科學計算之 動態系統介紹 張 書 銘 交通大學應用數學系 smchang@math.nctu.edu.tw 2010 年 10 月 19 日.

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1 科學計算之 動態系統介紹 張 書 銘 交通大學應用數學系 2010 年 10 月 19 日

2 Outline Scientific Computing Dynamical System
Computational Dynamical System Chaos Examine Chaos Examples

3 科學計算 借助電腦高速計算的能力，來解決現代科學、工程、經濟或人文上的複雜問題。
- 通常實際的問題，可以根據物理定律或假設，導出反應此現象的數學公式或模型。 - 透過數學分析與計算方法，再經由電腦程式計算之後，模擬與估計，進而預測此物理現象。 狹義的科學計算，是針對某特定的數學問題，設計有效的計算方法來求解，即為數值計算。

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11 What's a Dynamical System?
動態系統，也稱 動力系統。 關心所描述的對象之變化情形。 在數學上的概念是動態系統中存在一個固定規則，描述了幾何空間中的一個 點 隨著時間 變化情況。

12 What's a Dynamical System?
固定規則，描述幾何空間中的點隨著時間變化情況。 例如：描述 鐘擺晃動、管道中水的流動，或者 湖中每年春季魚類的數量，凡此等等的數學模型都是動態系統。

13 What's a Dynamical System?
確切來說, 動態系統就是要研究運動方程的解，對象包括自然界各種物理系統（行星軌道）、生態系統、工程系統（電路問題）及經濟股市等等。 當前混沌系統是動態系統研究熱點之一。

14 Dynamical System 形式上來說，動態系統可分為： （1）離散動態系統 (discrete D.S.) 遞迴關係式
（2）連續動態系統 (continuous D.S.) 常微分方程, 偏微分方程 延遲微分方程 (delay D.E.) （3）隨機動態系統 (stochastic D.S.)

15 Computational Dynamical System
（1）離散動態系統: （2）連續動態系統: 常微分方程 偏微分方程 延遲微分方程 （3）隨機動態系統

16 Computational Dynamical System
求解常微分方程的數值計算方法中，最簡單的是Euler method。由於廿世紀中期之後，電子計算機的發達且蓬勃發展，使得運用數值方法來求微分方程的解已經是一門相當專門的學科。

17 Computational Dynamical System
MatLab高階常微分方程數值計算方法: one-step solver: Runge-Kutta method (ode23, ode45) multistep solver: Adams-Bashforth-Moulton method (ode113)

18 離散動態系統: tent map

19 離散動態系統: logistic map

20 離散動態系統: Hénon map

21 離散動態系統: predator-prey map

22 連續動態系統: Duffing equation

23 連續動態系統: Van der Pol oscillator

24 連續動態系統: Rössler system

25 連續動態系統: Lorenz system

26 動態系統模型: modified logistic map

27 動態系統模型: 3 2D charged particles

28 動態系統模型: 3 vortices system

29 Discrete Dynamical System
離散動態系統的解，有哪些種可能性?

30 Continuous Dynamical System
連續動態系統的解，有哪些種可能性?

31 Solutions in Dynamical System
（1）離散動態系統的解: 發散(infinity) 、固定點、週期解、 擬週期(quasi-periodic)、? （2）連續動態系統的解: 發散(infinity) 、平衡點、週期解、 極限環(limit cycle) 、 擬週期(quasi-periodic)、 ?

32 Solutions in Dynamical System
0-D: equilibrium points (radial, spiral, saddle) 1-D: limit cycles (closed loops) 2-D: 2-toruses (quasiperiodic surfaces) N-D: N-toruses (hypersurfaces) Non-integer D: strange attractors (fractal) (attractor dimension < system dimension)

33 Chaos 混沌理論認為在混沌系統中，初始條件十分敏感，其微小的變化，在經過不斷放大，對未來狀態會造成極其巨大的差別。

34 Chaos smoke of cigarette milk in coffee

35 Lorenz attractor

36 Chaos 1963年美國氣象學家 Edward N. Lorenz提出混沌理論（Chaos），非線性系統具有的多樣性和多尺度性。混沌理論解釋了決定系統可能產生隨機結果。此理論最大貢獻是用簡單的模型獲得明確之非週期結果。在氣象、航空及太空等領域的研究裡有重大的作用。

37 Devanvey's chaos 敏感性(sensitivity)： 傳遞性(transitivity)： 週期解稠密性(density)：
對初始條件非常敏感，差之毫釐失之千里。 傳遞性(transitivity)： 可到處遍歷。 週期解稠密性(density)： 存在任意週期。

38 Devanvey's chaos 傳遞性(transitivity)： 可到處遍歷。

39 Examine Chaos bifurcation diagram Feigenbaum constant
period doubling bif.: logistic map intermittence bif.: tent map Feigenbaum constant δ= … spectrum analysis (fft)

40 Examine Chaos Poincaré map (conti. D.S.)

41 Examine Chaos Lyapunov exponent (Lyapunov characteristic exponent)
Poincaré recurrence homoclinic orbit (snapback repellor)

42 Bifurcation diagram

43 Bifurcation diagram

44 Feigenbaum constant δ= …

45 FFT (Fast Fourier transform)

46 FFT (Fast Fourier transform)

47 Poincaré map

48 Poincaré map 發散(infinity)、平衡點 週期解 極限環(limit cycle) 擬週期(quasi-periodic)
chaos

49 Poincaré map

50 Poincaré map

51 Poincaré map

52 Poincaré map

53 Lyapunov exponent

54 Lyapunov exponent [ Definition] global Lyapunov exponent
[Computation] local Lyapunov exponent (average the phase-space volume expansion along trajectory)

55 Local Lyapunov exponent

56 Local Lyapunov exponent

57 Poincaré recurrence positive topological entropy

58 Homoclinic orbit

59 MLM: modified logistic map

60 Logistic map

61 Modified Logistic map

62 Properties of MLM Chaotic map No windows Uniform distribution
Equivalent Pseudorandom

63 MLM: chaotic map

64 MLM: no windows

65 MLM: no windows

66 MLM: Poincaré recurrence

67 MLM: uniform distribution (FFT)

68 MLM: equivalent (bits error rate analysis)

69 MLM: pseudorandom

70 MLM: pseudorandom (SP 800-22)

71 References V. Afraimovich, J. Schmeling, E. Ugalde, J. Urias, Spectra of dimensions for Poincare recurrences, Discrete Contin. Dyn. Syst. 6 (4) (2000) S. M. Chang, M. C. Li and W. W. Lin, Asymptotic synchronization of modified logistic hyper-chaotic systems and its applications. Nonlinear Analysis: Real World Applications, Vol. 10, Issue 2 (2009), pp. 869–880. S. M. Chang, T. C. Lin and W. W. Lin, Chaotic and Quasiperiodic Motions of Three Planar Charged Particles. Int. J. Bifurcation Chaos, Vol. 11, No. 7 (2001), pp. 1937–1951.

72 References S. M. Chang, T. C. Lin and W. W. Lin, Dynamics of Vortices in Two-Dimensional Bose-Einstein Condensates. Int. J. Bifurcation Chaos, Vol. 12, No. 4 (2002), pp. 739–764. S. L. Chen, S. M. Chang, T. T. Hwang and W. W. Lin, Digital secure-communication using robust hyper-chaotic systems. Int. J. Bifurcation Chaos, Vol. 18, No. 11 (2008), pp. 1–14. T. S. Parker & L. O. Chua, Practical Numerical Algorithm for Chaotic Systems, Ch.3, Springer-Verlag, 1989. B. Saussol, S. Troubetzkoy, S. Vaienti, Recurrence, dimensions and Lyapunov exponents, J. Statist. Phys. 106 (314) (2002) 623–634.

73 References List of chaotic maps. 動態系統, 動力系統, 混沌理論. Lyapunov Exponents, Chaos and Time-Series Analysis.

74 Thank you for your attention!