Section 7-4 Operational Properties II

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1 Section 7-4 Operational Properties II
Derivatives of Transforms 比較： Laplace 微分 乘 sn Laplace 乘 tn 微分

2 Proof of the Theorem of Derivatives of Transforms:

3 Example 1 (text page 283) 練習：為何

4 7-4-2 Convolution (旋積) Definition of convolution: (標準定義)
When f(t) = 0 for t < 0 and g(t) = 0 for t < 0 , 上方的式子可以簡化為下方的式子

5 Convolution 的物理意義 (重要)
當 Input f() 對 output y(t) 的影響為 g(t−) g(t−) 只和 t 與  之間的差有關 Input f() 對 output y(t) 的影響，決定於 t 與  之間的差 例如： f() 是在  這個時間點上太陽照射到某個地方的熱量 g(t-) 可想像成是經過了t- 的時間之後，還未幅射回外太 熱量比例 y(t) 可想像成是溫度

6 7-4-3 Convolution Theorem
Multiplication Convolution Proof: note (A) 見後頁說明 令 t =  +  note (B ) 見後頁說明

7 note (A) 定理： note (B) 積分範圍的改變：

8 Example 3 (text page 284) Example 4 (text page 285)

9 Integration (想成 “負一次微分”)

10 Example: Example:

11 7-4-5 Transform of a Periodic Function
Theorem 7.4.3 When f(t + T) = f(t) then Proof: 令 f1(t) = f (t) when 0  t < T f1(t) = otherwise f (t) = f1(t) + f1(t − T) + f1(t − 2T) + f1(t − 3T) + ……………. = f1(t) + f1(t −T)u(t − T) + f1(t −2T) u(t −2T ) + f1(t −3T) u(t −3T ) + …………….

12 L{f (t)} = L{f1(t)} + L{f1(t −T)u(t − T)} +L{ f1(t − 2T) u(t − 2T)}
:

13 Example 7 (text page 288) Square Wave (方波) 的例子 for 0  t < 1 for 1  t < 2

14

15 Example 8 (text page 288) E(t) 為 page 482 之方波

16 長除法 k = 0, 1, 2, 3, …..

17 先使用 的公式 再算出 註：雖然也可以用 來算 但是較麻煩且容易出錯

18 7-4-6 Section 7.4 要注意的地方 (1) 注意代公式的順序 (例：Page 487 例子)
(2) 熟悉 convolution (3) 變成積分時，別忘了加上 initial value 如 (4) 一定要背熟幾個重要的 properties (7 大性質)

19 Section 7.5 The Dirac Delta Function
Unit Impulse for t < t0−a or t > t0+a for t0−a  t  t0+a 稱作 unit impulse 高= 1/2a 面積 = 1 t0−a t0+a t-axis

20 7-5-2 Dirac Delta Function
for t = t0 for t  t0 Fig

21 7-5-3 Properties of the Dirac Delta Function
(1) Integration (2) Sifting when t0  [p, q] Proof: 當 a 很小的時候，f(t) = f(t0) for t0−a  t  t0+a

22 (3) Laplace transform of (t − t0)
when t0 > 0 Proof: (4) Relation with the unit step function

23 Example Example 1(a) (text page 293) 0  t < 2 t  2

24 幾個名詞 where (1) w(t) = L−1{W(s)} 稱作 weight function 或 impulse response Note: When Q(s) = 0 (no initial condition) and G(s) = 1 (g(t) = (t)), Y(s) = W(s), y(t) = w(t). (2) 許多文獻把 Dirac delta function (t − t0) 亦稱作 delta function ， impulse function，或 unit impulse function

25 7-5-6 本節要注意的地方 (1) Dirac delta function 不滿足 Theorem 7.1.3
本節要注意的地方 (1) Dirac delta function 不滿足 Theorem 7.1.3 (2) 幾個定理記熟，本節即可應付自如

26 Section 7-6 Systems of Linear Differential Equations
Chapter 7 的應用題 比較：類似的問題，也曾經在 Section 4-8 出現過 雙彈簧的例子

27 電路學的例子 (由第2, 3 個式子) Fig Fig

28 Example 2 (text page 297) E(t) = 60 V, L = 1 h, R = 50 , C = 10−4 f, i1(t) = i2(t) = 0 ……….. (式1) …... (式2) (式1) × 1 + (式2) × s

29 複習：分子如何算出？ 將 代入式 (1)

30

31 7-6-3 Double Pendulum (雙單擺) 的例子

32 Example 3 (text page 298) m1 = 3, m2 = 1, l1 = 12 = 16, 1(0) = 1, 2(0) = 1, '1(0) = 0, '2(0) = 0 Laplace

33 ………….. (式1) ………….. (式2) (式1) × (16s2 + g)  (式2) × 4s2

34 將 代入 (式2) 直接用之前的式子

35

36 分式分解快速驗算技巧 將 s = 0, s = 1, 或其他的值代入，看等號是否成立

37 本節需要注意的地方 (1) 正負號勿寫錯 (2) 要熟悉聯立方程式的變數消去法 (3) 多學習，甚至多「研發」簡化計算的技巧

38 Review of Chapter 7 (1) Laplace transform 定義 Inverse Laplace transform
If and f(t) is piecewise continuous of exponential order then (2) 7 大transform pairs (看講義 page 420)

39 transform pairs 補充 f(t) F(s) tsin(kt) tcos(kt) tsinh(kt) tcosh(kt) u(ta) f (t) = f (t+2a) 1 a b

40 (3) 7 大 properties input Laplace transform (1) Differentiation (Sec 7-2) (2) Multiplication by t (Sec7-4) (3) Integration (Sec 7-4) (續)

41 input Laplace transform (4) Multiplication by exp (Sec7-3) (5.1) Translation (Sec 7-3) (5.2) Translation (Sec 7-3) (6) Convolution (Sec 7-4) (7) Periodic Input (Sec 7-4) f(t) = f(t + T)

42 Properties 補充 input Laplace transform Scaling f(t / a) aF(as) Multiple Integrations Integration for s f(t) / t

43 (4) 簡化運算的方法 分式分解 (see pages ) Initial conditions (see pages 452, 453) (5) Delta function 的四大性質 Pages 491, 492

44 (6) General solutions Laplace transform 的 general solution，可以用 initial conditions 來表示。 例子： 用 Laplace transform ：

45 和 Section 4-3 的解相比較 將 代入

46 Exercise for practice Sec. 7-1: , 8, 9, 18, 32, 33, 38, 41, 46, 48 Sec. 7-2: 　 11, 20, 23, 27, 30, 36, 37, 41, 42, 43 Sec. 7-3: 　 10, 16, 19, 20, 24, 34, 44, 56, 62, 70, 74, 83 Sec. 7-4: 　 8, 13, 25, 28, 30, 43, 52, 53, 54, 59, 61 Sec. 7-5: 　 5, 8, 11, 12, 15 Sec. 7-6: 　 8, 11, 12, 14, 15 Review 7: 　12, 24, 25, 29, 36, 37, 40, 41, 42 Maclaurin seris = Taylor series Homework 3 (due: 12/2) (1) Sec (2) Sec (3) Sec (4) Sec (5) Sec (6) Review (7) Sec (8) Sec (9) Sec (10) Sec

47 Chapter 8 Systems of Linear First-Order Differential Equations
另一種解「聯立微分方程式」的方法 (1) Section 4.8: (2) Chapter 7: (3) Chapter 8: Using matrix operations 註：本章這學期只教不考

48 比較 (1) 這 3 種方法都只適用於 linear & constant coefficients 的情形 註：其實 Laplace transform 可用來解 nonlinear & non-constant coefficient DEs, 但過程頗為複雜 (2) Laplace transform 的方法優於 Section 4-8 的方法的地方， 在於可以輕易的解決 initial condition 的問題 注意：但是，若 boundary conditions 不是在 t = 0 的地方，用 Laplace transform 需要花一番功夫。

49 (3) 無論是 Section 4-8 的方法，還是 Laplace transform,
運算量皆不少 Chapter 8 的方法可以減少 1st order 聯立微分方程式的運算量 但 2nd order 以上反而比 Laplace transform 麻煩

50 Section 8.1 Preliminary Theory
方法的限制： (a) linear, (b) 1st order DEs (c) full rank (n 個 dependent variable 需要 n 個式子) 名詞： linear system (pp. 521) homogeneous, nonhomogeneous (pp. 522) solution vector (pp. 522) fundamental set of solutions (pp. 526) general solution (pp. 526) complementary function (pp. 530) particular solution (pp. 530) 本節學習秘訣：和 Section 4-1 相比較

51 8-1-1 表示法和名詞 假設有 n 個 dependent variables x1(t), x2(t), ……., xn(t),
表示法和名詞 假設有 n 個 dependent variables x1(t), x2(t), ……., xn(t), n 個只有針對其中一個dependent variable 作微分的 linear DEs : : 稱作 linear system

52 Matrix form of a linear system
fn(t) = 0 for all n homogeneous linear system otherwise nonhomogeneous linear system solution vector

53 其中 可改寫成 Example 2 (text page 306) 皆為 的解

54 If x1(t0) = r1, x2(t0) = r2, ………., xn(t0) = rn,
linear system 可寫成 subject to

55 8-1-2 基本定理 將 Section 4-1 的幾個定理改成 vector 和 matrix 的型態
基本定理 將 Section 4-1 的幾個定理改成 vector 和 matrix 的型態 [Theorem 8.1.1] If the entries of A and F are continuous on a common interval that contains the point t0, then the initial value problem on the previous page has a unique solution on this interval. (比較 Theorem 4.1.1, page 137)

56 [Theorem 8.1.2] For the homogeneous linear system
if X1, X2, …., Xk are the solution of then is also a solution of [Definition and Theorem 8.1.5] If the size of A is n × n and X1, X2, …., Xn are the linearly independent solutions of , then X1, X2, …., Xn are said to be a fundamental set of solutions. Then, the general solution of is c1, c2, ….., cn are arbitrary constants (比較 Theorem 4.1.5, page 144)

57 [Theorem 8.1.3] Linearly dependent / independent 判斷方式
(課本用 | | 來表示 det)

58 Either W(X1, X2, …., Xn)  0 for every t
or W(X1, X2, …., Xn) = 0 linearly independent dependent (比較 Wronskian, page 147)

59 Example 4 (text page 308) determinant

60 [Theorem 8.1.6] General solution for nonhomogeneous system
subject to 稱作為 complementary function particular solution (比較講義 page 149)

61 8-1-3 本節要注意的地方 (1) 大部分的定理和 Section 4-1 相似
本節要注意的地方 (1) 大部分的定理和 Section 4-1 相似 (2) 當一個式子出現 2 個 dependent variable 的微分時 先化成講義 page 521 linear system 的型態

62 Section 8.2 Homogeneous Linear Systems
本節摘要 (A) 解法的限制： 同講義 page 520 ，但多了二個限制 (d) homogeneous (e) 最好是 constant coefficients

63 (B) 解法 (constant coefficients) size of A: n × n 假設解為 a = 1, 2, …., n 其中 a: A 的 eigenvalue Ka: A 的 eigenvector (AKa = Ka) 證明見講義 529 頁 General solution:

64 (C) 三種情形 Case 1: A has distinct eigenvalues: 解法如前一頁 Case 2: A has repeated eigenvalues 當 a 的 multiplicities 為 m Case 2.1 可以找到 a 的 m 個 linearly independent eigenvectors 解法同前一頁 Case 2.2 無法找到 a 的 m 個 linearly independent eigenvectors 若只有 1 個 linearly independent eigenvector，將解表示成 :

65 注意： : Case 2.3 無法找到 a 的 m 個 linearly independent eigenvectors 有超過 1 個 linearly independent eigenvector 其實，也可以用類似方法求解，但較為複雜

66 Case 3 若 a =  + j 為 A 的eigenvalues, A 為 real matrix b =  − j 必為 A 的eigenvalues 若 Ka = B1 + jB2 為 a 所對應的 eigenvector Kb = B1 − jB2 必為 b 所對應的 eigenvector 此時，可將解改寫成 (D) 名詞與其他  phase portrait (見 535 頁，注意其畫法和觀察法) trajectory (534 頁) phase plane (536 頁) multiplicity (540 頁)

67 方法 假設解為 (和 Section 4-3 相似)

68 的問題變成 (和 linear algebra 當中解 eigenvector, eigenvalue 的問題相同)

69  是 A 的 eigenvalue K 是 A 的 eigenvector 當  算出後，K 為使得 由 det(A −I) = 算出 (稱作 characteristic equation) 成立 的任一個滿足 K  0 的解

70 Example 1 (text page 313)  = −1, 4 (i) When  = −1 k2 = − k1 設 k1 = 1, k2 = −1

71 (ii) When  = 4 k2 = 2 k1/3 設 k1 = 3, k2 = 2

72 trajectory Fig

73 c1 < 0, c2 > 0 phase portrait c1 < 0, c2 = 0 c1 = 0, c2 > 0 c1 = 0, c2 < 0 c1 > 0, c2 > 0 c1 > 0, c2 = 0 Fig

74 phase plane: 即前頁的 x-y plane
repeller attractor

75 8-2-3 Case 1: Distinct Eigenvalues
根據 eigenvalues ，分成 3 cases Case 1: Distinct eigenvalues Case 2: Repeated eigenvalues Case 3: Complex eigenvalues

76 Example 2 (text page 314)  = −3, −4, 5 (distinct)

77 When  = −3 3rd row: k2 = 0 1st row: −k1 + k2 + k3 = −k1 + k3 = 0, k1 = k3 When  = −4,  = 5 (自己練習解解看)

78 8-2-4 Case 2: Repeated Eigenvalues
有時, det(A − I) 會出現 ( − a)m a 被稱作 eigenvalue of multiplicity m (這種情形較複雜，但也是本節的重點)

79 Case 2.1 當 a 的 multiplicity 為 m (m > 1) 時，有的時候可以將 m 個 linearly independent eigenvectors 全部找出來。 此時，solutions 解法和 Case 1 相同 注意： 當 A = AT 時， 若 a 的 multiplicity 為 m ，一定可以找到 a 所對應的 m 個 linearly independent eigenvectors Example 3 (text page 316)

80 (i) 當  = −1 row operation new 2nd row = old 2nd row + 1st row new 3rd row = old 3rd row − 1st row 3 個 variables, 1 個式子 3 − 1 = 2 2 個 linearly independent solutions

81 2 個 linearly independent solutions
(第一個 solution) 設 k1 = 0, k2 = k3 = 1 (第二個 solution) 設 k1 = 1, k2 = k3 = −1 Check: 的確互為 linearly independent 為 A 在  = −1 時的 eigenvectors 小技巧： 任意給定其他 n-1 個 unknowns 的值 再將最後一個 unknown 的值算出來 通常可以得到一個新的 independent solution (但是也有的時候得到的解不為 independent, 所以要 check)

82 (ii) 當  = 5 算出來的 eigenvector 為 General solution for Example 3:

83 Case 2.2 當 a 的 multiplicity 為 m (m > 1) 時，有的時候只能找出 1 個 linearly independent eigenvector Ka,1。 將a 所對應的 m 個解表示成 : Ka,1: 唯一滿足 AKa,1 = aKa,1 的 eigenvector Ka,q (q  1) 的求法如後頁

84 554 當 (p = 1, 2, …, m) 由 (q = 0, 1, …., m−1) 的係數得出 比較 當中 由 Ka,1 求出 Ka,2 由 Ka,2 求出 Ka,3 : 由 Ka,p-1 求出 Ka,p :

85 註：(1) 課本 page 316 頁中 K11 = K21 = …. = Km1 K22 = K32 = …. = Km2 K33 = K43 = …. = Km3 : (2) 經常有多個 linearly independent 解 在這種情形下，我們只需找出其中一個解即個 (但是必需以可以繼續解下去為條件，如 page 557)

86 Example 5 (text page 319) eigenvalues: 2, 2, 2 only one independent solution:

87 選擇其中一個 solution: 注意： 若選擇 Ka,2 為其他的值，最後的解還是一樣的

88 其中一個 solution: General solution of Example 5

89 Case 2.3 當 a 的 multiplicity 為 m (m > 1) 時，有的時候只能找出 2 ~ m −1 個 linearly independent eigenvectors 。 例子：Section 8-2 Exercises 31 and 50 three independent solutions:

90 Set k2 = 1, k4 = 0 Choose 但 無解

91 Set 無解 的解為 Set (當一個解無法繼續算時，嚐試由其他的解來算)

92 General solution for Exercises 31 and 50

93 8-2-5 Case 3: Complex Conjugated Eigenvalues
其實和 Case 1 (distinct eigenvalues) 相同 只是用不同的方式來表示 solutions 當 a =  + j 和b =  − j (,  為 real) 皆為 A 的 eigenvector 且 A 為 real matrix 若 Ka = B1 + jB2 (B1, B2 為 real)是 a 所對應的 eigenvector 則 Kb = B1 − jB2 必為是 b 所對應的 eigenvector Proof:

94 此時，可將解改寫成 (證明如後)

95 因此，兩個 linearly independent solutions 可改寫為

96 Example 6 (text page 322) 已知  = 2i 為其中一個 eigenvalue，所對應的 eigenvector 為 可以迅速判斷 2 個 independent solutions 為

97 高階線性聯立微分方程的解法 解法：將問題變成 1st order DE

98 Section 8-2 要注意的地方 (1) 方法適用的情形 (a) linear, (b) 1st order DEs, (c) full rank (n 個 dependent variable 需要 n 個式子), (d) homogeneous, (e) constant coefficients (2) 複習並熟悉算 eigenvector 的方法 (可以研究快速法) (我們只要得出任何一個 eigenvector 或任何一組 linearly independent eigenvectors 即可，因此可以選擇當中較簡單的 ) (3) Case 2 比較複雜，要多加練習 (4) 注意 page 551 找 independent solution 的小技巧 (5) Case 選擇其中一組解即可 (但是要可以繼續解下去)

99 (6) 計算前，確定 的係數皆為 1 (standard form)
(7) 熟悉原理，才不會背錯公式

100 Section 8.3 Nonhomogeneous Linear Systems
的 particular solution 本節討論如何找 (方法 1) undetermined coefficients 猜 particular solutions，類似 Section 4-4 (方法 2) variation of parameters ，類似 Section 4-6 (t): fundamental matrix，定義見 page 579

101 (方法 2) variation of parameters ，with initial conditions
名詞： fundamental matrix

102 8.3.2 方法一: Undetermined Coefficients
和 Section 4.4 的方法相似 根據 F(t) 來「猜」 particular solution 複習講義 page 191 (1) 出現 tn (2) 出現 cos(at) (3) 出現 exp(bt)

103 (4) 出現 「綜合」 (5) 只要 F(t) 其中有一個 entry 有某一項 則 particular solution 其他每一個 entry 都要根據這一項來猜 particular solution 的型態 (見 567 頁的注意) (這一點和 Section 4.4 稍有所不同) (6) 和 homogeneous solution 有重覆時，不只乘 t，原來的 term 也保留 (見 569 頁) (這一點也和 Section 4.4 有所不同)

104 Example 3 (text page 328) solving the complementary function eigenvalues of A: 2, 4 corresponding eigenvectors for  = 2: corresponding eigenvectors for  = 4: complementary function

105 解 particular solution 因為 ，所以假設 particular solution 為  注意，每一個 entry 皆有 1, t, e−t From

106

107 補充的範例 (Example 1 in text page 327 的變型)
注意，這一項要保留 設 particular solution 為 乘 t

108 choose

109 8.3.3.1 方法二: Variation of Parameters
先找 complementary function (solution of the associated homogeneous DE) fundamental matrix

110 令 由於 每個 column 都是 associated homogeneous DE 的解

111 some constants

112 Example 4 (text page 331) eigenvalues of A:  = −2, −5 eigenvectors of A : fundamental matrix

113

114 8.3.3.2 和 initial value problems 相結合
在此時，可改寫成定積分的型態 Since thus

115 8.3.4 Section 8.3 需要注意的地方 (1) 2 × 2 matrix 的 eigenvector 快速算法
(2) 注意 undetermined coefficient 的方法和 Section 4.4 異同處 (3) Variation of parameters 的部分，關鍵在是否能將公式背起來 (4) 通常 undetermined coefficient 的方法會比較容易解 而 variation of parameters 較複雜，但適用於任何情形 (5) 同樣記得先算 complementary function (homogeneous 部分 的 solution)，再算 particular solution

116 Section 8.4 Matrix Exponential
把 linear system 當成一般 1st order DE 來解 (比較 Section 2-3) (1) (2) (3) (With initial condition X(t0) = X0) 其中 可以由 Laplace transform (see page 589) 或 eigenvector-eigenvalue decomposition (see page 591) 算出

117 8.4.2 For Homogeneous Systems
solution: 的定義 h = k − 1

118 8.4.3 For Nonhomogeneous Systems
solution: 或 比較： with initial conditions

119 constant column vector
Computation of 一定有這樣的 initial condition constant column vector 令 X(s) 為 X(t) 的 Laplace transform

120 Example 1 (text page 335) Determine

121 殺雞焉用牛刀…… 複習 linear algebra 當中， 的求法 (1) eigenvector-eigenvalue decomposition for A e1, e2, e3, ……, en 皆為 A 的eigenvectors, 皆為 n × 1 的 column 1, 2, 3 , …., n 為 e1, e2, e3, ……, en 所對應的eigenvalues

122 例如， Example 1 當中

123 8.4.5 注意 (1) 本節可以解的問題，用 Sections 8-2, 8-3 的方法也可以解 (2) 熟悉公式和 的計算
注意 (1) 本節可以解的問題，用 Sections 8-2, 8-3 的方法也可以解 (2) 熟悉公式和 的計算 (3) 使用 eigenvalue-eigenvector decomposition 的方法時，別忘了將  變成

124 Chapter 11 Orthogonal Functions and
Fourier Series 複習： linear algebra 關於 orthogonal (正交) basis 的介紹 在 linear algebra 當中 (1) inner product (2) orthogonal (3) 若 f1, f2, …., fN 為 orthogonal set, 則

125 例如 在只有三個 entry 的情形下 是一組 orthogonal set f3 f2 f1 問題：在 continuous 當中該如何定義 orthogonal?

126 Section 11.1 Orthogonal Functions
綱要：熟悉幾個重要定義 (7) normalize (pp. 604) (1) inner product (pp. 597) (8) complete (pp. 605) (2) orthogonal (pp. 599) (9) orthogonal series expansion (pp. 606) (3) orthogonal set (pp. 600) (10) generalized Fourier series (pp. 606) (4) square norm (pp. 602) (11) weight function (pp. 608) (5) norm (pp. 602) (6) orthonormal set (pp. 602) 學習方式：(1) 可以多和 linear algebra 當中的定義多比較 (2) 複習三角函式的公式 (see pp )

127 11.1.2 定義 (1) inner product on an interval [a, b] (f1, f2 為 real 時)
定義 (1) inner product on an interval [a, b] (f1, f2 為 real 時) 比較： discrete case 補充：more standard definition for inner product with conjugation

128 Inner product 性質 (a) (f1, f2) = (f2, f1)* (b) (k f1, f2) = k (f1, f2), k 為 scalar (或稱為constant) (c) (f, f) = 0 if and only if f = 0, (f, f) > 0 if and only if f  0, (d) (f1 + f2 , g) = (f1, g) + (f2 , g) discrete case 亦有這些性質

129 (2) orthogonal on an interval [a, b]
(f1, f2 為 real 時) (more standard definition) 或 比較： discrete case 例子: 當 [a, b] = [-1, 1], 1 和 xk (k 為奇數) 互為 orthogonal 注意：任何 even function 和任何 odd function 在 [-a, a] 之間必為 orthogonal

130 (3) orthogonal set 有一組 functions 0(x), 1(x), 2(x), 3(x), ……….. 若 for m  n 則 0(x), 1(x), 2(x), 3(x), ……….. 被稱作 orthogonal set on an interval [a, b]

131 Example 1 (text page 399) Show that the set {1, cosx, cos2x, cos3x, …..} is an orthogonal set on the interval [−, ] when one of the functions is 1 when both the two functions are not 1

132 (4) square norm 比較： discrete case (5) norm (6) orthonormal set 對一個 orthogonal set, 若更進一步的滿足 for all n 則被稱為 orthonormal set

133 Example 2 (text page 400) Calculate the norms of {1, cosx, cos2x, cos3x, …..} 運用三角函式公式 {1, cosx, cos2x, cos3x, …..} normalization as a orthonormal set

134 (7) normalize 將 norm 變為 1 (x) 注意，此時 可藉由 normalization, 將 orthogonal set 變成 orthonormal set

135 (8) complete 若在 interval [a, b] 之間，任何一個 function f(t) 都可以表示成 0(x), 1(x), 2(x), 3(x), ………..的 linear combination 則 0(x), 1(x), 2(x), 3(x), ……….. 被稱作 complete 比較：在 linear algebra 當中 對 3-tuple vector 而言 e1 = [1, 0, 0], e2 = [0, 1, 0], e3 = [0, 0, 1] 為 complete

136 (9)(10) 若 0(x), 1(x), 2(x), 3(x), ………..為complete 可將 f(x) 表示成 被稱作 (9) orthogonal series expansion 當 0(x), 1(x), 2(x), 3(x), ……….. 不為 orthogonal, cn 不易算 當 0(x), 1(x), 2(x), 3(x), ……….. 為 orthogonal cn 被稱作 (10) generalized Fourier series

137 當 0(x), 1(x), 2(x), 3(x), ……….. 為 orthonormal

138 11.1.3 Orthogonal with Weight Function
(11) inner product with weight function 其中 w(x) 被稱作 weight function 加上了 weight function 後 (11-1) orthogonal 的定義改成 for m  n (11-2) square norm 的定義改成

139 (11-3) norm 的定義改成 (11-4) orthonormal 的定義改成 for m  n (11-5) normalize 的算法改成

140 (11-6) orthogonal series expansion of f(x) 以及 generalize Fourier series 的算法改成

141 11.1.4 三角函數表 (要複習) cos(a + b) cosa cosb − sina sinb sin(a + b)
三角函數表 (要複習) cos(a + b) cosa cosb − sina sinb sin(a + b) sina cosb + cosa sinb cos(a − b) cosa cosb + sina sinb sin(a − b) sina cosb − cosa sinb cosa cosb [cos(a + b) + cos(a − b)]/2 sina sinb [cos(a − b) − cos(a + b)]/2 sina cosb [sin(a + b) + sin(a − b)]/2

142 cos(2a) cos2a − sin2a or 1 − 2sin2a or 2cos2a − 1 sin(2a) 2sin a cos a cos2a [cos(2a) + 1]/2 sin2a [1 − cos(2a)]/2

143 11.1.5 Section 11.1 需要注意的地方 (1) Norm 和 square of norm 要分清楚
作 normalization 時，要除以 norm (2) 熟悉三角函數的公式 (i) 記住幾個，其他的就不難推算出來 (ii) 許多公式可以由 導出來

144 複習： Legendre polynomials 是一種 orthogonal set
if m  n 其他常用的 orthogonal set Hermite polynomials (with weight function) (補充) Chebyshev polynomials (with weight function) (補充) Cosine series Sine series Fourier series