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章末归纳总结
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坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法，它是用代数的方法研究 几何问题．
本章介绍了研究圆锥曲线问题的基本思路，建立直角坐标系，设 出点的坐标，根据条件列出等式，求出圆锥曲线方程，再通过曲 线方程，研究曲线的几何性质． 本章内容主要有两部分：一部分是求椭圆、双曲线、抛物线的标 准方程，基本方法是利用定义或待定系数法来求；另一部分是研 究椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，并利用它们的几何性质解 决有关几何问题．
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学习本章应深刻体会数形结合的思想，转化的思想，函数的思想 及待定系数法等重要的数学思想和方法．
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椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质是圆锥曲线 的重点内容，是历年高考的重点．重在考查基础知识、基本思想 方法，例如数形结合思想和方程思想等．而该部分在高考中多以 选择题、填空题为主，为中档题目．
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[答案] A
![[答案] A](http://slidesplayer.com/slide/11765394/65/images/10/%5B%E7%AD%94%E6%A1%88%5D+A.jpg "[答案] A")
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[分析] 此题用基本坐标法求解，运算相当繁琐，而且一时难以 理出思路．本题易借助几何图形的几何性质加以解决．
![[分析] 此题用基本坐标法求解，运算相当繁琐，而且一时难以 理出思路．本题易借助几何图形的几何性质加以解决．](http://slidesplayer.com/slide/11765394/65/images/11/%5B%E5%88%86%E6%9E%90%5D+%E6%AD%A4%E9%A2%98%E7%94%A8%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%9D%90%E6%A0%87%E6%B3%95%E6%B1%82%E8%A7%A3%EF%BC%8C%E8%BF%90%E7%AE%97%E7%9B%B8%E5%BD%93%E7%B9%81%E7%90%90%EF%BC%8C%E8%80%8C%E4%B8%94%E4%B8%80%E6%97%B6%E9%9A%BE%E4%BB%A5+%E7%90%86%E5%87%BA%E6%80%9D%E8%B7%AF%EF%BC%8E%E6%9C%AC%E9%A2%98%E6%98%93%E5%80%9F%E5%8A%A9%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%9B%BE%E5%BD%A2%E7%9A%84%E5%87%A0%E4%BD%95%E6%80%A7%E8%B4%A8%E5%8A%A0%E4%BB%A5%E8%A7%A3%E5%86%B3%EF%BC%8E.jpg "[分析] 此题用基本坐标法求解，运算相当繁琐，而且一时难以 理出思路．本题易借助几何图形的几何性质加以解决．")
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[说明] 看似凌乱繁多的条件，应用圆锥曲线的定义求解，可避 免很多繁琐的计算，提高解题效率．
![[说明] 看似凌乱繁多的条件，应用圆锥曲线的定义求解，可避 免很多繁琐的计算，提高解题效率．](http://slidesplayer.com/slide/11765394/65/images/13/%5B%E8%AF%B4%E6%98%8E%5D+%E7%9C%8B%E4%BC%BC%E5%87%8C%E4%B9%B1%E7%B9%81%E5%A4%9A%E7%9A%84%E6%9D%A1%E4%BB%B6%EF%BC%8C%E5%BA%94%E7%94%A8%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E6%B1%82%E8%A7%A3%EF%BC%8C%E5%8F%AF%E9%81%BF+%E5%85%8D%E5%BE%88%E5%A4%9A%E7%B9%81%E7%90%90%E7%9A%84%E8%AE%A1%E7%AE%97%EF%BC%8C%E6%8F%90%E9%AB%98%E8%A7%A3%E9%A2%98%E6%95%88%E7%8E%87%EF%BC%8E.jpg "[说明] 看似凌乱繁多的条件，应用圆锥曲线的定义求解，可避 免很多繁琐的计算，提高解题效率．")
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(2010·重庆理，10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在 过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 ( )
A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 [答案] D
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[解析] 如图所示，设两异面直线为m，n过n上任一点O，作m的 平行线m′，设m′与n确定的平面为α，以O为原点，m′，n分别为x轴， y轴建立坐标系，设与两异面直线距离相等的点为M(x，y)，令m为 平面α的距离为d，由题意|x|2＋d2＝|y|2， 即y2－x2＝d2故轨迹为双曲线.
![[解析] 如图所示，设两异面直线为m，n过n上任一点O，作m的 平行线m′，设m′与n确定的平面为α，以O为原点，m′，n分别为x轴， y轴建立坐标系，设与两异面直线距离相等的点为M(x，y)，令m为 平面α的距离为d，由题意|x|2＋d2＝|y|2，](http://slidesplayer.com/slide/11765394/65/images/15/%5B%E8%A7%A3%E6%9E%90%5D+%E5%A6%82%E5%9B%BE%E6%89%80%E7%A4%BA%EF%BC%8C%E8%AE%BE%E4%B8%A4%E5%BC%82%E9%9D%A2%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E4%B8%BAm%EF%BC%8Cn%E8%BF%87n%E4%B8%8A%E4%BB%BB%E4%B8%80%E7%82%B9O%EF%BC%8C%E4%BD%9Cm%E7%9A%84+%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E7%BA%BFm%E2%80%B2%EF%BC%8C%E8%AE%BEm%E2%80%B2%E4%B8%8En%E7%A1%AE%E5%AE%9A%E7%9A%84%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E4%B8%BA%CE%B1%EF%BC%8C%E4%BB%A5O%E4%B8%BA%E5%8E%9F%E7%82%B9%EF%BC%8Cm%E2%80%B2%EF%BC%8Cn%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAx%E8%BD%B4%EF%BC%8C+y%E8%BD%B4%E5%BB%BA%E7%AB%8B%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BB%EF%BC%8C%E8%AE%BE%E4%B8%8E%E4%B8%A4%E5%BC%82%E9%9D%A2%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E8%B7%9D%E7%A6%BB%E7%9B%B8%E7%AD%89%E7%9A%84%E7%82%B9%E4%B8%BAM%28x%EF%BC%8Cy%29%EF%BC%8C%E4%BB%A4m%E4%B8%BA+%E5%B9%B3%E9%9D%A2%CE%B1%E7%9A%84%E8%B7%9D%E7%A6%BB%E4%B8%BAd%EF%BC%8C%E7%94%B1%E9%A2%98%E6%84%8F%7Cx%7C2%EF%BC%8Bd2%EF%BC%9D%7Cy%7C2%EF%BC%8C.jpg "即y2－x2＝d2故轨迹为双曲线.")
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(1)直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度看有三种：相离、相 交和相切，相离和相切，直线与圆锥曲线分别无公共点和有一个 公共点．相交时，直线与椭圆有两个公共点，但直线与双曲线， 抛物线的公共点个数可能为一个(直线与双曲线的渐近线平行时， 直线与抛物线的轴平行时)或两个．
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(2)直线与圆锥曲线的位置关系，从代数角度看(几何问题代数化) 是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有 两组解是必相交，若二次项系数为零，有一组解也相交(代数结果 几何化)．
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(4)在解决直线与圆锥曲线的位置关系中，常用的数学思想方法有： ①方程的思想；②数形结合思想；③设而不求与整体代入的技巧 与方法．
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(1)求椭圆的方程； (2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M、N.当|AM|＝ |AN|时，求m的取值范围．
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[说明] 注意表达定量及中点坐标公式的应用．解决本题，亦可 用“点差法”，即设而不求，直接整体表达直线斜率．从而由点 斜式得直线方程．解决本题也可用两方程直接相减求解．
![[说明] 注意表达定量及中点坐标公式的应用．解决本题，亦可 用 点差法 ，即设而不求，直接整体表达直线斜率．从而由点 斜式得直线方程．解决本题也可用两方程直接相减求解．](http://slidesplayer.com/slide/11765394/65/images/25/%5B%E8%AF%B4%E6%98%8E%5D+%E6%B3%A8%E6%84%8F%E8%A1%A8%E8%BE%BE%E5%AE%9A%E9%87%8F%E5%8F%8A%E4%B8%AD%E7%82%B9%E5%9D%90%E6%A0%87%E5%85%AC%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%BA%94%E7%94%A8%EF%BC%8E%E8%A7%A3%E5%86%B3%E6%9C%AC%E9%A2%98%EF%BC%8C%E4%BA%A6%E5%8F%AF+%E7%94%A8+%E7%82%B9%E5%B7%AE%E6%B3%95+%EF%BC%8C%E5%8D%B3%E8%AE%BE%E8%80%8C%E4%B8%8D%E6%B1%82%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E6%95%B4%E4%BD%93%E8%A1%A8%E8%BE%BE%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E6%96%9C%E7%8E%87%EF%BC%8E%E4%BB%8E%E8%80%8C%E7%94%B1%E7%82%B9+%E6%96%9C%E5%BC%8F%E5%BE%97%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%8E%E8%A7%A3%E5%86%B3%E6%9C%AC%E9%A2%98%E4%B9%9F%E5%8F%AF%E7%94%A8%E4%B8%A4%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E7%9B%B8%E5%87%8F%E6%B1%82%E8%A7%A3%EF%BC%8E.jpg "[说明] 注意表达定量及中点坐标公式的应用．解决本题，亦可 用 点差法 ，即设而不求，直接整体表达直线斜率．从而由点 斜式得直线方程．解决本题也可用两方程直接相减求解．")
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(2010·山东文，9)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的 直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该 抛物线的准线方程为 ( )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 [答案] B
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圆锥曲线中最值问题是高考中的重要内容之一，有选择题，也有 填空题和解答题，综合性较强，有一定的难度，因此在平时的学 习过程中要注意总结．常见题型有运用圆锥曲线的定义求最值和 运用圆锥曲线的性质求最值等．
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[例5] 已知点A(4，－2)，F为抛物线y2＝8x的焦点，点M在抛物线 上移动．当|MA|＋|MF|取最小值时，点M的坐标为 ( )
![[例5] 已知点A(4，－2)，F为抛物线y2＝8x的焦点，点M在抛物线 上移动．当|MA|＋|MF|取最小值时，点M的坐标为 ( )](http://slidesplayer.com/slide/11765394/65/images/29/%5B%E4%BE%8B5%5D+%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E7%82%B9A%284%EF%BC%8C%EF%BC%8D2%29%EF%BC%8CF%E4%B8%BA%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BFy2%EF%BC%9D8x%E7%9A%84%E7%84%A6%E7%82%B9%EF%BC%8C%E7%82%B9M%E5%9C%A8%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF+%E4%B8%8A%E7%A7%BB%E5%8A%A8%EF%BC%8E%E5%BD%93%7CMA%7C%EF%BC%8B%7CMF%7C%E5%8F%96%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E6%97%B6%EF%BC%8C%E7%82%B9M%E7%9A%84%E5%9D%90%E6%A0%87%E4%B8%BA+%28+%29.jpg "[例5] 已知点A(4，－2)，F为抛物线y2＝8x的焦点，点M在抛物线 上移动．当|MA|＋|MF|取最小值时，点M的坐标为 ( )")
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[例6] 过抛物线y2＝2px的焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，求 |AB|＋|CD|的最小值．
![[例6] 过抛物线y2＝2px的焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，求 |AB|＋|CD|的最小值．](http://slidesplayer.com/slide/11765394/65/images/31/%5B%E4%BE%8B6%5D+%E8%BF%87%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BFy2%EF%BC%9D2px%E7%9A%84%E7%84%A6%E7%82%B9F%E4%BD%9C%E4%B8%A4%E6%9D%A1%E4%BA%92%E7%9B%B8%E5%9E%82%E7%9B%B4%E7%9A%84%E5%BC%A6AB%E3%80%81CD%EF%BC%8C%E6%B1%82+%7CAB%7C%EF%BC%8B%7CCD%7C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%EF%BC%8E.jpg "[例6] 过抛物线y2＝2px的焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，求 |AB|＋|CD|的最小值．")
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