1.1 線性方程式系統簡介 1.2 高斯消去法與高斯-喬登消去法 1.3 線性方程式系統的應用

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1 1.1 線性方程式系統簡介 1.2 高斯消去法與高斯-喬登消去法 1.3 線性方程式系統的應用
第一章 線性方程式系統 1.1 線性方程式系統簡介 1.2 高斯消去法與高斯-喬登消去法 1.3 線性方程式系統的應用 Elementary Linear Algebra 投影片設計製作者 R. Larsen et al. (6 Edition) 淡江大學 電機系 翁慶昌 教授

2 1.1 線性方程式系統簡介 n個變數的線性方程式 (linear equation)
1.1 線性方程式系統簡介 n個變數的線性方程式 (linear equation) 係數a1，a2，a3，…，an都是實數，並且常數項b也是實數。a1稱為領先係數(leading coefficient)，x1稱為領先變數(leading variable)。 注意： (1) 線性方程式之變數不可以是相乘或是開根號，且 變數不能被包含在三角、指數或對數函數裡面。 (2) 變數只能以第一冪次的方程式表示 。 線性代數: 1.1節 pp.2-3

3 範例 1：線性、非線性 線性代數: 1.1節 p.3

4 n個變數線性方程式的解 (solution)
當 使得 解集合 (solution set) 所有滿足線性方程式的解所構成的集合。 線性代數: 1.1節 p.3

5 範例 2：解集合的參數化表示 (parametric representation)
其中一解為 (2, 1)，即 將方程式整理成 ，並令 可得 則解集合為 或 線性代數: 1.1節 pp.3-4

6 n個變數m條線性方程式系統 (system of linear equations)
一致性 (consistent) 線性方程式系統至少有一解 非一致性 (inconsistent) 線性方程式系統無解 線性代數: 1.1節 p.5

7 對一線性方程式系統而言，下列有一為真 (1) 系統只有唯一解(一致性系統) (2) 系統有無限多組解(一致性系統)
(3) 系統為無解(非一致性系統) 線性代數: 1.1節 p.6

8 範例 4：(線性方程式系統的解) (1) (2) (3) 線性代數: 1.1節 p.6

9 範例 5：使用回代法(back substitution)解列梯形形式的方程式系統
解：將 代入(1) 可得 此系統有唯一解 線性代數: 1.1節 p.7

10 範例 6：使用回代法解列梯形形式的方程式系統
解：將 代入(2) 可得 再將 及 代入(1)得 此系統有唯一解 線性代數: 1.1節 p.8

11 等價 (equivalent) 若兩線性方程式系統的解集合完全相同， 則稱此兩 線性方程式系統為等價 下列運算會產生兩個等價的線性方程式系統
(1) 兩方程式互換 (2) 一方程式乘上一非零常數 (3) 一方程式的倍數加到另一方程式 線性代數: 1.1節 p.8

12 範例 7：利用高斯消去法將線性方程式系統改寫成列梯形形式
解： 線性代數: 1.1節 p.9

13 所以此系統的解為 (唯一解) 線性代數: 1.1節 p.9

14 範例 8：求解線性方程式系統(非一致性(矛盾)系統)
解： 線性代數: 1.1節 p.11

15 所以此線性方程式系統無解 線性代數: 1.1節 p.11

16 範例 9：求解線性方程式系統(無限多組解) 解： 線性代數: 1.1節 p.12

17 令 則 所以此系統有無限多組解 線性代數: 1.1節 p.12

18 摘要與復習 (1.1節之關鍵詞) linear equation: 線性方程式
system of linear equation: 線性方程系統 leading coefficient: 領先係數 leading variable: 領先變數 solution: 解 solution set: 解集合 parametric representation: 參數化表示 consistent: 一致性(有解) inconsistent: 非一致性(無解、矛盾) equivalent: 等價

19 1.2 高斯消去法與高斯-喬登消去法 mn 矩陣 (matrix) 注意： (1)矩陣中的每一個元素(entry)aij是一個數
(2)一m列n行的矩陣的大小(size)為mn (3)若 ，則此矩陣稱為n階方陣(square of order n) (4)對一方陣而言，元素a11, a22, …, ann稱為主對角線 (main diagonal)的元素 線性代數: 1.2節 p.18

20 矩陣最常用的方式是用來表示線性方程式系統
範例 1： 矩陣 大小 注意： 矩陣最常用的方式是用來表示線性方程式系統 線性代數: 1.2節 pp.18-19

21 m個方程式n個變數的線性方程式系統 以矩陣方式表示為 線性代數: 1.2節 p.19

22 增廣矩陣 (augmented matrix)
係數矩陣 (coefficient matrix) 線性代數: 1.2節 p.19

23 三個基本列運算 (elementary row operation)
(1)兩列互換 (2)一列乘上一非零常數 (3)一列的倍數加到另一列 列等價 (row equivalent) 若一矩陣可由另一矩陣的一些基本列運算來獲得，則此兩個矩陣稱為列等價 線性代數: 1.2節 pp.19-20

24 範例 2：(基本列運算) 線性代數: 1.2節 p.20

25 範例 3：使用基本列運算解一個系統 線性系統 相對的增廣矩陣 基本列運算 線性代數: 1.2節 p.21-22

26 範例 3：使用基本列運算解一個系統 線性系統 相對的增廣矩陣 基本列運算 線性代數: 1.2節 p.22

27 列梯形形式 (row-echelon form)
(1)全部為零的列在矩陣最底下 (2)不全為零的列，其第一個非零元素為1，稱為領先1 (leading 1) (3)對兩相鄰的非零列而言，較高列之領先1出現在較 低列之領先1的左邊 列簡梯形形式 (reduced row-echelon form) (1) ~ (3) 同上 (4)在領先1的那一行除了領先1以外的位置全部為零 線性代數: 1.2節 p.22

28 範例 4：判斷下列矩陣為列梯形形式或列簡梯形形式
線性代數: 1.2節 p.23

29 高斯消去法 (Gaussian elimination) 將矩陣化簡為列梯形形式的程序
高斯-喬登消去法 (Gauss-Jordan elimination) 將矩陣化簡為列簡梯形形式的程序 注意： (1) 每個矩陣只有一個列簡梯形形式 (2) 每個矩陣可以有很多種列梯形形式(不同的列運算 會產生不同的列梯形形式) 線性代數: 1.2節 p.27

30 範例：高斯消去法與高斯喬登消去法之步驟說明
產生 leading 1 最左邊的非零行 leading 1 產生 leading 1 最左邊的非零行 子矩陣 讓在leading 1 下的元素為0 線性代數: 1.2節 補充

31 leading 1 產生 leading 1 子矩陣 讓在leading 1 下的元素為0 讓leading 1以外的其他位置為0 leading 1 列梯形形式 列梯形形式 列梯形形式 列簡梯形形式 線性代數: 1.2節 補充

32 範例 7：用高斯-喬登消去法求解線性方程式系統(唯一解)
解： 線性代數: 1.2節 p.27-28

33 範例 8：求解線性方程式系統(無限多組解) 解： 線性代數: 1.2節 pp.30-31

34 令 所以此系統有無限多組解 線性代數: 1.2節 pp.30-31

35 線性方程式的齊次系統 (homogeneous system)
若一線性方程系統的常數項均為零時， 則此系統為齊次系統 線性代數: 1.2節 p.30

36 顯然解 (trivial solution)
非顯然解 (nontrivial solution) 顯然解之外的其他解 注意： (1) 所有的齊次系統均為一致性(consistent)系統 (2) 若系統的方程式比變數少，則有無限多組解 (3) 對於一個齊次系統來說，下列有一為真 (a) 系統只有一個顯然解 (b) 系統除了顯然解外還有無限多組解 線性代數: 1.2節 p.30

37 範例 9：求解下列的齊次線性方程式系統 解： 令 線性代數: 1.2節 p.30

38 摘要與復習 (1.2節之關鍵詞) matrix: 矩陣 row: 列 column: 行 entry: 元素 size: 大小
square matrix: 方陣 order: 階 main diagonal: 主對角線 augmented matrix: 增廣矩陣 coefficient matrix: 係數矩陣

39 elementary row operation: 基本列運算
row equivalent: 列等價 row-echelon form: 列梯形形式 reduced row-echelon form: 列簡梯形形式 leading 1: 領先1 Gaussian elimination: 高斯消去法 Gauss-Jordan elimination: 高斯-喬登消去法 free variable: 自由變數 homogeneous system: 齊次系統 trivial solution: 顯然解 nontrivial solution: 非顯然解

40 1.3 線性方程式系統的應用 線性代數: 1.3節 pp.35

41 線性代數: 1.3節 pp.35-36

42 線性代數: 1.3節 pp.36

43 線性代數: 1.3節 pp.36-37

44 線性代數: 1.3節 pp.37

45 線性代數: 1.3節 pp.38-39

46 線性代數: 1.3節 pp.39

47 線性代數: 1.3節 pp.39

48 線性代數: 1.3節 pp.39-40

49 線性代數: 1.3節 pp.40

50 線性代數: 1.3節 pp.40

51 線性代數: 1.3節 pp.41

52 線性代數: 1.3節 pp.41

53 線性代數: 1.3節 pp.41-42

54 線性代數: 1.3節 pp.42

55 線性代數: 1.3節 pp.42

56 線性代數: 1.3節 pp.43

57 線性代數: 1.3節 pp.43

58 線性代數: 1.3節 pp.43-44

59 線性代數: 1.3節 pp.44

60 線性代數: 1.3節 pp.44

61 線性代數: 1.3節 pp.45