第三讲：基本问题；横向运动初步.

Presentation on theme: "第三讲：基本问题；横向运动初步."— Presentation transcript:

1 第三讲：基本问题；横向运动初步

2 主要内容 光源物理引论中涉及的概念和问题 坐标系，磁场参数 横向运动的方程 横向振荡与工作点

3 概念和问题 概念 束流：大量运动状态十分相似的带电粒子组成的粒子流 动量P(包括能量和运动方向) 几乎相同，空间分布集中，整体 有序
一般达到1010个的数量，电子束流：~1nC 相似：市场——热运动的粒子，束流——人群被约束到地铁站 束流物理（加速器物理）： 起初划分为核物理学或粒子物理学的次级学科 20 世纪80 年代，美国物理学会单独划分为Beam Physics，与诸 如凝聚态物理、等离子体物理、基本粒子物理等并列 研究对象也是粒子，但束流物理学研究束流集体的形态和在一 定的电磁场作用下运动的规律.完全不涉及粒子的内部结构和 在核力作用下如何转变等等行为，与基本粒子物理学之间可谓 泾渭分明

4 概念和问题 概念（2） 理想粒子与任意粒子 研究对象既然是一大群彼此十分相似的粒子.最简便的方法是 选出一个“粒子”，再讨论其他粒子与其的差异 理论力学：六个自由度 理想粒子、理想轨道：简单设计 稍有差异的粒子如何运动？怎样的粒子会“很不理想”？ 束流物理学的基本问题 自动稳相原理、强聚焦原理、（横向运动稳定性问题）…… 坐标系 X, Y, Z（S）

5 概念和问题 问题 储存环的最大特征是周期性环境 周期解：从S到S+L，理想粒子的轨迹有唯一周期解 怎么理解这个周期解？
任意粒子的轨迹是围绕闭合轨道的横向振荡 周期解：唯一性，动量相同的粒子的平均性质，环的特性； 振荡解：初始条件决定 环的特征参数与Lattice函数 Courant-Snyder参数，或者Twiss参数 反映环的特征的周期解，全环L，或者L/Nperiod 大部分描述粒子运动的物理量可以用Twiss参数表示 在加速器物理学中的“通用语言”

6 概念和问题 问题（2）横向运动 横向运动稳定时，粒子的振荡在相空间中表现为状态点沿着彼此相 似的椭圆曲线作井然有序的移动。
横向运动稳定时，粒子的振荡在相空间中表现为状态点沿着彼此相 似的椭圆曲线作井然有序的移动。 Lattice参数确定了椭圆在不同位置的形状，面积不变 Lattice本身结构，可以推导——电子储存环物理，第二讲 刘维尔定理（保守力系统，统计学意义）——电子储存环物理 粒子振荡的振幅（不理想程度） 发射度：正比于所有粒子相轨迹椭圆面积的平均值

7 概念和问题 问题（3）纵向运动；阻尼与激发 纵向振荡 自动稳相 概念：大量非同步粒子仍然稳定，表现为相位和能量振荡
理念：能量（纵向位置/相位）与动量偏差（能散）相互影响 阻尼与激发的平衡 横向和纵向的振荡都会被SR阻尼（纵向补偿少，横向不补偿） 发光是量子过程，不确定性，不可预期，重新激发

8 概念和问题 问题（4）集体效应，束流寿命 束流损失原因漫谈： 内部；外部；快速；缓慢…… 束流不稳定性
真空室的孔径与束流动力学计算获得的孔径 时间尺度： 100m的小型光源，射频加速电场频率500MHz（SSRF用） 束团脉冲长度：几十至几百ps；间隔：最短为2ns 电子回旋周期：0.3μs；横向振荡周期：100ns左右，快振荡 纵向振荡周期：几十μs，慢振荡 阻尼时间：振幅衰减到1/e，×10ms，对粒子振荡相当漫长 时间尺度跨度大，意味着不同过程的细节常常无需同时考虑

9 坐标系与磁场 曲线正交坐标系——理论力学/电动力学 s/z轴：切线，沿理想粒子轨道；假设弯转轨道为水平面 真实电子坐标 X轴，法线，指向外侧
Y轴，垂直弯转平面 ——统一用u表示横向

10 坐标系与磁场 以空间中向量原点为参考点，任意粒子位置向量： 𝑟 = 𝑟 0 𝑧 0 +𝑥 𝑒 𝑥 +𝑦 𝑒 𝑦
𝑟 = 𝑟 0 𝑧 0 +𝑥 𝑒 𝑥 +𝑦 𝑒 𝑦 有弯转时， 𝑒 𝑥 和 𝑒 𝑦 不是常向量。z有微小增量dz时，x轴和z轴旋转一 个小角度dφ=dz/ρ 𝑑 𝑟 0 𝑧 =𝑑𝑧 𝑒 𝑧 ，𝑑 𝑒 𝑥 =𝑑𝜑 𝑒 𝑧 ，𝑑 𝑒 𝑦 =0，𝑑 𝑒 𝑧 =−𝑑𝜑 𝑒 𝑥 𝑣 𝑧 =𝑑𝑧/𝑑𝑡，因此（定义’表示对z微分） 𝑣 = 𝑣 𝑧 1+ 𝑥 𝜌 𝑒 𝑧 + 𝑥 ′ 𝑒 𝑥 + 𝑦 ′ 𝑒 𝑦 ，𝑣≈ 𝑣 𝑧 1+ 𝑥 𝜌 𝑥 ′ 𝑦 ′2 𝑣 ′ = 𝑣 𝑧 2 𝜌 𝑥 ′ +𝑥 1 𝜌 ′ + 𝑣 𝑧 ′ 1+ 𝑥 𝜌 𝑒 𝑧 + 𝑣 𝑧 𝑥 ′′ − 1 𝜌 1+ 𝑥 𝜌 𝑣 𝑧 ′ 𝑥 ′ 𝑣 𝑧 𝑥 ′′ − 1 𝜌 1+ 𝑥 𝜌 𝑣 𝑧 ′ 𝑥 ′ 𝑒 𝑥 + 𝑣 𝑧 𝑦 ′′ + 𝑣 𝑧 ′ 𝑦 ′ 𝑒 𝑦 有近似，推导略

11 坐标系与磁场 要点： 曲率象征坐标系的弯曲程度，直线时为零，弯转半径无穷大
𝑣 𝑧 =𝑑𝑧/𝑑𝑡，特定粒子坐标z随时间的瞬时增长率，近似而不等于理想粒子 速度，也不是该粒子速度在z方向的分量 𝑣 = 𝑣 𝑧 1+ 𝑥 𝜌 𝑒 𝑧 + 𝑥 ′ 𝑒 𝑥 + 𝑦 ′ 𝑒 𝑦 𝑣 𝑢 = 𝑣 𝑧 𝑢 ′ ， 𝑣 𝑧 与轨道弯曲程度、径向偏差有关 𝑣 ′ = 𝑣 𝑧 2 𝜌 𝑥 ′ +𝑥 1 𝜌 ′ + 𝑣 𝑧 ′ 1+ 𝑥 𝜌 𝑒 𝑧 + 𝑣 𝑧 𝑥 ′′ − 1 𝜌 1+ 𝑥 𝜌 𝑣 𝑧 ′ 𝑥 ′ 𝑣 𝑧 𝑥 ′′ − 1 𝜌 1+ 𝑥 𝜌 𝑣 𝑧 ′ 𝑥 ′ 𝑒 𝑥 + 𝑣 𝑧 𝑦 ′′ + 𝑣 𝑧 ′ 𝑦 ′ 𝑒 𝑦 X分量中有− 1 𝜌 1+ 𝑥 𝜌 𝑣 𝑧 项，向心加速度 𝑣 𝑧 2 /𝑅，因设置了曲率坐标系 而产生，意味着弯转磁场

12 坐标系与磁场 横向运动约定 储存环：运动中不加速，动量不变 外加场无电场，仅有磁场 弯转轨道为水平面
磁场关于弯转轨道对称，弯转轨道上磁场仅有法向分量，粒子理想 轨道在弯转磁铁中弯转，在其他元件中为直线 定义：曲率中心在x<0为“正弯转”；“负弯转”时曲率和弯角<0 不考虑电荷，定义产生正弯转的By磁场为正；Bx>0时则粒子在铅垂面 内转向y较大的方向

13 坐标系与磁场 磁场的特征 任意恒定磁场可以展开为坐标变量的幂级数 各阶系数反映磁场对横向位置坐标的依赖关系，系数自身则是纵向 位置z的函数
粒子受到的横向作用力与其位置有关，迫使其向“理想轨道”靠拢或 偏离 高阶量可略去

14 坐标系与磁场 磁刚度与规格化 磁刚度 𝐵𝜌 0 = 𝑃 0 𝑒 = 𝐸 0 𝑒𝑐 = 𝐸 0 0.2997925
𝐵𝜌 0 = 𝑃 0 𝑒 = 𝐸 0 𝑒𝑐 = 𝐸 E：标称能量（GeV），磁刚度单位是Tm（特斯拉米） 有一定动量的带电粒子束对磁场强迫其弯转的“抗拒能力” 下标0的含义是“标称”，属于特定能量的束流 利用磁刚度对磁场规格化 将磁场强度及其对位置的各阶偏微商都除以磁刚度，称为磁场 对特定束流的规格化 规格化的好处是什么？思考一下！

15 坐标系与磁场 磁场的多极分量 𝐵 𝑦 𝑥 = 𝐵 𝑦0 + 𝑑 𝐵 𝑦 𝑑𝑥 𝑥+ 1 2! 𝑑 2 𝐵 𝑦 𝑑 𝑥 2 𝑥 ! 𝑑 3 𝐵 𝑦 𝑑 𝑥 3 𝑥 3 +… 零阶：二极场，Dipole，弯铁 一阶：四极场，Quadrupole，四极铁 理想四极磁铁： 𝛻 × 𝐵 = 𝑗 + 𝜕 𝐸 𝜕t =0， ⇒ 𝜕 𝐵 𝑥 𝜕𝑦 = 𝜕 𝐵 𝑦 𝜕𝑥 =k By=kx，Bx=ky k>0时，x>0的粒子受到向内的偏转力，x减小，聚焦 由于上述关系，Bx以同样系数k增大，使得y>0的粒子向上偏转 x/y两方向在同一个磁铁中聚焦/散焦相反

16 坐标系与磁场 磁场的多极分量 𝐵 𝑦 𝑥 = 𝐵 𝑦0 + 𝑑 𝐵 𝑦 𝑑𝑥 𝑥+ 1 2! 𝑑 2 𝐵 𝑦 𝑑 𝑥 2 𝑥 ! 𝑑 3 𝐵 𝑦 𝑑 𝑥 3 𝑥 3 +… 磁场By的展开式中，x的n次幂称为2(n+1)极场 n≥2时，称为高阶项，或者“非线性项”，产生复杂的非线性 1 𝜌 = 1 𝐵𝜌 𝐵 𝑦0 ，𝐾= 1 𝐵𝜌 𝜕 𝐵 𝑦 𝜕𝑥 0 ，𝜆= 1 𝐵𝜌 𝜕 2 𝐵 𝑦 𝜕 𝑥 分别称为规格化的二极场强度、四极场强度（聚焦强度）和六极场强 度 大于0时分别表示：向内弯转；水平聚焦；x>0处水平聚焦被加强

17 Break

18 横向运动的方程 洛伦兹方程 d 𝑃 d𝑡 =𝑒 𝑣 × 𝐵 视 𝑃 ，m，v为常数， 𝑃 =𝑚 𝑣 = 𝑃/𝑣 𝑣
对微小的动量差δ， 𝑃 = 1+𝛿 𝑃 0 = 1+𝛿 𝑒 𝐵 𝜚 0 1+𝛿 𝑣 𝑧 𝑣 𝑣 ′ = 𝑣 × 1 𝐵𝜌 𝐵 上式中两个横向的分量分别包含 𝑥 ′′ 和 y ′′ ，也就是x和y的轨迹方程

19 横向运动的方程 轨迹方程 利用理想磁场展开式，忽略二阶及以上小量 准确到一阶的近似运动方程，线性方程
x，x’，y，y’和δ一阶小量；有δ和v的因子均展开为多项式 Bz（理想轨道上为零）和 𝑣 𝑧 ′ 同样是一阶小量 𝑥 ′′ 𝜌 2 𝑠 +𝐾 𝑠 𝑥= 1 𝜌 𝑠 ∆𝑝 𝑝 𝑦 ′′ −𝐾 𝑠 𝑦=0 𝐾= 1 𝐵𝜌 𝜕 𝐵 𝑦 𝜕𝑥 0 ∆𝑝 𝑝 其中𝜌 𝑠 为轨道曲率半径 为聚焦函数 为动量分散

20 横向运动 𝑢′′+𝐾 𝑠 𝑢=0 没有能散的情形 二阶齐次微分方程的通解 ∆𝑝 𝑝 =0 写成矩阵形式：传输矩阵 周期性条件
全环磁场非均匀分布时，通解可引入周期性Lattice函数β（twiss参数α、 β、γ）、η来描述 ∆𝑝 𝑝 =0 Hill方程 𝑢′′+𝐾 𝑠 𝑢=0 周期性条件 𝐾 𝑠+𝐿 =𝐾 𝑠

21 经典回归 Hill方程 𝑢′′+𝐾 𝑠 𝑢=0 对比：简谐振动 𝑥 + 𝜔 2 𝑥=0 𝑢= 𝑎 𝑢 𝛽 𝑢 cos 1 𝛽 + 𝜑 0
保守力系统，哈密顿量，势能，动能，相互转化…… 𝑢′′+𝐾 𝑠 𝑢=0 𝑥 + 𝜔 2 𝑥=0 横向振荡的包络 𝑢= 𝑎 𝑢 𝛽 𝑢 cos 𝛽 + 𝜑 0

22 横向运动的方程 考虑动量分散的情况 𝑢′′+ 𝐹 𝑢 ·𝑢= 𝐺 𝑢 ·𝛿 基本特点
其中，u=x or y， 𝐹 𝑥 = 1 𝜌 2 𝑠 +𝐾， 𝐹 𝑦 =−𝐾，Gx=1/ρ，Gy=0 基本特点 线性近似下，x和y方向没有耦合，可以分别求解 F和G与u或δ均无关，是纵向位置z的已知函数：可以设计 可以是任何函数，随z变化，阶跃、连续…… F描述𝑢′′随横向位置u的变化趋势，大于0时聚焦，小于0时散焦 G描述𝑢′′随动量偏差δ的变化趋势，其作用称为色散 色散只在x方向发生，δ较大的粒子偏向外侧 纵向运动对横向的耦合 偏向外侧又会如何？ 𝑢′′+ 𝐹 𝑢 ·𝑢= 𝐺 𝑢 ·𝛿

23 横向运动的方程 横向运动的方程 𝑢′′+ 𝐹 𝑢 ·𝑢= 𝐺 𝑢 ·𝛿 储存环中的三种线性元件
其中，u=x or y， 𝐹 𝑥 = 1 𝜌 2 𝑠 +𝐾， 𝐹 𝑦 =−𝐾，Gx=1/ρ，Gy=0 储存环中的三种线性元件 漂移段：1/ρ和K均为0，横向运动方程为 𝑢 ′′ =0，横向轨迹为直线 理想情况下的四极磁铁： 1/ρ=0， 𝑢′′±𝐾𝑢=0 弯转磁铁：两个横向方程不对称；y方向K=0时为漂移段 水平：提供弱聚焦；引入色散 左图：半径相同，远处相交 右图：动量偏大，向外移动 𝑢′′+ 𝐹 𝑢 ·𝑢= 𝐺 𝑢 ·𝛿

24 横向运动的方程 纵向位置的变化 弯转平面是水平面时，粒子纵坐标变化率： 𝑧 𝑑 ′ =− 1 𝜌 𝑥+ 1 𝛾 2 𝛿
𝑧 𝑑 ′ =− 1 𝜌 𝑥+ 1 𝛾 2 𝛿 推导过程：取一阶小量情况下，任意粒子纵坐标增量与理想粒 子关系，再利用前半节课最初对曲线正交坐标系下情况的推 导…… 物理意义： δ大的粒子跑得快，无论弯转与否均有影响，第二项反映了动 量差与速度差的换算关系 X坐标大的跑“外圈”，将会落后 对横向运动关系不大，但纵向位置的变化会引起加速相位的改 变

25 横向运动的方程 磁场全环均布情况下的稳定性条件 全环磁场相同 K和ρ处处相等，“整块磁铁” 弱聚焦加速器
稳定解条件： 1 𝜌 2 𝑠 +𝐾 𝑠 >0且𝐾 𝑠 <0 整块二极铁：磁场内侧较强、外侧较弱(K<0)，垂直校正；梯度 绝对值不可以太大，水平散焦力不能高于弱聚焦 1 𝜌 2 𝑠 磁场降落指数 𝑛=− 𝜌 𝐵 𝑦0 𝜕 𝐵 𝑦 𝜕𝑥 =− 𝜌 2 𝐾，稳定性条件0<n<1 𝑥 ′′ 𝜌 2 𝑠 +𝐾 𝑠 𝑥= 1 𝜌 𝑠 𝛿 𝑦 ′′ −𝐾 𝑠 𝑦=0

26 横向运动方程的解 矩阵形式 变换矩阵 又叫传输矩阵 取决于聚焦结构（磁结构） 分离式聚焦结构—K(s)是分段常数

27 聚焦节（四极铁） K为正常数,聚焦 l为元件长度 初始条件 证明从略

28 散焦节（四极铁） K为负常数,散焦 双曲函数hyperbolic l为元件长度
比较可知，横向两个方向上的聚焦函数差一个符号，所以，对于x方向聚焦的四极铁，在y方向上是散焦的，反之亦然

29 四极磁铁与分离聚焦 两块强度相等、符号相反的四极磁铁的聚焦作用 光学：等焦距的凹透镜和凸透镜组合最终结果是聚焦的 对应到四极磁铁：
角度变化∆ 𝑢 ′ =± 𝐾𝑢d𝑧 K的绝对值和磁铁有效长度大体相同 u大时的弯转角大

30 直线节（漂移空间） K=0, 直线节（漂移空间）或自由空间; 变换矩阵 在其中电子不受到任何外力作用，自由直线运动

31 二极磁铁与边缘场 扇形弯铁的变换矩阵 水平方向 垂直方向相当于自由空间 矩形弯铁的边缘场的作用 水平方向 垂直方向
硬边模型下的边缘场：视为冲量作用，水平散焦，垂直聚焦∆𝑥=∆𝑦=0，∆ 𝑥 ′ =𝑘𝑥，∆ 𝑦 ′ =−𝑘𝑦，𝑘=− 𝐾d𝑧= tan 𝜀/𝜌 矩形弯铁的边缘场的作用 扇形弯铁不用考虑边缘场，因为入射方向与法线平行。 水平方向 垂直方向 对于入射角出射角相等的矩形弯铁，矩阵形式会如何？

32 区间的变换矩阵 任何一个区间的矩阵是其每个子区间矩阵的乘积 变换矩阵相乘原则：左乘原则
按照电子看到元件的顺序，后面的元件的变换矩阵在前一个矩阵的左面 一个周期内有n个区间的话，则该周期变换矩阵为

33 任何一个行列式为1的矩阵，特别是具有周期性的M矩阵：
记 可以证明* 任何一个行列式为1的矩阵，特别是具有周期性的M矩阵： 其本征方程 其本征值满足 即 怎么证明行列式=1？ 令 对|cosμ|＜1，解为 λ与横向振荡的关系：如果是实数解，则λ为绝对值大于1和小于1的一对解。 考虑到λ为特征值，意味着反映真实粒子状态变化参量，变为 𝜆 𝑛 𝑈 ，随圈数指数上升！

34 稳定解条件 定义α、β、γ 得到 是电子横向振荡的振幅函数 电子每经过一个周期L的相角改变量

35 横向运动的工作点 α、 β、γ叫做Twiss参数，也叫Courant-Snyder参数
如果储存环由N个周期组成，则粒子在储存环中回旋一周 后的相移为Nμ 工作点与共振： 与闭轨畸变等有关，不可以为整数、半整数，三分之一整数…… 物理图像：电磁外力F的频率包含多条谱线，频率等于±υu时共振 (n±1) υu=N，2(n+1)为磁场极数 HLS I的横向振荡频率图与工作点 定义 则υ(υx, υy)是粒子每回旋一圈时的横向振荡数，或称为横向振荡频率。 υx, υy也被称为储存环的工作点。

36 相移μ独立于坐标s的参考点 证明如下 线性代数：相似矩阵的迹和特征值相同
教材中提到的矩阵J的迹为零似乎与此结论没有明显因果关系。行列式不为零的矩阵存在逆矩阵。 线性代数：相似矩阵的迹和特征值相同