第 4 章 線性代數：代數方法.

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1 第 4 章 線性代數：代數方法

2 4.1 單形法：標準極大化問題 單形法 標準線性規劃問題
一標準極大化問題(standard maximization problem) 須具備下列條件： 目標函數欲尋求極大化。 問題中使用的變數都限定為非負。 每一條限制式都表示成小於等於()某一非負的常數。 Tan/管理數學 第4章 第188頁

3 單形法 我們以第3.3節第一個線性規劃問題為例，其公式重述於下： (1)
經過檢查，我們可以確認這是一個標準極大化問題，其可行集合S再次繪於圖1，共有4 個角落點A (0, 0) , B (4, 0) , C (3, 2) 與D (0, 4)，最佳解發生在C (3, 2)。 (1) (2) Tan/管理數學 第4章 第188頁

4 單形法 Tan/管理數學 第4章 第189頁

5 單形法 欲解此標準極大化問題，單形法的第一步是將公式(2) 的不等式限制式(inequality constraint)加上閒置變數(slack variable)之後，改寫成等式限制式(equality constraint)。例如，不等式 2x + 3y  12 上式的左邊小於等於右邊，因此左邊可以加上一個非負的變數u，以補上兩邊的差： 2x + 3y + u = 12 Tan/管理數學 第4章 第189頁

6 單形法 當x = 1, y = 1 時(由圖1可看到點(1, 1) 位於可行集合S內部)，得u = 7，滿足等式如下：
2 (1) + 3 (1) + 7 = 12 當x = 2, y = 1 時(由圖1可看到點(2, 1) 亦位於可行集合S內部)，得u = 5，滿足等式如下： 2 (2) + 3 (1) + 5 = 12 變數u即為閒置變數。 Tan/管理數學 第4章 第189頁

7 單形法 同樣地，將公式(2)的第二個不等式2x + y  8加上另一個閒置變數v後，改寫成等式 2x + y + v = 8
不等式系統(2)如今變成等式系統如下： Tan/管理數學 第4章 第189頁

8 單形法 最後，把目標函數做一個轉換，讓變數集中在左側，且目標函數P的係數需為+1： 3x  2y + P = 0
全部轉換完成後，我們得到一個線性等式系統： (3) Tan/管理數學 第4章 第 頁

9 單形法 由於系統(3) 只有3個方程式卻有x, y, u, v, P五個變數，因此，我們可以將u, v, P寫成x與y的參數式，代表系統具有無限多個解。我們的任務即在x, y, u, v均為非負的條件下[以保障得到的是可行解(feasible solutions) ]，找出使目標函數P值最大的那個(或那些)解。 Tan/管理數學 第4章 第190頁

10 單形法 從系統(3)先建立擴增矩陣如下： 其中，圈起來的u, v, P行是單位行(unit column)，在第2.2 節已介紹過。單位行所在的變數稱為基本變數(basic variables)，剩餘的變數則稱非基本變數(nonbasic variables)。因此，擴增矩陣(4)的基本變數有u, v, P，非基本變數有x, y。 (4) Tan/管理數學 第4章 第190頁

11 單形法 變數區分完後，接著用非基本變數做參數，寫出基本變數的解： 若令x = 0, y = 0，則得到一個可行解：
x = 0 y = 0 u = v = 8 P = 0 將非基本變數設為0之後，所得的可行解稱為系統的基本解(basic solution)。此時我們的基本解對應可行集合S的角落點A (0, 0)，且目標函數值P = 0。 (5) Tan/管理數學 第4章 第190頁

12 單形法 今考慮y值固定為0時，x到底可以增加多少？這可從系統(5)的另兩個方程式著手： (6) Tan/管理數學 第4章 第191頁

13 單形法 為滿足閒置變數u非負的要求，x不能超過 或6； 為滿足閒置變數v非負的要求，x不能超過 或4。
這裡我們必須以較小的4 為界，即x最多只能增加4個單位。把y = 0 與x = 4 代入系統(5)，得到 x = 4 y = 0 u = 4 v = 0 P =12 此為系統(3)的一個基本解，只不過這回的非基本變數是y與v。 Tan/管理數學 第4章 第191頁

14 單形法 接下來我們將前面的做法用擴增矩陣來處理。由於x將取代v成為新的基本變數，表示x變數下的行向量須具備以下的單位行形式：
Tan/管理數學 第4章 第191頁

15 單形法 回到剛開始建立的擴增矩陣(4)，我們對圈起來的元素2進行樞紐運算(pivoting)如下： (7) (8) Tan/管理數學
第4章 第191頁

16 單形法 擴增矩陣(8)得到基本變數x, u及P。現以非基本變數y與v做參數，我們可寫出x, u及P的參數解如下：
x = 4 y = 0 u = 4 v = 0 P =12 與之前的解相同。 Tan/管理數學 第4章 第192頁

17 單形法 至此我們已經完成單形法的一個回合計算，從可行角落點A (0, 0)走到B (4, 0)，目標函數值P則從0 快速增加到12，見圖2。
Tan/管理數學 第4章 第192頁

18 單形法 樞紐元素的選取 選擇樞紐行：找出擴增矩陣的最後一列垂直線左側負最多的元素，該元素所在的行即是樞紐行(pivot
column)。若不只一行，則從其中任選。 選擇樞紐列：將樞紐行的正數，除常數行的對應元素 後，找出比值最小者，其所在的列即是樞紐列(pivot row)。若超過一列，則從其中任選。 樞紐行與樞紐列交會的位置，即是樞紐元素(pivot element)。 Tan/管理數學 第4章 第193頁

19 單形法 (9) Tan/管理數學 第4章 第192頁

20 單形法 Tan/管理數學 第4章 第193頁

21 單形法 Tan/管理數學 第4章 第194頁

22 單形法 建立初始單形表 藉由閒置變數的引入，將系統中的線性不等式轉換成線性等式。 將目標函數
P = c1x1 + c2x2 +  + cnxn 轉換成 c1x1  c2x2    cnxn + P = 0 即所有變數集中在等號左側，且目標函數P的係數為 +1。注意目標函數的方程式需列於步驟1 的方程式下 方。 將步驟1、2 的線性方程組，寫成擴增矩陣。 Tan/管理數學 第4章 第194頁

23 例題 1 為下列線性規劃問題(本題來自於第3.2節的例題1)建立初始單形表： (10) Tan/管理數學 第4章 第195頁

24 例題 1（續） 解： 這是一個標準極大化問題，可直接利用單形法解題。(10) 除了x  0, y  0 之外，尚有兩個線性不等式，我們引入閒置變數u與v，並將之轉換成線性等式如下： 目標函數則改寫成 Tan/管理數學 第4章 第195頁

25 例題 1（續） 解（續）： 此處確定P的係數為+1，並將此方程式置於最下面，得到線性方程組 Tan/管理數學 第4章 第195頁

26 例題 1（續） 解（續）： 最後建立以下的初始單形表： Tan/管理數學 第4章 第195頁

27 單形法 單形法 建立初始單形表 檢視垂直線左側最後一列，判斷是否已得最佳解。 a. 若所有元素均為非負，表示已完成最佳解，直接跳至步驟4。
　b. 若有一個或多個元素為負，表示尚未得到最佳解，繼續步驟3。 執行樞紐運算：找出樞紐元素，將元素值除樞紐列以得到1。再使用列運算，將樞紐列乘以某個倍數加到其他列，以使樞紐行轉換成單位行。返回步驟2。 決定最佳解。若一變數位於單位行上，則該行1所在的列與常數行交會的元素，即為該變數的解；若一變數不在單位行上，則該變數解為 0。 Tan/管理數學 第4章 第196頁

28 例題 2 完成例題1的解。 解： 例題1 已完成單形法的步驟1。以下將從步驟2開始。 Tan/管理數學 第4章 第196頁

29 例題 2（續） 解（續）： 步驟2 檢視垂直線左側最後一列，判斷是否已得最佳解。由 於初始單形表的最後一列包含負數，故此時尚未獲得
步驟2　檢視垂直線左側最後一列，判斷是否已得最佳解。由 　　　　 於初始單形表的最後一列包含負數，故此時尚未獲得 最佳解，前進到步驟3。 Tan/管理數學 第4章 第196頁

30 例題 2（續） 解（續）： 步驟3 執行下一回合樞紐運算： a.垂直線左側最後一列以 負最多，故 所在的 行訂為樞紐行。
步驟3　執行下一回合樞紐運算： a.垂直線左側最後一列以 負最多，故 所在的 行訂為樞紐行。 b.將樞紐行的正數除常數行的對應項後，得到 與 的比值，選取最小比值 ，其所在一列訂 為樞紐列。 c.樞紐行與樞紐列交會處的元素3即為樞紐元素。 Tan/管理數學 第4章 第 頁

31 例題 2（續） 解（續）： 將樞紐列除樞紐元素3，使樞紐元素的係數為1。對第一與第三列執行適當的列運算，以將樞紐行轉換成單位行，見下表詳細運算過程： Tan/管理數學 第4章 第197頁

32 例題 2（續） 解（續）： (12) Tan/管理數學 第4章 第197頁

33 例題 2（續） 解（續）： 完成這一回合的運算後，我們返回步驟2，檢視表(12)的最後 一列以判斷是否得到最佳解。由於最後一列出現負數 ，
一列以判斷是否得到最佳解。由於最後一列出現負數 ， 由此得知尚未獲得最佳解，需進行下一回合的計算。運算過程如下： Tan/管理數學 第4章 第197頁

34 例題 2（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第198頁

35 例題 2（續） 解（續）： 表(13)的最後一列已無負數，故知已取得最佳解，單形表格已具備最後形式。 (13) Tan/管理數學
第4章 第198頁

36 例題 2（續） 解（續）： 步驟4 讀取最佳解。位於單位行的變數有x, y與P， 此三個基本變數從常數行讀到的解分別為48,
列，其解便在常數行的第一列位置(如箭頭 方向所示)，其值為48。 Tan/管理數學 第4章 第198頁

37 例題 2（續） 解（續）： 而非基本變數u, v的解則為0。這裡所得到的解與第3.3 節的例題1 相同。 Tan/管理數學
第4章 第198頁

38 例題 3 求解下面的線性規劃問題： Tan/管理數學 第4章 第199頁

39 例題 3（續） 解： 加上閒置變數u, v, w並改寫目標函數後，我們得到以下線性方程組： Tan/管理數學 第4章 第199頁

40 例題 3（續） 解（續）： 接著建立初始單形表如下： Tan/管理數學 第4章 第199頁

41 例題 3（續） 解（續）： 檢視表格最後一列，負最多的數(2) 有兩行，任選其一，在此我們選擇x行做為樞紐行，開始第一回合計算。詳細運算過程列於下方： Tan/管理數學 第4章 第199頁

42 例題 3（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第200頁

43 例題 3（續） 解（續）： 因表格最後一列仍有負數，尚未達到最佳解，必須執行第二回合計算，過程如下： Tan/管理數學 第4章 第200頁

44 例題 3（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第200頁

45 例題 3（續） 解（續）： 檢視表格最後一列已見不到負數，表示已達最佳解，其解為x = 5, y = 4, z = 0, u = 0, v = 0, w = 15 及P = 18。 Tan/管理數學 第4章 第201頁

46 例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋 求解下面的線性規劃問題： Tan/管理數學 第4章 第201頁

47 例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋（續） 解： 加上閒置變數u, v, w並改寫目標函數後，我們得到以下線性方程組： Tan/管理數學
例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋（續） 解： 加上閒置變數u, v, w並改寫目標函數後，我們得到以下線性方程組： Tan/管理數學 第4章 第201頁

48 例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋（續） 解（續）： 接著建立初始單形表如下： Tan/管理數學 第4章 第 頁

49 例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋（續） 解（續）：
例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋（續） 解（續）： 檢視表格最後一列，負最多的數是20，位於x行，因此將x行訂為樞紐行，開始第一回合計算。詳細運算過程列於下方： Tan/管理數學 第4章 第202頁

50 例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第202頁

51 例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋（續） 解（續）： 因表格最後一列仍有負數，尚未達到最佳解，必須
例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋（續） 解（續）： 因表格最後一列仍有負數，尚未達到最佳解，必須 執行第二回合計算。此時負最多的數是 在y行， 因此y行訂為樞紐行。再查看表格最右邊算出來的比 值，最小值是 在第二列，因此第二列訂為樞紐 列。我們圈選樞紐行與樞紐列交會的樞紐元素 。 Tan/管理數學 第4章 第203頁

52 例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋（續） 解（續）：
例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋（續） 解（續）： 在第一回合計算結束時，我們得到的一組解為x = 3，y = 0，z = 0以及P = 60，亦即我們所得的基本解發生在點(3, 0, 0)，此時P = 60，見圖4。圖4的箭頭所示路徑，顯示我們已由A點走到B點。 Tan/管理數學 第4章 第203頁

53 例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第203頁

54 例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋（續） 解（續）： 接著進行第二回合計算： Tan/管理數學 第4章 第203頁

55 例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第204頁

56 例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋（續） 解（續）： 檢視表格最後一列仍有負數，尚未達到最佳解，必
例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋（續） 解（續）： 檢視表格最後一列仍有負數，尚未達到最佳解，必 須再執行第三回合計算。此時負最多的數是 在 z 行，因此z行訂為樞紐行。查看表格最右側算出來的比值，最小值是1在第三列，因此第三列訂為樞紐 列。我們圈選樞紐行與樞紐列交會的樞紐元素 。 另外，注意樞紐行的第二列，因 是負數，故比值第二列從缺。 Tan/管理數學 第4章 第204頁

57 例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋（續） 解（續）： 在第二回合計算結束時，我們所得的基本解發生在 點 ，而 。因此，如圖4的路徑所
例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋（續） 解（續）： 在第二回合計算結束時，我們所得的基本解發生在 點 ，而 。因此，如圖4的路徑所 示，經過第二回合的計算，我們已由 B 點走到 C 點。 Tan/管理數學 第4章 第204頁

58 例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋（續） 解（續）： 接著進行第三回合計算如下： Tan/管理數學 第4章 第204頁

59 例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋（續） 解（續）：
例題 4 單行法的三度空間幾何詮釋（續） 解（續）： 檢視表格最後一列已不見負數，表示已達最佳解，其解為x = 2, y = 1, z = 1, u = 0, v = 0, w = 0 及P = 70。如圖4 的路徑所示，經過第三回合計算，我們由C點到達終點站H，得到目標函數的最大值70。 Tan/管理數學 第4章 第 頁

60 例題 5 製造業的生產排程 永新公司想要生產甲、乙和丙三款紀念品，且已知每個利潤分別為6元、5元和4元。每製造一個甲紀念品，需使用機器一2分鐘，機器二1分鐘，機器三2分鐘；每製造一個乙紀念品，需使用機器一1分鐘，機器二3分鐘，機器三1 分鐘；每製造一個丙紀念品，需使用機器一1 分鐘，機器二及三各2分鐘。已知機器一可使用的總時數是3小時，機器二為5小時，機器三為4小時。試問永新公司每款紀念品應生產多少個，以使利潤最大？ (本例題係第2.1 節例題1的擴充) Tan/管理數學 第4章 第205頁

61 例題 5 製造業的生產排程（續） 解： 根據題意，先行整理出下表： Tan/管理數學 第4章 第205頁

62 例題 5 製造業的生產排程（續） 解（續）： 令x, y和z分別為甲、乙和丙三款紀念品的生產量。在這樣的產量分配下，我們共需使用機器一2x + y + z分鐘，且不能超過機器一可使用的時間，即180分鐘，由此列出下面第一條不等式： Tan/管理數學 第4章 第205頁

63 例題 5 製造業的生產排程（續） 解（續）： 同樣地，我們可以針對機器二與三列出使用時間的不等式： 而生產與銷售三款紀念品所得的利潤為
例題 5 製造業的生產排程（續） 解（續）： 同樣地，我們可以針對機器二與三列出使用時間的不等式： 而生產與銷售三款紀念品所得的利潤為 Tan/管理數學 第4章 第205頁

64 例題 5 製造業的生產排程（續） 解（續）： 因此，我們得到如下的線性規劃問題： Tan/管理數學 第4章 第 頁

65 例題 5 製造業的生產排程（續） 解（續）： 此為標準極大化問題。首先加上閒置變數u, v, w並改寫目標函數，得到以下線性方程組：
例題 5 製造業的生產排程（續） 解（續）： 此為標準極大化問題。首先加上閒置變數u, v, w並改寫目標函數，得到以下線性方程組： Tan/管理數學 第4章 第206頁

66 例題 5 製造業的生產排程（續） 解（續）： 接著建立初始單形表並解題： Tan/管理數學 第4章 第206頁

67 例題 5 製造業的生產排程（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第206頁

68 例題 5 製造業的生產排程（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第207頁

69 例題 5 製造業的生產排程（續） 解（續）： 檢視表格最後一列已不見負數，表示已達最佳解，其解為
例題 5 製造業的生產排程（續） 解（續）： 檢視表格最後一列已不見負數，表示已達最佳解，其解為 x = y = z = 0 u = 0 v = 0 w = P = 708 故若永新公司每天生產甲紀念品48個、乙紀念品84個，不生產丙紀念品，將可獲得最大利潤708 元。這裡的w = 60 代表機器三尚餘60分鐘或1小時的可用時間。 Tan/管理數學 第4章 第207頁

70 例題 6 單形法無解的情況 求解下面的線性規劃問題： Tan/管理數學 第4章 第208頁

71 例題 6 單形法無解的情況（續） 解： 加上閒置變數u, v並改寫目標函數後，我們得到以下線性方程組： Tan/管理數學 第4章 第208頁

72 例題 6 單形法無解的情況（續） 解（續）： 接著建立初始單形表，並開始第一回合計算： Tan/管理數學 第4章 第208頁

73 例題 6 單形法無解的情況（續） 解（續）： 我們可以看到樞紐行(即y行)沒有任何正數，因此不能計算比值，此即表示遇上無解的狀況，須終止單形法。 Tan/管理數學 第4章 第208頁

74 例題 7 單形法有無限多個解的情況 求解下面的線性規劃問題： (此線性規劃問題亦出現於習題3.3的第5 題) Tan/管理數學
例題 7 單形法有無限多個解的情況 求解下面的線性規劃問題： (此線性規劃問題亦出現於習題3.3的第5 題) Tan/管理數學 第4章 第 頁

75 例題 7 單形法有無限多個解的情況（續） 解： 加上閒置變數u, v並改寫目標函數後，我們得到以下線性方程組： Tan/管理數學
例題 7 單形法有無限多個解的情況（續） 解： 加上閒置變數u, v並改寫目標函數後，我們得到以下線性方程組： Tan/管理數學 第4章 第209頁

76 例題 7 單形法有無限多個解的情況（續） 解（續）： 接著建立初始單形表，並開始第一回合計算： Tan/管理數學 第4章 第209頁

77 例題 7 單形法有無限多個解的情況（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第209頁

78 例題 7 單形法有無限多個解的情況（續） 解（續）：
例題 7 單形法有無限多個解的情況（續） 解（續）： 至此我們看到y並非單位行，然而y行最後一列為0！此即代表單形法遇上無限多個解的狀況。當一回合的計算結束時，表格最後一列垂直線左側有0位於非單位行上，即可判斷此線性規劃問題有無限多個解。 Tan/管理數學 第4章 第209頁

79 4.2 單形法：標準極小化問題 具限制式的極小化問題
在第4.1 節裡，我們提到標準極大化問題的條件為： 目標函數欲尋求極大化。 問題中使用的變數都限定是非負。 每一條限制式都表示成小於等於( )某一非負的常數。 而本節探討的主題是極小化問題。我們先考慮符合上述條件2與3，但是目標函數欲尋求極小化的線性規劃問題。 Tan/管理數學 第4章 第218頁

80 例題 1 求解下列線性規劃問題： Tan/管理數學 第4章 第218頁

81 例題 1（續） 解： 本例的目標函數欲尋求極小化，因此不可能歸為標準極大化問題，但我們可以檢驗它符合前述的條件2與3。在此情況下，可令P = C，則C的極小值相當於P的極大值。因此，原線性規劃問題可視為目標函數P的極大化問題，亦即限制式完全保持一樣時，初始問題即被轉變成標準極大化問題了。 Tan/管理數學 第4章 第218頁

82 例題 1（續） 解（續）： 以下我們先利用單形法求解轉換後的標準極大化問題。加上閒置變數u, v，建立初始單形表，並開始進行反覆運算之後，所得一系列表格如下： Tan/管理數學 第4章 第218頁

83 例題 1（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第219頁

84 例題 1（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第219頁

85 例題 1（續） 解（續）： 至此我們已得到單形表的最後形式，可以解讀出最佳解為x = 4, y = 3與P = 17，因此，初始問題的解為 x = 4, y = 3 與C = 17。 Tan/管理數學 第4章 第219頁

86 對偶問題 每一個極大化線性規劃問題都對應一個極小化問題，反之亦然。為了做區隔，我們稱初始給定的問題為原始問題(primal problem)，而與之相對的問題稱為對偶問題(dual problem)。我們於例題2示範如何建構對偶問題。 Tan/管理數學 第4章 第220頁

87 例題 2 寫出下列問題的對偶問題： Tan/管理數學 第4章 第220頁

88 例題 2（續） 解： 我們先針對原始問題產生下面的表格： Tan/管理數學 第4章 第220頁

89 例題 2（續） 解（續）： 將行與列對調後，得到3 列3行的新表： Tan/管理數學 第4章 第220頁

90 例題 2（續） 解（續）： 我們把這表格視為一個標準極大化問題的初始單形表，但最後一列轉換成目標函數時，係數符號維持不變，建立了如下的一個對偶問題： Tan/管理數學 第4章 第220頁

91 對偶問題 定理1：對偶基本定理 一個原始問題有解若且唯若其對應的對偶問題有解。再者，如果解存在，則有下面性質：
a. 原始問題與對偶問題的目標函數達到相同的最佳值。 b. 原始問題的最佳解，位於對偶問題的最後單形表之最 後一列，就在閒置變數下方。 Tan/管理數學 第4章 第223頁

92 例題 3 寫出下列問題的對偶問題： Tan/管理數學 第4章 第223頁

93 例題 3（續） 解： 我們先針對原始問題產生以下表格： Tan/管理數學 第4章 第223頁

94 例題 3（續） 解（續）： 將行與列對調後，得到3 列4行的新表： Tan/管理數學 第4章 第 頁

95 例題 3（續） 解（續）： 我們將此表視為一個標準極大化問題的初始單形表，但最後一列轉換成目標函數時，係數符號維持不變。因此，建立如下對偶問題： Tan/管理數學 第4章 第224頁

96 例題 3（續） 解（續）： 因對偶問題已經屬標準極大化問題，故可採用第4.1節單形法的運算求解。加入閒置變數x, y (請記得使用原始問題的變數符號做為閒置變數的名稱)並改寫目標函數後，我們得到以下線性方程組： Tan/管理數學 第4章 第224頁

97 例題 3（續） 解（續）： 接著建立初始單形表，並開始單形法的運算： Tan/管理數學 第4章 第224頁

98 例題 3（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第225頁

99 例題 3（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第225頁

100 例題 3（續） 解（續）： 至此已得到最後單形表，而對偶基本定理告訴我們，原始問題的解為x = 30, y = 120，且目標函數C的極小值等於1,140。至於對偶問題的解，則與之前讀 取最後單形表的最佳解方式一樣，為 w = 0與極大值P = 1,140。本節例題3 的答案與第3.3 節例題2 角落法所求得的解相同。 Tan/管理數學 第4章 第225頁

101 例題 4 求解下列標準極小化問題： Tan/管理數學 第4章 第225頁

102 例題 4（續） 解： 我們先針對原始問題產生以下表格： Tan/管理數學 第4章 第226頁

103 例題 4（續） 解（續）： 將行與列對調後，得到3 列4行的新表： Tan/管理數學 第4章 第226頁

104 例題 4（續） 解（續）： 我們將此表視為一個標準極大化問題的初始單形表，但最後一列轉換成目標函數時，係數符號維持不變。因此，建立了如下對偶問題： Tan/管理數學 第4章 第226頁

105 例題 4（續） 解（續）： 由此加上閒置變數x, y並改寫目標函數後，我們得到以下線性方程組： Tan/管理數學 第4章 第226頁

106 例題 4（續） 解（續）： 接著建立初始單形表，並開始單形法的運算： Tan/管理數學 第4章 第 頁

107 例題 4（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第227頁

108 例題 4（續） 解（續）： 我們至此已得到最後單形表，而對偶基本定理告訴我們，原始問題的解為x = 20, y=16，且目標函數C的極小值等於92。 Tan/管理數學 第4章 第227頁

109 例題 5 倉庫問題 求解第3.2節的例題3。 (14) (15) Tan/管理數學 第4章 第228頁

110 例題 5（續） 解： 首先設法將此問題轉換成標準極小化問題，因此須將(15) 的前兩個不等式轉換成大於等於()某一個常數的形式，這可藉由將不等式乘上1而達到目的。因此，我們得到以下不等式系統： Tan/管理數學 第4章 第228頁

111 例題 5（續） 解（續）： 當標準極小化問題轉換完成後，便可以著手進行對偶問題的轉換。我們先針對原始問題產生以下表格： Tan/管理數學
第4章 第228頁

112 例題 5（續） 解（續）： 將行與列對調後，得到7 列6行的新表： Tan/管理數學 第4章 第 頁

113 例題 5（續） 解（續）： 我們將此表視為一個標準極大化問題的初始單形表，但最後一列轉換成目標函數時，係數符號維持不變。因此，建立了如下對偶問題： Tan/管理數學 第4章 第229頁

114 例題 5（續） 解（續）： 由此加上閒置變數x1, x2, ... , x6並改寫目標函數後，接著建立初始單形表，並開始單形法的運算：
Tan/管理數學 第4章 第229頁

115 例題 5（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第230頁

116 例題 5（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第230頁

117 例題 5（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第230頁

118 例題 5（續） 解（續）： Tan/管理數學 第4章 第231頁

119 例題 5（續） 解（續）： 我們至此已得到最後單形表，而對偶基本定理告訴我們，原始問題的解為
因此，雅音公司應從廠Ⅰ運送300 組F型喇叭系統至倉庫B、100 組至倉庫C；從廠Ⅱ運送200 組F型喇叭系統至倉庫A、300 組至倉庫C，使運輸成本達到最低，為11,200 元。 Tan/管理數學 第4章 第231頁