4.2 等差變額年金 意義 : 若簡單年金之普通年金，每期年金額之支付為等差數列，且期數有限者，稱為等差變額年金。

Presentation on theme: "4.2 等差變額年金 意義 : 若簡單年金之普通年金，每期年金額之支付為等差數列，且期數有限者，稱為等差變額年金。"— Presentation transcript:

1 4.2 等差變額年金 意義 : 若簡單年金之普通年金，每期年金額之支付為等差數列，且期數有限者，稱為等差變額年金。

2 計算公式 : 若以S表其年金終值，P表其年金現值，f為第一次支付金額，d為每期增加(或減少)之年金額，n表支付期數，i為每期利率，則其終值與現值之計算公式如下：
S=F ˙ S n┐+d/i(S n┐-n) (4-1) P=f ˙a n┐+﹝a n┐i-n(1+i) -n﹞

3 [證] 等差變額年金可變為n個有限定額年金，如下圖形式： d → d‧S d d → d‧S d d d → d‧S ︰ ︰ ︰
︰ ︰ ︰ d d d d d →d‧S f f f f f f →f‧S … … … … n n n 上述n個有限年金之年金終值之和，即為等差變額年金之年金終值。

4

5 年金現值可由終值複利現值求得

6 例1 第一年未支付20,000，以後每年增加2,400元之 變額年金，為期五年，實利率i = 0.12，求年金終值與現值？
解：依題意 f = 20,000 ， d = 2,400 ， n = 5 ， i = 0.12 代入公式(4-1) 得年金終值 S = 20,000 ˙ = 127, , =154,113.89元

7 代入公式(4-2) 得年金現值 P = 20,000 ˙ =20,000( ) + = 87,448.36元 (驗證 )

8 例2 每半年末支付年金額，第一次支付20,000元，以後每期減少1,500元之變額年金，為期五年，j(2) = 0.16，求年金終值與現值？
解：依題意 f =20,000，d = -1,500 ，n = 5 × 2 =10， 代入公式 得

9 延期等差變額年金 : 若等差變額年金為延期支付者，其年金終值為實付各期之終值，與延期數無關；其年金現值則先求實付各期之年金現值(以P’表之)，在貼現延期數m求得(以P表示)，即有如下之公式：
亦可先算年金終值，在複利現值求年金現值。

10 例3 某君欲今後第十年起，每年末支取年金，第一次為50,000元，以後逐年減少1,500元，為期十五年，實利率i=0.13，求年金現值與終值？ 解： 依題意 f=50,000，m=9，d=-1,500，n=15， i=0.13代入公式 S =50,000˙ =50,000˙( )-293,278.4 =1,727,594.79元 P= = = 元

11 若等差變額年金之支付為永續無窮者，其終值無意義，其現值公式如右：

12 【證】 公式(4-2)P=f ‧ 當 時， ， 代入得 P=f‧

13 例4 崇德文教基金會預頒發獎助學金，每半年末支付一次，第一次為200,000元，以後每其增加20,000元，永續無窮，設基金之利率 ，求該年出應一次存入之款額？ 解：依題意 f=200000，d=20,000 ， 代入公式(4-4)得 = 4,000, ,000,000 = 12,000,000

14 例 5 某君自第三年之年末可支領5,000元，以後逐年遞增600元，實利率i=0.10，求等差永續年金現值？
解 依題意f=5,000 ，d=600 ，i=0.1 ，m=2 代入公式(4-3)(4-4) 得 P = = 90, 元