线性方程组的求解 中国青年政治学院 郑艳霞.

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1 线性方程组的求解 中国青年政治学院 郑艳霞

2 使用建议：建议教师具备简单的MATHMATICA使用知识。
课件使用学时：4学时 面向对象：文科经济类本科生 目的：掌握线性方程组的知识点学习。

3 假设在美国某一固定选区国会选举的投票结果用三维向量表示为
我们用上述类型的向量每两年记录一次国会选举的结果，同时每次选举的结果仅依赖前一次选举的结果。 假设一次选举中结果为 0.8 0.4 0.7 为民主党投票 为共和党投票 为自由党投票 0.3 0.1 0.2 每次选举得票情况的变化为 确定下一次和再下一次可能结果。

4 表示第j个党向第i个党转移的比例 对于给出的选举变化情况，我们可以用一个矩阵进行表达 于是下一次和再下一次可能结果为：
0.8 0.4 0.7 为民主党投票 为共和党投票 为自由党投票 0.3 0.1 0.2 一般地，总可以由这次的选举结果和下一次选举的转移情况 得到下一次选举的结果：

5 即方程组(P-I)x=0的解，就是我们需要的结果。
若干选举之后,投票者可能为共和党候选人投票的百分比是多少？ 若P是一个矩阵，满足各列向量均非负，且各列向量纸盒等于1，则相对于P的稳定向量必满足：Pq=q。可以证明每一个满足上述条件的矩阵，必存在一个稳定向量；并且，若存在整整数k，使得Pk>0,则P存在唯一的向量q满足条件。 易见P2>0,满足上述条件。于是上述问题转化为:如何求出满足 的非0向量x。 x=Px 即方程组(P-I)x=0的解，就是我们需要的结果。

6 齐次线性方程组 1. 齐次线性方程组（2）有解的条件 定理1：齐次线性方程组 有非零解 定理2：齐次线性方程组 只有零解
解的性质 基础解系 解的结构 齐次线性方程组 1. 齐次线性方程组（2）有解的条件 定理1：齐次线性方程组 有非零解 定理2：齐次线性方程组 只有零解 推论：齐次线性方程组 只有零解 即 即系数矩阵A可逆。

7 2. 解的性质 性质：若 是齐次线性方程组Ax=0的解， 则 仍然是齐次线性方程组Ax=b的解。 （可推广至有限多个解）
2. 解的性质 性质：若 是齐次线性方程组Ax=0的解， 则 仍然是齐次线性方程组Ax=b的解。 （可推广至有限多个解） 解向量：每一组解都构成一个向量 解空间: 的所有解向量的集合，对加法和数乘 都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次 线性方程组的解空间。

8 3. 基础解系 设 是 的解，满足 线性无关； 的任一解都可以由 线性表示。 则称 是 的一个基础解系。 定理： 设 是 矩阵，如果
3. 基础解系 设 是 的解，满足 线性无关； 的任一解都可以由 线性表示。 则称 是 的一个基础解系。 定理： 设 是 矩阵，如果 则齐次线性方程组 的基础解系存在， 且每个基础解系中含有 个解向量。

9 4. 解的结构 证明分三步: 1. 以某种方法找 个解。 2. 证明这 个解线性无关。 3. 证明任一解都可由这 个解线性表示。 注：
1. 以某种方法找 个解。 2. 证明这 个解线性无关。 3. 证明任一解都可由这 个解线性表示。 注： 的基础解系实际上就是解空间的一个基。 (1) (2) 证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。 (3) 基（基础解系）不是唯一的。 (4) 当 时，解空间是 当 时，求得基础解系是 则 是 的解， 称为通解。 4. 解的结构 的通解是

10 解决我们的问题： 因此齐次线性方程组的解为：
r(P-I)=2<3 因此齐次线性方程组的解为： 再由问题的实际意义可知：要求向量的各 分量均非负，且满足： 。 因此只能取k>0。再将求出的解进行归一， 就得到了满足条件的解，此时的解是唯一的。 利用软件求解 最终大约有５４％的选票被共和党人得到.

11 一栋大的公寓建筑使用模块建筑技术。每层楼的建筑设计由3种设计中选择。A设计每层有18个公寓，包括3个三室单元，7个两室单元和8个一室单元；B设计每层有4个三室单元，4个两室单元和8个一室单元；C设计每层有5个三室单元，3个两室单元和9个一室单元。设该建筑有x层采取A设计，y层采取B设计，z层采取C设计。 （2）写出向量的线性组合表示该建筑包含的三室、两室和一室单元的总数。 （3）是否可能设计出该建筑，使恰有66个三室、74个两室和136一室单元？如可能的话，是否有多种方法？说明你的答案。

12 解答（1）表示当建筑x层采取A设计时，包括三室
单元，两室单元和一室的公寓数目。 （3）问题转化为：求非负整数x,y,z满足： 也就是非求齐次线性方程组 的解的问题。

13 非齐次性线性方程组 1. 有解的条件 定理3：非齐次线性方程组 有解 并且，当 时，有唯一解； 当 时，有无穷多解。

14 2. 解的性质 3. 解的结构 是 的解，则 是 对应的齐次线性方程组 的解。 性质1： 性质2： 若 有解，则其通解为 其中
2. 解的性质 是 的解，则 是 对应的齐次线性方程组 的解。 性质1： 性质2： 3. 解的结构 若 有解，则其通解为 其中 是（1）的一个特解， 是（1）对应的齐次线性方程组 的通解。 1. 证明 是解； 分析: 2. 任一解都可以写成 的形式。

15 房屋设计问题的解答 进行计算： 由此可得 ， 因此该非齐次线性方程组有解，且基础解系含有一个向量。 利用软件求解

16 房屋设计问题（3）的解答 由问题的实际意义可知，方程组通解中k可以取值为0、1。 即房屋的设计方案有两个： 1.利用A设计的2层和B设计的15层 2. A设计的6层、B设计的2层和C设计的8层。