數 學 基 礎 2 ※ 本章主要目的 1. 介紹拉氏轉換的基本理論。 2. 舉例說明應用拉氏轉換求解線性常微分方程式的方法。

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1 數 學 基 礎 2 ※ 本章主要目的 1. 介紹拉氏轉換的基本理論。 2. 舉例說明應用拉氏轉換求解線性常微分方程式的方法。
CHAPTER ※ 本章主要目的 1. 介紹拉氏轉換的基本理論。 2. 舉例說明應用拉氏轉換求解線性常微分方程式的方法。 3. 介紹轉移函數觀念，及如何應用來建置線性非時變系統的模型。 4. 以專案研究方式示範 MATLAB 工具的用法。 本章大部份習題的求解均可用MATLAB 工具 傳統控制理論所需數學工具包括複變數理論、微分和差分方程式、拉氏轉換、z 轉換等。 現代控制理論需要更多精深的數學背景，諸如矩陣理論、集合理論、線性代數和轉換、變分法、數學規劃、機率理論及其它更高深的數學。 2018/9/18

2 數 學 基 礎 2 ※ 拉氏轉換 ※ 拉氏轉換的定義 1. 齊次方程式的解與微分方程式的特解，可於同一運算中求出。
CHAPTER ※ 拉氏轉換 1. 齊次方程式的解與微分方程式的特解，可於同一運算中求出。 2. 拉氏轉換將微分方程式轉換成含 s 變數的代數方程式。 ※ 拉氏轉換的定義 系統稱為因果系統 (causal system) 或實際可實現的系統 (physically realizable system)。 函數 f (t) 滿足下列的條件： (2-1) 對某個有限的實數 ，f (t) 的拉氏轉換定義為 (2-2) 單邊拉氏轉換 (one-sided Laplace transform) 之拉氏轉換 (2-3) 其中，s =  + j 。 嚴格而言，單邊拉氏轉換應定義成 t = 0  至 t = 。符號 0  代表由 t = 0 的左邊取 t  0 的極限。 2018/9/18

3 數 學 基 礎 2 ► 例題 2-1 ► 例題 2-2 條件 假設 f (t) 為單位步階函數 (2-6) (2-4)
CHAPTER 條件 ► 例題 2-1 假設 f (t) 為單位步階函數 (2-6) (2-4) f (t) 之拉氏轉換為 (2-5) ► 例題 2-2 指數函數 (2-7) f (t) 之拉氏轉換為 (2-8) 其中  為一實數常數。 2018/9/18

4 其中，c 是實常數，它大於 F(s) 所有奇點的實數部份。
數 學 基 礎 2 CHAPTER ※ 反拉氏轉換 的反拉氏轉換 (2-9) 反拉氏轉換積分則定義為 其中，c 是實常數，它大於 F(s) 所有奇點的實數部份。 (2-10) ★ MATLAB 工具 (TFtool) 亦可用來解部份分式展開和反拉氏轉換。 ※ 拉氏轉換的重要定理 k 為一常數 ■ 定理 1. 乘上常數 (2-11) ■ 定理 2. 和及差 (2-12) 2018/9/18

5 數 學 基 礎 2 ※ 拉氏轉換的重要定理 ■ 定理 3. 微分 (2-13) ★ 對f (t) 的高階微分而言 (2-14)
CHAPTER ※ 拉氏轉換的重要定理 ■ 定理 3. 微分 (2-13) ★ 對f (t) 的高階微分而言 (2-14) 其中， f (i) (0) 代表 f (t) 對 t 之第 i 階微分在 t = 0 時之值。 ■ 定理 4. 積分 (2-15) ★ 對 n 階積分而言 (2-16) 2018/9/18

6 數 學 基 礎 2 ※ 拉氏轉換的重要定理 其中，us (t T) 為向右位移 T 時間的單位步階函數。 ■ 定理 5. 時間的移位
CHAPTER ※ 拉氏轉換的重要定理 其中，us (t T) 為向右位移 T 時間的單位步階函數。 ■ 定理 5. 時間的移位 (2-17) ■ 定理 6. 初值定理 假設時間極限存在 (2-18) ■ 定理 7. 終值定理 (2-19) 終值定理只有當 sF(s) 在 j 軸和 s 平面右半平面沒有極點時才正確 若 sF(s) 包含了實數部份是零或正值的任何極點時，終值定理就不適用；亦即在定理中 sF(s) 必須是可解析的。 2018/9/18

7 數 學 基 礎 2 由於 sF(s) 在 s 平面的右半邊和虛軸上是可解析的，故可使用終值定理。 ► 例題 2- 3 (2-20)
CHAPTER 由於 sF(s) 在 s 平面的右半邊和虛軸上是可解析的，故可使用終值定理。 ► 例題 2- 3 (2-20) 由於 sF(s) 函數有兩個極點位於虛軸上，故終值定理不能應用於本例中。 (2-21) ► 例題 2- 4 (2-22)  為常數 ■ 定理 8. 複數移位 (2-23) ■ 定理 9. 實數迴旋 (複數乘法) ，且 t < 0 時，f1(t) = 0，f2(t) = 0 其中，符號 ＊ 表 t 領域之迴旋 (convolution)。 (2-24) 2018/9/18

8 數 學 基 礎 2 ★ s 領域中兩函數乘積之反拉氏轉換並不等於 t 領域中兩對應函數之乘積，即 (2-25)
CHAPTER ★ s 領域中兩函數乘積之反拉氏轉換並不等於 t 領域中兩對應函數之乘積，即 (2-25) ■ 定理 10. 複數迴旋 (實數乘法) 實數 t 領域的乘積等於複數 s 領域中的迴旋，即 (2-26) 其中 ，＊ 代表複數迴旋。 ★ 表 2-1 摘錄拉氏轉換的重要定理。 2018/9/18

9 數 學 基 礎 2 CHAPTER 2018/9/18

10 數 學 基 礎 2 ※ 以部份分式展開法求反拉氏轉換 ※ 部份分式展開法 有理函數的反拉氏轉換運算可使用部份分式展開法和拉氏轉換表來求出。
CHAPTER ※ 以部份分式展開法求反拉氏轉換 有理函數的反拉氏轉換運算可使用部份分式展開法和拉氏轉換表來求出。 ※ 部份分式展開法 其中，P(s) 和 Q(s) 為 s 之多項式 (2-27) 其中， a0，a1，，an1 為實係數 (2-28) ★ G(s) 僅有簡單極點時 其中， s1  s2    sn。 (2-29) 極點的定義在附錄 A (2-30) 其中， (i = 1，2，，n) 2018/9/18

11 數 學 基 礎 2 例如，為找出係數 Ks1 ： (2-31) ► 例題 2-5 求算下列函數的部份分式形式： <Sol.>
CHAPTER 例如，為找出係數 Ks1 ： (2-31) ► 例題 2-5 求算下列函數的部份分式形式： <Sol.> (2-32) (2-33) 係數 K 1，K 2 和 K 3 求法 (2-34) (2-35) (2-36) (2-37) 2018/9/18

12 (n  r) 個係數 Ks1，Ks2，，Ks(n  r) 對應 (n  r) 個單階極點，這些係數可依 (2-31) 式的方法求之
數 學 基 礎 2 CHAPTER 極點在 s = si 是 r 階 (i  1，2，，n  r ) ★ G(s) 有多階極點時 (2-38) G(s) 可展開成： (n  r) 個係數 Ks1，Ks2，，Ks(n  r) 對應 (n  r) 個單階極點，這些係數可依 (2-31) 式的方法求之 項 單 階 極 點 (2-39) 項 重 複 極 點 多階極點的係數 A1，，A r，則如下求算︰ (2-40) (2-42) (2-41) (2-43) 2018/9/18

13 數 學 基 礎 2 ► 例題 2-6 求算下列函數的部份分式形式： (2-44) <Sol.> (2-45)
CHAPTER ► 例題 2-6 求算下列函數的部份分式形式： (2-44) <Sol.> (2-45) 對應單階極點的係數求法如下： (2-46) (2-47) 三階極點的係數則為 (2-48) (2-49) (2-50) 完整的部份分式展開式 (2-51) 2018/9/18

14 數 學 基 礎 2 ★ G(s) 有單共軛複數極點時 其中，P(s) 和 Q(s) 為 s 之多項式 (2-27)
CHAPTER ★ G(s) 有單共軛複數極點時 其中，P(s) 和 Q(s) 為 s 之多項式 (2-27) 假設 (2-27) 式的有理函數 G(s) 包括了一對複數極點︰ 和 這些極點的對應係數是 (2-52) (2-53) ► 例題 2-7 考慮函數 (2-54) 其中 ， 若假設  之值小於 1，試求g (t) = ? (2-56) (2-57) <Sol.> (2-55) 2018/9/18

15 數 學 基 礎 2 可解出 (2-55) 式的係數為 (2-58) (2-59) (2-60) 反拉氏轉換 (2-61) 或 (2-62)
CHAPTER 可解出 (2-55) 式的係數為 (2-58) (2-59) (2-60) 反拉氏轉換 (2-61) 或 (2-62) 2018/9/18

16 數 學 基 礎 2 ※ 拉氏轉換在解線性常微分方程式的應用 用拉氏轉換的方法來解線性常微分方程式的步驟如下︰
CHAPTER ※ 拉氏轉換在解線性常微分方程式的應用 用拉氏轉換的方法來解線性常微分方程式的步驟如下︰ 1. 利用拉氏轉換及轉換表將微分方程式轉換至 s 領域。 2. 處理轉換過後的代數方程式，解出輸出變數。 3. 對此代數方程式進行部份分式展開。 4. 利用拉氏轉換表求解反拉氏轉換。 其中， us(t) 是單位步階函數 ► 例題 2-8 求解微分方程式： (2-63) 起始條件是 y(0) = 1 及 (2-63) 式等號兩邊取其拉氏轉換 <Sol.> (2-64) 初值代入 (2-65) 部份分式展開 (2-66) 2018/9/18

17 數 學 基 礎 2 全解 (2-67) ★ (2-67) 式的第一項為穩態解或特殊積分，而後兩項為暫態解或齊次解。
CHAPTER 全解 (2-67) ★ (2-67) 式的第一項為穩態解或特殊積分，而後兩項為暫態解或齊次解。 ★ 應用終值定理 (2-19) 式，y (t) 的穩態解 (2-68) ► 例題 2-9 求解微分方程式： (2-69) y(t) 和 dy(t)/dt 的初值皆為零。 其中，  = 和 n = 31.62。 <Sol.> (2-70) (2-72) 查表法 (2-71) (2-73) 2018/9/18

18 數 學 基 礎 2 ★ 部份分式展開法： 相對應的極點分別為 s = 0， + j 與  j，其中 (2-74)
CHAPTER ★ 部份分式展開法： 相對應的極點分別為 s = 0， + j 與  j，其中 (2-74) 部份分式展開式 (2-75) (2-76) 其中 (2-77) (2-78) (2-79) (2-80) 角度  ，見圖 2-1 圖 2-1 s 平面之根位置 2018/9/18

19 數 學 基 礎 2 ※ 線性系統的脈衝響應及轉移函數 反拉氏轉換 (2-81) (2-80) 式的  代入 (2-81) 式 (2-82)
CHAPTER 反拉氏轉換 (2-81) (2-80) 式的  代入 (2-81) 式 (2-82) (2-83) ※ 線性系統的脈衝響應及轉移函數 ★ 脈衝響應 Impulse response y (t) = g (t) LTI System g (t) 輸入 u (t) Impulse  (t) 輸出 y (t) 2018/9/18

20 轉移函數 G(s) 與輸入和輸出的拉氏轉換的關係
數 學 基 礎 2 CHAPTER Impulse response y (t) = g (t) LTI System g (t) 輸入 u (t) Impulse  (t) 輸入 y (t) ※ 轉移函數 (單輸入單輸出系統) (2-84) 轉移函數 G(s) 的定義 假設起始條件為零 (2-85) 轉移函數 G(s) 與輸入和輸出的拉氏轉換的關係 線性非時變系統，其輸入-輸出的關係常以微分方程式來描述。一線性非時變系統的輸入-輸出關係，為常數實係數 n 階微分方程式 係數 a0，a1，，an1 和 b0，b1，，bm 為實數 (2-86) (2-87) u(t) 與 y(t) 之間的轉移函數為 (2-88) 2018/9/18

21 數 學 基 礎 2 ★ 轉移函數的性質總結 1. 轉移函數只定義於線性非時變系統，對非線性系統則無意義。
CHAPTER ★ 轉移函數的性質總結 1. 轉移函數只定義於線性非時變系統，對非線性系統則無意義。 2. 系統的輸入變數與輸出變數之間的轉移函數定義為脈衝響應的拉氏轉換；換言 之，是輸出的拉氏轉換與輸入的拉氏轉換之比。 3. 系統的所有起始條件均假設為零。 4. 轉移函數與輸入無關。 5. 連續資料系統的轉移函數表示成僅為複變數 s 的函數，而非實變數、時間或任 何其它獨立變數的函數。離散資料系統可用差分方程式來表示，當使用 z 轉換 時，轉移函數就變成複變數 z 的函數。 ★ 適當轉移函數 如果 (2-88) 式的分母多項式的階數大於分子多項式的階數 (即 n > m)，則稱轉移函數 (2-88) 式是嚴格適當的 (strictly proper)；若 n = m，則稱轉移函數為適當的 (proper)，若 m > n，則稱轉移函數為不適當的 (improper)。 ★ 特性方程式 將轉移函數的分母設為零即可得線性系統的特性方程式 (2-89) 2018/9/18

22 數 學 基 礎 2 ※ 轉移函數 (多變數系統) 實例：航空器渦輪推進引擎的控制
CHAPTER ※ 轉移函數 (多變數系統) 實例：航空器渦輪推進引擎的控制 圖 2-2 航空器渦輪推進引擎 輸入變數為燃料率及推進器葉片的角度，輸出變數為引擎的轉速和渦輪入口的溫度。 Y1(s) = 引擎轉速 Y2(s) = 渦輪入口溫度 R1(s) = 燃料率 R2(s) = 推進器葉片角度 線性化後的轉移函數關係： (2-90) (2-91) 若一線性系統有 p 個輸入和 q 個輸出時，第 i 個輸出和第 j 個輸入之間的轉移函數可定義為： 2018/9/18

23 其中 ，Rk (s) = 0，k = 1，2，，p，k  j。 系統的第 i 個輸出轉換與所有的輸入轉換之關係
數 學 基 礎 2 CHAPTER 其中 ，Rk (s) = 0，k = 1，2，，p，k  j。 (2-92) 系統的第 i 個輸出轉換與所有的輸入轉換之關係 注意 (2-92) 式之定義僅針對第 j 個輸入的影響，假設其它輸入為零。 (2-93) 矩陣-向量的形式︰ (2-94) q  1 的轉換輸出向量 (2-95) (2-97) p  1 的轉換輸出向量 (2-96) q  p 的轉移函數矩陣 2018/9/18

24 數 學 基 礎 2 MATLAB 工具與個案研究 ※ 轉移函數工具盒的說明與用法
CHAPTER MATLAB 工具與個案研究 ※ 轉移函數工具盒的說明與用法 轉移函數分析工具 (Transfer Function Analysis Tool, TFtool) 是由許多 m 檔 (即含有 MATLAB 程式碼的檔) 與用於分析簡單的控制工程轉移函數之人機界面 (GUI) 組成。由 MATLAB 命令列鍵入 TFtool 或者從自動控制系統工作平台 (ACSYS) 按下適當的按鍵均可呼叫 TFtool。相關設定步驟以及求解指定問題的說明如下所示 ：  指定輸入屬性種類 (亦即，指明輸入為多項式或者為極-零點-增益格式)。  輸入轉移函數值。  將轉移函數由多項式型式轉換成極-零點型式，反之亦然。  求出系統的部份分式表示式。  利用反拉氏命令 (就此項工作而言，使用者必須進入 MATLAB (符號工具) 才行)。  如有需要，加以列印。 ►例題2-5 (重做 ) (2-98) 2018/9/18

25 數 學 基 礎 2 1. 在 MATLAB 提示視窗鍵入 TFtool 來呼叫轉移函數分析工具。 圖2-3
CHAPTER 1. 在 MATLAB 提示視窗鍵入 TFtool 來呼叫轉移函數分析工具。 圖2-3 ★ 轉移函數共有兩種不同輸入方式：多項式及零點-極點-常數模式。 圖 2-3 轉移函數分析工具的主人機界面視窗 2018/9/18

26 數 學 基 礎 2 CHAPTER 2. 選零點-極點-常數模式 圖2-4 3. 按下圖塊 G 來輸入其各特性值，可依照指示輸入各項系統參數，如圖 2-5 所示。 一旦所有值均正確輸入 (以空格間隔) 後，必須用「作用」(apply) 按鍵跳離此視窗。不然，正確的轉移函數值將不會被傳回主視窗。 圖 2-4 零點-極點-常數模式的轉移函數輸入人機界面畫面 2018/9/18

27 數 學 基 礎 2 CHAPTER 4. 為了求出轉移函數的多項式型式，在計算與顯示 (calculate/ display) 模式中按下「計算」(calculate) 鍵即可 (見圖 2-6)。 圖 2-5 利用轉移函數輸入人機界面輸入轉移函數參數 2018/9/18

28 數 學 基 礎 2 5. 得出轉移函數的多項式表示式，及其極點與零點，如圖 2-7 所示。
CHAPTER 5. 得出轉移函數的多項式表示式，及其極點與零點，如圖 2-7 所示。 圖 2-6 在輸入轉移函數各參數值後，轉移函數分析工具的主人機界面 2018/9/18

29 數 學 基 礎 2 CHAPTER 在 MATLAB 命令視窗內，另有一種更詳細的轉移函數表示式可供使用，如圖 2-8 所示。請注意，當分子或分母多項式內的係數太大時，TFtool 視窗 (圖2-7) 內的轉移函數看起來可能雜亂不清。此時，建議你回到 MATLAB 命令視窗，即可看到轉移函數的正確表示式。 圖 2-7 以極-零點與多項式形式的轉移函數表示法 2018/9/18

30 數 學 基 礎 2 CHAPTER 6. 啟動圖 2-7 內所示的「部份分式」(partial-fraction) 按鍵。部份分式係數及相對應的極點便出現如圖 2-9 所示。 圖 2-8 在 MATLAB 命令視窗內的詳細系統轉移函數與極-零點值 2018/9/18

31 數 學 基 礎 2 7. 亦可回到MATLAB命 令視窗來求得上述資訊 。
CHAPTER 7. 亦可回到MATLAB命 令視窗來求得上述資訊 。 由圖 2-10 所提供的值，以及利用 (2-30) 式，此系統的部份分式表示式為 圖 2-9 以部份分式形式表示的轉移函數表示式 2018/9/18

32 數 學 基 礎 2 CHAPTER (2-99) 如欲求出 (2-98) 式的時域表示式，則可經由啟動「拉氏轉換表」按鍵來查詢拉氏轉換表或是應用基本拉氏原理求算之。 脈衝響應 (2-100) 若已進入 MATLAB 符號工具盒，只要在 ACSYS 視窗內按下合適的按鍵式是在 MATLAB 命令視窗內輸入 TFsym，便可用 ACSYS 轉移函數及符號工具。此種符號工具視窗如圖 2-10 所示。 圖 轉移函數符號視窗 8. 點選「初學者說明」(Help for 1st Time User) 鍵來查閱如何使用此工具盒各項 指令。 如圖 2-11 所示 2018/9/18

33 數 學 基 礎 2 CHAPTER 圖 符號協助對話盒 依指示，按下「轉移函數與反拉氏」(Transfer Funciton and Inverse Laplace) 鍵來執行程式。吾人必須在 MATLAB 命令視窗內執行此程式才行。輸入如圖2-12 所示的轉移函數即可求得時間響應。 為了求出 (2-98) 式對不同輸入函數 (如步階或弦波) 的時間表示式，使用者可結合輸入轉移函數 (例如，1/s 代表單位步階輸入) 與 TFtool 輸入視窗的轉移函數。如此一來，如欲求取 (2-98) 式對單位步階輸入的時間表示式時，便可使用下列的轉移函數： (2-101) 並重複做先前所述的步驟即可。 2018/9/18

34 數 學 基 礎 2 CHAPTER 圖 在 MATLAB 命令視窗內，G(s) 針對脈衝輸入的反拉氏轉換 2018/9/18

35 數 學 基 礎 2 ► 例題 2-6 (重做) (2-102) ，求出此系統的部份分式表示式。
CHAPTER ► 例題 2-6 (重做) (2-102) ，求出此系統的部份分式表示式。 1. 用零點-極點-常數輸入選項，輸入轉移函數值。 圖 2-13 2. 點選 TFtool 視窗內的部份分式鍵之後，(2-101) 式的部份分式展開式便可由將示於圖 2-14 內的係數與極點代入 (2-39) 式後得出，結果如下： (2-103) 3. 利用與前例相似的程序，即可求出此系統的反拉氏轉換。 圖 例題 2-6 的轉移函數各參數之輸入 2018/9/18

36 數 學 基 礎 2 CHAPTER 圖 例題 2-6 的部份分式展開式 2018/9/18

37 數 學 基 礎 2 ► 例題 2-8 (重做 ) (2-104) 利用轉移函數分析視窗的多項式模式來輸入轉移函數，如圖 2-15所示。
CHAPTER ► 例題 2-8 (重做 ) (2-104) 利用轉移函數分析視窗的多項式模式來輸入轉移函數，如圖 2-15所示。 (2-105) 圖 例題2-8 之轉移函數參數的輸入 2018/9/18

38 數 學 基 礎 2 ► 例題 2-9 (重做 ) (2-106) 1. 輸入轉移函數參數 圖 2-16 2. 求取部份分式係數 圖 2-17
CHAPTER ► 例題 2-9 (重做 ) (2-106) 1. 輸入轉移函數參數 圖 2-16 2. 求取部份分式係數 圖 2-17 圖 例題2-9之轉移函數參數的輸入 2018/9/18

39 數 學 基 礎 2 利用 (2-30) 式，本例的部份分式展開式為 (2-107) 其中 (2-108) (2-109)
CHAPTER 利用 (2-30) 式，本例的部份分式展開式為 (2-107) 其中 (2-108) (2-109) 圖 例題2-9 的部份分式展開式 2018/9/18

40 數 學 基 礎 2 3. 利用 TFsym 工具，可知此系統的時間表示式為 4. 以零點-極點-常數格式輸 入例題 2-9 的轉移函數
CHAPTER 3. 利用 TFsym 工具，可知此系統的時間表示式為 4. 以零點-極點-常數格式輸 入例題 2-9 的轉移函數 圖 2-18 注意，MATLAB 會把 i 與 j 均視為虛數 。 圖 以零點-極點-常數格式輸入例題 2-9 的轉移函數 2018/9/18

41 數 學 基 礎 2 ★ (2-106) 式的極-零點表示式為 (2-110)
CHAPTER ★ (2-106) 式的極-零點表示式為 (2-110) 在輸入轉移函數值並按下圖 2-18 中的「作用」鍵後，便可再按下轉移函數分析工具視窗內的「計算」鍵，以得出圖 2-18 所示的螢幕畫面。請記得，一旦按下「計算」鍵，系統更精確地表示式將會隨時出現在 MATLAB 命令視窗內。 2018/9/18