12.4 切線向量和法向量 Tangent Vectors and Normal Vectors

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1 12.4 切線向量和法向量 Tangent Vectors and Normal Vectors
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2 目的 在空間曲線中找到單位切線向量 找到切線以及法線分量的加速度

3 Tangent Vectors and Normal Vectors
切線向量和法向量 Tangent Vectors and Normal Vectors

4 切線向量和法向量 單位切線向量的定義: 假設ｒ是一個在(a,b)開區域中的平滑曲線，在t這一點的單位切線向量Ｔ(t)定義為

5 例題1-找出單位切線向量 找出r(t) = t i + t2 j 的單位切線向量，當t = 1時 解: r(t) 的微分為
所以單位切線向量為

6 例題1-解 cont’d 當t=1時 單位切線向量為 Figure 12.20

7 切線向量和法向量 切線對於一曲線上的一點來說是經過該點並平行於單位切線向量的線 。

8 例題2-找出曲線上的切線 找出r(t) = 2cos t i + 2sin t j + t k的T(t)以及切線的參數方程式 在點 解:
對 r(t) 微分可得 r'(t) = –2sin t i + 2cos t j + k 可以得到 又

9 例題2-解 cont’d 所以 代入點 ，則單位切線向量為

10 例題2-解 cont’d 代入得到 跟 就可以得到參數方程式為

11 例題2-解 cont’d 所得到的切線如圖所示

12 切線向量和法向量 在例題2中有無限多個向量和切線向量T(t)正交，其中一個T‘(t) 會滿足
T(t)  T(t) = ||T(t)||2 = T(t)  T'(t) = 0 對T‘(t) 做標準化，可以得到一個很特殊的向量叫做單位法向量 定義為: 假設ｒ是一個在(a,b)開區域中的平滑曲線，如果Ｔ(t) ≠0，在t這一點的單位法向量Ｎ(t)定義為

13 例題3-找到單位法向量 找到 r(t) = 3t i + 2t2 j 的N(t) 跟 N(1) 解: 對曲線微分 代入定義則可以得到

14 例題3-解 cont’d 而根據單位法向量的定義，我們還需對T做微分

15 例題3-解 cont’d 因此單位法向量為 當 t = 1, 所求為

16 切線向量和法向量 單位法向量在空間中可能為很難用代數學的方法去算出，但在平面你可以輕易地用代數學去算。
T(t) = x(t)i + y(t)j Unit tangent vector 觀察N(t)可以假設他一定為

17 切線向量和法向量 因為 以及 N1(t)和N2(t)都為單位法向量 右圖中單位法向量N是一 個方向朝向曲線凹處的向量

18 切線向量和法向量 在空間中法向量也是一樣的 如右圖一個物體沿著空間曲 線C移動，T(t)指著物體移 動的方向，則切線法向量是

19 Tangential and Normal Components of Acceleration
切線與法線方向加速度 Tangential and Normal Components of Acceleration

20 切線與法線方向加速度 定理12.4如果ｒ(t)是一個平滑曲線的位置向量[ Ｎ(t)存在 ]，則加速度向量可以拆成切線分量與法線分量
其中切線分量為 aT = Dt [||v||] 法線分量為 aN = ||v|| ||T'||. 而加速度就可以表示成

21 切線與法線方向加速度 理論12.5 如果r(t)是一個平滑曲線C的位置向量 則加速度的切線方向與法線方向為
注意如果aN 則加速度的切線以及法線分量被叫做 向心加速度分量

22 例題5-加速度的切線以及法線分量 找出r(t) = 3t i – t j + t2 k 加速度的切線以及法線分量 解:
一開始先找出速度，速率以及加速度 v(t) = r'(t) = 3i – j + 2t k a(t) = r''(t) = 2k

23 例題5-解 cont’d 根據定理12.5可以得知加速度的切線分量為 因為 所以加速度的法線分量為