材料力学 第八章 弯曲变形.

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1 材料力学 第八章 弯曲变形

2 第八章 弯曲变形 §8–1 概述 §8–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §8–3 求梁的挠度与转角的共轭梁法
第八章 弯曲变形 §8–1 概述 §8–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §8–3 求梁的挠度与转角的共轭梁法 §8–4 按叠加原理求梁的挠度与转角 §8–5 梁的刚度校核 §8–6 梁内的弯曲应变能 §8–7 简单超静定梁的求解方法 §8–8 梁内的弯曲应变能

3 弯曲变形 §8－１ 概 述 研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。

4 弯曲变形 一、度量梁变形的两个基本位移量 1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。 与 f 同向为正，反之为负。 P x v
C q C1 f 2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，顺时针转动为正，反之为负。　　　 二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为： v =f (x) 小变形 三、转角与挠曲线的关系：

5 弯曲变形 §8-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 一、挠曲线近似微分方程 x M>0 f x M<0 f
§8-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 一、挠曲线近似微分方程 f x M>0 小变形 f x M<0 式（2）就是挠曲线近似微分方程。

6 弯曲变形 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式： 二、求挠曲线方程（弹性曲线） 1.微分方程的积分 2.位移边界条件 P A B
C P D

7 弯曲变形 支点位移条件： 连续条件： 光滑条件： 讨论： ①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。

8 弯曲变形 例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 P 解： L x 建立坐标系并写出弯矩方程 f
写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数

9 弯曲变形 P L x f 写出弹性曲线方程并画出曲线 最大挠度及最大转角

10 弯曲变形 解：建立坐标系并写出弯矩方程 P L a x f 写出微分方程的积分并积分

11 弯曲变形 应用位移边界条件求积分常数 P L a x f

12 弯曲变形 写出弹性曲线方程并画出曲线 最大挠度及最大转角 P L a x f

13 弯曲变形 §8-3 求梁的挠度与转角的共轭梁法 一、方法的用途：求梁上指定点的挠度与转角。 二、方法的理论基础：相似比拟。
上二式形式相同，用类比法，将微分方程从形式上转化为外载与内力的关系方程。从而把求挠度与转角的问题转化为求弯矩与剪力的问题。

14 弯曲变形 三、共轭梁（实梁与虚梁的关系）： ①x轴指向及坐标原点完全相同。 ②几何形状完全相同。 ③实梁对应方程： 虚梁对应方程： ④
⑤虚梁“力”微分方程的积分

15 弯曲变形 实梁“位移”微分方程的积分 下脚标带“0”的量均为坐标原点的量。 ⑥依实梁的“位移”边界条件建立虚梁的“力”边界条件。

16 弯曲变形 固定端A A 自由端A A 固定端A A 自由端A A 铰支端A A 铰支端A A 中间铰支座A 中间铰A 中间铰A 中间铰支座A

17 弯曲变形 总结：等截面实梁与虚梁的关系如下： ① x 轴指向及坐标原点完全相同。 ②几何形状完全相同。 ③
④依实梁的“位移”边界条件，建立虚梁的“力”边界条件。 a ：固定端 自由端 b ：铰支座 铰支座 c ：中间铰支座 中间铰链 ⑤依虚梁的“内力”，求实梁的“位移”。

18 弯曲变形 例2 求下列等截面直梁B点的位移（挠度和转角）。 q L A B 解： 建立坐标和虚梁 求实梁的弯矩方程 以确定虚梁荷载 f x
求虚梁B点的剪力和弯矩，以求实梁B点的转角和挠度 A B L

19 弯曲变形 求虚梁B点的剪力和弯矩，以求实梁B点的转角和挠度 B点之矩 A B L

20 弯曲变形 q 解： 建立坐标和虚梁 qa2 A B D 求实梁的弯矩方程以确定虚梁荷载 f x C D qa a qa2/2 3qa2/8
– + x M qa2/2

21 弯曲变形 求虚梁B点的剪力和弯矩 qa2/2 x M 3qa2/8 – + 3qa2/8 A B C D qa2/2 a a a

22 弯曲变形 四、变截面直梁的共轭梁法： ①将截面的变化折算到弯矩之中去。 ②几何形状：长度不变，惯性矩变为I0 。 ③实梁对应方程：
虚梁对应方程： ④ 其它与等截面直梁完全相同。

23 弯曲变形 0.5a P B 例3 求下列变截面直梁C点的位移，已知：IDE =2IEB =2IAD 。 A x f D C E a a
解： 建立坐标和虚梁 x M

24 弯曲变形 0.5a P B A 求虚梁C点的剪力和弯矩 x f D C E a a x M

25 弯曲变形 §8-4 按叠加原理求梁的挠度与转角 一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。 二、结构形式叠加（逐段刚化法）：

26 = + 弯曲变形 P q 例4 按叠加原理求A点转角和C点 挠度。 A B C a a 解、载荷分解如图 P 由梁的简单载荷变形表，
查简单载荷引起的变形。 = B A + q A B

27 弯曲变形 P q A B C a a P = 叠加 B A + q A B

28 弯曲变形 例5 按叠加原理求C点挠度。 解：载荷无限分解如图 q0 b x dx C 由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。 x
f 0.5L 叠加

29 = + 弯曲变形 例6 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。 P L1 L2 A B C f x f P L1 L2 A B C B C
刚化AC段 B C P L2 等价 x f f1 + P L1 L2 A B C M P L1 L2 A B C 刚化BC段 等价 f2 x f

30 弯曲变形 §8-5 梁的刚度校核 一、梁的刚度条件 其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：
§8-5 梁的刚度校核 一、梁的刚度条件 其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：　　 、校核刚度：　 、设计截面尺寸； 、设计载荷。 (但：对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）

31 弯曲变形 例7 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的[f/L]= ,B点的[]=0.001弧度,试核此杆的刚度。 P L=400mm P2=2kN A C a=0.1m 200mm D P1=1kN B P2 B C D A = = P2 B C a P1=1kN A B D C + P2 B C D A M + P2=2kN B C D A

32 = + + 弯曲变形 P L=400mm P2=2kN A C a=0.1m 200mm D P1=1kN B
解：结构变换，查表求简单 载荷变形。 x f = P1=1kN A B D C 图1 + P2 B C a 图2 + P2 B C D A M 图3

33 = + + 弯曲变形 P L=400mm P2=2kN A C a=0.1m 200mm D P1=1kN B 叠加求复杂载荷下的变形 x
f = P1=1kN A B D C 图1 + P2 B C a 图2 + P2 B C D A M 图3

34 弯曲变形 校核刚度

35 弯曲变形 §8–6 梁内的弯曲应变能 一、弯曲应变能的计算： 应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去 P1 M x f P2 dx r dx
§8–6 梁内的弯曲应变能 一、弯曲应变能的计算： 应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去 P1 M x f P2 dx r dx x Q Q+dQ M M+dM dq dq M(x)

36 弯曲变形 例8 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。 解：外力功等于应变能 P x a f 在应用对称性，得：
q

37 弯曲变形 二、 梁的冲击问题 1.假设： 冲击物为钢体； 不计被冲击物的重力势能和动能； 冲击物不反弹； 不计声、光、热等能量损耗（能 量守恒）。 mg L h A B C A B C x f fd

38 弯曲变形 A B C x f fd 冲击前、后，能量守恒，所以：

39 弯曲变形 三、动响应计算： 动响应计算等于静响应计算与动荷系数之积.
例9 结构如图，AB=DE=L，A、C 分别为 AB 和 DE 的中点，求梁在重物 mg 的冲击下，C 面的动应力。 h B A C mg E =P 解：求C点静挠度 D C2 C1 A1 L

40 弯曲变形 h B A C mg E =P 动荷系数 D C2 C1 A1 L 求C面的动应力

41 = 弯曲变形 §8-7 简单超静定梁的求解方法 q0 x B A L 1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。
§8-7 简单超静定梁的求解方法 q0 x f B A L 1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。 = L q0 MA B A 解：建立静定基 确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构——静定基。 q0 L RB A B

42 = + 弯曲变形 几何方程——变形协调方程 q0 B A L RB 物理方程——变形与力的关系 B A RB 补充方程 q0 B
求解其它问题（反力、应力、 变形等）

43 + = = 弯曲变形 C 例10 结构如图，求B点反力。 LBC q0 解：建立静定基 x B A 几何方程 L RB
f 几何方程 ——变形协调方程： = q0 L RB A B = q0 A B RB A B +

44 + = 弯曲变形 q0 L RB A B C 物理方程——变形与力的关系 LBC x f 补充方程 RB A B q0 A B
求解其它问题（反力、应力、 变形等）

45 弯曲变形 §8-8 如何提高梁的承载能力 强度：正应力： 剪应力： 刚度： 稳定性： 都与内力和截面性质有关。

46 英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中指出:
弯曲变形 一、选择梁的合理截面 矩形木梁的合理高宽比 R b h 北宋李诫于1100年著«营造法式 »一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5 英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为

47 弯曲变形 一般的合理截面 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 z D z a

48 弯曲变形 z D 0.8D a1 2a1 z

49 弯曲变形 0.8a2 a2 1.6a2 2a2 z 工字形截面与框形截面类似。

50 弯曲变形 2、根据材料特性选择截面形状 如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图： z G s 二、采用变截面梁 最好是等强度梁，即 P
x 若为等强度矩形截面，则高为 同时

51 弯曲变形 三、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。 P L/2 M x + PL/4 P L/4 3L/4 M x
P=qL L/5 4L/5 对称 M x qL2/10

52 弯曲变形 M x q L 40 2 qL 50 - M x L/5 q 32 2 qL - M x q L/2

53 弯曲变形 四、梁的侧向屈曲 1.矩形纯弯梁的临界载荷 L M x y z

54 弯曲变形 2.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷 h M z x L y
由上可见，I y过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳的可能性却增大了，这点应引起注意。

55 弯曲变形 五、选用高强度材料，提高许用应力值
同类材料，“E”值相差不多，“jx”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。 不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa , 铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！

56 本章结束