第三章 几何造型 几何造型就是通过点、线、面和立体等几何元素 的定义、几何变换、集合运算构建客观存在或想

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1 第三章 几何造型 几何造型就是通过点、线、面和立体等几何元素 的定义、几何变换、集合运算构建客观存在或想
第三章 几何造型 几何造型就是通过点、线、面和立体等几何元素 的定义、几何变换、集合运算构建客观存在或想 象中的形体模型，是确定形体形状和其它几何特 征方法的总称。 2018/11/30

2 提出问题 如何在计算机中建立恰当（完整、精确、快速）的几何造型的模型表示不同图形对象？
如何组织图形对象的描述数据以使存储这些数据所要的空间最省，检索、处理这些数据的速度较快？ 2018/11/30

3 本章内容提要 计算机内基本几何元素和形体的定义 形体的表示模型和数据结构 三维形体常用的几何造型方法 几何造型的实例 2018/11/30

4 第一节 形体的计算机表示 、表示形体的坐标系 2018/11/30

5 1.用户坐标系（WCS：World Coordinate System，也称世界坐标系）
一般与用户定义形体和图素的坐标系一致 一般采用右手三维笛卡儿坐标系 用于定义用户整图或最高层图形结构 用户坐标系分为以下五种: 直角坐标系也称为（笛卡儿坐标系），仿射坐标系， 圆柱坐标系，球坐标系，极坐标系。 2018/11/30

6 2.造型坐标系(MCS：Modeling Coordinate System)
右手三维直角坐标系，用来定义基本形体或图素 每一个形体和图素都有各自的坐标原点和长度单位 可看作是局部坐标系（Local Coordinates） 3.观察坐标系(VCS：Viewing Coordinate System) 左手三维直角坐标系，用来产生形体、图形的视图 用于指定裁剪空间 把三维形体的用户坐标变换成规格化的设备坐标 2018/11/30

7 4.规格化的设备坐标系（NDCS：Normalized Device Coordinate System）
左手三维直角坐标系，用来定义视图区 使图形处理过程做到与设备无关 设备坐标规定为0≤X≤1，0≤Y≤1 可提高应用程序的可移值性 5.设备坐标系（DCS：Device Coordinate System） 设备坐标系是与图形设备相关联的坐标系 采用左手三维直角坐标系 通常也是定义象素(Pixel)或位图(bitmap)的坐标系 2018/11/30

8 各类坐标系之间的关系 2018/11/30

9 二、基本几何元素 点是0维几何元素，分端点、交点、切点和孤立点等。 在自由曲线面的描述中常用三种类型的点： 控制点、型值点、插值点
边是1维几何元素，是两个邻面（正则形体）或多个邻面（非正则形体）的交界。直线边、曲线边 2018/11/30

10 环是有序、有向边（真线段或曲线段）组成的面的封闭边界。
环中的边不能相交，相邻两条边共享一个端点 确定面的最大外边界的环称之为外环 确定面中内孔或凸台边界的环称之为内环 在面上沿一个环前进，其左侧总是面内，右侧总是面外。 2018/11/30

11 面 是2维几何元素，是形体上一个有限、非零的 区域，由一个外环和若干个内环界定其范围。 一个面可以无内环，但必须有一个且只有一 个外环
是2维几何元素，是形体上一个有限、非零的 区域，由一个外环和若干个内环界定其范围。 一个面可以无内环，但必须有一个且只有一 个外环 面有方向性 常用的面包括平面、二次面、双三次参数曲面等。 2018/11/30

12 体 壳（shell），也称外壳，是一些点、边、环、面的集合。
素是3维几何元素，由封闭表面围成空间，也是欧氏空间R3中非空、有界的封闭子集，其边界是有限面的并集。 体素有三种定义形式 单元实体，参数定义，代数半空间定义 壳（shell），也称外壳，是一些点、边、环、面的集合。 2018/11/30

13 形体的层次结构 2018/11/30

14 三、形体的分类与定义 1.形体的分类 按所构造的对象来划分，可分为规则形体和不规则形体。 规则形体是指可以用欧氏几何进行描述的三维物
体，如点、直线、曲线、平面、曲面或三维立体 等及它们的规则组合。 规则形体的造型是本章描述的重点。 2018/11/30

15 不规则形体是指不能用欧氏几何进行描述的物体，如山、树、草、云、火、波浪等自然界的复杂物体。
不规则形体大多采用过程式模拟，即用一个简单模型和少量易于调节的参数来表示一大类形体，不断改变参数，递归调用这一模型就能产生数量很大的形体，这一技术也称为数据放大技术 。 不规则形体造型方法主要有： 基于分维数理论的随机插值模型、基于文法的模 型、粒子系统模型。 2018/11/30

16 2. 形体的边界 所有实际形体都可看作是由封闭表面围成的空间， 其边界是有限面的并集，而壳是形体的最大边界。
对于任何区域Ｒ都可以用完全在区域之中（Ｒi） 和在其边界上（Ｒb）的全部点来定义，表示区 域Ｒ的点集可以表示成Ｒ＝[Ｒi∪Ｒb］。 2018/11/30

17 3. 形体的定义 对于形体表面上任意一点，如果围绕该点的形体邻域在二维空间中可以构成一个单连通域，且它与封闭圆之间存在着连续的一一对应关系，那么我们称形体表面具有的这种性质为二维流形，把表面具有二维流形性质的形体称为正则形体。 (a) 二维流形 (b) 二维流形 (c) 非二维流形 (d) 非二维流形 2018/11/30

18 4. 形体的表示模型 在计算机中，形体常用线框模型、表面模型、实体模型来表示。 线框模型 应用最早，也是最简单的一种形体表示方法；
采用三维空间的线段表达三维形体的棱边。 优点：采用线框模型描述形体所需信息最少，数 据运算简单，所占的存贮空间也比较小；对硬件 的要求也不高，容易掌握，处理时间较短。 2018/11/30

19 四棱柱、四棱锥和圆柱的线框模型 局限性：信息表达不完整、不易表达曲面体。 2018/11/30

20 表面模型 是在线框模型的基础上，增加有关面、边信息以及表面特征、棱边连接方向等内容逐步形成的。
早期的Coons、Ferguson、Bezier等方法 80年代后期，非均匀有理B样条（NURBS）方法用于曲线曲面的描述 表面模型采用有向棱边围成的部分来定义形体表面，由面的集合来定义形体。 优点：具有很好的显示特性能够以消隐、小平面着色、平滑明暗、颜色和纹理等方式显示形体。 2018/11/30

21 (a) 模型消隐后的效果 (b) 模型着色后的效果
四棱柱和圆柱的表面模型 (a) 模型消隐后的效果 (b) 模型着色后的效果 局限性：不能切开形体而展示其内部结构；物体的实心部分在边界的哪一侧是不明确的，使设计者对物体缺乏整体的概念等等。 2018/11/30

22 实体模型 在表面模型的基础上定义了表面的哪侧存在形体，一般采用三种方法来定义： (1)在定义表面时，给出形体存在侧的一点P;
(2)直接用表面的外法矢来指明形体存在的一侧; (3)采用有向棱边隐含地表示表面的外法矢方向， 有向棱边按右手法则取向，沿闭合的棱边所得 的方向与表面的外法矢方向一致; 2018/11/30

23 实体模型的局限性 无法准确地描述和控制形体的外部形状；只能产生正则形体；不能描述具有工程语义的实际形体如具有实际工程意义的加工孔、槽等；不能为其后续系统（CAM/CAPP等）提供非几何信息如材料、公差等。 (a)给出一点 (b)采用表面外法矢 (c)采用有向棱边 (d)形体拓扑检验图 2018/11/30

24 三种模型的比较 实用的几何造型系统中，常常综合使用线框模型，表面模型和实体模型，以相互取长补短。 表示模型 优点 局限性 应用范围
结构简单、易于理解、运行速度快 无观察参数的变化； 不可能产生有实际意义的形体； 图形会有二义性； 画二维线框图（工程图）、三维线框图 表面模型 完整定义形体表面，为其他场合提供表面数据 不能表示形体 艺术图形； 形体表面的显示； 数控加工 实体模型 定义了实际形体 只能产生正则形体； 抽象形体的层次较低 物性计算； 有限元分析； 用集合运算构造形体 实用的几何造型系统中，常常综合使用线框模型，表面模型和实体模型，以相互取长补短。 2018/11/30

25 第二节 数据结构 、几何信息与拓扑信息 图形对象及构成它的点、线、面的位置、相互间关系和几何尺寸等都是图形信息；
第二节 数据结构 、几何信息与拓扑信息 图形对象及构成它的点、线、面的位置、相互间关系和几何尺寸等都是图形信息； 表示图形对象的线型、颜色、亮度以及供模拟、分析用的质量、比重、体积等数据，是有关对象的非图形信息。 2018/11/30

26 图形信息又包括： 1. 点、线、面的几何信息 几何信息：形体在欧氏空间中的位置和大小
拓扑信息：形体各分量（点、边、面）的数目及其相互间的连接关系。 1. 点、线、面的几何信息 (1)几何分量的数学表示 2018/11/30

27 (2)几何分量之间的相互关系 2018/11/30

28 几何信息的二义性 2. 点、线、面的拓朴信息 平面立体的几何分量之间一共有九种拓扑关系: 2018/11/30

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30 刚体运动：不改变图形上任意两点间的距离，也不改变图形的几何性质的运动。
拓扑运动：允许形体作弹性运动，即在拓扑关系中，对图形可随意地伸张扭曲。但图上各个点仍为不同的点，决不允许把不同的点合并成一个点。 拓扑等价、拓扑性质 2018/11/30

31 四棱柱的线框模型 四棱柱线框模型中边与顶点的关系
二、线框模型的数据结构 将形体的几何信息和拓扑信息记录在边表及顶点表中。 四棱柱的线框模型 四棱柱线框模型中边与顶点的关系 2018/11/30

32 边表 顶点表 边号 边端点号 顶点号 X Y Z e1 v1 v2 x1 y1 z1 e2 v3 x2 y2 z2 e3 v4 x3 y3
e10 e11 e12 2018/11/30

33 (a) 三棱锥的表面模型 (b) 三棱锥表面模型中点、边、面的关系
三、表面模型的数据结构 将形体以三张表的形式表示，即面表、边表、顶点表，并以单链指示它们之间的关系。 通常把这种结构称为以面为中心的顶点——棱边——面（V-E-F）树形结构，或单链三表结构。 (a) 三棱锥的表面模型 (b) 三棱锥表面模型中点、边、面的关系 2018/11/30

34 特点：是结构关系清楚，节省存储空间，检索比较容易。
缺点：它不宜于频繁地进行交互地修改。 2018/11/30

35 四、实体模型的数据结构 1. 翼边结构 在顶点、棱边、表面等组成物体的三要素中，翼边结构以边为中心来组织数据。 2018/11/30

36 V1 lL eLcc，eLcw，eRcc，eRcw V2 lR
(a) 棱边指针结构 (b) 顶点指针 (c) 环指针 V1 lL eLcc，eLcw，eRcc，eRcw V2 lR 翼边结构中边的数据结构 (d) 面环表 2018/11/30

37 翼边结构的存储方式 2018/11/30

38 翼边结构存在的问题：需要较多的存储单元，对机器的存储容量有一定的要求；在边的构造与使用方面还比较复杂。 为此对其进行了改进，提出了半边数据结构。半边结构已成为边界表示的主流数据结构。 半边数据结构与翼边数据结构的主要区别在于该结构将一条物理边拆成两条边表示，使其中每条边只与一个邻接面相关 。 2018/11/30

39 2. 半边结构 由于半边数据结构中的边只表示相应物理边的一半信息，故称为半边。半边数据结构在拓扑上也分为五个层次，即体-面-环-半边-顶点。
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40 半边数据结构的层次结构 2018/11/30

41 3.以面为中心的数据结构 4.以顶点为中心的数据结构。 面 顶点坐标 F1 (X1Y1Z1，X2Y2Z2，X3Y3Z3，X4Y4Z4) F2
… …….. 4.以顶点为中心的数据结构。 顶点/坐标表 面/顶点序列表 顶点 坐标 面 顶点序列 V1 X1Y1Z1 F1 V1V2V3V4 V2 X2Y2Z2 F2 V1V2V6V5 … 2018/11/30

42 第三节 常用的几何造型方法 线框模型、表面模型和实体模型是一种广义的概念，并不反映形体在计算机内部、或对用户而言所用的具体表示方式。
第三节 常用的几何造型方法 线框模型、表面模型和实体模型是一种广义的概念，并不反映形体在计算机内部、或对用户而言所用的具体表示方式。 从用户角度看，形体表示以特征表示和构造的实体几何表示（CSG）较为方便； 从计算机对形体的存储管理和操作运算角度看，以边界表示（BRep）最为实用。 为了适合某些特定的应用要求，形体还有一些辅助表示方式，如单元分解表示和扫描表示。 总体而言，比较传统和常用的造型方法有以下几种： 2018/11/30

43 传统和常用的造型方法有以下几种： 扫描表示法（Sweep Representation）
构造实体几何法（Constructive Solid Geometry） 边界表示法（Boundary Representation Scheme） 基本体素表示法（Pure Primitive Instancing） 空间位置枚举法（Spatial Occupancy Enumeration） 单元分解法（Cell Decomposition） 2018/11/30

44 新的表示方法： 八叉树表示法 特征造型表示法 曲面离散化近似表示法 元球造型法 2018/11/30

45 选择方法时需考虑以下两点： ① 该表示法的覆盖率 形体范围的大小 造型能力的强弱 ② 蕴含信息的完整性 数据结构是否唯一
能否为后续工作提供信息 2018/11/30

46 1. 边界表示法（ BR表示或BRep表示） 边界: 形体内部点与外部点的分界面
(a) (b) 将形体的边界分成有限个“面”（faces）或“片”（patches） 2018/11/30

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50 利用正则集的概念来定义上述的三维有效物体：
点的领域：如果P是点集S的一个元素，那么点P的以R（R>0）为半径的领域指的是围绕点P的半径为R的小球（二维情况下为小圆）。 内点为点集中的这样一些点，它们具有完全包含于该点集的充分小的领域。 边界点 2018/11/30

51 正则运算即为先对物体取内点再取闭包的运算。r·A称为A的正则集。
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53 二维流形指的是对于实体表面上的任意一点，都可以找到一个围绕着它的任意小的领域，该领域与平面上的一个圆盘是拓扑等价的。
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54 实体：对于一个占据有限空间的正则形体，如果其表面是二维流形，则该正则形体为实体。
该定义条件可检测 2018/11/30

55 正则集合运算 有效实体的封闭性 把能够产生正则形体的集合运算称为正则集合运算 2018/11/30

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57 点的领域，即集合S在点P附近的局部几何性质： 当且仅当P的领域为满时，P在S之内； 当且仅当P的领域为空时，P在S之外；
有两种方法实现正则运算 间接方式： 点的领域，即集合S在点P附近的局部几何性质： 当且仅当P的领域为满时，P在S之内； 当且仅当P的领域为空时，P在S之外； 当且仅当P的领域既不满也不空时，P在S的边界上。 2018/11/30

58 2018/11/30

59 在三维空间中，给定一个正则形体S，空间点集被分为三个子集：
直接方式： 在三维空间中，给定一个正则形体S，空间点集被分为三个子集： S的内部点集 S的边界点集 S之外的点集 2018/11/30

60 若给定一个正则形体S及一个有界面G，则G相对于S的分类函数可为：
分类函数： 若给定一个正则形体S及一个有界面G，则G相对于S的分类函数可为： C(S,G)={G in S, G out S, G on S} 其中， 2018/11/30

61 用-G表示有界面G的反向面。即，如果有界面G在P点的法向为NP(G)，则有界面-G在P点的法向就是-NP(G)。
于是：G on S={G shared (b·S), G shared (-b·S)} 其中， 2018/11/30

62 C(S,G)={G in S, G out S, G shared (b·S), G shared (-b·S)}
则G相对于S的分类函数C(S,G)可为： C(S,G)={G in S, G out S, G shared (b·S), G shared (-b·S)} 正则集合算子 定义三个正则集合算子关于边界面的表达式： 2018/11/30

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64 4.1.7 平面多面体与欧拉公式 平面多面体是表面由平面多边形构成的三维物体。 简单多面体指与球拓扑等价的那些多面体。
平面多面体与欧拉公式 平面多面体是表面由平面多边形构成的三维物体。 简单多面体指与球拓扑等价的那些多面体。 欧拉公式证明简单多面体的顶点数V、边数E和面数F满足如下关系：V-E+F=2。 2018/11/30

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66 令H表示多面体表面上孔的个数，G表示贯穿多面体的孔的个数，C表示独立的、不相连接的多面体数，则扩展后的欧拉公式为：V-E+F-H=2（C-G）
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67 4.2 三维形体的表示 线框模型 线框模型存在着几个缺陷： 二义性 2018/11/30

68 容易构造出无效形体 2018/11/30

69 不能正确表示曲面信息。 2018/11/30

70 无法进行图形的线面消隐。  加重用户的输入负担 难以保证数据的统一性和有效性。 2018/11/30

71 边界表示（Boundary representation, B-reps） 构造实体几何表示
实体模型（实体造型技术） 可以将实体模型的表示大致分为三类： 边界表示（Boundary representation, B-reps） 构造实体几何表示 空间分割（Space-partitioning）表示 2018/11/30

72 多边形表面模型 边界表示(B-reps)的最普遍方式是多边形表面模型，它使用一组包围物体内部的平面多边形，也即平面多面体，来描述实体。 2018/11/30

73 1. 多边形表 几何表 属性表  例如：顶点表、边表和多边形表。 为图4-17所示的四面体建立的三张表如下： 2018/11/30

74 顶点表 边表 面表 A A,B B B,C C C,A D A,D C,D x1,y1,z1 x2,y2,z2 x3,y3,z3
边表 面表 A x1,y1,z1 AB A,B ABC AB,BC,AC B x2,y2,z2 BC B,C ABD AB,BD,AD C x3,y3,z3 CA C,A BCD BC,CD,BD D x4,y4,z4 AD A,D ACD AC,CD,AD CD C,D 2018/11/30

75 例如，翼边结构表示（Winged Edges Structure）
表示其拓扑信息  例如，翼边结构表示（Winged Edges Structure） 2018/11/30

76 2. 平面方程 可以利用平面方程： 求得平面的法向量 鉴别空间上的点与物体平面的位置关系。 判别点在面的内部或外部 2018/11/30

77 三维形体的曲面边界通常用多边形网格（polygon mesh）的拼接来模拟。
3. 多边形网格 三维形体的曲面边界通常用多边形网格（polygon mesh）的拼接来模拟。 三角形带、四边形网格 2018/11/30

78 4.2.2 扫描表示（sweep representation）
包含两个要素： 一是作扫描运动的基本图形； 二是扫描运动的方式。 2018/11/30

79 扫描运动的方式有： 旋转扫描 非圆形路径扫描 广义扫描法 2018/11/30

80 4.2.3 构造实体几何法 构造实体几何法（CSG，Constructive Solid Geometry）
构造实体几何法 构造实体几何法（CSG，Constructive Solid Geometry） 由两个实体间的并、交或差操作生成新的实体。 2018/11/30

81 在构造实体几何法中，集合运算的实现过程可以用一棵二叉树（称为CSG树）来描述：
树的叶子 树的非终端结点 二叉树根结点 2018/11/30

82 解决：光线投射（Ray-casting）算法
构造实体几何法的优点： 可以构造出多种不同的符合需要的实体。 问题： 求交困难 CSG树不能显式地表示形体的边界 解决：光线投射（Ray-casting）算法 2018/11/30

83 光线投射（Ray-casting）算法 核心思想： 2018/11/30

84 1)将射线与CSG树中的所有基本体素求交，求出所有的交点。
具体算法是： 1)将射线与CSG树中的所有基本体素求交，求出所有的交点。 2)将所有交点相对于CSG树表示的物体进行分类，确定位于物体边界上的那部分交点。 3)对所有位于物体边界上的交点计算它们在射线上的参数值并进行排序，确定距离最近的交点。得到其所在基本体素表面的法矢量。 2018/11/30

85 空间位置枚举表示 空间位置枚举表示法将包含实体的空间分割为大小相同、形状规则（正方形或立方体）的体素，然后，以体素的集合来表示图形对象。 二维情况，常用二维数组存放。 三维情况下，常用三维数组p[i][j][k]来存放。 2018/11/30

86 4.2.5 八叉树 八叉树（octrees）又称为分层树结构，它对空间进行自适应划分，采用具有层次结构的八叉树来表示实体。
八叉树 八叉树（octrees）又称为分层树结构，它对空间进行自适应划分，采用具有层次结构的八叉树来表示实体。 2018/11/30

87 四叉树 2018/11/30

88 八叉树 2018/11/30

89 BSP树 二叉空间分割（binary space partitioning，BSP）方法每次将一实体用任一位置和任一方向的平面分为二部分。 2018/11/30

90 4.3 非规则对象的表示 基于分数维理论的随机模型 基于文法的模型 粒子系统模型 2018/11/30

91 4.3.1 分形几何(fractal geometry)
分形几何物体具有一个基本特征：无限的自相似性。 无限的自相似性是指物体的整体和局部之间细节的无限重现。 分形物体的描述又包含： 分形维数，又称分数维数 生成过程：初始生成元（initiator）、生成元（genenator） 2018/11/30

92 形状语法 形状语法（shape grammars）：给定一组产生式规则，形状设计者可以在从给定初始物体到最终物体结构的每一次变换中应用不同的规则。 2018/11/30

93 4.3.3 微粒系统 用于模拟自然景物或模拟其它非规则形状物体展示“流体”性质的一个方法是微粒系统（particle systems）。
微粒系统 用于模拟自然景物或模拟其它非规则形状物体展示“流体”性质的一个方法是微粒系统（particle systems）。 这一方法尤其擅长描述随时间变化的物体。 微粒运动的模拟方式：随机过程模拟、运动路径模拟、力学模拟 2018/11/30

94 4.3.4 基于物理的建模 基于物理的建模方法：描述了物体在内外力相互作用下的行为。
基于物理的建模 基于物理的建模方法：描述了物体在内外力相互作用下的行为。 通常用一组网格结点来逼近物体。网格结点间取为柔性连接，再考虑贯穿物体网格的力传递。 基于力学方程的动画描述比基于运动学方程的描述产生的运动更真实。实例 2018/11/30

95 数据场的可视化 科技计算可视化（scientific visualization）指的是运用计算机图形学和图象处理技术，将科学计算过程中及计算结果的数据转换为图形及图象在屏幕上显示出来并进行交互处理的理论、方法和技术。   有三种不同类型的数据需要实现可视化： 2018/11/30

96 标量：若对每一个直角坐标系oxyz有一个量，它在坐标变换时满足下式，即保持其值不变，则此量定义了一个标量。
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97 矢量：对于每一个直角坐标系ox1x2x3来说有三个量x1,x2,x3，它们可根据下式变换到另一个坐标系ox1'x2'x3'，则此时三个量定义了一个矢量。
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98 二阶张量：如果对每一个直角坐标系ox1x2x3，有9个量Xij(i=1,2,3;j=1,2,3)，它可以按照以张量形式表示的下述公式转换为另一个直角坐标系中的9个量Xij'(i=1,2,3;j=1,2,3)，则这9个量定义了一个二阶张量。 2018/11/30

99 显然，二阶张量可以表示为一个3×3矩阵： 2018/11/30

100 当n=0时，张量的分量只有1个，它是一个标量。因此，可将标量视为零阶张量。
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101 对于分布在三维空间的体数据来说，有两类不同的可视化算法：
一是首先由三维空间数据场构造出中间几何图元（如曲面、平面等），然后再由传统的计算机图形学技术实现面绘制。 体绘制（volume rendering）算法，或称为直接体绘制（direct volume rendering）算法。 2018/11/30

102 4.4 图形的层次结构 段的层次概念 2018/11/30

103 4.4.2 层次结构的实现 系统的层次式模型可通过将一个图段嵌套到另一个图段中形成树形图段来创建。
层次结构的实现 系统的层次式模型可通过将一个图段嵌套到另一个图段中形成树形图段来创建。 在结构层次中，需要将在建模坐标系中定义的基本图素和段放在用户坐标系中来建立引用。 2018/11/30

104 它把功能相同的部分归类，并把它们绘在一层上。 不同的层可用不同的颜色及线型 不同层可一起显示，也可任挑几个层来显示 层不再嵌套。
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105 习题 1．名词解释：造型技术、规则对象、不规则对象、几何造型、几何模型、数据放大技术、图元、图素、体素、段、图形信息、非图形信息、几何信息、拓扑信息、刚体运动、拓扑运动、拓扑等价、建模坐标系、用户坐标系、观察坐标系、规格化设备坐标系、设备坐标系、控制点、型值点、插值点、正则集、二维流形、非二维流形、翼边结构表示、多边形网格、构造实体几何法、空间位置枚举法、八叉树、BSP树、无限自相似性、层 2018/11/30

106 2．欧氏空间中的几何元素包含那些内容，如何表示。 3．利用正则集的概念简述实体的定义。 4．用间接方式如何实现正则集合运算，用直接方式呢？
5．简单多面体的欧拉公式满足何条件？复杂多面体的呢？ 6．试比较线框模型和实体模型的优缺点。 7．简述有哪些方法来实现多边形表面模型。 8．简述三维形体的扫描表示方法。 9．简述如何利用CSG树来表示三维形体。 2018/11/30

107 10．举例说明如何用空间位置枚举法表示二维形体。 11．举例说明如何用四叉树表示二维形体。 12．试说明何谓分形几何。
13．利用形状语法表示三维形体有何特征。 14．利用微粒系统表示三维形体有何特征。 15．基于物体的建模通常应用在哪些方面。 16．数据场的可视化可应用在哪些方面。 17．图形系统中为什么要建立图形对象的层次结构。 2018/11/30