二次曲线小结 二次曲线小结 曹杨职校 授课 人：陈开运.

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1 二次曲线小结 二次曲线小结 曹杨职校 授课 人：陈开运

2 二次曲线小结 附录 圆 学习导航与要求 椭圆 双曲线 双曲线 抛物线 概念的精细化 二次曲线发展史 曲线的个性与共性 观看网上动态曲线
双曲线定义的盲点 双曲线的渐近线 概念的精细化 直线与双曲线关系 二次曲线发展史 曲线的个性与共性 观看网上动态曲线 技巧与题型归类 离心率分析 目标诊断题 附录 纲要信号图表 几种曲线定义 曲线与方程 一般二次方程的讨论 Excel作图 曲线的切线

3 圆的学习要求和导航 继续 学习要求： 掌握由圆的定义推导圆的标准方程，理解参数 a,br的几何意义，掌握一般方程和标准方程的互化，用圆方程解决有关问题，解决直线与圆、圆与圆的位置关系。 学习导航： 圆的定义与标准方程 圆的几何定义 几何量间的关系d(P,M)=r 代数等式 (x-a)2+(y-b)2=r2 ,a,b,r的意义。 由(x-a)2+(y-b)2=r x2+y2+Dx+Ey +F=0 且与Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0比较，得出圆方程 A=C≠0，B=0， 且D2+E2-4F>0 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心（-D/2，-E/2） 半径 r= 圆与直线的关系，圆心M（a,b),半径r 直线 Ax+By+C=0, d>r相离，d=r相切，d<r相交 圆与圆关系 两圆的圆心(a1,b1),(a2,b2),两圆的半径r1,r1两圆的圆心距 关于相切： （1） 过圆上一点（x0,y0) 公式法： （x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 判别式法：设切线y-y0=k(x-x0)代入圆方程，消去 y得相应x的二次方程，由判别式Δ=0可求得 k 从而得切线。 几何法：由圆心到切线距离r确定k而得切线 。 （2）圆外一点（x0,y0)的切线可仿上述判别式法、几何法处理。 d的范围 ~ |r1-r2| r1+r2 d>r1+r2 位置关系 同心 内含 内切 相交 外切 外离

4 圆的公式 图形 x2+y2=r2 回主页 直角坐标方程 参数方程 过圆上一点（ x0,y0)的切线 圆心在原点，半径为r * x=rcosθ
y=rsinθ x0x+y0y=r2 圆心在(r,0),半径为r x2+y2=2rx * x=r(1+cosθ) xox+yoy=r(x+xo) 圆心在（a,b),半径为r (x-a)2+(y-b)2=r2 * x=a+rcosθ y=b+rsinθ (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 圆心在(-D/2,-E/2),半径为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 x0x+y0y+D(x+x0)/2+E(y+y0)/2+F=0 *过三点A(x1,y1)，B(x2,y2)C(x3,y3)的圆 x2+y2 x y 1 x12+y x1 y1 1 x22+y x2 y =0 x32+y32 x3 y3 1 **过圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和圆x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆 m(x2+y2+D1x+E1y+F1 )+n(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 其中m,n不同时为零 回主页

5 椭圆的学习要求与导航 继续 学习要求 知道椭圆定义并推出椭圆标准方程，理解参数a,b,c,e 的相互关系和几何意义。
能灵活应用椭圆定义、方程及性质解决问题（椭圆作图）。 学习导航 椭圆方程的定义及参数a,b,c,(e)是椭圆所特有的，与坐标无关。 a>b>0,c2=a2-b2,(e=c/a)必须牢固掌握。 椭圆的性质（有心、封闭的曲线），椭圆曲线的范围，掌握曲线（椭圆）对称性的判别，与坐标轴的交点。 特别： 1.椭圆的焦点一定在长轴上， 2. a,b,c三个参数的关系是满足以 a为斜边的 直角三角形勾股定理a2=b2+c2。 3.标准方程中a对应的变量x（或y)，表明焦点就在x轴（或y轴）。 直线与椭圆的位置关系： 把直线与椭圆的方程组消元后得一元二次方程，它的判别式Δ>0直线与椭圆相交 Δ=0直线与椭圆相切 Δ <0直线与椭圆相离

6 椭圆的标准方程与性质 标准方程 图形 顶点 （-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b) (0,-a)(0,a)(-b,0)(b,0)
对称轴 x轴y轴，长轴长2a，短轴长2b x轴y轴,长轴长2a，短轴长2b 对称中心 （0，0） 焦点 （-c,0)(c,0),焦点在x轴 （0，-c)(0,c),焦点在y轴 焦距 |F1F2|=2c,c2=a2-b2 |F1F2|=2c.c2=a2-b2 (离心率) e=c/a 回主页

7 双曲线的学习要求和学习导航 学习要求 知道双曲线的定义，理解双曲线标准方程的参数a,b,c,e的几何意义和相互关系，根据条件熟练写出双曲线的标准方程，灵活应用双曲线的定义，方程及性质解有关问题。 学习导航 学习时，要与椭圆的标准方程进行比较，加深这两种曲线之间的区别和联系。 必须理解双曲线参数 a,b,c,e是双曲线所固有的，与坐标的建立无关。 双曲线有心但不封闭，所以存在这样的特殊情况，直线平行 双曲线的渐进线但与双曲线仅有一个交点，而并不相切。因此，直线与双曲线只有一个交点，是直线与双曲线相切的必要而非充分条件。 继续 什么时候直线与双曲线有一个交点？两个交点？没有交点？

8 双曲线的标准方程与性质 标准方程 图形 顶点 (-a,0) (a,0) (0,-a) (0,a) 对称轴 X轴y轴，实轴2a，虚轴2b
对称中心 (0,0) 焦点 (-c,0) (c,0) (0,-c) (0,c) (离心率) e=c/a 焦距 |F1F2|=2c c2=a2+b2 渐进线 y=±bx/a y=±ax/b 回主页

9 双曲线定义的三个“盲点” 回主页 双曲线定义：“平面内与两个定点F1F2的距离之差的绝对值是常量（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。”
将“小于|F1F2|”改成“大于|F1F2|”，经过演示，点的轨迹不存在。将“小于|F1F2|”改成“等于|F1F2|”，经过演示，点的轨迹不再是双曲线，而是以F1F2为起点的两条射线。 盲点2： “绝对值” 若将“绝对值”去掉，经过演示点的轨迹不再是两支曲线，只有一支，即左支或右支。 盲点3 ：“常数” 若常数等于零，点的轨迹是什么？经过演示，不难发现点的轨迹是线段F1F2的中垂线。 思考题： 学习椭圆，抛物线的定义要注意什么？

10 双曲线与它的渐近线 回主页 双曲线方程 可得 可以看出，随着 x无限变大，y也无限变大 所以双曲线是无界的，为了更好研究它无限
双曲线方程 可得 可以看出，随着 x无限变大，y也无限变大 所以双曲线是无界的，为了更好研究它无限 伸展的趋势，把上式改为 当x无限变大时， 趋近于0 这时，y就渐近于±b/a x，说明当x无限增大， 双曲线愈来愈接近直线y=± b/a x, 并且不论x 有多大，在第一象限内总有： X无限变大，双曲线无限逼近渐近线，但永远 不会相连接。 设在第一象限内取x0 ，渐近线对应y1,双曲线 对应y0 ，有 说明了①在第一象限内，对同样的x渐近 线的值大于双曲线的值，②x无限增大， y1-y0 也无限趋向于0 思考题： ①你能说说离心率e与双曲线渐近线开口 大小的关系吗？ ②你能举出其他已学的函数或方程的曲 线的渐近线的例子吗？

11 抛物线的学习要求和学习导航 图形 回主页 继续 学习要求
掌握抛物线的定义，熟记四种标准方程，了解 焦参数 p 的几何意义，掌握抛物线的几何性质并能运用解决有关问题。 学习导航 掌握抛物线的定义，推导和建立抛物线的标准方程。用定义解题有时更简洁，虽然抛物线只一个参数，只须一个条件就可以求出，但有四个标准方程，所以必须掌握它的特征和对应的抛物线的开口方向，对称轴，焦点位置和准线的关系。 了解二次曲线的几种定义，对提高解题能力是有帮助的。 直线与抛物线的位置关系，特别注意相切的情况。由于抛物线与对称轴只一个交点，而它不是抛物线的切线， 所以直线与抛物线相切并不是直线 与抛物线只有一个公共点的充要条件。 图形 方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 对称轴 y=0 x=0 焦点 (p/2,0) (-p/2,0) (0,p/2) (0,-p/2) 准线 x=-p/2 x=p/2 y=-p/2 y=p/2

12 坐标平移 回主页 二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 通过坐标平移可以消去一次项，简化方 程的表达式。
坐标系的改变，曲线的位置形状和大小 都没有改变，点的坐标和方程也随之改 变。 坐标的平移公式：x=x’+h x’=x-h y=y’+k y’=y-k 主要题目类型： 1。已知原坐标系，新坐标原点，求一些点和方程的在新坐标系中的表达式。 2。已知新坐标系，原坐标的原点，求一些点和方程的在原坐标系中的表达式。 3。二次曲线方程经过配方成完全平方式 用平移公式简化。 4。把x=x’+h , y=y’+k 代入曲线方程，使一次项系数为0，简化曲线方程。

13 回主页 你还想学点吗？ 继续 除了书本上二次曲线的定义外，还有一种统一的定义：平面上，一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比是一个常数，动点的轨迹叫做圆锥曲线。这一定点叫做焦点，定直线叫做准线，这个常数叫做离心率。离心率小于1时叫做椭圆，离心率大于1时叫做双曲线，离心率等于1时叫做抛物线。 以焦点F为原点，经过焦点作准线l 的垂线为x轴，（取垂足到焦点的方向为正方向）建立直角坐标系。设焦点到准线的距离为p ,离心率为e，可得到直角坐标系中圆锥曲线的统一方程： (1-e2)x2+y2-2e2px-e2p2=0 又以焦点F为极点，经过焦点作准线l的垂线为极轴（取垂足到焦点的方向为正方向），建立极坐标系，得到极坐标系中圆锥曲线的统一方程 思考题 1，一个动点到两个定点（-3，0）（3，0）的斜率的积为-1，这轨迹是什么曲线？ 若斜率的积为-1/4，是什么曲线？若斜率的积为1/4，是什么曲线？ 2，一个动点到两个定点（-3，0）（3，0）的距离的平方差为常量，这轨迹是什么曲线？ ： 圆锥截线

14 你还想学点吗？---离心率概念分析 下的不同表现。三种曲线可统一定义为：平面内到一定点和一定直线的距离之比等于常数e的动点轨迹叫二次曲线。
建立适当的坐标，轨迹上任一点M(x,y),定点F(p,0)所以 整理即得 （1-e2)x2+y2-2px+p2=0当0<e<1,e=1,e>1方程分别是椭圆，抛物线，双曲线。 “对立统一，量变到质变” e 椭圆 圆，e ,椭圆变得愈来愈扁，e=1为抛物线，e>1为双曲线，e 增大，则 b/a= 也变大，双曲线开口变大，反之，开口变小。 E趋向于1时，渐近线倾斜角近于0。 离心率是反映了二次曲线的形态及性质的重要概念。 引入定义：椭圆的焦距2c与长轴2a 的比叫做椭圆的离心率，类似的给出了双曲线，抛物线的离心率定义。 离心率定义 有两个要点：一个距离与长度有序之比，e=c/a>0 离心率取值范围：椭圆：2c<2a,故0<e<1,在双曲线：2c>2a,得 e>1,按抛物线定义，e=1。 离心率与圆周率是几何中的两大比率，它们的共同特点：均为两个定量的有序之比，区别在于前者适用于二次曲线，后者只适用于圆；e值有相对的任意性（可变），π却具有唯一性（无理常数）。 离心率深刻揭示了二次曲线的实质，沟通了它们的关系。椭圆，双曲线，抛物线三者关系密切，是同一定义 回主页

15 圆锥曲线（圆锥截线） 你能说出截面的条件吗？ 圆锥的顶角影响曲线形状吗？ 回主页 继续 点（点圆） 圆 椭圆 双曲线 抛物线
圆锥曲线退化为两条直线， 一条直线

16 二次曲线的发展史 回主页 公元前四世纪，古希腊学者梅纳科莫斯最早通过截割圆锥的方法得到三种不同类型的曲线—椭圆（圆）、双曲线、抛物线，统称圆锥曲线。许多学者继续研究这一课题，最有成就的是生于小亚细亚佩加城的阿波罗尼，他将自已的成果写成八大卷的《圆锥曲线论》，成为这一课题的经典文献。 十六世纪，著名天文学家开普勒发现行星按椭圆形轨道运行，著名天文学家伽里略证明了不计阻力的斜抛运动的轨迹是抛物线。这说明了圆锥曲线并不是附生于圆锥之上的静态曲线，而是自然界中物体常见的运动形式。 1629年，法国数学家费马在《平面和立体轨迹引论》一书中，运用斜角坐标研究圆锥曲线，证明了圆锥曲线的方程都是含有二个未知数且最高次幂是二次的方程。反之，一般二元二次方程点的轨迹是圆锥曲线。1655年，英国数学家沃利斯在《圆锥截线论》中，干脆把圆锥曲线叫作二次曲线。 1748年，著名数学家欧拉在《无穷小分析引论》一文中，详细讨论了形如：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 的一般二次方程，证明经过平移、转轴变换，任何一个二次方程可以化为椭圆（圆）、双曲线、抛物线及它们的退化形式，所以二次曲线就是圆锥曲线。

17 椭圆双曲线抛物线基本性质 无心曲线 y2=2px 回主页 椭圆 双曲线 抛物线 图形 标准方程 (a>0,b>0) 中心
（a>b>o) (a>0,b>0) y2=2px 中心 （0，0） 有心 封闭曲线 （0，0） 有心开放曲线 无心曲线 顶点 （±a,0),(0,±b) (±a,0) 轴 对称轴：x轴，y轴 长轴：2a 短轴：2b 实轴：2a 虚轴：2b 对称轴：x轴 焦点 F1(-c,0) F2(c,0) |F1F2|=2c F(p/2,0) 离心率 e=c/a 0≤ e<1 e=c/a e>1 e=1 范围 |x|≤a,|y|≤b 封闭曲线 |x|≥a. y∈R 开放曲线 x≥0,y∈R 开放曲线 准线 x=±a2/c x=±a2/c 渐进线 y=±bx/a x=-p/2 回主页

18 一些常用技能技巧的梳理 继续 在巩固求曲线方程、应用曲线方程的基础上，练习常用的技能技巧，提高解题能力。 建立适当的坐标系
应用解几方法解题，必须建立坐标系，而且选定恰当的坐标系（一般是以原点、坐标轴对称的，或以原点为起点），简化曲线方程。 2.充分利用圆锥曲线特有的几何性质。 例如：m为何值时，直线2x-y+m=0和圆x2+y2=5①无公共点？②截得弦长为2？③交点处两条半径互相垂直？ 解：圆心（0，0）到直线距离d= 圆半径r= ,① 时即m<-5或m>5时圆和直线无公共点。②∵弦过中点的半径垂直于弦∴r2-d2=1即5-m2/5=1∴当m=± 时圆在直线上截得弦长为2 ③此时弦与过 弦两端的半径组成等腰直角三角形 ∴ 时过弦两端的半径互相垂直。 3 .圆锥曲线定义的应用 有些题目从表象上看较难，但用圆锥曲 线定义解题，问题迎刃而解。 继续

19 一些常用技能技巧的梳理 如图 双曲线方程 的左焦点作弦交曲线于A，B，连接AF2和 BF2，求|AF2|+|BF2|-|AB| 的值
解：||AF2|-|AF1||=2a=8, ||BF2|-|BF1||=2a=8, |AF2|+|BF2|-|AB| 的值为16。 曲线系方程的应用 方程f1(x,y)+λf2(x,y)=0表示的曲线经过曲线f1(x,y)=0和曲线f2(x,y)=0的交点 （A1x+B1y+C1)+λ（A2x+B2y+C2)=0表示过直线A1x+B1y+C1=0,A2x+ B2y+C2=0的 交点的一系列直线。 你能写出圆系列方程和双曲线系列方程吗？ 例题：一个圆经过已知圆x2+y2-x+y-2=0和x2+y2=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上求圆方程。 解：设所求圆方程为（ x2+y2-x+y-2）+ λ(x2+y2-5)=0即 （1+λ）x2+(1+λ)y2-x+y-(2+λ)=0 其圆心为（1/（2+2λ），-1/（2+2λ）） 在已知直线上， 得λ=-1.5,所求方程为： X2+y2+2x-2y-11=0 前一页 继续

20 一些常用技能技巧的梳理 韦达定理的应用： 例题1：已知直线l 过（1，0）点，倾斜角为π/4，求 l在椭圆x2+2y2=4 上截得的长？
回主页 韦达定理的应用： 例题1：已知直线l 过（1，0）点，倾斜角为π/4，求 l在椭圆x2+2y2=4 上截得的长？ 解：直线方程为y=x-1代入椭圆方程x2+2y2=4 ，得3 x2 -4x-2=0 设所截交点为AB |AB|2 =（x2-x1)2+(y2-y1)2 =2（x2-x1)2 =2((x2+x1)2 -4 x2x1 ) =80/9 |AB|= 继续

21 方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
一般二次方程的讨论 回主页 一般二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0经过旋转变换，适当选取θ角，化成 A’x’2+C’y’2+D’x’+E’y’+F’=0 关键看A’C’是否有一个为零？都不为零时它们是同号还是异号来决定。经过变换，-4A’C’=B2-4AC。Δ= B2-4AC为二次方程判别式。 方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 条件 类型 一般情况 特殊情况 B2-4AC<0 椭圆型 椭圆 一点或没有轨迹 B2-4AC>0 双曲线型 双曲线 两条相交直线 B2-4AC=0 抛物线型 抛物线 两条平行线或一条直线或没有轨迹

22 课堂训练题 你能做对多少题？ 选择题 回主页 继续 点的坐标是： A.(4,2 )或（4,-2 ）B.(5, )或（5,- )
1.如果方程x2+ky2=2表示焦点在 y轴上的 椭圆， 那么实数k 的取值范围是： A.(0, ＋∞）B.(0,2) C(1,＋∞）D（0，1） 2.焦点在（-1，0），顶点在（1，0）的抛物线 方程是： A.y2=8(x+1) B. y2=-8(x+1) C. y2=8(x-1) D. y2=-8(x-1) 3.椭圆x2+9/5 y2=36的离心率为: A.1/3 B.2/ C.1/ D.3/4 4. 设椭圆 的两个焦点分别是F1和 F2, 短轴的一个端点是B,则△B F1 F2的周长是: A B C D. 5.若抛物线y2=2x上一点到焦点距离为5，则该 点的坐标是： A.(4, )或（4, ）B.(5, )或（5, ) C.(4.5,3)或（4.5,-3) D(6,2 )或（6, ) 6.以坐标轴为对称轴，中心在原点，实轴长为 10，焦距为12 的双曲线方程是： A.x2/25 -y2/11 =1 或.y2/25 –x2/61 =1 B. .x2/25 -y2/11 =1 或y2/25 –x2/11 =1 C. x2/61 -y2/25 =1 或y2/25 –x2/61 =1 D. x2/61 -y2/25 =1 或y2/25 –x2/11 =1 7.若方程 表示双曲线，则 k 的值的范围是： A.k<16 B.k>25 C.16<k<25 D.k<16或k>25 继续 你能做对多少题？

23 圆的目标诊断题 继续 1. 写出圆心在（0，-3），半径是 的圆方程。(A1) 2. 下列方程表示社么图形：
(1) (x-3)2+y2=0; (2) x2+y2-2x+2y-2=0; (3) x2+y2+2ab=0。(B1) 3. 写出过圆x2+y2-25=0上一点M( ,1)的切线的方程。(B2) 4.求下列条件所决定的圆的方程： （1）圆心在（3，4），且与直线6x+8y-15=0相切；（C1) (2) 经过点A(2,-1),与直线x-y-1相切；且圆心在直线y=-2x上； （3）经过A(5,1), B(-1,2), C(1,-3)三点。 5. 求经过点P(0,10),且与x轴切于原点的圆的方程，并判断点A(-5,5)， B( ,6), , C(3，-10），在圆内，在圆外，还是在圆上。 6.判断直线3x+4y-24=0与圆x2+y2+6x-4y-12=0的位置关系。 7. 求证：两圆x2+y2+-4x-4=0与 x2+y2+6x+10y+16=0互相外切。 8.求圆的切线方程： （1）与圆（x+1）2+（y-3）2=25切于点A（3，6）的切线方程。 （2）若圆x2+y2=13的切线平行于直线4x+6y-5=0,求这切线的方程。 （3）过点A（4，0）向圆x2+y2=1引切线，求这切线的方程。 9.一圆拱桥跨度长12米，拱高3米，以拱弦所在的直线为x 轴，弦的中点为原点建立直角坐标系，求这圆拱曲线的方程。

24 圆的目标诊断题答案 1. x2+（y-3）2=3 2.（1）点（3，0）（2）以（1，-1）为圆心、2为半径的圆（3）x2+（y+b）2=b2 3. 4 .（1）（x-3）2+（y-4）2=49/4 （2）（x-1）2+（y+2）2=2或 （x-9）2+（y+18）2=338 （3）7x2+7y2 –25x-3y-54=0 5. x2+（y-5）2=25,A点在圆上，B点在圆内，C点在圆外 6.直线与圆相切 故两圆外切 8.(1)4x+3y-30=0,(2)2x+3y±=13=0 （3） 9 . x2+（y+9/2）2=225/4（y≥0）

25 椭圆目标诊断题 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1） a= ,b=1,焦点在x轴上 （2）a=5,c= ,焦点在y轴上
回主页 答案 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1） a= ,b=1,焦点在x轴上 （2）a=5,c= ,焦点在y轴上 （3）a=6,e=1/3,焦点在x轴上 （4）b=4,e=3/5,焦点在y轴上 2.利用椭圆的面积公式 S= πab,求下列椭圆的面积 （1） 9x2+25y2 =225 （2）36x2+5y2 =180 3.求下列椭圆长轴和短轴的长，离心率，焦点坐标，顶点坐标和准线方程，并画出草图。 （1）4x2+9y2 =36 （2）9x2+y2 =81 4.求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1）长轴是短轴的5倍， 且过点（7，2）焦点在x轴上 焦点坐标是（0，-4），（0，4） 且经过点（ ） 5.求直线x-y =0和椭圆x2/4+ y2 =1的交点 6.点P与一定点F（4，0）的距离和它到一定直线x=25/4的距离之比是4／5，求点P 的轨迹方程。 7 .地球的子午线是一个椭圆，两个半轴之比是299/300，求地球子午线的离心率。 继续

26 椭圆目标诊断题的答案 1.(1)x2 /3+y2=1,(2) x2 /8+y2 /25=1
2.(1)15 π，（2） π 3. （1）2a=6,2b=4,e= ,F(± ，0） 顶点（±3，0），（0，±2）准线方程 （2）2a=18.2b=6,e= F(0, )顶点（±3，0），（0，±9） 准线方程： 4. (1)x2 /149+25y2 /149=1 (2) x2 /20+y2 /36=1 5. 6. x2 /25+y2 /9=1 7. 前一页

27 双曲线目标诊断题 （2） 9x2 -16y2=-144 3.求双曲线的标准方程 （1）实半轴是 ，经过点 焦点在y 轴上
答案 回主页 1.求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)a=3,b=4,焦点在x轴上 （2）a= ,c=3,焦点在 y轴上 （3） a=6,e=3/2 ，焦点在x轴上 (4) b= ,e=3/2,焦点在x轴上 2. 求下列双曲线的实轴和虚轴长，顶点和焦点坐标，离心率，渐近线和准线方程，并画出草图。 （1） x2 -4y2=4 （2） 9x2 -16y2=-144 3.求双曲线的标准方程 （1）实半轴是 ，经过点 焦点在y 轴上 （2）两渐近线方程是y=±3/2x,经过点 4.求直线3x-y+3=0和双曲线x2 -y2 /4=1的交点 5.点P与定点（6，0）及定直线x=16/3的距离之比是 求点P的轨迹方程 6.求以椭圆x2 /25 +y2/9=1 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程。 7.两个观察点的坐标分别是A（200，0）、B（-200，0），单位是米，A点听到爆炸声比B点早1.08秒，求炮弹爆炸点的曲线方程。 8.求证：当k<9,k≠4时，方程 所表示的圆锥曲线有共同的焦点。 继续

28 双曲线目标诊断题答案 （2) y 2/5 -x2/4=1 （3）x2 /36-y2/45=1 (4) y 2/2-x2/14=1
2.(1)2a=4.2b=2,顶点(±2，0） F（ ，0），e= ,渐近线方程 y=±1/2x,准线方程x=± （2）2a=6,2b=8,顶点（ 0，±3） F（0，±5），e=5/3,渐近线方程： Y=±3/4x，准线方程 y=±9/5 3.（1）y 2/20 -5x2/16=1 （2）9x2 -4y2=2 4.(-1,0)和(-13/5,-24/5) 5. x2 -8y2=32 6. x2/16-y2/9=1 7. 8. （1）当k<4时 ，方程表示椭圆，焦点在x轴，此a2=9-k, b2=4-k,c2=a2-b2=5,F( ,0) (2) 当4<k<9时，方程表示双曲线，焦点在x轴，a2=9-k, b2= k -4, c2=a2+b2=5，F（ ，0）所以方程表示的椭圆和双曲线有共同的焦点。 前一页

29 抛物线目标诊断题 9.把抛物线通径的两端分别与准线和抛物线轴的交点连接，证明这两条直线互相垂直。 答案 回主页
6. 已知一等边三角形内接于抛物线y2=2x，且一个顶点在原点，求其他两个顶点的坐标。 7. 已知抛物线型的拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面升高1米后，求水面的宽。 8 .抛物线顶点是椭圆16x2 +25y2=-400的中心，焦点是椭圆的右焦点，求这抛物线的方程 9.把抛物线通径的两端分别与准线和抛物线轴的交点连接，证明这两条直线互相垂直。 1.抛物线y2=-2px(p>0)上一点M到焦点的距离是4，求点M到准线的距离。 2. 写出适合下列条件的抛物线方程 （1）焦点是F（-3，0） （2）准线方程是x=-1/2 (3)焦点到准线的距离是1/2 3. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 （1） y2+4x=0 (2) 2x2-3y=0 4.推导抛物线的标准方程y2=-2px(p>0) 5.根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形 （1）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于2 （2）顶点在原点，对称轴是x轴，且经过 （-3，2）点

30 抛物线目标诊断题答案 回主页 1，4 2，（1） y2=-12x ，（2） y2=2x （3） y2=-±x，或x2=±y
前一页 1，4 2，（1） y2=-12x ，（2） y2=2x （3） y2=-±x，或x2=±y 3，（1）F（-1，0），准线方程：x=1, (2)F(0,3/8), 准线方程y=-3/8 5, (1) x2=±8y, (2) y2=--4/3x 6, 7, 8, y2=12x , 9,通径两端为（p/2,p),(p/2,-p),准线与抛物线轴的交点（-p/2,0),kAC*kBC=-1

31 纲要信号图表 概念精细化 定义 性质 共性 竞争又合作 回主页 Excel画曲线图形 JAVA 学生小结
抛物线 概念精细化 椭圆 双曲线 直线与双曲线的位置关系 双曲线与渐近线的定量分析 再说说曲线与方程的两句话 曲线方程与函数的关系 回主页 除课本的定义外还有准线定点，极坐标、圆锥截线等定义 定义 Excel画曲线图形 JAVA 请你探索网络上的二次曲线图形，归纳为几句话. 性质 范围 对称性 顶点 范围 对称性 顶点 实际应用 1.力学结构 拱桥 散热塔 网络结构 储槽容器 2. 光学性质 卫星天线 雷达 激光器 光学器件 3.运动轨迹 弹道 天体轨道 4. 测量定位 卫星定位GPS B超 声纳 范围 对称性 顶点 求曲线轨迹 椭圆、双曲线、抛物线定义和参数的题目 点、直线与曲线的位置关系 曲线作图 曲线的切线 二次曲线的实际应用 都是二次曲线 圆锥截线 对称性 准线定点 离心率 极坐标 都有焦点 共性 竞争又合作 纲要信号图表 学生小结

32 概念的精细化 回主页 在“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义中为什 么要作两条规定？ 我们可以从集合的观点来认识这个问题。大家
知道，一条曲线和一个方程 f (x,y)=0可以是同 一个点集在“形”和“数”两方面的反映，只有当 曲线所表示的点集C与方程 f (x,y)=0的解所表 示的点集F是同一个点集，也就是C=F时，曲 线才叫做方程的曲线，方程叫曲线的方程。而 两个集合C=F，必须从两个方面说明： 1，C中的任何一点属于F，记曲线上任一点的坐标是f (x,y)=0的解 2，F中的任何一点也属于C，即以 f (x,y)=0的 解为坐标的点在曲线上。 说明了：曲线上的点与方程的解满足一一对应的关系。 求曲线方程的依据，适合方程的解一定在曲线上，不适合条件的点一定不在曲线上。 直线视作曲线的特殊情况 曲线方程与函数的关系? 曲线方程与函数的主要不同在于： (1)曲线方程反映了 x,y 的数量上的相互制约关系,无“依从”关系,取定一个x, y不一定唯一确定,同样取定一个y后x 也不一定唯一确定,x与y无“自变量”“应变量”的“主从”关系。 （2）函数则反之，取定义域中每一个x, 都有唯一的y与之对应。 就曲线而言，称x, y的取值范围，对函数而言，分别趁x ,y的定义域和值域。 （3）函数表达式y=f(x) 曲线方程表达式为f(x,y)=0 回主页

33 二次曲线题型之一 有关曲线的切线详情 前一页 继续 1，曲线与方程 1）判断已知点是否在曲线上
2）已知方程可分解为f1(x,y)=0,f2 (x,y)=0,….fn (x,y)=0,那么这方程的曲线由n个f1(x,y)=0， f2 (x,y)=0, ……. fn (x,y)=0 来确定。 2，求两条曲线交点 代入或加减法消元，用Λ判别几个解。 3，点、直线、圆与圆的位置关系 点与圆 点在圆上，圆外，圆内（点与圆心距离和半径比较或点坐标代入方程>0,=0,<0 直线与圆 直线方程代入圆方程Λ判别，特别 是切线，圆上点和圆外点的 切线 例题1从点P（2，3）向圆（x-1)2+(y-1)2=1引切线，求切线方程？ 解：设切线斜率k，切线方程y-kx+2k-3=0。圆方程的圆心（1，1），r=1,圆心到直线的距离等于半径 K=3/4,切线方程 3x-4y+6=0还有一条切线x=2 例题2：判断直线ax-by=0与圆x2+y2-ax+by=0的位置关系。 解：圆x2+y2-ax+by=0 即（x-a/2)2+(y+b/2)2=(a2+b2)/4 圆心(a/2,-b/2), r= 圆心到直线的距离为d, ∴直线ax-by=0与圆x2+y2-ax+by=0相切。 有关曲线的切线详情

34 二次曲线题型之二 继续 例题3：已知圆的方程为（x+1)2+(y-2)2=13 求过 A（1，-1）且与已知圆相切的切线方程？
前一页 继续 例题3：已知圆的方程为（x+1)2+(y-2)2=13 求过 A（1，-1）且与已知圆相切的切线方程？ 解：以A（1，-1）代入圆方程得（1+1）2+（-1-2）2=13，即A（1，-1）在圆上，可用切线公式（x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2写出切线方程（1+1）（x+1)+(-1-2)(y-2)=13 即 2x-3y-5=0 *例题4：求圆心为（2，1）且与已知圆x2+y2-3x=0的公共弦所在的直线过点（5，-2）的圆方程。 解：设所求的圆方程为（x-2)2+(y-1)2=r2 即： x2+y2-4x-2y+5-r2 =0……① 已知圆方程为： x2+y2-3x=0 ……② 由②- ①：得公共弦所在的直线方程为 x+2y-5+r2 =0 又直线过（5，-2）点∴ r2 =4 所求的圆方程（x-2)2+(y-1)2=4 圆与圆的位置关系 判断方法：一般是两圆心距离与两圆半径和或差作比较。（略） 当两圆方程联立成方程组，消去x2，y2 项得一次方程，当两圆相交，则表示为 两圆的公共弦所在的直线，当两圆外切 时，则表示两圆外公切线方程，当两圆 内切时，则表示两圆的内公切线方程。 例题5：求以相交的两圆x2+y2 +4x+y+1 =0及 x2+y2 +2x+2y+1=0的公共弦为 直径的圆方程。 解：联立两圆方程 x2+y2 +4x+y+1=0 .① x2+y2 +2x+2y+1=0 ② ①-② :y=2x ……..③ ③代入① x2+（2x)2 +4x+2x+1=0 解之，x1=-1/5 x2=-1 y1=-2/5 y2=-2 两圆的交点（-1/5，-2/5），（-1，-2） 所求圆心是两圆交点的中点（-3/5，-6/5） 所求圆方程（x+3/5)2+(y+6/5)2=4/5

35 二次曲线题型之三 前一页 继续 椭圆、双曲线、抛物线的题型 例题6：已知椭圆的焦距为6，长轴为10，求椭圆的标准方程
解：因为椭圆的焦点位置未定，所以分步讨论。 1）焦点在x轴椭圆的标准为 2a=10,a=5,2c=6,c=3,b2=a2-c2=16,b=4 所以椭圆的标准方程是 2）焦点在y轴椭圆的标准为 A=5,c=3,b=4 所求椭圆方程 例题6：若抛物线的焦点为（2，2）准线方程为 x+y-1=0， 求此抛物线？ 解：设抛物线上任一点p(x,y), 焦点F（2，2）由抛物线定义|PF|=d（d为P到准线的距离） 整理得x2-2xy+y2-6x-6y+15 =0 椭圆双曲线混合题 例题7：当k在什么范围内，下面的方程表示的是椭圆或双曲线？ 解：1）若 表示椭圆 9-k> k<9 则 k> k< 即k<4 2）若 表示双曲线 则 k>0 或 k<0 4-k< k>0 解之4<x<9， 方程表示是双曲线

36 二次曲线题型之四 继续 前一页 作图题 1，用课本介绍的列表，描点，对称的方法 2，用Excel作图法 坐标平移题
例题1：平移坐标轴，把原点移到o’(3,-4)求曲线 x2+y2 –6x+8y=0在新坐标系的方程 解： x=x’+3 代入方程x2+y2 –6x+8y=0得 y=y’-4 （x’+3）2+（y’-4）2 –6（x’+3）+8（y’-4）=0 化简x’2+y’2 =25 例题2：已知双曲线虚轴为8，顶点坐标（1，2）（-5，2）求双曲线的方程和渐近线方程 解：顶点（1，2）（-5，2），曲线中心（-2，2） 焦点在y=2上， x’=x+2, y’=y-2 ,2a=6,2b=8 A=3,b=4,双曲线方程是 新坐标系中的渐近线方程 求轨迹方程 1 .直接法求轨迹方程 例题9：动点P与二定点F1，F2的连线互 相垂直，试求动点P的轨迹方程 解：1）建系 取F1，F2所在的直线为x轴， F1，F2的中点为原点，建立直角坐标系， F1（-a，0)F2(a,0) 2)设动点P(x,y)为所求轨迹上任意点 3）kPF1·KPF2 =-1， 4）化简整理 x2+y2=a2 (x≠± a) 2.间接法求轨迹方程 例题10：已知圆方程x2+y2=22 及点N（6，6） 求圆上的点与N点连线中点的轨迹。 解：设圆方程x2+y2=22 上一点M（a,b)有 a2+b2=22 ,设P(x,y)为轨迹上任意一点动点坐 标， ，a=2x-6,b=2y-6代入 圆方程得： x2+y2-6x-6y+68=0 *3 .参数方程

37 二次曲线题型之五 二次曲线的实际应用问题 1.选择适当的标准方程和坐标系 一般曲线顶点在原点,与x,y轴对称
2.输入已知坐标点(或其他条件)求出曲线 方程。 3.输入要求的一点f(x0,y0)的值，解决问题。 一般应用有： 力学结构：拱桥，散热塔，储槽容 器，建筑结构等。 光学性质：会聚和发散电磁波，卫 星天线，激光器，雷达 抛物线、双曲线、椭圆的光学性质。 （学生简叙） 运动轨迹：弹道，天体轨道，物理 运动。 测量定位：卫星定位GPS，声纳等检 测仪器。 继续 前一页

38 二次曲线的应用 回主页

39 直线与双曲线的位置关系 回主页 我们举例说明直线与双曲线的位置关系。 双曲线
1.当y=±3/4 x时，直线与双曲线不相交（ y=±3/4 x 代入双曲线方程， Δ判别式为0） 2. 当y=kx+b时，-3/4<k<3/4时，直线与双曲线的两支有两个交点 3.当y=kx+b 时，k< -3/4 或k>3/4时，y=kx+b代入双曲线方程，Δ判别式为0，直线与双曲线的两支曲线各有一个切点。 Δ判别式 >0，直线与双曲线的一支有两个交点。 4.当y=kx+b，k=3/4 时,b不等于0，直线与双曲线的一支有一个交点，但并不相切。直线与双曲线只有一个交点，是直线与双曲线相切的必要而非充分条件 回主页

40 用Excel绘制二次曲线 回习题 回主页 用Excel绘制二次曲线图形直观，有益于熟悉二次曲线标准方程，你想学学吗？

41 二次曲线的切线 回主页 切点(x0,y0)在曲线上 过已知曲线外一点（ x0,y0)，与曲线相 切的切线方程 上述内容由汪槛同学提供。
椭圆x2/ b2 +y2/ a2 =1的切线 双曲线x2/a2-y2/b2=1的切线 双曲线x2/ b2 -y2/ a2 =-1的切线 抛物线y2=2px的切线y=kx+p/2k 抛物线x2=2pyd 的切线y=kx-k2p/2 一般求已知切点的切线方程，把原二次曲线 的x2 项用xx0代替， y2项用yy0代替，x项用1/2（ x+ x0 ）,y用1/2（y+y0)即可。 上述内容由汪槛同学提供。 切点(x0,y0)在曲线上 圆: (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r 椭圆： xx0/a2+yy0/b2=1 双曲线：xx0/a2-yy0/b2=1 抛物线： yy0 =p(x+ x0 )或xx0= p(y+y0) 焦点在y轴的曲线的切线依此类推。 过已知曲线外一点（ x0,y0)，与曲线相 切的切线方程 设切线斜率为k，切线方程为y-y0=k(x-x0) 代入二次曲线，成为关于x 的一元二次方程， 令判别式Δ=0，求得k,获得切线方程。 一般判别式Δ=0能推得直线与曲线相切，反 依然，但对双曲线而言，这是充分而不必要 条件。 已知切线的斜率k，求切线方程 椭圆x2/a2+y2/b2=1的切线方程 回题型一

42 浏览网上动态曲线 用引导探索法让学生们观察英国University of St Andrews MT网站的二次曲线，改变a,b 值可观看动态的二次曲线的变化。 网址：