大綱: 觀念與定義 連比例式的性質 蘇德宙 台灣數位學習科技股份有限公司

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1 大綱: 觀念與定義 連比例式的性質 蘇德宙 台灣數位學習科技股份有限公司

2 連比與連比例式 連比: 連續多個數的比 連比例式 例如 a：b：c 稱為 a、b、c 三個數的連比
若 x：y：z 與 a：b：c 的比例相等 記成 x：y：z ＝ a：b：c。 比: 兩個數的比 例如 a：b 稱為 a、b 兩個數的比 比例式 若 x：y 與 a：b 的比例 (比值 or 倍率) 相等 記成 x：y ＝ a：b。 x：y = a : b y : z = b : c x : z = a : c x：y：z ＝ a：b：c (兩個連比的比例相等) 例題練習 這節的觀念 基本上 都是直接延伸自前面 學過的比和比例式 首先，我們來看連比，它就是連續幾個數的比 例如 a：b：c 稱為 a、b、c 三個數的連比 這個定義和比的差別就是一個是 多個數，一個 只有 兩個數 同樣的，連比例式和比例式的差異也是一樣 在比例式裏面，是用來描述兩個數之間的比例相等，也就是比值或倍率相等 而連比例式呢，則是多個數之間的比例相等 例如，x：y：z ＝ a：b：c 就是指 等號 兩邊的比例相等 而多個數的比例相等 的意思 就是任兩個之間的比例都會相等 因此，當我們看到兩個連比相等時，就可以知道 x：y ＝ a：b , y : z = b : c ,以及 x : z = a : c 隨堂練習 第一題，連比例式就是任兩個之間的比例相等 所以我們可以先看 3 : 2 = x : 4，根據比例式的定義 等號 兩邊的比值相同，得到 3 / 2 = x / 4，就可以求出 x 接著再看 2 : 1 和 4 : y，得到 2 / 1 = 4 / y，就可以求出 y 第二題，若 xyz > 0 且 3x = 4y = 6z，求 x : y : z = 依據連比例式的定義，我們如果可以找到 x, y, z 之間兩兩的比例關係 就可以得到 x : y : z 了 從 3x = 4y，我們可以得到 x : y = 4 : 3 從 4y = 6z，就可以得到 y : z = 6 : 4 從 3x – 6z，就可以得到 x : z = 6 : 3 從這三個條件，我們希望讓中間的項一樣 根據比的擴分約分性質 這邊除以 2 就得到 3 : 2 同樣的 x : z 的部分可以除以 3 再乘以 2 就得到 4 : 2 我們將左邊的式子簡單整理一下，y : z 就等於 3 : 2，x : z 就等於 4 : 2 所以 a =4, b = 3, c = 2 因為同時滿足這三個條件，所以 x : y : z 就等於 20 : 15 : 12 同學一定會很好奇，看起來好像只要 x : y 和 y : z 兩個條件應該就可以得到 x : y : z 的值 這個觀察是正確的，我們在下一節就會介紹這個性質 1. 若 3 : 2 : 1 = x : 4 : y，則 x, y = ? 若 x : y = 1 : 2, y : z = 2 : 3，求 x : y : z [解答: (1) x = 6, y = 2 (2) 1:2:3 ] 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

3 連比的性質(1) - 求 a : b : c 的基礎 若 ，則 x：y：z = a：b：c x：y = a : b
y : z = b : c x : z = a : c x：y = a : b y : z = b : c x : z = a : c 例題練習 性質證明 1. 若 x : y = 2 : 3, y : z = 3 : 5，求 x : y : z 2. 若 x : y = 2 : 6, y : z = 3 : 5，求 x : y : z 3. 若 x : y = 2 : 6, x : z = 2 : 5，求 x : y : z 証 a : b = am : bm 連比的性質一 若 x：y = a：b 且 y：z = b：c，則 x：y：z = a：b：c 其實這個性質還蠻容易理解的，因為這裡有共同的 b 和 y 從定義我們知道，這三個條件同時成立，我們就可以說 x : y : z = a : b : c 而這個性質告訴我們，其實只要兩個條件就夠了 主要的原因是因為，我們可以從這兩個條件得到第三個比例式 我們來看它的證明 從 x : y = a : b 我們可以得到 x / a = y / b 從第二比例式，可以得到 y / b = z / c 因為 y / b 的部分一樣，所以就可以得到 x / a = z /c 因此就可以得到 x : z = a :c 用同樣的技巧，事實上，任何兩個條件成立，都可以得到 x:y:z 的關係喔 例如 x, y 和 x, z 或是 yz 和 xz 的條件都可以 [解答: (1) 2:3:5 (2) 2:6:10 (3) 2:6:5 ] 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

4 連比的性質 (2) - 擴分與約分 例題練習 性質證明 a : b = am : bm b : c = bm : cm
証 a : b = am : bm b : c = bm : cm 若 x：y ＝ a：b y：z ＝ b：c 則 x：y：z ＝ a：b：c 連比的擴分與約分性質 這個性質和比的擴分約分很類似，只是從兩個項之間的關係，變成三個項而已 它的證明也很簡單 [解答: (1) x = 10, y = (2) ] 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

5 連比的性質(3) – 重要的解題技巧 若 x：y：z = a：b：c 則 x = am, y = bm, z = cm , (m≠0)
例題練習 性質證明 証 這節我們要介紹一個解題的重要技巧 就是當 a : b = c : d ，我們就可以假設 a = cr, b = dr (r ≠0) 來解題 這個性質和前面的原理推演過程是一樣的 因為 a : b = c : d 的意思是 a / b = c / d 兩邊同時乘以 b / c，左邊約去 b，右邊約去 c 就得到 a / c = b /d 假設他們的比值是 r 就得到 a = cr, b = cr 的性質了 [解答: ] 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

6 重點整理 連比例式的定義 性質(1) 性質(2) 性質(3) (求 a : b : c 連比例) (擴分、約分) (重要的解題技巧)
x：y = a : b y : z = b : c x : z = a : c x：y：z ＝ a：b：c (兩個連比的比例相等) 証 性質(1) (求 a : b : c 連比例) 若 x：y = a : b y : z = b : c 則 x : y : z = a : b : c 例 x : y : z 5 : 2 a : b = am : bm 15 : 6 3 : 4 6 : 8 証 性質(2) (擴分、約分) a : b = am : bm b : c = bm : cm 例 4 : 5 : 9 = 8 : x : y，求 x, y 一開始，我們介紹連比例式的定義 我們用 x, y, z = a, b, c 來表示這兩個連比的比例相等 而比例相等的意思就是兩兩之間要成比例 也就是 x : y = a : b, y : z = b : c 而且 x : z = a : c 要同時成立 雖然定義告訴我們 3 個條件要同時成立 但因為只要前面兩個條件成立，就可以得到第三個關係式 這就是我們介紹的性質一 若定義中 3 個條件中兩個成立，一樣可以得到連比例式的關係 例如， x : y, y : z，就可以得到 x : y : z 的關係 要注意，這裏共同的 y 所對應的值 b 要一樣 如果不一樣呢? 例如，5 : 2 和 3 : 4 我們就要透過比的擴分性質 將 5 : 2 乘以 3，3 : 4 乘以 2 讓中間的項得到相同的 6 而這個性質的證明關鍵是利用 x : y = a : b來得到 x / a = y / b 的關係 最後得到 x / c = y / z，也就是第三個條件 x : z = a : c 接著我們則介紹比的擴分與約分 也就是同時乘或除一個不為 0 的數，比例關係不變 例如，因為這裏的 4 x 2 = 8，也就是 m = 2，每一項都 x 2 就可以分別得到 x = 5x2 與 y = 9 x 2 的值了 而性質2 的證明則直接應用比的擴分 a : b = am : bm 和 第一個性質 a : b, b : c 的條件而得到 a : b : c = am : bm : cm 性質 3 則是一個重要的解題技巧 也就是當看到 x : y : z = a : b : c 時，我們通常可以假設 x = am, y = bm, z = cm 代入題目求解 例如，x : y : z = 2 : 1 : 3，就可以將 x, y, z 用 2m, m 和 3m 代入 因為每一項都有 m，最後可以約去而得到答案 因為通常都可以約去，有時候我們可以直接審略 m 直接用 2, 1, 3 代入來更快得到答案 而這個性質的證明，則是利用 x : y : z = a : b : c 來得到 x/a = y / b = z / c 的關係 將這個值設成 m，就可以得到 x=am, y=bm, z=cm 了 性質(3) (重要的解題技巧) 証 例 2m, m, 3m 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

7 連比例式 連比 連比例式 比 比例式 連續幾個數的比 例如 a：b：c 稱為 a、b、c 三個數的連比
若 x：y：z 與 a：b：c 的比例相等 記成 x：y：z ＝ a：b：c。 比 兩個數的比 例如 a：b 稱為 a、b 兩個數的比 比例式 若 x：y 與 a：b 的比例相等 記成 x：y ＝ a：b。 x：y = a : b y : z = b : c x : z = a : c 隨堂練習 隨堂練習 1. 若 3 : 2 : 1 = x : 4 : y，則 x, y = ? 2. 若 xyz > 0 且 3x = 4y = 6z，求 x : y : z = 1. 若 3 : 2 = x : 4，則 x = ? 2. 若 xy > 0 且 3x = 4y ，求 x : y = 連比與連比例式 基本上 都是直接延伸自前面 學過的比和比例式 我們來看他們之間的一一對應關係 首先，我們來看連比，它就是幾個數的連續比 例如 a：b：c 稱為 a、b、c 三個數的連比 這個定義和比的差別就是 多個數和 只有 兩個數的比 同樣的，連比例式和比例式的差異也是一樣 在比例式裏面，是用來描述兩個數的比例相等 而連比例式呢，則是多的數的比例相等 例如，x：y：z ＝ a：b：c 就是指 等號 兩邊的比例相等 而多個數的比例相等 的意思 就是任兩個之間的比例都會相等 也就是 x：y ＝ a：b , y : z = b : c ,以及 x : z = a : c 因此， 如果這三個條件同時成立，就可以得到 x：y：z ＝ a：b：c 隨堂練習 第一題，連比例式就是任兩個之間的比例相等 所以我們可以先看 3 : 2 = x : 4，根據比例式的定義 等號 兩邊的比值相同，得到 3 / 2 = x / 4，就可以求出 x 接著再看 2 : 1 和 4 : y，得到 2 / 1 = 4 / y，就可以求出 y 第二題，若 xyz > 0 且 3x = 4y = 6z，求 x : y : z = 依據連比例式的定義，我們如果可以找到 x, y, z 之間兩兩的比例關係 就可以得到 x : y : z 了 從 3x = 4y，我們可以得到 x : y = 4 : 3 從 4y = 6z，就可以得到 y : z = 6 : 4 從 3x – 6z，就可以得到 x : z = 6 : 3 從這三個條件，我們希望讓中間的項一樣 根據比的擴分約分性質 這邊除以 2 就得到 3 : 2 同樣的 x : z 的部分可以除以 3 再乘以 2 就得到 4 : 2 我們將左邊的式子簡單整理一下，y : z 就等於 3 : 2，x : z 就等於 4 : 2 所以 a =4, b = 3, c = 2 因為同時滿足這三個條件，所以 x : y : z 就等於 20 : 15 : 12 同學一定會很好奇，看起來好像只要 x : y 和 y : z 兩個條件應該就可以得到 x : y : z 的值 這個觀察是正確的，我們在下一節就會介紹這個性質 x : y = 4 : 3 4 : 3 y : z = : 4 3 : 2 x : z = 6 : 4 : 蘇德宙 老師 台灣數位學習科技股份有限公司