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第6章 方差分析 ANOVA The Analysis of Variance
数理统计课题组
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本章大纲 6.1 单因素方差分析 6.2 多重比较 6.3 双因素方差分析 6.4 非参数方法
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6.1 单因素方差分析 (One-Way ANOVA)
例 研究扑尔敏（氯苯吡胺，Chlorpheniramine ）药片的剂量，从7个药厂生产的扑尔敏药片中，各抽取10片做检验，测量出每片中含有氯苯吡胺的剂量（mg）。 实验指标Y：定量变量，本例为药片的剂量。 实验因素(Factors)：定性变量，本例为单因素，只有药厂（Labs）一个实验因素。 因素水平：实验因素的不同取值，本例为Lab1，Lab2, ……, Lab7，也称为处理（Treatments)
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6.1 单因素方差分析 (One-Way ANOVA)
例 6.1 Lab1 Lab2 Lab3 Lab4 Lab5 Lab6 Lab7 4.13 4.07 4.04 4.05 4.02 4.06 4.10 3.86 3.85 4.08 4.11 4.01 3.97 3.95 4.00 3.99 4.03 3.98 3.88 3.91 3.92 3.90 3.89 3.96 3.82 3.93 3.81
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6.1 单因素方差分析 (One-Way ANOVA)
一般情况 第i个处理 1 2 … i … I 第j次观测 Y11 … Y1j Y1J Y21 Y2j Y2J … Yi1… … … … … Yij … … YiJ … YI1 YIj YIJ
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6.1 单因素方差分析 (One-Way ANOVA)
例 6.1 箱线图 Boxplots
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6.1 单因素方差分析 (One-Way ANOVA)
统计模型： 其中ai是第i个水平的效应，满足 平方和分解式： 其中：
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6.1 单因素方差分析 (One-Way ANOVA)
构造F统计量 Pooled sample variance
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6.1 单因素方差分析 (One-Way ANOVA)
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6.1 单因素方差分析 (One-Way ANOVA)
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6.1 单因素方差分析 (One-Way ANOVA)
当各处理的样本量Ji不全相等时 平方和分解式： 其中：
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6.1 单因素方差分析 (One-Way ANOVA)
构造F统计量 Pooled sample variance
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6.2 多重比较 (Multiple Comparisons)
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6.2 多重比较 (1 LSD Method) 则认为i1水平与i2水平有显著差异
Fisher提出的最小显著差异(Least Significance Difference)方法，简记为LSD 则认为i1水平与i2水平有显著差异
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多重比较 (1 LSD Method)
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多重比较 (2 Tukey’s Method) 服从参数为I和I(J-1)的学生化极差分布（Studentized range distribution）,其上侧100a分位数记为 则认为i1水平与i2水平有显著差异
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多重比较 (2 Tukey’s Method)
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6.2 多重比较 (3 Bonferroni Method)
两两比较共有 对显著性水平a，取每个两两比较的显著性水平为a/k，则k个两两比较合计犯弃真错误的概率不超过a。 则认为i1水平与i2水平有显著差异
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6.2 多重比较 (3 Bonferroni Method)
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6.2 多重比较 (3 Bonferroni Method)
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6.3 双因素方差分析 (Two-Way ANOVA )
无交互作用 有交互作用
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6.3 双因素方差分析 6.3.1 无交互作用 例6.2 用3种电烤箱烧烤3种菜肴， 考察用电量（千瓦小时） Menu Day 菜肴
6.3 双因素方差分析 无交互作用 例6.2 用3种电烤箱烧烤3种菜肴， 考察用电量（千瓦小时） Menu Day 菜肴 Range 1 烤箱 1 Range 2 烤箱 2 Range 3 烤箱 3 1 2 3 3.97 2.39 2.76 4.24 2.61 2.75 4.44 2.82 3.01
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6.3 双因素方差分析 6.3.3 无交互作用 可加模型（无交互作用）： 其中ai是A因素第i个水平的效应，满足
6.3 双因素方差分析 无交互作用 可加模型（无交互作用）： 其中ai是A因素第i个水平的效应，满足 bj是B因素第j个水平的效应，满足
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6.3 双因素方差分析 无交互作用 平方和分解式： 其中：
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Pooled sample variance
6.3 双因素方差分析 无交互作用 构造F统计量 Pooled sample variance
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6.3 双因素方差分析 无交互作用
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6.3 双因素方差分析 无交互作用 SPSS方差分析表
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6.3 双因素方差分析 无交互作用 Excel 方差分析表
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6.3 双因素方差分析 有交互作用 当两因素A与B间存在交互作用(interactions)时,为了考察交互作用就要做重复实验，如果每个处理的实验次数K都是相等的则称为平衡(balanced)实验.
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6.3 双因素方差分析 6.3.2 有交互作用 例6.2 考察两种铁 Fe3+和Fe2+ 在3种剂量（Dosage）
6.3 双因素方差分析 有交互作用 Fe3+ Fe2+ 10.2 1.2 0.3 0.71 1.66 2.01 2.16 2.42 2.56 2.60 3.31 3.64 3.74 4.39 4.50 5.07 5.26 8.15 8.24 2.20 2.93 3.08 3.49 4.11 4.95 5.16 5.54 5.68 6.25 7.25 7.90 8.85 11.96 15.54 15.89 18.30 18.59 2.25 3.93 5.08 5.82 5.84 6.89 8.50 8.56 9.44 10.52 13.46 13.57 14.76 16.41 16.96 17.56 22.82 29.13 2.69 3.54 3.75 3.83 4.08 4.27 4.53 5.32 6.18 6.22 6.33 6.97 7.52 8.36 11.65 12.45 4.04 4.16 4.42 4.93 5.49 5.77 5.86 6.28 7.06 7.78 9.23 9.34 9.91 18.40 23.89 26.39 2.71 5.43 6.38 8.32 9.04 9.56 10.01 10.08 10.62 13.80 15.99 17.90 18.25 19.32 19.87 21.60 22.25 例6.2 考察两种铁 Fe3+和Fe2+ 在3种剂量（Dosage） 10.2、1.2、0.3 下的保存百分比。
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6.3 双因素方差分析 有交互作用 对数 变换
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6.3 双因素方差分析 6.3.2 有交互作用 有交互作用模型： 其中ai是A因素第i个水平的效应，满足 bj是B因素第j个水平的效应，满足
6.3 双因素方差分析 有交互作用 有交互作用模型： 其中ai是A因素第i个水平的效应，满足 bj是B因素第j个水平的效应，满足 dij是A因素第i个水平与B因素第j个水平的交互效应，满足
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6.3 双因素方差分析 有交互作用 平方和分解式： 其中：
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6.3 双因素方差分析 有交互作用 在正态假设下对参数做极大似然估计,对数似然函数为: 得参数估计
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6.3 双因素方差分析 有交互作用 构造F统计量
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6.3 双因素方差分析 有交互作用
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6.3 双因素方差分析 有交互作用
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6.3 双因素方差分析 有交互作用
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6.3 双因素方差分析 有交互作用
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6.3 双因素方差分析 有交互作用
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6.3 双因素方差分析 有交互作用 两条线段平行时无交互作用; 两条线段不平行时有交互作用;
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6.3 双因素方差分析 6.3.3 随机区组设计 人为划分的时间、空间、设备等实验条件称为 区组（block）。
6.3 双因素方差分析 随机区组设计 人为划分的时间、空间、设备等实验条件称为 区组（block）。 区组因素也是影响实验指标的因素，但并不是实验者所要考察的因素，也称为非处理因素。 任何实验都是在一定的时间、空间范围内并使用一定的设备进行的，把这些实验条件都保持一致是最理想的，但是这在很多场合是办不到的。解决的办法是把这些区组因素也纳入实验中，在对实验做设计和数据分析中也都作为实验因素。
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随机化区组设计是指实验中含有一个实验因素A和一个区组因素B，对A和B的每一种水平搭配，以概率均等的原则，随机地选择实验单元。
6.3 双因素方差分析 随机区组设计 随机化区组设计是指实验中含有一个实验因素A和一个区组因素B，对A和B的每一种水平搭配，以概率均等的原则，随机地选择实验单元。 随机化区组设计可以是重复实验，也可以是无重复实验。如果要考查实验因素和区组因素的交互作用就必须做重复实验。
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6.3 双因素方差分析 随机区组设计 例 研究药物减轻皮肤瘙痒的作用，实验因素A是药物种类，共有5种药物，同时还有不用药的空白水平（No Drug），和使用安慰剂（Placebo）的安慰对照水平，共7个水平。区组因素B是受试个体。使用药物种类的顺序是随机的。
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6.3 双因素方差分析 随机区组设计
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没有重复实验，把Interaction作为误差
6.3 双因素方差分析 随机区组设计 没有重复实验，把Interaction作为误差
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6.4 非参数方法 (Nonparametric Method)
单因素方差分析 A Nonparametric Method- The Kruskal-Wallis Test Rij是Yij的秩 当H0成立时近似有 k~c2(I-1)
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6.4 非参数方法 (Nonparametric Method)
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6.4 非参数方法 (Nonparametric Method)
随机区组设计（双因素方差分析） A Nonparametric Method- Friedman’s Test 对第j个区组，Rij是I个Yij的秩 当H0成立时近似有 Q~c2(I-1)
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