對數與對數的應用 組員：許為明、黃楷甯、褚雪惠.

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1 對數與對數的應用 組員：許為明、黃楷甯、褚雪惠

2 一、數學單元主題教材內容分析 教學重點： 1.對數的基本定義 2.對數常用基本定律 3.對數的換底公式.連鎖公式.變形公式
4.對數函數的圖形與性質 5.對數方程式與對數不等式 6.對數表及科學記號的使用 7.生活中的對數應用

3 1.對數的基本定義 設 a＞0,a≠1,當 ax＝b 時,以符號 logab 表示 x,即 ax＝b  x＝logab
(指數關係) (對數關係) Ex.3x＝2  x＝log32 logab 稱之為 以 a 為底數,b 之對數；其中 b 叫真數 記憶方式：右手轉基本性質 logab＝x  ax＝b

4 Example 1.1 滿足 2x＝8 的 x 值為何？ Sol. 顯然 23＝8 故 x＝3 問 log28 之值為何？
Sol. 由定義知 x＝log28  2x＝8 又由上題得知 23＝8 故可得知 log28＝3

5 2.對數常用基本定律 設 a＞0 , r＞0 , s＞0 (1)logaa＝1 (2)loga1＝0 (3)logaax＝x
(4) alogax＝x logars＝logar+logas loga ＝logar-logas

6 Example 2.1 化簡 Sol. 原式

7 Example 2.2 設 x≠0 ,則 logx2＝？ Sol. logx2＝log|x|2 ＝2log|x|
(因為真數必須是正數才有意義)

8 3.對數的換底.連鎖.變形公式 換底公式： 連鎖公式： 變形公式：

9 Example 3.1 (利用換底＋連鎖公式) 若 log23＝a ,log37＝b ,以 a,b 表 log4256.
Sol. 利用換底公式,取 2 當新的底數 原式＝ 又由連鎖公式知 log27＝log23×log37＝ab ∴ log4256＝

10 Example 3.2 (利用連鎖公式化簡) 設 a,b,c,d R+-{1} 且 a2＝c3,c2＝e5,
求 (logab)(logbc)(logcd)(logde) 之值. Sol. 已知 ,由連鎖公式知 原式＝logae＝

11 Example 3.3 (善用變形公式簡化問題) 解 2(xlog3)(3logx)－5xlog3－3＝0 .
Sol. 令 u＝xlog3＝3logx , 則原式：2u2－5u－3＝0 , 解得 u＝ 或 3 但 u＝3logx＞0 , 故僅取 u＝3 ,即 3logx＝3 , 則 logx＝1 , ∴ x＝10

12 4.對數函數的圖形與性質 指對數的反函數關係

13 底數和圖形的關係

14 Example 4.1

15 對數函數的增減特性

16 對數函數的增減特性

17 Example 4.2 (利用真數和底數決定大小關係)
設 , 比較 a,b,c,d 之大小順序. ※解答見下頁投影片

18 Sol. 1.觀察底數與真數是否同時大於1或小於1： 得知 a＜0,b＞0,c＜0,d＞0 2.由底數判斷函數的增減：
因為 a,c 底數為 ＜1,故為減函數,由此得知a＞c 3.化簡再用函數增減特性比較： 由 得知 c＜a＜b＜d

19 5.對數方程式及對數不等式 1.設 0＜a≠1 ,則 logax1＝logax2  x1＝x2＞0
2.(1)設 a＞1 ,則 0＜x1＜x2  logax1＜logax2 (2)設 0＜a＜1 ,logax1＜logax2  x1＞x2＞0 Note.解對數不等式及對數方程式時,千千萬萬要注意到真數與底數的限制 !！

20 Example 5.1 (解對數方程式時請注意解的範圍)
解 log6x＋log6(x2－7)＝1 Sol.

21 Example 5.2 (解對數不等式請小心限制範圍)
解 log2x＋logx2＜ Sol.

22 6.對數表及科學記號的使用 常用對數與科學記號 常用對數：一般以10為底數之對數 log10x , 以 logx 表之,稱之為常用對數.
科學記號：若 a＞0 ,則可化為 a＝b×10 , 其中 n Z 且 1≦b＜10 ,稱為科學記號表示法.

23 首數與尾數之運用 巨大數字之處理原理: 若 x＞1 且 logx＝n＋c ,其首數 n≧0 , 尾數 c＜1 ,則 x 之整數部分為 n＋1 位數 分析 n ≦ logx＝n＋c ＜ n＋1 10x ≦ x ＜ 10n+1 又 10x 為最小的 n＋1 位正整數 ∴ x 之整數部分為 n＋1 位數

24 Example 6.1 (1) 27100＋5200 整數部分為幾位數？首位數字？
(2) 1＋3＋32……＋380 之和為幾位數？首位數字？ Sol.

25 微小數字之處理原理: 若 0＜x＜1 且 logx＝n＋c ,其首數 n＜0 ,尾數 c＜1 ,則 x 之有效數字自小數點後面第|n|位開始

26 Example 6.2 若( )66在小數點後第 k 位始出現不為 0 之 數字 p ,求序組(k,p)＝？ Sol.

27 對數表與內差法：

28 Example 6.3 已知 log3.42＝0.5340,log3.43＝0.5353, 若 logx＝ ,求 x 值.(取四位有效數字的近似值) Sol.

29 7.生活中的對數應用 本利和之計算 設本金 A ,每期利率為 r ,期數為 n 1.單利本利和＝A(1＋nr)
3.年利率 1分＝10％ ,1厘＝1％ 月利率 1分＝1％ ,1厘＝0.1％

30 Example 7.1 (利用查表求本利和) ※解答見下頁投影片

31 Sol.

32 二.教學網頁設計理念 加入跟生活有關的對數問題啟發學生的興趣 藉由簡易的基本公式讓學生導入對數的概念 運用簡單的Flash讓網頁生動有趣味

33 三.教學網頁教學目標 能熟知各個對數的基本公式 能將基本公式靈活運用 能將對數和生活連結

34 四.網頁設計規劃流程 教學網頁規劃PPT檔(97年11月10日前) 網頁文字部分(97年11月17日前)
網頁圖片影片部分(97年11月25日前) 網頁互動部分(97年12月2日前) 網頁評量部分(97年12月9日前) 網頁製作最後檢視(97年12月16日前) 數學單元教學網頁並上傳(97年12月23日前)

35 五.參考資料 南一高中數學第二冊 龍騰高中數學第二冊 經典高中數學參考書 徐氏高中數學參考書

36 THE END