋 轉體，但實際上係由近似圓錐面所取代，可用於偏位軸線，並在齒面元素方 向產生某種程度的滑行，故具有歪斜齒輪的優點。齒素線為曲線，接觸表面 增加，所以運轉平穩安靜；但由於接觸點的大量滑行而產生局部高溫，需使 用高壓潤滑油，使可免除過度磨損。常見於汽車之差速箱的傳動。 ◎蝸桿與蝸輪(Worm and worm gear)，兩軸線一般成直角，具有高傳動轉速比、 構造緊湊、工作平穩、傳動精準、以及自鎖功能等優點，因此被廣泛的使用 於各種減速機構中 ；其缺點為傳動效率低、磨耗嚴重、以及製造成本高。 10-07

8 10-2 名詞定義 齒數(Number of teeth)：為齒的數目，以符號T表示之。
10-2 名詞定義 齒數(Number of teeth)：為齒的數目，以符號T表示之。 節曲面(Pitch surface)：設計齒輪時，代表齒輪的理論面。 (a)正齒輪與齒條 (b)斜齒輪 (c)戟齒輪 圖10.5 交錯軸齒輪類型 節線(Pitch line)：節曲面與垂直於輪軸之截面的交線。 節圓(Pitch circle)：正齒輪與螺旋齒輪的節線是圓，稱 為節圓；齒條的節線，則是直線。 節徑(Pitch diameter)：節圓的直徑，以符號D表示之。 節點(Pitch point)：兩節圓相切的接觸點，若其中之一 為齒條時，則為節圓與節線的切點。 中心距(Center distance)：兩嚙合齒輪旋轉軸心的距離， (a) 以符號C表示之。 圖10.6 正齒輪與齒形名稱 10-08

9 齒冠圓(Addendum circle)：通過齒輪頂 部、圓心在齒輪中心的最大圓。 齒冠(Addendum)：節圓與齒冠圓的徑
齒根圓(Dedendum circle)：通過齒輪底 部、圓心在齒輪中心的最小圓。 齒根(Dedendum)：節圓與齒根圓的徑 向距離。 齒隙圓(Clearance circle)：通過與其嚙 合之齒輪齒頂、圓心在齒輪中心的圓。 (b) 圖10.6 正齒輪與齒形名稱 齒隙(Clearance)：齒隙圓與齒根圓的徑向距離。 全齒深度(Whole depth)：齒冠圓與齒根圓的徑向距離，即齒冠與齒根之和。 工作深度(Work depth)：齒冠圓與齒隙圓的徑向距離。 齒面(Tooth face)：介於齒冠圓與節圓間的齒形曲面。 齒腹(Tooth flank)：介於節圓與齒根圓間的齒形曲面，包括圓角部份。 圓角(Fillet)：連接齒腹與齒底部份的曲面。 齒頂(Top land)：齒形頂端的曲面。 齒底(Bottom land)：齒形相鄰兩圓角間的曲面。 齒面寬(Face width)：沿軸向之齒形的厚度。 齒厚(Tooth thickness)：節圓圓周上同一齒兩側間的弧長。 齒間(Tooth space)：沿節圓圓周上相鄰兩齒間空隙的弧長。 10-09

10 周節(Circular pitch)：沿節圓圓周上，自齒形上一點至相鄰齒上之對應點的弧長以Pc表示之，即: (10.1)
一對齒輪嚙合時，其周節必相等，這樣次一對齒輪才能繼續接觸；否則，會發生干涉或失去接觸。 徑節(Diametral pitch)：齒數T與節徑D(inch)的比值，以Pd表之，即: Pd = (10.2) 兩齒輪若其徑節相等，則齒的大小也相等。徑節愈大其齒形愈小，徑節愈小其齒形愈大。徑節與周節具有如下的關係： PcPd =  (10.3) 模數(Module)：節徑D(mm)與齒數T的比值，以m表之， m = (10.4) 公制以模數表齒形的大小，模數愈大，齒形愈大。 背隙(Backlash)：互相嚙合的一對齒輪，其中一齒 輪的齒厚與另一齒輪齒間相差之量。適量的 背隙，為提供潤滑與解決製造誤差所必需； 但是過量的背隙，則會產生傳動不精確與顫 振等問題。 (b) 圖10.6 正齒輪與齒形名稱 10-10

11 [例10-1]有一正齒輪，齒數(T)為32、徑節(Pd)為4、轉速(n)為300rpm，試求這個 齒輪的周節(Pc)與節線速度(Vp)。
由於徑節Pd=4為已知，由式(10.3)可直接求得: Pc = = = in 再者，齒輪的節徑(D)可由式(10.2)求得如下: D = = = 8 in 因此，齒輪的節線速度Vp為: Vp =  = ( )( )(2 )( ) =125.7in/sec [例10-2] 有一正齒輪，其齒數(T)為40，模數(m)為1.5，試求其周節(Pc)。 由式(10.1)和式(10.4)可得正齒輪的周節(Pc)為: Pc = m = (1.5) = 4.71mm 10-11

12 (a)滾動與滑動接觸 (b) 純滾動接觸 (c) 純滑動接觸
10-3 齒輪傳動原理 (a)滾動與滑動接觸 (b) 純滾動接觸 (c) 純滑動接觸 圖10.8 直接接觸傳動 ◎凸輪機構在瞬心點P處，兩曲面在公法線N-N上的速度分量必相等且同向，因 此轉速比(Velocity ratio)，rv，為： (10.5) ◎齒輪傳動基本定律(Fundamental law of gearing) 欲使一對齒輪以等轉速比傳動，則互相嚙合兩齒輪之齒形曲線的公法線，必 須通過中心線上的一個固定點，即節點。 ◎一對嚙合齒輪，若符合齒輪傳動基本定律，則稱其相對運動為共軛作用 (Conjugate action)。 10-12

13 ◎設主動輪的角速度為2、從動輪的角速度為3，則轉速比為常數： (10.6)
其中，n2和n3分別為轉數(rpm)，T2和T3分別為齒數，D2和D3分別為節圓直徑 R2和R3分別為節圓半徑。 [例10-3] 有一對轉速比()為1:3的正齒輪，從動輪的模數(m)為6、齒數(T3)為96、 轉速(n3)為600rpm，試求主動輪的轉速(n2)與齒數(T2)、及節線速度(Vp)。 主動輪的轉速(n2)與齒數(T2)可由式(10.6)求得: rev/min T2 = rvT3 = (96) = 32 從動輪的節圓半徑(R3)與角速度(3)為: R3 = = ( )(96) = 288mm 3 = ( )(2 )( ) = 62.83rad/sec 因此，齒輪的節線速度(Vp)為: Vp = R33 = (288mm)( ) = 18095mm/sec 10-13

14 10-4 齒形曲線 10-4-1 漸開線齒形 ◎凡是能滿足轉速比為定值的成對曲線，均可成為齒輪的齒形曲線。
10-4 齒形曲線 ◎凡是能滿足轉速比為定值的成對曲線，均可成為齒輪的齒形曲線。 ◎較常使用的齒形曲線，有共軛曲線(Conjugate curve)、漸開線(Involute curve)、 及擺線(Cycloidal curve)。 漸開線齒形 (a) (b) (c) 圖10.8 漸開線齒形 ◎將圍繞於圓形圓周的一條弦線拉緊展開，則弦線端點的動路即為漸開線，如 圖10.8(a)所示。此圍繞的圓周，稱為產生漸開線的基圓(Base circle)。 ◎漸開線的特性：在任何展開位置的弦線均與基圓相切，弦長與弧長相等，且 弦長永遠與漸開線垂直。一對互相接觸的漸開線，無論接觸點如何變化，其 公法線N-N均相切於兩基圓，圖10.8(b)。如圖10.8(c)中，AB為齒面，BE為齒 腹，AC為漸開線，CD一般以徑向輻射線構成之，DE為圓角。 10-14

15 10-4-2 擺線齒形 ◎擺線齒形的形成是利用兩個創成圓 (Generating circle)在齒輪的節圓曲
擺線齒形 ◎擺線齒形的形成是利用兩個創成圓 (Generating circle)在齒輪的節圓曲 線上滾動而得。在節圓外稱外擺線 (Epicycloid)，形成齒面；在節圓內 稱內擺線(Hypocyloid)，形成齒腹。 ◎兩嚙合的擺線齒輪，創成圓不必完 全相同。如果互相接觸的齒面曲線 與齒腹曲線是使用同一創成圓所滾 成，則具有可互換的特性。創成圓 半徑之最大極限為節圓的一半。 圖10.9 擺線齒形 ◎當齒的兩側齒形曲線相交成尖端時，此尖端就是齒冠的最高限度。若節圓上的 齒厚與創成圓大小一定，則節圓愈小，而齒冠最高限度也愈短；節圓愈大，最 高齒冠愈長。 ◎齒數若減少，齒形所對應的圓周角增大，節圓處的齒厚增大，齒根的厚度減小； 最少齒數一般取12。 10-15

16 10-4-3 齒形曲線的比較 ◎漸開線齒形，若基圓大小一定，則齒形恆為一定；所以只要周節、壓力角相
齒形曲線的比較 ◎漸開線齒形，若基圓大小一定，則齒形恆為一定；所以只要周節、壓力角相 等，則均能完全嚙合。擺線齒形若其齒腹的創成圓不等於嚙合齒輪之齒面的 創成圓，則無法完全嚙合。因此，在應用上若需要互換嚙合的齒輪，通常皆 用漸開線齒輪。 ◎漸開線齒條齒廓曲線為直線，因而刀具可為直線形，使漸開線齒輪的製造較 為容易；擺線齒輪的齒形，由於是由內、外擺線兩段曲線組成，故製造上較 為困難。 ◎漸開線齒輪的中心距，允許有變化而不影響其轉速比，節圓半徑可隨中心距 改變而變化，但與基圓半徑成正比，故漸開線齒輪的轉速比與基圓半徑成反 比 。擺線齒輪互相嚙合時，節圓必須恰好相切，欲獲得固定的轉速比較困難。 ◎擺線齒輪的接觸路徑為一曲線，壓力角在兩端時最大，在節點時為零。而漸 開線齒輪的接觸路徑為一直線，壓力角大小一定；若中心距改變，則其節點 的位置與壓力角之大小會有不同的改變，故可用於減少干涉現象。 ◎就摩擦問題而言，漸開線齒的磨耗較擺線齒者為多；若就振動與噪音問題而 言，則擺線齒較為不佳。 ◎雖然擺線齒形發明在先，但是在實際應用上卻逐漸為漸開線齒形所取代。擺 線齒輪甚少作為傳達動力之用，而多用於葉輪、轉子、鐘錶、以及其它精密 儀器中。 10-16

17 10-5 標準齒形Standard gear ◎為節省切削工具樣式的變化與製造標準的切削工具，進而增加可交換性，建 立了標準齒形。
◎為節省切削工具樣式的變化與製造標準的切削工具，進而增加可交換性，建 立了標準齒形。 ◎一般具交換性的齒形，必須有相同的模數(或徑節)、齒冠、齒根、齒厚、以 及壓力角。 ◎標準齒形制，如美國標準齒制(AGMA)、英國標準(BS)齒制、德國標準(DIN) 公制模數齒制、日本工業標準(JIS)齒制(JGMA)、以及我國的中國國家標準 (CNS)齒制等。 10-17

18 10-5-1 美國標準齒制 ◎齒形徑節小於20者稱為粗節距(Coarse pitch)，大於20者稱為細節距(Fine pitch)。
美國標準齒制 ◎齒形徑節小於20者稱為粗節距(Coarse pitch)，大於20者稱為細節距(Fine pitch)。 ◎常用粗節距系統的徑節為: 2，，，3，4，6，8，10，12，16；常用細節距系統 的徑節為: 20，24，32，40，48，64，80，96，120，150。 表10.1 AGMA漸開線齒輪齒形標準 141/2°壓力角混合制 141/2°壓力角全深制 20°壓力角全深制粗節距 20°壓力角全深制細節距 20°壓力角短齒制 25°壓力角全深制 齒 冠 齒 根 齒 隙 工作深度 全齒深度 齒 厚 圓 角 in in in 10-18

19 10-5-2 公制標準齒制 ◎公制齒制之齒輪的輪齒大小係以模數表之，即為一個齒相當直徑的公厘(mm)
公制標準齒制 ◎公制齒制之齒輪的輪齒大小係以模數表之，即為一個齒相當直徑的公厘(mm) 數，此制常用的壓力角為14.5o、15o、20o、22.5o，我國中央標準局制定採用 20o的壓力角。 表10.2 公制漸開線齒輪齒形標準 齒 冠 1.000 m 工作齒深 2.000 m 齒 根 1.157 m 全齒深度 2.157 m 齒 隙 0.157 m 齒 厚 m 10-19

20 ◎在接觸點F的公法線AB是與齒輪基圓相切 的齒輪在。齒輪在傳動過程中，不同位置 的接觸點皆在公法線AB上。公法線AB與
10-6 漸開線齒輪的傳動 10-6-1,2 作用線與壓力角 ◎在接觸點F的公法線AB是與齒輪基圓相切 的齒輪在。齒輪在傳動過程中，不同位置 的接觸點皆在公法線AB上。公法線AB與 中心線O2O3的交點，即節點 P。 ◎通過齒廓曲線接觸點的公法線，即稱 為作用線(Line of action)。 ◎通過節點P之兩節圓的公切線T-T與作用線 AB的夾角，稱為壓力角(Pressure angle)， 以表示之。 ◎兩節圓半徑與其基圓半徑之間具有下列關 係： (10.7) (10.8) ◎齒輪壓力角在實際製造上都取20和25為 標準值。14.5壓力角的齒輪，目前已少有 製造。 圖 漸開線齒輪的傳動 10-20

21 聯立解以上四個式子，可得T2=24齒，T3=96齒。因此，被動輪的基圓半徑(Rb3)為:
[例10-4]有一對壓力角為20o的正齒輪，轉速比(rv)為1:4、模數(m)為6，中心距離(C)為360mm，試求從動輪的基圓半徑(Rb3)。 由式(10.6)可得： T3 = T2/rv = 4T2 由式(10.4)可得： D2 = mT2 = 6T2, D3 = mT3 = 6T3 再者，中心距C為： mm 聯立解以上四個式子，可得T2=24齒，T3=96齒。因此，被動輪的基圓半徑(Rb3)為: Rb3 = R3cos = cos = mT3cos = (6)(96)cos20o = 270.6mm 10-21

22 ◎中心距的增加會使節圓半徑增加，壓力角增大。 由式(10.7)可得：
[例10-5]一對20o的正齒輪，徑節(Pd)為4，齒數為T2=24、T3=48，試求這對齒輪的中心距離C。試問當中心距增加0.3in時，壓力角變為多少? 兩齒輪的節徑(D2和D3)分別為: D2 = = = 6 in D3 = = = 12in 因此 C = (D2+D3) = (6+12) = 9in ◎由於中心距離的改變並不影響基圓半徑。 ◎中心距的增加會使節圓半徑增加，壓力角增大。 由式(10.7)可得： Rb2 = R2cos = (6/2)cos20o = 2.819in 新的節圓半徑和間的關係為： = ( ) = ( ) = 2 由於新的中心距離C為: C = = = 9.3in 因此，可求出新的節圓半徑R2’為 3.1in 因為基圓半徑沒有改變，新的壓力角’為: cos = = = 即 ’ = 24.6o 10-2

23 10-6-3 接觸路徑Path of contact ◎接觸路徑：同一齒對自接觸開始(點I) 至終止(點F) ，其接觸點的路徑，其長
度稱為接觸長度(Contact length Lc)。 IF = IP + PF = (IB-PB) + (AF-AP) Lc = (10.9) ◎漸開線齒輪的接觸路徑為一直線，擺線齒輪的接觸路徑為一曲線。 ◎作用弧(Arc of action)所對應之角(2+2和3+3)稱為作用角(Angle of action)， 接近弧(Arc of approach)所對應之角(2和3)稱為接近角(Angle of approach)，退 遠弧(Arc of recess)所對應之角(2和3)稱為退遠角(Angle of recess )。 圖 漸開線齒輪的傳動 10-23

24 10-6-4 接觸比Contact ratio ◎接觸比為作用弧長與周節的比值，或作用角與周節角(Pitch angle)的比值，以
rc表示之。 ◎接觸比rc可由接觸長度(Lc)與基圓節距(Pb)的比值求得，即： (10.10) 其中，基圓節距(Base pitch)乃是沿基圓圓周上，自齒形上一點至相鄰齒上之 對應點的弧長，即： (10.11) 又 (10.12) 故 (10.13) ◎接觸比相當於在任何瞬間之平均接觸齒數，其最小極限值為1。設計齒輪時， 一般取接觸比介於1.2至1.6之間。接觸比愈大，作用愈平滑，傳力效果愈佳 。 10-24

25 在利用式(10.13)來求得接觸比(rc)之前，必須先利用式(10.9)求出接觸長度(Lc)，即先求出R2、a2、R3、以及a3。
[例10-6]有一對壓力角()為25o的全深正齒輪，齒冠a=1/pd，轉速比(rv)為1:3，徑節(Pd)為5，小齒輪齒數(T2)為20，試求這對齒輪的接觸比rc。 在利用式(10.13)來求得接觸比(rc)之前，必須先利用式(10.9)求出接觸長度(Lc)，即先求出R2、a2、R3、以及a3。 由式(10.2)可得： D2 = = = 4in 即R =2in。 而由式(10.6)可得： D3 = = = 12in 即R =6in。 而齒冠a2和a3為: a2 = a3 = = = 0.2in 因此，由式(10.9)可得接觸長度(Lc)為: = in 再由式(10.13)可得接觸比(rc)為: = = 10-25

26 10-6-5 干涉現象 ◎干涉(Interference)乃是因嚙合齒形曲線的中心距過短、齒冠過高、或配合齒數太少等原因所致。
干涉現象 ◎干涉(Interference)乃是因嚙合齒形曲線的中心距過短、齒冠過高、或配合齒數太少等原因所致。 ◎由於漸開線齒形曲線是由基圓開始展開，若接觸點發生在基圓以內，則將發生干涉。 ◎若欲避免干涉，則開始接觸點(尺條上點I)應在干涉點(即點A)以內，不然就將齒冠過高的超出部份予以切除。    ◎齒輪創成時，若齒條變成切削工具或滾齒刀，則將切除齒腹部份，此稱為過 切(Undercutting)現象，如圖10-11(b)所示。 ◎過切雖可避免干涉，但由於強度減弱，工作齒面的完整性破壞，使齒隙、噪 音、振動增加，壽命減少。 (a) (b) 圖 干涉與過切 10-26

27 ◎因為A’B’＞AB，故表示當齒數較少時，為避免發生干涉與增加接觸比，可以使 用壓力角較大的齒輪對。
◎通常干涉的避免方法有下列幾種： 1. 增加齒輪尺寸或使用較小的齒形， 以增加齒數。 2. 切除齒形太高部份，如減少齒冠。 3. 過切齒腹。 4. 增加壓力角。 ◎對壓力角為141/2的齒輪而言，其接 觸長度AB為： (10.14) ◎對壓力角為20的齒輪而言，其接觸 長度A‘B’為： A'B' (10.15) 圖 壓力角大小的影響 ◎因為A’B’＞AB，故表示當齒數較少時，為避免發生干涉與增加接觸比，可以使 用壓力角較大的齒輪對。 10-27

28 [例10-7]一對壓力角()為20o的全深正齒輪，模數(m)為8，齒冠(a)為8mm，大齒
輪齒數(T3)為30，小齒輪齒數(T2)為15，試問兩齒輪會互相干涉嗎? 由式(10.4)可得大小齒輪的節徑D3和D2分別為: D3 = mT3 = 8(30) = 240mm D2 = mT2 = 8(15) = 120mm 所以，這一對齒輪的中心距C為: C = (D2+D3) = ( ) = 180mm 再者，由式(10.8)可知，大齒輪的基圓半徑Rb3為： Rb3 = cos = cos20o = 112.8mm 所以，可以決定出最大允許的齒冠圓半徑Ra3max為： Ra3max = = = 128.5mm 而齒冠圓半徑(Ra3)為節圓半徑(R3)與齒冠(a3)之和，即： Ra3 = R3+a3 = = 128mm 比較最大允許的齒冠圓半徑(Ra3max)128.5mm與實際值(Ra3)128mm可知，這 兩個齒輪並沒有互相干涉，因為Ra3稍小於Ra3max。 10-28

29 10-6-6 最小齒數 ◎若以齒條為刀具，則不發生干涉之小齒輪的 最少齒數，可由下列方程式推導出： (10.16)
最小齒數 ◎若以齒條為刀具，則不發生干涉之小齒輪的 最少齒數，可由下列方程式推導出： (10.16) 其中，R為節圓半徑。由式(10.16)可得： (10.17) 若令a=km，其中k為常數，則可得： (10.18) 由於m=D/T=2R/T，因此得最小齒數Tmin： (10.19) 圖 漸開線齒輪最小齒數限制 ◎若使用少於規定的最小齒數，則為避免發生過切，必須將齒冠值修正。 ◎齒冠值被加以修正的非標準齒輪制，便是長與短齒冠齒形制(Long and short addendum system)。該制中減少齒冠值以確定或避免不在干涉點前發生接觸，增 加齒冠值則可增加退遠作用與減少接近作用。 ◎在某些場合必須使用非標準的齒制，如避免過切、干涉、或增加接觸率，以獲得 更好的傳動效果。 10-29

30 10-7 齒輪的製造 ◎齒輪的製造方法很多，大致可分為切削加工成形法與非切削加工成形法二大 類。
10-7 齒輪的製造 ◎齒輪的製造方法很多，大致可分為切削加工成形法與非切削加工成形法二大 類。 ◎切削加工成形法又有成形齒輪切削法(Formed-tooth cutter method)、樣板切削 法(Template method)、創成法(Generating method)、刮刨法(Shaving method)、 以及研磨法(Grinding method)。 ◎非切削加工成形法又有衝壓法(Punching method)、鑄造法(Casting method)、 壓鑄法(Die casting)、塑膠模法(Plastic mold method)、冷拉與擠製法(Cold drawing & extruding method)、以及粉末冶金法(Powder metallurgy method)等。 ◎選擇製造方法時，須考慮製造成本、材料、以及精度，以產出壽命長、磨損 微小、以及噪音低的齒輪。 10-30

31 10-8 齒輪系Gear train 10-9 齒輪系的分類 ◎兩個以上之齒輪的適當組合，能將一軸上的運動與動力傳遞至另一軸者，稱為齒輪系。
◎馬達、內燃機、以及渦輪機等原動機大多在高轉速下才會產生最大的動力， 因此必須有減速裝置來產生中低速的轉速，以為一般機器可接受的動力輸 入，而齒輪傳動機構即為一種相當重要的減速裝置。 10-9 齒輪系的分類 (b) (c) (a) 圖10.14 簡單齒輪機構 齒 輪 系 普 通 齒 輪 系 周 轉 齒 輪 系 基本周轉齒輪系 單 式 齒 輪 系 單式周轉齒輪系 複 式 齒 輪 系 複式周轉齒輪系 圖 齒輪系的分類 10-31

32 10-9-1 普通輪系Ordinary gear train
◎普通輪系：輪系中之齒輪的軸心皆與固定機架鄰接。其可分為單式齒輪系 (Simple gear train)與複式齒輪系(Compound gear train)兩種。若複式齒輪系的主動輪與從動輪在同一軸線上，則稱此輪系為回歸齒輪系(Reverted gear train)。 ◎與單式齒輪系比較，複式齒輪系的優點在於可用較小的齒輪來達到大的減速 比。 (a)單式齒輪 (b)複式齒輪 圖10.16 單式與複式齒輪 圖 單式齒輪系 圖 複式齒輪系 圖 回歸齒輪系 10-32

33 10-9-2 周轉輪系Planetary gear train or epicyclic gear train
◎周轉輪系：一輪系中，至少有一輪軸繞另一輪軸旋轉。周轉輪系中，有太陽 齒輪(Sun gear)、行星齒輪(Planet gear)和行星架(Carrier, arm)。 ◎周轉輪系可分為基本周轉輪系(Elementary planetary gear train)、單式周轉輪系 (Simple planetary gear train)、以及複式周轉輪系(Compound planetary gear train) 等三類。 (a)基本周轉齒輪系 (c)複式周轉齒輪系 (b)單式周轉輪系 圖 周轉輪系 10-33

34 10-10 齒輪系的轉速比 ◎齒輪i相對於齒輪架的轉速ic為： ic ＝ i － c (10.20)
齒輪系的轉速比 ◎齒輪i相對於齒輪架的轉速ic為： ic ＝ i － c (10.20) ◎齒輪j相對於齒輪架的轉速jc為： jc ＝ j － c (10.21) ◎設齒輪i為主動輪，齒輪j為從動輪，若齒輪i與齒輪j皆為外齒輪，則這個齒輪 對的轉速比(Velocity ratio) rv為： (10.22) ◎若齒輪i與齒輪j分別為外齒輪與內齒輪(或內齒輪與外齒輪)，則轉速比rv為： (10.23) ◎一個齒輪系之輸出軸與輸入軸的轉速之比值，以轉速比(Velocity ratio)稱之， 以rv表之。一個齒輪系之輸入軸與輸出軸的轉速之比值，則以減速比(Speed reduction ratio)稱之。 10-34

35 10-11 普通輪系 ◎因為普通輪系之所有的齒輪架皆為固定不動的機架，因此一對互相嚙合之齒 輪的轉速比rv為： rv = (10.24)
◎因為普通輪系之所有的齒輪架皆為固定不動的機架，因此一對互相嚙合之齒 輪的轉速比rv為： rv = (10.24)  圖10.17 單式齒輪系 圖10.17三個齒輪對之轉速分別為： ， ， (10.25) ◎整個輪系的轉速比rv為： (10.26) ◎單式齒輪系的轉速比，僅與輪系中前後兩個齒輪的齒數有關。 ◎惰輪(Idle gear)，其功能為連接用及控制旋轉方向。 10-35

36 ， ， (10.27) ◎整個輪系的轉速比rv則為： 由於: 且 因此，這個複式齒輪系的轉速比rv為： (10.28)
圖10.18 複式齒輪系   ， ， (10.27) ◎整個輪系的轉速比rv則為： 由於: 且 因此，這個複式齒輪系的轉速比rv為： (10.28) 10-36

37 ◎第一檔時，動力傳遞路程為：輸入軸-齒輪2-齒輪3-軸A-齒輪5-齒輪9-輸出軸， 轉速比rv為： 即減速比為3.31。
[例10-8] ◎第一檔時，動力傳遞路程為：輸入軸-齒輪2-齒輪3-軸A-齒輪5-齒輪9-輸出軸， 轉速比rv為： 即減速比為3.31。 ◎第二檔時，動力傳遞路程為：輸入軸-齒輪2-齒輪3-軸A-齒輪4-齒輪8-輸出軸， 轉速比rv為： 即減速比為1.77。 ◎第三檔，動力直接由輸入軸帶動輸出軸，轉速比rv ＝ 1.0，即減速比為1。 ◎倒檔時，動力傳遞路程為：輸入軸-齒輪2-齒輪3-軸A-齒輪6-齒輪7-齒輪9-輸出軸，轉速比rv為： 即減速比為-4.27。 T2=14 T3=31 T4=25 T5=18 T6=T7=14 T82=20 T9=27 圖10.21汽車手排變速器齒輪系 10-37

38 10-12 周轉齒輪系 ◎一個齒輪對，可得到式(10.20)、式(10.21)、式
(10.22)或(10.23)等三個獨立方 程式，有 n 個齒 輪對即可有3n個獨立方程式，加上已知條件與 限制條件，可解聯立方程式求每個齒輪的轉速。 [例10-9] 圖10.22之齒輪系有一個齒輪對，可得下 列三個關係式: 圖10.22簡單齒輪系 T22c = - T33c (10.29) 2c = 2 - c (10.30) 3c = 3 - c (10.31) 齒輪架固定： c = (10.32) 設齒輪2為主動輪，轉速比rv為：rv = = - (10.33) 齒輪2固定：因2 = 0，齒輪3為主動輪，得 rv = (10.35) 齒輪3固定：因3 = 0，齒輪3為主動輪，得 rv = (10.37) 10-38

39 ◎若齒輪4為主動軸，機架5為輸出軸，且齒輪2固定，
[例10.10]   T225 = - T335 (10.38) T335 = + T445 (10.39) 25 = 2 - 5 (10.40) 35 = 3 - 5 (10.41) 45 = 4 - 5 (10.42) ◎若齒輪2為主動軸，行星架5為輸出軸，且 齒輪4固定，即：4 = 0 (10.43) 則解聯立方程式(10.38)~式(10.43) 可得： 由以上兩式可得轉速比rv為： 圖10.23 單式周轉齒輪系 ◎若齒輪4為主動軸，機架5為輸出軸，且齒輪2固定， ， 10-39

40 由式(10.45)~式(10.54)等十組聯立方程式，可解出27、37、47、57、67、3、
[例10.11] T227 = - T337 (10.45) T337 = + T557 (10.46) T447 = + T667 (10.47) 27 = 2 - 7 (10.48) 37 = 3 - 7 (10.49) 47 = 4 - 7 (10.50) 57 = 5 - 7 (10.51) 67 = 6 - 7 (10.52) 3 = 4 (10.53) 圖10.24 複式周轉齒輪系 5 = 0 (10.54) 由式(10.45)~式(10.54)等十組聯立方程式，可解出27、37、47、57、67、3、 4、5、6、以及7等十個未知數(2為已知)，轉速比rv為： 亦可求出如下的轉速比關係： 10-40

41 [例10-12]一種自行車的三速內變速器，是由一個具有二個自由度的周轉輪系及二個單向離合器(OWC1和OWC2)所組成。
  (a)一檔 (d)檔位順序 圖10.25 自行車三速內變速器的周轉齒輪系 T113 = -T223 (10.55) T223 = T443 (10.56) 13 = 1 - 3 (10.57) 23 = 2 - 3 (10.58) 43 = 4 - 3 (10.59) 由於太陽齒輪固定不動，因此可得： 1 = 0 (10.60) ◎一檔時，環齒輪4為輸入件，OWC1作用，使得行星架3與機件5合一為輸出件，可得轉速比r為： r = = = 0.734 輸 入 OWC1 OWC2 輸 出 一檔 環齒輪4 * 行星架3 二檔 三檔 *代表接合 10-41

42 ◎二檔時，環齒輪4亦為輸入件，但OWC2作用，使得環齒輪4與機件5合一為輸
出件。動力直接由輸入軸帶動輸出軸，轉速比r為： r = 1.0 ◎三檔時，行星架承為輸入件，OWC2作用，使得環齒輪4與機件5合一為輸出 件， 可得轉速比r為： r = = = 1.362 圖10.25 自行車三速內變速器的周轉齒輪系 10-42

43 10-13 具二個輸入的周轉輪系 ◎一個自由度為2的周轉齒輪系，根據重疊原理(Principle of superposition)，輸出
轉速o等於輸入I與輸入II分別所產生的輸出結果之和，即： (10.61) [例10-13]具有二個自由度的周轉齒輪系，輸入I的轉速I=-300 rpm，輸入II的轉 速II=+120 rpm，試求輸出軸轉速o。    T221 = - T331 (10.62) T446 = - T556 (10.63) T776 = +T886 (10.64) 21 = 2 - 1 = 2 (10.65) 31 = 3 - 1 = 3 (10.66) 46 = 4 - 6 = 3 - 6 (10.67) 56 = 5 - 6 (10.68) 76 = 7 - 6 (10.69) 86 = 8 - 6 (10.70) 圖10.26 具兩個自由度的周轉齒輪系 10-43

44 ◎若輸入I固定，即： I = 2 = 3 = 4 = 0 (10.72) 為具有一個自由度的周轉齒輪系，可得：
◎若輸入II固定，即： II = 6 = 0 (10.71) ◎若輸入I固定，即： I = 2 = 3 = 4 = 0 (10.72) 為具有一個自由度的周轉齒輪系，可得： ◎因此，這個齒輪系的輸出o(即8)為： (10.73) 即輸出軸的轉速為75rpm，方向與輸入II相同。 10-44

45 (b)檔位與離合器 (c)周轉齒輪系(空檔) 圖10.27 Buick Dual Path 變速系統 ◎空檔時，可列出以下的關係式：
[例10-14] Buick Dual-Path汽車自動變速器有二個前進檔與一個倒退檔，由一個扭力轉換器(P、T、S)、一個周轉齒輪系、四個離合器(A、B、C、D)、以及二個單向離合器(E、F)所組成。試分析這個輪系在各檔位的轉速比。   (a)功能簡圖   (b)檔位與離合器 (c)周轉齒輪系(空檔)  圖10.27 Buick Dual Path 變速系統 ◎空檔時，可列出以下的關係式： T225 = + T665 (10.74) T335 = - T665 (10.75) T445 = - T665 (10.76) 25 = 2 - 5 (10.77) 35 = 3 - 5 (10.78) 45 = 4 - 5 (10.79) 65 = 6 - 5 (10.80) 減 速 比 A B C D E F 空 檔 ----- 一 檔 1.58:1 * 二 檔 1:1 倒 檔 2.73:1 10-45

46 此時動力由環齒輪2輸入，由行星架5輸出，可得轉速比rv為： 減速比為1.58
◎一檔時，離合器C、E、F作用，4 = 0 此時動力由環齒輪2輸入，由行星架5輸出，可得轉速比rv為： 減速比為1.58 ◎二檔時，離合器A、C作用，64%的動力經扭力轉換器由環齒輪2(輸入I)進入 周轉齒輪系，36%的動力經離合器A由太陽齒輪3(輸入II)進入周轉齒輪系，而 行星架5仍為輸出。若輸入II為零，即:3 = 0 若輸入I為零，即： 2 = 0 用重疊原理可得輸出件的轉速5為： 扭力轉換器不產生滑差時2=3，因此 在二檔時的轉速比為1，減速比亦為1。 ◎倒檔時，離合器B、D作用，使得：2 = 0 動力經扭力轉換器與單向離合器E由太陽 齒輪4輸入，由行星架5輸出，可得轉速比 rv為： 減速比為-2.73 (c) 圖10.27 Buick Dual Path 變速系統 10-46

47 ◎周轉斜齒輪系(Planetary bevel gear train)：具有斜齒輪的周轉輪系，其優點是
10-14 周轉斜齒輪系 ◎周轉斜齒輪系(Planetary bevel gear train)：具有斜齒輪的周轉輪系，其優點是 所佔的空間較小，可用較少數的齒輪得到較高的減速比。 ◎齒輪的轉動方向需由圖面來加以判斷。 [例10-15]圖10.28齒輪系中，齒輪6固定，試求轉速比(7 /2)   T225 = +T335 (10.85) T335 = -T665 (10.86) T445 = -T775 (10.87) 25 = 2 - 5 (10.88) 35 = 3 - 5 (10.89) 45 = 4 - 5 = 3 - 5 (10.90) 65 = 6 - 5= 0 - 5= - 5 (10.91) 75 = 7 - 5 (10.92) 再者3 = 4 (10.93) 可解得轉速比rv為： 圖10.28 周轉斜齒輪系 10-47

48 用 來 產 生 差 速 傳 動 ( Differential transmission)，常應用於車輛的差速 器與機械式的計算器中。
◎具二個自由度的周轉斜齒輪系，可 用 來 產 生 差 速 傳 動 ( Differential transmission)，常應用於車輛的差速 器與機械式的計算器中。 ◎圖10.29差速器的轉速比如下： (10.94) 即  5= ( 2+ 4) (10.95)   圖10.29 汽車差速傳動機構 ◎行星架5的轉速等於斜齒輪2與齒輪4轉速的代數平均值。當齒輪2與齒輪4的轉 向相同且大小相等時，可得5=2=4。再者，當齒輪2與齒輪4的轉速相同但 轉向相反時，2=-4、5=0。 ◎汽車直線行走時，左右兩輪的轉速自動相同；右轉彎時，左車輪的轉速自動 增加；左轉彎時，右車輪的轉速自動增加。 ◎若遇天雨路滑或雪地停車時，地面阻力變化不定，雖然車輪仍按照地面阻力 自動調整轉速，車身即因此變化不定，致使轉向無從控制而易生事故。 10-48