第一章 乘法公式與多項式 和的平方公式 差的平方公式 平方差公式 三數和的平方公式 乘法公式 多項式與四則運算.

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1 第一章 乘法公式與多項式 和的平方公式 差的平方公式 平方差公式 三數和的平方公式 乘法公式 多項式與四則運算

2 乘法公式 過年有沒有吃太飽而沒動腦 現在來動一下已經生鏽的腦子吧 動腦一： 有沒有辦法快速算出下列的計算題 1. 95 x 95=?
回單元選單 過年有沒有吃太飽而沒動腦 現在來動一下已經生鏽的腦子吧 動腦一： 有沒有辦法快速算出下列的計算題 x 95=? x 39.3=? x 504=?

3 乘法公式 有點疑問 說： 很厲害的北鼻 說： 有點疑問 說： 很厲害的北鼻 說： 為什麼要學這個？？
回單元選單 有點疑問 說： 為什麼要學這個？？ 很厲害的北鼻 說： 因為可以讓複雜的計算變的很EASY阿…^_^ 有點疑問 說： 那一定很難…Orz 很厲害的北鼻 說： 超簡單的拉…比你想的簡單一萬倍

4 乘法公式 回單元選單 主題一：乘法對加法的分配律 熱身知識一 a 邊長為a的正方形面積表示為 a ＝>

5 乘法公式 回主題一 熱身知識二 a 長方形的寬為b，長為a則面積表示為 或 b ＝> （因為乘法有 律 ） 交換

6 乘法公式 回主題一 練習： 右圖長方形面積要如何表示 2 2b 2b+ab => ab a b

7 乘法公式 a ( b + c ) = ab + ac 這就是 乘法的分配律 聰明的你，再問你兩個問題 問題一：a ( b + c )=? a
回主題一 聰明的你，再問你兩個問題 問題一：a ( b + c )=? a a ( b + c ) b ab = ab + ac c ac 這就是 乘法的分配律

8 乘法公式 問題二： 兩個長為a，寬為b的長方形 面積該如何表示？ => 2 x ( ab ) = 2ab => 2a x b
回主題一 問題二： 兩個長為a，寬為b的長方形 面積該如何表示？ b a => 2 x ( ab ) = 2ab 2a => 2a x b = 2ab a b

9 乘法公式 ＝ ＋ a a b 面積＝ ＝ ＿＿＿ ＋ ＿＿＿ 回主題一 隨堂練習 a a a a a b b
＿＿＿ X （ ＿＿＿ ＋ ＿＿＿ ） ＝ ＿＿＿ ＋ ＿＿＿

10 乘法公式 動腦時間 問題一 如果a、b所代表的數為負數時，那麼ab=ba成立嗎？ 會成立 因為正負數不影響乘法的交換律
回主題一 動腦時間 問題一 如果a、b所代表的數為負數時，那麼ab=ba成立嗎？ 會成立 因為正負數不影響乘法的交換律 EX: 2 x (-1) = (-1) x 2 = -2

11 乘法公式 動腦時間 問題二 如果a、b、c所代表的數為負數時，那麼a(b+c)=ab+ac成立嗎？ 會成立 因為正負數不影響乘法的分配律
回主題一 動腦時間 問題二 如果a、b、c所代表的數為負數時，那麼a(b+c)=ab+ac成立嗎？ 會成立 因為正負數不影響乘法的分配律 EX: -2 x (1+3) = (-2) x 1 + (-2) x 3 = -8

12 乘法公式 活動來也 用圖觀察( a + b)( c + d )= ac + ad + bc + bd 回主題一 b a c ac bc ad

13 乘法公式 想一想： 如果a、b、c、d之中有負數時 ( a+b )( c+d ) = ac+ad+bc+bd是否會成立呢？ 會成立
回主題一 想一想： 如果a、b、c、d之中有負數時 ( a+b )( c+d ) = ac+ad+bc+bd是否會成立呢？ 會成立 原因請看下一頁

14 乘法公式 ( a + b ) ( c + d ) = ( a + b ) c + ( a + b ) d
回主題一 ( a + b ) ( c + d ) 箭頭即表示乘法的 分配律，之前也討 論過此問題，而我 們知道負數不會影 響此結果，所以負 數也不影響這個結 果。 = ( a + b ) c + ( a + b ) d = c ( a + b ) + d ( a + b ) = ca + cb + da + db = ac + ad + bc + bd

15 乘法公式 例題1 利用(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，計算下列各式 9.9 x 20.2
回主題一 例題1 利用(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，計算下列各式 (1) (2) 9.9 x 20.2 =[10 + ( -0.1)] (20+0.2) =10x x0.2 + (-0.1)x20 + (-0.1)x0.2 = =199.98

16 乘法公式 回主題一 換你們表現了 隨堂練習 (1) (2)

17 乘法公式 回單元選單 主題二：乘法公式 和的平方公式 差的平方公式 平方差公式 三數和的平方公式

18 乘法公式 思考： 如果不把1012直接計算，則可以用什麼比 較方便的作法呢？ 畫個圖看看＝> 可以變成 1002、100、100、1
回主題二選單 思考： 如果不把1012直接計算，則可以用什麼比 較方便的作法呢？ 100 1 畫個圖看看＝> 可以變成 1002、100、100、1 100 1002 100 1 100 1

19 乘法公式 使用同樣的方法 用圖來表示(a+b)2 => (a+b)2 = a2 + ab + ab + b2
回主題二選單 回和的乘法公式 使用同樣的方法 用圖來表示(a+b)2 a b => (a+b)2 = a2 + ab + ab + b2 a a2 ab = a2 + 2ab + b2 b ab b2

20 乘法公式 由剛剛的結果我們得到 (a+b)2＝a2 + 2ab + b2 此公式稱為 和的平方公式 如果使用 箭頭的方法 會得到
回主題二選單 回和的乘法公式 由剛剛的結果我們得到 (a+b)2＝a2 + 2ab + b2 此公式稱為 和的平方公式 如果使用 箭頭的方法 會得到 (a+b)(a+b) = (a+b)a + (a+b)b = a(a+b) + b(a+b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 由上式知道，a、b其中為負數時也成立

21 乘法公式 例題2 如果將和的平方公式中的a、b分別用x、y代入 ，可以寫成什麼樣的式子呢？ 解： 和的平方公式
回主題二選單 回和的乘法公式 例題2 如果將和的平方公式中的a、b分別用x、y代入 ，可以寫成什麼樣的式子呢？ 解： 和的平方公式 ( a+b )2 = a2 + 2ab + b2 ( x+y )2 = x2 + 2xy + y2

22 乘法公式 例題3 利用和的平方公式 ( a+b )2 = a2 + 2ab + b2 計算下列各式 (3) (2) (20.3)2
回主題二選單 例題3 利用和的平方公式 ( a+b )2 = a2 + 2ab + b2 計算下列各式 回和的乘法公式 (3) (2) (20.3)2 (1) 將a看成10，b看成 將a看成500，b看成4 將a看成20，b看成0.3 =( )2 =( )2 = = x500x4 + 42 = x20x0.3 + (0.3)2 = = = = = = =

23 乘法公式 動動腦 計算5042時，若不拆成(500+4)2來算，而拆成 其他兩數的和（例如(304+200)2）來算，結果
回主題二選單 回和的乘法公式 動動腦 計算5042時，若不拆成(500+4)2來算，而拆成 其他兩數的和（例如( )2）來算，結果 一樣嗎？你認為哪一種拆法比較好？

24 乘法公式 1.利用和的平方公式計算下列各式 2.想想看下面等式是否正確？如有誤，請寫 出正確等式 (1) (2) (3)
回主題二選單 回和的乘法公式 換你們表現了 隨堂練習 1.利用和的平方公式計算下列各式 2.想想看下面等式是否正確？如有誤，請寫 出正確等式 (1) (2) (3) (5.2)2 (1) (2) (p+q)2=p2+q2 (3) (4) (6+7)2=62+2x6x7+72 (m+n)2=m2+2xmxn+n2

25 乘法公式 思考： 根據之前和的平方公式，我們採用了面積和的 方式來導出。想想看，是否可以用類似的方法
回主題二選單 思考： 根據之前和的平方公式，我們採用了面積和的 方式來導出。想想看，是否可以用類似的方法 將(a-b)2= a2 - 2ab + b2 a a-b 藍色面積= a2 -ab -ab +b2 b = a2 - 2ab + b2 a-b a = ( a-b )2 b

26 乘法公式 如果用乘法分配律來看（就是箭頭方法） ( a - b ) x ( a - b ) = ( a-b )a - ( a-b )b
回主題二選單 回差的乘法公式 如果用乘法分配律來看（就是箭頭方法） ( a - b ) x ( a - b ) = ( a-b )a - ( a-b )b = a( a-b ) - b( a-b ) = a2 - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2 =>(a+b)2 = a2 - 2ab + b2 差的平方公式

27 乘法公式 例題4 如果將差的平方公式中的a、b分別用x、y代入 ，可以寫成什麼樣的式子呢？ 解： 差的平方公式
回主題二選單 回差的乘法公式 例題4 如果將差的平方公式中的a、b分別用x、y代入 ，可以寫成什麼樣的式子呢？ 解： 差的平方公式 ( a-b )2 = a2 - 2ab + b2 ( x-y )2 = x2 - 2xy + y2

28 乘法公式 例題5 利用差的平方公式 ( a-b )2 = a2 - 2ab + b2 計算下列各式 (3) (2) (29.8)2
回主題二選單 回差的乘法公式 例題5 利用差的平方公式 ( a-b )2 = a2 - 2ab + b2 計算下列各式 (3) (2) (29.8)2 (1) 將a看成30，b看成0.2 將a看成200，b看成1 將a看成12，b看成 =( )2 =( )2 = = x200x1 + 12 = x30x0.2 + (0.2)2 = = = = = 39601 = =

29 乘法公式 動動腦 計算1992時，若不拆成(200-1)2來算，而拆成 其他兩數的和（例如(300-101)2）來算，結果
回主題二選單 回差的乘法公式 動動腦 計算1992時，若不拆成(200-1)2來算，而拆成 其他兩數的和（例如( )2）來算，結果 一樣嗎？你認為哪一種拆法比較好？

30 乘法公式 2.想想看下面等式是否正確？如有誤，請寫 出正確等式 1.利用差的平方公式計算下列各式 (1) (2) (3) 4992 9982
回主題二選單 回差的乘法公式 換你們表現了 隨堂練習 2.想想看下面等式是否正確？如有誤，請寫 出正確等式 1.利用差的平方公式計算下列各式 (1) (2) (3) (1)(7-2)2= (2)(p-q)2=p2-q2 (2)(8-4)2=82-2x8x (4)(m-n)2=m2-2mn+n2 (5)(9-3)2=92-2x9x (6)(h-k)2=h2-2hk-k2

31 乘法公式 注意囉！！ 和的平方公式是(a+b)2而不是a2+b2喔 差的平方公式是(a-b)2而不是a2-b2喔 搞錯的罰寫100次
回主題二選單 回差的乘法公式 注意囉！！ 和的平方公式是(a+b)2而不是a2+b2喔 差的平方公式是(a-b)2而不是a2-b2喔 搞錯的罰寫100次

32 乘法公式 觀察一下藍色面積的變化 a2 - b2 = (a+b) (a-b) 回主題二選單 a a b a-b a-b a b b a+b

33 乘法公式 如果用乘法分配律來看（就是箭頭方法） ( a - b ) x ( a + b ) = ( a-b )a + ( a-b )b
回主題二選單 回平方差的公式 如果用乘法分配律來看（就是箭頭方法） ( a - b ) x ( a + b ) = ( a-b )a + ( a-b )b = a( a-b ) + b( a-b ) = a2 - ab + ba - b2 = a2 - b2 =>(a+b)(a-b) = a2 - b2 平方差公式

34 乘法公式 再來複習一次 和的平方公式 (a+b)2 = a2+2ab+b2 差的平方公式 (a-b)2 = a2-2ab+b2 平方差公式
回主題二選單 回平方差的公式 再來複習一次 和的平方公式 (a+b)2 = a2+2ab+b2 差的平方公式 (a-b)2 = a2-2ab+b2 平方差公式 (a+b)(a-b) = a2 - b2 很簡單的，你記起來了嗎？

35 乘法公式 例題6 如果將平方差公式中的a、b分別用x、y代入 ，可以寫成什麼樣的式子呢？ 解： 平方差公式
回主題二選單 回平方差的公式 例題6 如果將平方差公式中的a、b分別用x、y代入 ，可以寫成什麼樣的式子呢？ 解： 平方差公式 (a+b)( a-b ) = a2 - b2 (x+y)( x-y ) = x2 - y2

36 乘法公式 例題7 利用平方差公式 (a+b)(a-b) = a2 - b2 計算下列各式 (3) 40.7x39.3 (2)
回主題二選單 例題7 利用平方差公式 (a+b)(a-b) = a2 - b2 計算下列各式 回平方差的公式 (3) 40.7x39.3 (2) (1) x197 將a看成90，b看成 將a看成200，b看成3 將a看成40，b看成0.7 =(40+0.7)(40-0.7) =(200+3)(200-3) = = = (0.7)2 = = 1600 – 0.49 = = 39991 = = =

37 乘法公式 動動腦 計算203x197時，若不拆成(200+3)(200-3)來 算，可以找到其他兩個相加為203、相減為 197的數嗎？
回主題二選單 回平方差的公式 動動腦 計算203x197時，若不拆成(200+3)(200-3)來 算，可以找到其他兩個相加為203、相減為 197的數嗎？ 試著用學過的二元一次聯立方程式 去算算看吧…^^

38 乘法公式 利用平方差公式計算下列各式 (1) (2) (3) 301x299 10.5x9.5 回主題二選單 回平方差的公式 換你們表現了
隨堂練習 利用平方差公式計算下列各式 (1) (2) (3) 301x x9.5

39 乘法公式 由剛剛的練習，我們使用的都是(a+b)(a-b)得到 a2-b2的結果來運算。 我們也可以從相反的方向來簡化我們的算式
回主題二選單 回平方差的公式 由剛剛的練習，我們使用的都是(a+b)(a-b)得到 a2-b2的結果來運算。 我們也可以從相反的方向來簡化我們的算式 ＝> a2-b2=(a+b)(a-b)

40 乘法公式 例題8 利用和的平方公式 a2 - b2 = (a+b)(a-b) 計算下列各式 (1) 1012 - 1002
回主題二選單 例題8 利用和的平方公式 a2 - b2 = (a+b)(a-b) 計算下列各式 回平方差的公式 (1) (2) 將a看成101，b看成100 將a看成219，b看成119 = ( )( ) = ( )( ) = 201x1 = 338x100 = 201 = 33800

41 乘法公式 利用a2 - b2 = (a+b)(a-b)計算下列各式 (1) (2) 642-362 9972-9962 回主題二選單
回平方差的公式 換你們表現了 隨堂練習 利用a2 - b2 = (a+b)(a-b)計算下列各式 (1) (2)

42 乘法公式 我們之前已經學過和的平方公式 現在是否能用圖面積的方式來求出(a+b+c)2的公式 回主題二選單 a b c a a2 ab ac
a2+2ab+b2 +2ac +2bc +c2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac b ab b2 bc =(a+b+c)2 c ac bc c2

43 乘法公式 使用乘法分配律來看(箭頭方法) 回主題二選單 回三數平方和的公式 (a+b+c)2 = (a+b+c) (a+b+c)
+ (a+b+c)b + (a+b+c)c = a(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c) = a2 +ab +ac +ba +b2 +bc +ca +cb +c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac (a+b+c)2= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac ＝> 三數和的平方公式

44 乘法公式 例題9 乘開化簡(x+y+1)2 回主題二選單 回三數平方和的公式 (x+y+1)2 = (x+y+1)(x+y+1)
利用(a+b+c)2= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac代入 將a看成x、b看成y、c看成1 = x(x+y+1) + y(x+y+1) + 1(x+y+1) => (x+y+1)2= x2 + y xy + 2y + 2x = x2 +xy + x +yx +y2 + y + x + y +12 = x2 + y xy + 2x + 2y

45 乘法公式 回主題二選單 換你們表現了 隨堂練習 乘開化簡下列各式 (1) (2) (a+b+2) (2x+y+1)2

46 乘法公式 例題10 利用(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac計算下 列各式的值
回主題二選單 例題10 利用(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac計算下 列各式的值 (2) (-18)2+2x199x119+2x119x(-18)+2x199x(-18) (1) x25x40+2x40x35+2x25x35 = ( )2 = [ (-18) ]2 = 1002 = 3002 其實複雜的計算也可以很簡單..^^ = 10000 = 90000

47 乘法公式 利用(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac計算下 列各式的值 回主題二選單 回三數平方和的公式 換你們表現了
隨堂練習 利用(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac計算下 列各式的值 (1) x152x26 + 2x26x72 + 2x152x72 (2) (-257) (-42)2 + 2x(-257)x99 + 2x99x(-42) + 2x(-257)x(-42)

48 乘法公式 回主題二選單 回三數平方和的公式 重點整理 1.乘法對加法的分配律 要 熟記 (a+b)(c+d)= ac+ad+bc+bd 喔
！ (a+b)(c+d)= ac+ad+bc+bd 2.和的平方公式 (a+b)2= a2+2ab+b2 (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 3.差的平方公式 (a-b)2= a2-2ab+b2 4.平方差公式 (a+b)(a-b)= a2-b2