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Published byLily Loraine Lindsey Modified 6年之前
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第五章 刚体的定轴转动 §5.1刚体模型及其运动 一、 刚体 形状和大小永远保持不变的物体. 刚体是一个特殊的质点系.
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二、刚体的定轴转动 固定轴 转动平面 质元
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三、刚体定轴转动的角速度、角加速度 . O x 图5-1 角位置: 刚体的运动方程 角位移: 平均角速度: 角速度:
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角加速度: 线速度与角速度之间的关系:
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角量与线量的关系 角量运动学方程
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例题分析 一条缆索绕过一个定滑轮拉动升降机,如图所示. 滑轮的半径为 ,如果升降机从静止开始以加速度 匀加速上升,求: (1)滑轮的角加速度; (2)开始上升后t = 5s末滑轮的角速度; (3)在这5秒内滑轮转过的圈数; (4)开始上升后 末滑轮边缘上一点的加速度(假定缆索和滑轮之间不打滑).
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解 (1) (2)
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(3) (4)
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这个加速度的方向与滑轮边缘的切线方向的夹角为
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§5.2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 P * O 图5-2 一、力矩 对于定轴转动而言: 图5-3 注意: 力矩是对点或对轴而言的;
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B
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二、刚体定轴转动的转动定律 对质元 , 其中 是质元 绕轴作圆运动的加速度,
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法向力的作用线过转轴,其力矩为零. 外力矩为M 内力矩为零 刚体定轴转动的转动定律
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M F J m a ~ β ì í ï î 与牛II比较: J 反映刚体转的惯性
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三、转动惯量 适用于离散分布刚体 适用于连续分布刚体 单位
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计算转动惯量:1 、由定义计算转动惯量 (1)对于通过棒的一端与棒垂直的轴; (2)对于通过棒的中点与棒垂直的轴. 解 (1)
【例题5-1】求长为L ,质量为m 的均匀细棒AB 的转动惯量. P100 (1)对于通过棒的一端与棒垂直的轴; (2)对于通过棒的中点与棒垂直的轴. 解 (1)
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(2)
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例.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环对垂直于平面且过中心轴的转动惯量.
解
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P101: 【例题5-2】试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘对垂直于平面且过中心轴的转动惯量.
解
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o ´ m l 1 12 J = 2 、平行轴定理 若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc,则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是 R
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(3)转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。
【例题5-1】求长为L ,质量为m 的均匀细棒AB 的转动惯量. P100 (3)转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。 h 图5-10
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刚体转动惯量的大小与下列因素有关: (1)形状大小分别相同的刚体质量大的转动惯量大; (2)总质量相同的刚体,质量分布离轴越远转动惯量越大; (3)对同一刚体而言,转轴不同,质量对轴的分布就不同,转动惯量的大小就不同.
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C (0289)C
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P101 【例题5-3】一绳跨过定滑轮,两端分别系有质量分别为m 和M 的物体,且 滑轮可看作是质量均匀分布的圆盘,其质量为 ,半径为R ,转轴垂直于盘面通过盘心,如图所示.由于轴上有摩擦,滑轮转动时受到了摩擦阻力矩 的作用. 设绳不可伸长且与滑轮间无相对滑动.求物体的加速度及绳中的张力.
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解 若以顺时针方向转的力矩为正,逆时针转的方向为负,
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联立以上三个方程,得
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P117:T30
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§5.3 定轴转动中的功能关系 一、力矩所做的功及功率
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二、刚体的转动动能
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三、定轴转动的动能定理
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四、刚体的重力势能
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解: O dm gdm P105【例题5-5】一根长为 质量为 的均匀细直棒,其一端有一固定的光滑
水平轴,因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置,求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。 O gdm dm 图5-14 解:
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解: P106 【例题5-6】一根质量为 、长为 的均匀细棒 (如图5-15),可绕
通过其一端的光滑轴 在竖直平面内转动,今使棒从水平位置开始自由下摆, 求细棒摆到竖直位置时其中点 和端点 的速度。 G A A O 图5-15 解:
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§5.4 定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 一、刚体的角动量( 动量矩 ) 对于定点O转动而言: 单位
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Oz: 质元 oz :整个刚体: 角动量的方向沿轴的正向或负向,所以可用代数量来描述.
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二、刚体的角动量定理 称为dt时间内刚体所受合外力矩的冲量矩。
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三、角动量守恒定律 注意:在推导角动量守恒定律的过程中受到了刚体、定轴等条件的限制,但它的适用范围却远远超过了这些限制.
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如: 滑冰运动员的表演.
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如: 滑冰运动员的表演. 跳水运动员
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花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速
P113:T5 D ω
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物体系的角动量守恒: 对有几个物体或质点构成的系统,若整个系统所受对同一转轴的合外力矩为零,则整个物体系对该转轴的总角动量守恒。
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P116:附加题:T25 解: o R dr r
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P116:附加题: T25
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解: P108:【例题5-7】如5-18所示,一质量为 的子弹以水平速度射入一静止悬于顶
端长棒的下端,穿出后速度损失 求子弹穿出后棒的角速度 。已知棒长为 ,质量为 图5-18 解:
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解: P108:【例题5-8】一匀质细棒长为 ,质量为 ,可绕通过其端点 的水平轴
转动,如图5-19所示。当棒从水平位置自由释放后,它在竖直位置上与放在地面 上的物体相撞。该物体的质量也为 ,它与地面的摩擦系数为 。相撞后物体 沿地面滑行一距离 而停止。求相撞后棒的质心 离地面的最大高度 ,并说 明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。 C O 图5-19 解: 向右摆。 碰后棒向左摆;
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解: P108:【例题5-8】一匀质细棒长为 ,质量为 ,可绕通过其端点 的水平轴
转动,如图5-19所示。当棒从水平位置自由释放后,它在竖直位置上与放在地面 上的物体相撞。该物体的质量也为 ,它与地面的摩擦系数为 。相撞后物体 沿地面滑行一距离 而停止。求相撞后棒的质心 离地面的最大高度 ,并说 明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。 C O 图5-19 解: 碰后棒向左摆条件 向右摆条件
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P109:【例题5-9】 如图所示,一质量为M 、半径为R 的匀质圆盘形滑轮,可绕一无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计绳子,绳子一端固定在滑轮上,另一端悬挂一质量为m 的物体,问物体由静止落下h 高度时,物体的速率为多少?
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解法一 用牛顿第二运动定律及转动定律求解. 小于物体自由下落的速率
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解法二 利用动能定理求解. 对于物体m 对于滑轮
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解法三 利用机械能守恒定律求解. 把滑轮、物体和地球看成一个系统
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P117:T32
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小结:
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