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1 理学院 统计与金融数学系 陈萍 Probstat@sohu.com
金融数学简介 理学院 统计与金融数学系 陈萍

2 引言 金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学与金融学的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发展起来的，其核心问题是不确定环境下的最优投资策略的选择理论和资产的定价理论。今天我们将简述了金融数学的主要内容，并展望了其进一步发展的前沿课题及前景。 简单地说，金融数学就是用数学的方法解决金融问题。在金融数学的发展史上，一些诺贝尔经济学奖的获奖工作，对金融数学的研究起着决定性的作用。可以说，金融数学的主流研究方向就是以这些获奖工作为基础的。

3 诺贝尔经济奖简介（1） H.Markowitz 的投资组合理论、 W.Sharpe的 资本资产定价理论 M.Miller 的公司财务理论。
[1]H.Markowitz,Portfolio selection,Journal of Finance,1952.Vol7 [2]W.Sharp,Capital Asset Prices:A theory of market equilibrum under conditions of risk.Journal of Finance,1964,Vol.19 注

4 H.Markowitz 在《资产组合选择》一文中，第一次从风险资产的收益率和风险之间的关系出发，讨论了不确定经济环境中最优资产组合的选择问题。
其主要成就是将大量的不同资产的投资组合选择的复杂的多维问题，简化为平衡两个因素，即投资组合的期望回报及其方差，最终化为一个概念清晰的、简单的二次规划问题，即均值－方差分析；并且给出了最优投资组合问题的实际计算方法。

5 W.Sharpe 的资本资产定价理论，在较强的市场假设下，给出了Markowitz 均值方差模型的均衡版本，即资本资产定价模型。（CAPM）[2]
其主要贡献是在有价证券理论方面对不确定条件下金融决策的规范分析，以及资本市场理论方面关于以不确定性为特征的金融市场的实证性均衡理论。马克维茨的分析方法进一步发展为著名的"资本资产定价模型"，用来说明在金融市场上如何建立反映风险和潜在收益有价证券价格。

6 M.Miller的公司财务理论（1958）主要研究资本结构与其企业市场价值的关系。 Miller在《资本成本、公司理财和投资理论》论文中证明，在一定假设下，企业的市场价值与其资本结构无关。

7 诺贝尔经济奖简介（2） 1997年诺贝尔经济奖授予R.Merton和M.Schole, 以奖励他们和F.Black在确定衍生证券价值方法方面的贡献，也就是关于期权定价的著名的Black-Sholes公式。 R.Merton对Black-Scholes原用的分析方法进行了改进，以股价变动的跳跃过程而不是扩散过程为出发点，也就是认为股价变动是不连续的，可以从一个价格跳到另一个价格而不经历其间的价格．这样推导出的公式更加现实．从1973年后， Merton和Black以及Scholes继续合作，在专业经济学杂志上发表了不少论文，将定价公式扩展到许多衍生金融品上．在1974年Merton发表的＜企业债务的定价＞一文中，他利用期权定价模型解决了企业的定价问题，1977年他又发表了对贷款担保进行分析的文章，为大型项目成功实施融资提供了帮助． 可以说Merton等人的理论开创了一个新的领域，从1988年起，这个新的领域被命名为“金融工程”。“金融工程”主要是要求在日常管理，尤其是风险管理上是有定量的理论可以运用的，这是20世纪经济科学中最大的一个进展。 注

8 1973年，M.Scholes与已故的经济学家F.Black发表《期权定价和公司债务》一文，给出了期权定价的Black-Sholes公式。指出期权价格仅依赖于股票价格的波动量、无风险利率、期权到期时间、执行价格、股票时价. 该论文中关于公司债务问题的论述也极富创建性，指出：企业债务可以看作一组简单期权合约的组合，期权定价模型可以用于对企业债务的定价。传统方法在分析权益价格、长期债务、可转换债券时，对资本结构中不同的组合成分结合起来进行考虑。利用期权定价理论评价企业债务时，对资本结构中不同的组成部分同时进行评价，这样就考虑了每种资产对其他资产定价的影响，确保了整个资产结构评价的一致性。 其主要贡献是提出用标的股票和无风险资产构造的投资组合的收益来复制期权的收益。这一复制法则的重要性在于，它告诉人们可以利用已存在的证券来复制符合于某种投资目的的新的证券品种，这成为金融机构设计新的金融产品的思想方法。 注

9 1973年R.Merton在＜经济和管理科学杂志＞上发表了＜理性期权定价理论的文章＞，对Black-Sholes公式的假定条件做了进一步削弱，在许多重要方面都对Black-Sholes的研究做了推广．
从1973年后，默顿和布莱克以及斯科尔斯继续合作，在专业经济学杂志上发表了不少论文，将定价公式扩展到许多衍生金融品上．在1974年默顿发表的＜企业债务的定价＞一文中，他利用期权定价模型解决了企业的定价问题，1977年他又发表了对贷款担保进行分析的文章，为大型项目成功实施融资提供了帮助．  　　默顿对企业债务的这种分析，使人们认识到：可以利用期权定价方法对所有具有期权特点的决策问题进行研究，从而使得期权定价理论在投资决策分析中得以广泛应用．期权思想的确立修正了传统的净现值方法．也就是说在投资可以延迟的情况下，企业持有了看涨期权，而此时只有当净现值远大于零时，进行投资才是最优决策，这种分析结果与实际中的最优投资情况往往是相吻合的．许多项目的建设常常需要多期投资才能完成，由于项目建设需要的时间较长，在建设过程中，企业可以根据最终产品价格的上涨或下跌、预期投入成本是否要增加等因素决定是否扩大建设规模还是暂时性或永久性停止项目建设。因此这类投资决策可以看作是对复合期权的选择，每阶段完成后企业就具有了是否完成下阶段的期权。投资的最优规则就可归结为如何有效地执行期权，这种决策方式较传统方法的优点在于将整个项目各阶段结合起来进行评价，使决策的准确性更强。  　　可以说默顿等人的理论开创了一个新的领域，从1988年起，这个新的领域被命名为“金融工程”。“金融工程”主要是要求在日常管理，尤其是风险管理上是有定量的理论可以运用的，这是20世纪经济科学中最大的一个进展。从科学意义上讲，这一理论把数理经济从丁泊根到萨默尔逊的努力推到了最高峰。当然，期权理论是在前人积累基础上产生的。 Merton对Black-Sholes原用的分析方法进行了改进，以股价变动的跳跃过程而不是扩散过程为出发点，也就是认为股价变动是不连续的，可以从一个价格跳到另一个价格而不经历其间的价格．这样推导出的公式更加现实． 注

10 诺贝尔经济奖简介（3） 2003年度诺贝尔经济学奖授予 Robert F.Engle和 Clive Granger。
令Engle 摘取桂冠的是他于1982年提出的ARCH模型。 Granger因为时间序列的协整分析方法而获奖,他的贡献将用于研究财富与消费、汇率与物价水平、以及短期与长期利率之间的关系。

11 对收益率的建模研究一直在计量经济学中占据很重要的位置。显然对于一阶矩的刻画是比较容易的,所以人们将注意力都放在了对二阶矩的建模上,也就是对收益率波动的计量建模。为了寻求对股票市场价格波动行为更为准确的描述和 分析方法,许多金融学家尝试了不同的模型。其中, Engle于1982年提出的ARCH模型,被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型。

12 20世纪70年代以前计量经济学的建模方法都是以经济变量平稳这一假设条件为基础。但在实际中,许多经济指标的时间序列都是非平稳的,并不具有固定的期望值,并且呈现出明显的趋势性和周期性。经济变量表现出的非平稳性使传统建模遇到了前所未有的困难。 格兰杰注意到某些经济变量之间似乎不会存在任何均衡关系,但若干个非平稳经济时间序列的某种线性组合却有可能是平稳序列。提出了协整的概念及其方法。所谓协整,是指多个非平稳经济变量的某种线性组合是平稳的。目前,协整分析已成为处理非平稳金融、经济变量相依关系的行之有效的方法。

13 本文主要介绍 投资组合理论 Ross套利定价理论 衍生证券的定价理论 二杈树模型 Black-Sholes模型 ARCH模型及其应用
利率期限结构理论 公司资本结构 保险精算学简介

14 1.投资组合理论简介 在投资活动中，人们发现，投资者手中持有多种不同风险的证券，可以减轻风险带来的损失，对于投资若干种不同风险与收益的证券形成的证券组称为证券投资组合。 portfolio 证券投资组合的原则是，组合期望收益愈大愈好，组合标准差愈小愈好，但在同一证券市场中，一般情形是一种证券的平均收益越大，风险也越大，因而最优投资组合应为一个条件极值问题的解，即对一定的期望收益率，选择资产组合使其总风险最小。

15 Markowitz 提出的证券组合均值方差问题，是证券组合理论的基本问题，可描述为有约束的线性规划问题
其中，假设市场上仅有n种风险资产，其收益率向量记为X=（X1,…Xn)T ，投资者投资此n种风险资产的资产组合向量记为为w=(w1,…,wn)T. X的协方差矩阵为 ，描述风险。相应地，该资产组合的收益率记为Xp=wTX, 总风险记为p2=wTw. 解上述问题可得最优资产组合w*的表达式，且最优资产组合的方差为 其中 注

16 在方差-均值坐标系下，它是抛物线。 称一个证券组合是前沿证券组合(a frontier portfolio)，如果它在所有等均值收益率的证券组合中具有最小的方差值。 注

17 在均方差-均值坐标系下，它是双曲线。

18 可证：任一最小方差资产组合wp都可唯一地表示为
其中 根据两基金分离定理，所有仅通过检验均值和方差而选择资产组合的投资者能够通过持有wg,wd构成的资产组合而获得满足。所以仅需通过这两个共同基金即可购买所有原始的资产，而投资者也能够购买这两个共同基金。 称为全局最小方差资产组合。 称为全局可分散化资产组合。 这就是著名的两基金分离定理。 注

19 上述结论还可推广到具有无风险资产的均值-方差模型，此时模型为
最小方差资产组合的方差为 在均方差-均值坐标系下，它是公共交点为（0，r）的两条射线，其斜率为

20 两基金分离定理的表现形式为：所有最小方差资产组合都是无风险资产和不含任何无风险资产的所谓“切点”资产组合的组合。

21 2.资本资产定价模型 资本资产定价模型（CAPM）是在理想的资本市场中,根据两基金分离定理建立的。它的基本结论是
(Sharp-Lintner-Monssin)假设市场上可以获得无风险资产，当市场达到均衡时，任意资产的超额收益率与风险资产的市场资产组合超额收益率成正比，即有关系式 理想市场假设：（1）投资者是风险厌恶者，且其投资行为是是其终期财富的期望效用最大。（2）投资者是价格承受者，即投资者的投资行为不会影响市场上资产的价格运动。（3）投资者都认同市场上所有资产的收益率服从均值为E（X），方差阵为的多元正态分布。（4）资本市场上存在无风险资产，且投资者可以无风险利率无限贷款。（5）资产数量是固定的，所有资产都可市场化且可完全分割。（6）资本市场上的信息是充分且畅通无阻，所有投资者都可无代价地获取所需要的信息。（7）资本市场没有任何“缺陷”，如税收，管理调节措施，或卖空限制等。 注意：理想化市场假设，两基金分离定理，竞争均衡定价是CAPM模型导出的关键。基金分离定理从分析单个投资者最优资产组合出发，建立了每种资产的超额收益率与具有某种共性资产组合（如切点资产组合）的超额收益率之间的关系；正因为Markowitz获得了这一重要关系式，使得Sharp和Linter能够在此基础上，利用竞争均衡定价的概念，在具有众多资产和众多投资者的资本市场中导出每种资产的超额收益率与市场资产组合超额收益率的关系。 称为资产X的市场beta系数, 表示资产X所面临的风险系数。 其中 注

22 可以证明，当市场达到均衡，且无风险资产是零净供应的金融证券时，切点资产组合wt就是市场资产组合。
XM为市场资产组合——设市场上有n种风险资产，一种无风险资产。每种资产的价格为pi，i=0,1,…,n, 如果市场上有K位投资者，且在某一时刻，第k位投资者持有第i种资产的数量为Nik，若记 所谓零零净供应的金融证券是指所有投资者在该种资产上的借贷总和为0。 则称 为该时刻的投资者 市场资产组合。 可以证明，当市场达到均衡，且无风险资产是零净供应的金融证券时，切点资产组合wt就是市场资产组合。 注

23 一 证券市场线 对任意风险资产的投资组合Xx，由点 所形成的轨迹称为证券市场线。
CAPM在资产定价中的应用 一 证券市场线 对任意风险资产的投资组合Xx，由点 所形成的轨迹称为证券市场线。 证券市场线表明了一资产组合所面临的风险与为补偿这一风险所必须的收益率之间的关系，它在投资分析中有广泛的应用。考虑图中两资产组合A和B。B的收益率比A高，那么是否可以说项目B比项目A更加可取呢？恰恰相反，此时由于项目B落在市场线的下方，它面临的风险系数MB得不到应有的必要收益率E(XB)的补偿，而项目A位于证券市场线的上方，它可以获得除必要收益率以外的超额补偿。所以说项目A更可取。 注

24 二 风险自行调节收益率定价公式 CAPM对个别资产提供了一种可量化的风险测度，所以CAPM可以用于确定未来收益率概率分布假设为已知的风险资产在当前的价值。设市场上第j种资产期终风险收益为Pe，当前价格为P0，其收益率 其中 则风险自行调节收益率定价公式为

25 在风险自行调节收益率定价公式中，将 代入，得确定等价定价公式

26 CAPM在资产定价中的应用———股票定价
例 某公司I在时期1将发行100股股票，公司I在时期2的价值为随机变量VI（2）。公司的资金都是通过发行这些股票而筹措的，已知股票的持有者有资格获得完全的收益流。现给出有关测算数据如下 VI（2） $1000 $800 P 0.5 将上述数据代入风险自行调节收益率定价公式得 故每股价格为7.83$

27 3. Ross 套利定价理论（APT） 在金融理论中，确定风险资产合理价值主要有两种方法。一种是基于竞争均衡理论的定价方法，如上节的CAPM，认为资产的合理价格由所谓的“内在源”，也就是资产市场中现有的所有资产所共同确定；另一种是基于一般套利定价理论的定价方法（GAPT），如本节将要介绍的Ross套利定价理论（APT）认为资产的合理价格由所谓的“外在源”，也就是资本市场的其他因素所确定。

28 基于上述思想，被誉为美国“金融神童”的Ross在1976年《Journal of Economic Theory》上发表的《Arbitrage Theory of Capital Assert Pricing》一文中十分武断地指出：任何资产的价格可以表示为一些“共同因素”的线性组合。这些“共同因素”可以是通货膨胀率，人口出生率，工业增长指数，证券市场综合指数，外汇汇率等等各种因素，然后利用套利定价方法给出了资产收益率的一般表达式。 套利定价理论用套利概念定义均衡，不需要市场组合的存在性，而且所需的假设比资本资产定价模型(CAPM模型)更少、更合理。 　　与资本资产定价模型一样，套利定价理论假设：(1)投资者有相同的投资理念；(2)投资者是回避风险的，并且要效用最大化；(3)市场是完全的。 　　与资本资产定价模型不同的是，套利定价理论没有以下假设：(1)单一投资期；(2)不存在税收；(3)投资者能以无风险利率自由借贷；(4)投资者以收益率的均值和方差为基础选择投资组合。 记资产市场中第i种资产的收益率为Xi，可通过统计方法测算的影响资产收益率的因素收益率记为随机变量fk,k=1,…,K,不能通过统计方法测算或未知的影响资产收益率的因素收益率记为随机变量i ,并假定资产收益率由以下线性多因子模型所描述： 注

29 根据上述模型，利用渐近无套利定价假设可以给出资产超额收益率表达式
(3.1-a) (3.1-b) (3.1-c) 其中 称为残差风险。 根据上述模型，利用渐近无套利定价假设可以给出资产超额收益率表达式 (3.2-c) 实数k反映了证券对于因子fk的敏感性。称为因子风险溢价。

30 从统计观点来看，APT是通过许多因子来确定证券价格，它使我们扩大了考虑因素的范围，可以从证券市场以外的因素去选择，而不象CAPM只从证券市场本身的历史来研究。这样，就可以把证券的价格和国家经济发展状况，企业经营状况，外汇市场等等其它经济因素相联系，从而使模型更好地反映现实状况。一般认为，APT与CAPM相比有以下几个特点： （1）对分布不作要求 （2）对个人的效益没有直接假定什么条件； （3）允许依赖于许多因素； （4）可以对证券的一部分的组合定价，无需涉及全体； （5）容易推广到多阶段的情形。

31 4.二杈树模型 二杈树模型是金融衍生证券定价问题中常用的一种股票价格模型。考虑这种模型有以下2个原因。
1。该模型构造简单，且是实际模型的一种很好的逼近 2。可通过这种简单的模型阐明金融中的重要概念——套期保值，风险中性测度等。 一般金融学理论认为，如果市场存在套利机会，则所有投资者都会利用这个机会来获利，从而导致股票价格变化使套利机会消失。 无套利假设是所有研究的前提——称某个市场有套利机会，如果存在一种投资组合，使资产值Yt满足Y0=0, 注

32 考虑简单欧式看涨期权的定价问题：以敲定价K>0于时刻1兑现，期权持有者的收益为 V0=?
期权持有者有权在1时刻向期权出售者以每股K元的价格购买股票。（即使当时股票的市场价格已远远高于K），转手按市场价卖出，则得到收益为S1-K；如果1时刻股票市场价低于K，则期权持有者可以不执行期权，此时，期权价值为0； 考虑简单欧式看涨期权的定价问题：以敲定价K>0于时刻1兑现，期权持有者的收益为 V0=? 注

33 设期权价格V0,若将价值V0的资产在市场投资，在0时刻购买0股股票，剩余的资金（可能是负的）存（借贷）款，则到1时刻资金价值为，
这一价值应该与期权在1时刻的价值相等，即 该问题的解决过程中体现了“套期保值”的基本思想，这里简要介绍。 解上述联立方程可得 * 注

34 称为套期保值比。 注意若取 则*式可形式地写作 称 为风险中性概率测度（或等价鞅测度）。 欧式期权的定价可以简洁地表示成“风险中性测度下，期权到期价值的数学期望”。

35 多期二杈树模型 期权价值 …,… Stock price 注
利用前面套期保值的思想，结合概率论中条件期望，鞅的概念，通过倒向归纳,可以得到多期二杈树模型下，期权在任一时刻的价值。 还可考虑其他类型的期权如美式期权，路径依赖期权，障隘期权等。 此外，上述讨论是在理想市场假设下进行的，现代金融数学的研究课题之一是推广到非理想状态，如存贷款利率不同，有交易费用等情形。 …,… 注

36 5. Black-Sholes模型 当考虑股票价格随时间连续变动情形时，Black-Scholes给出了市场的如下描述：
仅考虑一个简单的证券市场。市场中仅有一种债券和一种股票。设债券在t时刻的价格P0(t)，股票在t时刻的价格P(t).满足方程：

37 设V(t,x)表示在t时刻股票价格为x时，期权的价值,则
考虑T时刻到期的欧式期权，假定到期时，期权的内在价值为V(T)=g(P(T));设期权在0时刻价格为V(0); 现考虑0时刻初始值为X(0)=V(0)的投资。设在t时刻购买股票的股数为(t),则 (5.1) 设V(t,x)表示在t时刻股票价格为x时，期权的价值,则 (5.2)

38 V(t,P(t))=X(t), g(P(T))=X(T)
令 V(0,P(0))=X(0), V(t,P(t))=X(t), g(P(T))=X(T) 即在(4.1),(4.2) 两式中令dt,dB系数相等，则得 终端条件 (5.3) ——Black-Scholes方程。

39 另一方面，利用随机分析理论可以证明，设 是使股票价格贴现过程 为鞅的测度，称为等价鞅测度，则欧式期权在t时刻的价值为
(4.4) 通过解偏微分方程(5.3)或用概率论中的期望定义解(5.4)都可以得到欧式看涨期权的价格为 式中 Black-Scholes公式

40 衍生证券定价问题的进一步研究方向 放宽理想市场假设（如有卖空限制，交易费等） 对新型衍生证券进行定价 模型改进（如随机利率，随机波动率，跳过程等） 不完备市场模型

41 期权定价技术的应用 期权定价理论虽然源于对金融期权的估值，但其主旨为降低不确定性所必须付出的成本问题，而不确定性是所有经济活动的本质特征。这决定了期权定价技术(以下简称0PT)的应用绝不仅仅局限于对以金融资产为标的资产的期权。许多现实问题在分析的过程中常常可以把核心问题归结为期权定价问题来处理，即归结为确定期权价值的5个因素：执行价格、现货价格、到期时间、波动率和无风险利率的分析计算。 期权，按照最一般的定义即是在将来某一时刻按一定价格买卖某种资产的权利。但实际上期权概念所蕴含的内涵远远比这个定义从字面上所表达的含义要深刻和广泛得多。从本质上说，期权实际上给予期权购买者—段时间，使其能够进一步利用所获得的最新的信息，降低对未来预期中不确定性的程度，从而作出更加合理的判断和决策。因此期权的价格中包含了在这一段时间中信息的价值，或者说期权的价值反映了因不确定性降低，决策更加合理科学所带来的收益的增加或损失的减少。 注

42 目前期权定价理论主要应用于 1．金融衍生证券的定价 2．保险合同的定价 3．政府政策与行为 4．个人／家庭决策 5．投资决策

43 6 ARCH模型及其应用 在计量经济学中, 收益率的建模研究一直具有很重要的地位。其中对一阶矩的刻画是比较容易,所以人们将注意力都放在了对二阶矩的建模上,也就是对收益率波动的计量建模。 经典资本市场理论在描述股票市场收益率变化时,所采用的计量模型一般都假定收益率方差保持不变。这一模型运用简便,常用来预测和估算股票价格。但对金融数据的大量实证研究表明,有些假设不甚合理。一些金融时间序列常常会出现某一特征的值成群出现的现象。 如对股票收益率建模,其随机搅动项往往在较大幅度波动后面伴随着较大幅度的波动,在较小波动幅度后面紧接着较小幅度的波动,这种性质称为波动率聚类(volatilityclustering)。该现象的出现源于外部冲击对股价波动的持续性影响,在收益率的分布上则表现为出尖峰厚尾(fattails)的特征。这类序列随机搅动项的无条件方差是常量,条件方差是变化的量。 注

44 为了寻求对股票市场价格波动行为更为准确的描述和分析方法,许多金融学家和计量学家尝试用不同的模型与方法处理这一问题。如ARMA模型，ARIMA模型，隐MARKOV模型等，但被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型,是Engle于1982年提出的ARCH模型。ARCH模型是过去20年内金融计量学发展中最重大的创新。目前所有的波动率模型中,ARCH类模型无论从理论研究的深度还是从实证运用的广泛性来说都是独一无二的。

45 考虑Engle最初的ARCH(1)模型 设随机序列{Yt}满足 (6.1) 其中 为弱白噪声，满足鞅差条件 且设 (6.2) 其中 为强白噪声。

46 由(5.1)-(5.2)式易得，过程相邻时刻的条件均值与方差分别为
(6.3) (6.4) 金融市场的核心是风险评价。投资者需要估计资产相对于风险的期望收益率。银行和其他金融机构要确保资产价值不跌破破产下限。这些评估都离不开衡量资产收益率的波动性。ARCH模型大大改进了风险评估方法。ARCH模型的统计特征表明,它能较好刻画外部冲击形成的收益率波动聚类。ARCH模型的主要功能在于解释收益率序列中比较明显的变化是否具有规律性,并且说明了这种变化前后依存的内在传导是来自某一特定类型的非线性结构,而不是方差的外生结构变化。 (6.3)给出了模型的预测公式，(6.4)则表明模型具有时变性的波动率。 实证分析表明时变性波动率更能描述真实的股票行情变化，反映外部冲击对股市造成的影响，便于进行风险评价。 注

47 广义ARCH模型 ARCH(1)模型虽然较好的解释了波动率聚类现象，但它有很多缺陷，在其后的工作中,Engle及其同事沿着许多方向对该模型进行了拓展。 例如，在考虑风险与投资回报之间的关系时,由于投资者是依据当前信息而持有证券,当风险(条件方差)增大时,投资者要求的投资补偿也就大。因此,条件方差的变化也会影响收益率条件期望的变化。与其他研究者合作,Engle在ARCH的基础上,建立了ARCH-M模型来分析时变风险的收益补偿。期望收益率取决于时变性的方差和协方差,从而自身也随时间变化。

48 ARCH(1)模型的各种拓展表述 ARCH(q)模型（Engle 1982) GARCH(p,q)模型(Bollerslev 1986)

49 GARCH-M 模型(Engle, Lilien, Robbins 1987)
参考文献 [1] Engle Robert F. Autoregression conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of U.K.inflation, Econometrica,1982,50(4):987_1008 [2] Christain G ARCH Models and Financial Applications Springer,1997 [3] T. Bollerslev. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity, Journal of Econometrics 31, 307- 327, (1986). [4] S. Mittnik, hl.S. Paolella and S.T. Rachev. Modeling the persistence of conditional volatilities with GARCH-stable processes, Preprint. (1997). [5] J.-C. Duan, The GARCH option pricing model, Mathematzcal Fznance 5 (l), 13-32, (1995). [6] T. Bollerslev, A conditional heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return, Rev.of Econ. and Stat. 69, , (1987). 注

50 7 利率期限结构理论 在社会经济生活中一部分人通过储蓄或购买债券来保存多余的资金，而部分家庭和厂商也可以通过贷款获得资金。资金的提供不是无偿的，利息就是借入资金的个体为了在一段时间里使用资金而必须支付给资金出借人的补偿。 显然利息与投资本金和储蓄时间有关；利息与期初投资本金的比值称为该时期的利率。不同时期投资可能利率不同。利率的期限结构理论主要研究随机波动利率与（较长）时期的对应关系。 名义利率可分为两部分，即实际利率和通货膨胀溢价。实际利率是对资金提供者推迟消费的补偿；通货膨胀溢价是对资金提供者造成的货币购买力损失的补偿； 在不同的场合“利率”的含义往往不同，需是具体研究的问题而定。要严格区分各种利率，幽闭要确定三个日期：一是订约日期t0，二是借出货币日期t1，三是收回借款日期t2.几种普遍使用的利率有即期利率，远期利率，偿还期收益率等。 注

51 经济学家认为，在决定利率期限结构过程中，投资者对未来变动的预期是致关重要的。然而，投资者对自己是否既有十分准确地分析未来变动的能力是缺乏信心的。因此，一般情况下，假定投资者对利率未来的变动满足一随机过程。比较常用的模型有Cox-Ingersoll-Ross模型，Hull-White-Vasicek模型。 由于利率期限结构理论涉及到“利息理论”的许多概念和“合理预期理论”的思想，这里不再深入介绍。

52 8 公司资本结构理论 公司财务管理在西方经济理论体系中是金融理论中的一个组成部分。它是专门研究企业如何进行财务决策，包括筹资、投资及股息分配政策，以实现企业价值或企业财富最大化的一门科学。 该理论的研究重点集中在两个方面： 1。公司最佳资本结构的组合。即探讨企业在投资时，应怎样选择使企业资金成本最低的资产组合，包括负债与股票，短期负债与长期负债； 2。研究公司的最佳资产组合，即公司在制定投资政策时，如何使企业在风险既定下，取得最大的投资收益率。 资本结构是指企业资本来源的组成结构。企业的资本有两个主要来源——股东提供的资本，称为权益资本简称股权，其主要表现形式是股票；由企业的债权人提供的资本，成为负债，其主要表现形式是债券。企业的所有赢利要在股东和债权人之间进行分配，这就是股权和债权具有市场价值的根本原因。企业的市场价值是其股权的市场价值之和 注

53 企业的市场价值与其资本结构无关。 设市场满足如下完美条件： 1.公司处于没有税收的经济环境之中； 2.公司的股息政策与企业价值无关；
3.公司发行新债务时，不会对公司已有债务的市场价值产生影响； 4. 公司没有破产成本； 5.资本市场高度完善，即资金可以充分流动，存在充分竞争机制，因此有同样预期收益率的证券有相同的价格，利率一致，存在充分信息。 Miller的公司财务理论表明：企业不能通过改变资本结构达到改变其市场价值的目的。企业的价值是由它的实际资产决定的，而不是各类有价证券。 Miller证明了，在上述完美条件下， 企业的市场价值与其资本结构无关。 注

54 由于Miller的定理是在一系列完美条件下推导的，此后二十年中， Miller的公司财务理论在众多西方学者的支持下，又在一些不完美条件下进行了拓展，到了Miller于1990年获得诺贝尔奖的时候，该理论已被视为现代理财理论的奠基之作。成为西方经济学、金融学和理财学课程的必修内容。

55 9 保险精算学简介 所谓精算学，实际上是将数学方法应用于金融保险所形成的一套理论体系。包括利息理论，精算数学，风险理论，人口数学等。
在现代保险中，科学的理论和方法，特别是精确的定量计算起着十分重要的作用，保险业运营中的一些重要环节，如新险种的设计，保险费率和责任准备金的计算，分保额的确定，养老金等社会保障计划的制定等等，都需要由精算师依据精算学原理来分析和处理。

56 有鉴于此，许多发达国家都以法律形式规定，保险公司的营业报告必须由精算师签字方为有效。在美国，保险精算师的工作在华尔街一家杂志的工作排名表中被排在第一或二位.一个通过北美精算师学会准会员(A.S.A)资格考试的毕业生，可获得年薪至少$45000的精算师工作。（该项考试在中国的北京，上海，天津，长沙等地已设有考点）。 关于北美精算师协会的详细信息，有兴趣的同学可进入