第二节 回归分析方法 一元线性回归模型 多元线性回归模型 非线性回归模型的建立方法.

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1 第二节 回归分析方法 一元线性回归模型 多元线性回归模型 非线性回归模型的建立方法

2 一、一元线性回归模型 定义：假设有两个地理要素（变量）x和y，x为自变量，y为因变量。则一元线性回归模型的基本结构形式为
式中：a和b为待定参数； 为各组观测数据的下标； 为随机变量。 （3.2.1）

3 记 和 分别为参数a与b的拟合值，则一元线性回归模型为：
（3.2.2）式代表x与y之间相关关系的拟合直线，称为回归直线； 是y的估计值，亦称回归值。 （3.2.2）

4 （一）参数a、b的最小二乘估计 ① 参数a与b的最小二乘拟合原则要求yi与 的误差ei的平方和达到最小，即 ② 根据取极值的必要条件，有
（3.2.3） （3.2.4）

5 ③ 解上述正规方程组（3.2.4）式，得到参数a与b的拟合值：
（3.2.5） （3.2.6）

6 （二）一元线性回归模型的显著性检验 ① 方法：F检验法。 ② 总的离差平方和：在回归分析中，表示y的n次观测值之间的差异，记为 可以证明
（3.2.8） （3.2.9）

7 在式（3.2.9）中，Q称为误差平方和，或剩余平方和， 而 称为回归平方和。

8 ③ 统计量F ④ F越大，模型的效果越佳。统计量F～F（1，n-2）。在显著水平α下，若F>Fα，则认为回归方程效果在此水平下显著。一般地，当F<F0.10(1,n-2)时，则认为方程效果不明显。 （3.2.10）

9 二、多元回归模型 回归模型的建立 ① 多元线性回归模型的结构形式： （3.2.11） 式中： 为待定参数； 为随机变量。

10 ② 回归方程: 如果 分别为式（3. 2. 11）中 的拟和值，则回归方程为 在（3. 2
② 回归方程: 如果 分别为式（3.2.11）中 的拟和值，则回归方程为 在（3.2.12）式中，b0为常数，b1,b2,…bk称为偏回归系数。偏回归系数的意义是，当其它自变量都固定时，自变量 每变化一个单位而使因变量平均改变的数值。 （3.2.12）

11 ③ 偏回归系数的推导过程: 根据最小二乘法原理， 的估计值 应该使 由求极值的必要条件得 方程组（3.2.14）式经展开整理后得
（3.2.13） （3.2.14）

12 （3.2.15) 方程组（3.2.15）式称为正规方程组。 引入矩阵：

13

14

15 则正规方程组（3.2.15）式可以进一步写成矩阵形式

16 求解得： 引入记号： （3.2.16）

17 正规方程组也可以写成：

18 回归模型的显著性检验 ① 回归平方和U与剩余平方和Q： ② 回归平方和: ③ 剩余平方和为： ④ F统计量为： 计算出来F之后，可以查F分布表对模型进行显著性检验。

19 三、非线性回归模型 非线性关系线性化的几种情况: ① 对于指数曲线 ，令 , 可以将其转化为直线形式： ， 其中， ；
① 对于指数曲线 ，令 , 可以将其转化为直线形式： ， 其中， ； ② 对于对数曲线 ，令 ， ，可以将其转化为直线形式： ； ③ 对于幂函数曲线 ，令 ， ，可以将其转化为直线形式： 其中， ；

20 ④ 对于双曲线 ，令 ，转化为直线形式： ； ⑤ 对于S型曲线 ，可 转化为直线形式： ； ⑥对于幂乘积： ，只要令 ，就可以将其转化为线性形式： 其中， ；

21 ⑦ 对于对数函数和 只要令 ，就可以将其化为线性形式： 例: 下表给出了某地区林地景观斑块面积（Area）与周长（Perimeter）的数据。下面我们建立林地景观斑块面积A与周长P之间的非线性回归模型 。

22 表3.2.1 某地区各个林地景观斑块面积（m2）与周长（m）
 序号 面积A 周长P 序号 1 42 2 43 3 44 4 45 5 46 6 47 7 48 8 49 9 50 10 99.729 51 11 52 12 53 13 54 14 55

23 15 56 16 57 77.305 56.902 17 58 18 59 19 60 20 6 2 162 122 63 23 64 24 65 25 66 26 67 27 68 28 69 29 70

24 30 71 31 72 32 73 33 74 34 75 35 76 36 77 37 78 38 79 39 80 40 81 41 82

25 解：（1）作变量替换，令： ， ，将上表中的原始数据进行对数变换，变换后得到的各新变量对应的观测数据如下表所示。
解：（1）作变量替换，令： ， ，将上表中的原始数据进行对数变换，变换后得到的各新变量对应的观测数据如下表所示。 序号 y=lnA x=LnP 1 42 2 6.4172 43 3 44 4 45 5 46 6 47 7 48 8 49 9 7.7232 50 10 51 11 52 表3.2.2 经对数变换后的数据

26 12 53 13 54 14 55 15 56 16 57 17 58 18 59 19 60 20 61 21 62 22 63 23 64 24 65 25 66 26 67

27 26 67 27 68 28 69 29 70 30 8.1994 71 31 72 32 73 33 74 34 75 35 76 36 77 37 78 38 79 39 80 40 81 41 82

28 （2） 以x为横坐标、y为纵坐标，在平面直角坐标系中作出散点图。很明显，y与x呈线性关系。
图 林地景观斑块面积（A）与周长（P） 之间的双对数关系

29 （3）根据所得表中的数据，运用建立线性回归模型的方法，建立y与x之间的线性回归模型，得到： 对应于（3. 2
（3）根据所得表中的数据，运用建立线性回归模型的方法，建立y与x之间的线性回归模型，得到： 对应于（3.2.19）式，x与y的相关系数高 达 =0.9665。 （4）将（3.2.19）还原成双对数曲线，即 （3.2.19） （3.2.20）