第七章 多目标函数的优化设计方法 7.1 多目标最优化数学模型

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1 第七章 多目标函数的优化设计方法 7.1 多目标最优化数学模型
在实际的机械优化设计中，往往期望在某些限制条件下，多项设计指标同时达到最优，这类问题称为多目标优化设计问题。与前面单目标优化设计不同的是，多目标优化设计有着多种提法和模式，即数学模型。因此，解决起来要比单目标问题复杂的多。 问题举例 例7-1 生产计划问题 某工厂生产 n种产品：1号品、2号品、...、 n号品。 已知： 该厂生产i(i=1，2，….n)号品的生产能力是 ai吨/小时； 生产一吨 i(i=1，2，….n)号品可获利润 ci元； 根据市场预测，下月i号品的最大销售量为bi吨； 工厂下月的开工能力为T小时； 下月市场需要尽可能多的1号品。 问题：应如何安排下月的生产计划，在避免开工不足的条件下，使 工人加班时间尽可能的地少； 工厂获得最大利润； 满足市场对1号品尽可能多地要求。 为制定下月的生产计划，设该厂下月生产i号品的时间为xi (i=1，2，….n)小时。 根据所给的已知条件，可以把问题中希望追求的三个目标用数量关系描述如下： (1)加班时间 ---生产总工时 (2)总利润 (3)

2 约束条件 最大销售量限制 避免工厂开工不足 生产时间非负 例7-2 钢梁的设计问题 把一根圆钢加工成矩型截面的梁。为了使钢梁满足一定的规格、应力及强度条件，要求其高度不超过H，截面惯性矩不小于W，横截面的高度介于其宽度及4倍宽度的之间。问如何确定钢梁的尺寸，可使它的重量最轻，并且成本最低。 例7-3 圆柱螺旋弹簧的优化设计 设计这种弹簧时除选择材料及规定热处理要求外，主要根据最大工作载荷、最大变形以及结构要求等来确定弹簧的钢丝直径d, 弹簧中径D以及工作圈数n。 解 设计变量 疲劳安全系数 目标函数 设 所设计的梁横截面的高为x1,宽为x2 --弹簧材料的脉动疲劳极限 ； --最大、最小交变载荷F1,F2产生的切应力 目标为 (1) 重量最轻 重量最轻 (2)圆钢截面最小(成本最低) 约束条件 强度约束 筒体内径约束 约束条件 旋绕比约束 变形约束 --工作变形； 节距t的限制 H0—自由高度； 静强度约束

3 7.1.2 多目标最优化数学模型 按其重要性分成如下的L>1个优先层次 1. 多目标极小化模型 第一优先层——
多目标最优化数学模型 按其重要性分成如下的L>1个优先层次 1. 多目标极小化模型 第一优先层—— 归纳其共性，可以得到如下数学模型 第二优先层—— 第L优先层—— 在约束条件下的分层多目标优化问题记作 上式中，Ps(s=1,2,….L)是优先层次的记号，表示后面括号中的目标函数属于第s优先层次。 也可以用向量形式表示成 3. 目标规划模型 这是另一类多目标最优化模型。与前面二种模型不同的是，这类模型并不是考虑对各个目标进行极小化或极大化，而是希望在约束条件的限制下，每一个目标都尽可能地接近于事先给定的各自对应的目标值。 2.分层多目标最优化模型 特点是按不同的优先级分层次进行最优化。 例如上节例1中 例如在上节的例1中 第一优先层次——工厂获得最大利润； 生产总工时 第二优先层次——工人加班时间尽量地少； 第三优先层次——满足市场对一号品的需求。 总利润 一般对于t>1个目标函数 一号品产量

4 7.2 多目标优化数学模型的解 7.3 多目标优化问题的求解方法 7.3.1 评价函数法 目标规划模型为 其中 符号v--appr表示逼近
7.2 多目标优化数学模型的解 多目标问题的解与单目标问题的解有根本不同的概念。 如图7.1所示的五个解1，2，3，4，5 图7.1两目标最优解的解集 1---绝对最优解； 2、3---非劣解； 4、5---劣解。 因为能得到象1点这样理想解的情况极少，非劣解就成为有效解了。然而，非劣解往往不止一个，多目标最优化的解一般需从满足条件的多个非劣解中产生。 7.3 多目标优化问题的求解方法 评价函数法 评价函数法的主要思想是根据优化问题的特点和决策者的意图，构造一个把m个目标转化为一个总目标的评价函数。通过对m个目标的“评价”，把求解多目标极小化问题归结为求解与之相关的单目标极小化问题。

5 1. 线性加权和法 这是一种最简单也是最基本的评价函数法。它根据各个目标在问题中的重要程度，分别赋予一个系数，然后相加起来构造评价函数 对于一组目标函数F1,F2,…,Ft，分别赋予系数 W1,W2,…,Wt 评价函数为 例7-4 用例7-2来说明线性加权和法的求解过程。 解：由问题可知，钢梁设计问题归结为下面评价函数(约束条件略) 设决策者认为成本目标比重量目标重要。因此，给相应的权系数为W1 =0.3 ,W2=0.7, 评价函数为 用单目标优化算法可以求得最优解为 这就是在给定的权系数下问题的最优解。若权系数改变，结果也就随之而变化。 2. 理想点法 理想点法也有很多种，这里介绍其中的极大模理想点法。 基本思想是，首先求出分目标函数 F1,F2,…,Ft各自的极小值 ，然后确定表示各目标函数逼近其极小值重要程度的权系数 ，将原来的多目标最优化问题转化成下列单目标最优化问题 求解得到的最优解 即为原问题的最优解

6 例7-5 用极大模理想点法求解例7-1的生产计划问题。设该厂共生产3种产品，各项数据为
a1=3吨/小时, a2=2吨/小时, a3=4吨/小时; c1=5万元, c2=7万元, c3=3万元; b1=240吨 , b2=250吨, b3=420吨; T=208小时 解：根据所给数据，该优化问题的数学模型为 理想点分别为 给定权系数为 因此，该多目标优化问题在所给权系数下的非劣解为 将原多目标问题转换成单目标问题处理 该厂下月应安排生产计划如下 生产1号品时间 x1=80小时； 生产2号品时间 x2=125小时； 生产3号品时间 x3=105小时； 工人加班时间 小时 总利润 万元 1号产品产量 吨 求解这个单目标的线性规划问题，得

7 7.3.2 完全分层和宽容分层求解法 3. 权系数的确定 权系数的选择至关重要
1)如果已知各目标函数值的变化范围为 ，或难以估计目标函数的上下限时，也可以取下限值为零，上限值为 ，则称 为各目标的容限，各权系数为 。 这种取法的原理是，当某个目标函数值变化愈大时，其相应的容限就愈大，权系数就愈小。这样选取权系数将起到平衡各目标函数量级的作用。 2)分别对各分目标函数求最小化得F(X*) ,取各权系数为 3) 先把加权因子Wi分成二部分，即 Wi=W1i*W2i，第一项W1i用来反映各项设计指标的重要程度，可以用方法(1)或(2)来确定；第二项W2i用来调整各分目标，即函数在量级差别上的影响，并在迭代过程中逐步加以校正，可取 这意味着一个分目标函数Fi(X)的变化愈快，即 值愈大，则权系数愈小，反之亦然。这样可使变化快慢不同的目标函数一起调整好。 1) 完全分层和宽容分层求解法 将t目标函数按重要程度排队 ，然后采用宽容分层序列法 . 2) ---宽容量，是为了防止在计算第k个目标函数值后，若取唯一解，将会导致以后计算中断。 t)

8 7.3.3 平方加权和法 例7-6 用宽容完全分层法求 多目标优化问题的最优解 其中 ， 按重要程度将其排队为F1(X),F2(X)。
其中 ， 按重要程度将其排队为F1(X),F2(X)。 首先求解 ，得最优点 对应得最优值为 设给定的宽裕量 =0,052, 得 然后求解 从而得最优点为 这也是两目标函数优化问题的最优点x*,其对应得最优值为 两目标优化问题用宽容分层序列法求最优解的情况如图所示。不作宽容时， 为最优解，它就是第一个目标函数的严格最优解。若给定宽容值 ，则宽容的最优解为 ，它一进考虑了第二个目标函数，但是对第一个目标函数来说，其最优值就有一个误差。 平方加权和法 平方加权和法属于目标点法的一种，它可以用来求解多目标优化问题中的目标规划模型。它的思路是，将求解目标规划模型转换成极小化平方加权和问题，即 其中，权系数的选择亦可参照评价函数法。

9 功效系数法 设有r个目标函数 ,用dj表示第j个目标函数的好坏程度，其中 ，0为最差，1为最好。总的功效系数为 只要有一个为零，则总方案不可取。 在0到1之间确定功效系数曲线，可用线性函数，指数函数等拟合。 1 若目标函数追求极小，则为图7.2a； 2 若目标函数追求极大，则为图7.2b； 3若目标函数追求某一区间，则为图7.2c 图 7.2功效系数函数曲线 极小极大法 基本思想为：先求出各分目标函数 的最优解 和 ，选取可行域中的一点X，各分目标函数的增量系数定义为: 可以证明,如果协调曲线通过可行域,用极小极大法求得的最优点必定在协调曲线上.在可行域内的协调曲线上,若某点满足 则该点就一定是最优点,否则,最优点是协调曲线与某约束边界的交点,且该点处的各增量系数之差最小。三维以上的问题无法做出协调曲线。因此该法有较大的优越性与通用性。 于是原多目标问题转化为下列单目标求解： u=1,2,………m v=1,2,………p

10 第八章 离散变量的优化设计方法 8.1离散变量优化设计的数学模型及基本概念 8.1.1 离散变量优化问题的数学模型
机械设计中大量遇到的是混合设计变量的问题，即在数学模型中同时存在连续设计变量、整型量设计变量和离散设计变量。如减速器的优化设计中，若把齿轮的尺寸、齿数及模数选作设计变量，则齿轮的尺寸为连续变量，齿数为整型变量，模数为离散变量。所谓离散变量是指那些在规定的变量界限内，只能从有限个离散数中取值的变量。随着产品日趋标准化、规格化，在设计中很多设计量只能取离散或整型的情况愈来愈普遍，采用常规的优化算法得到的优化结果常常与实际情况相差甚远。因此，采用离散变量的优化设计方法其结果不仅符合工程设计的规范要求，同时也能大大提高优化计算速度。 8.1离散变量优化设计的数学模型及基本概念 离散变量优化问题的数学模型 非线性混合离散变量优化设计问题的数学模型一般可表达为 当 为空集时，为全连续变量型问题，即常规的优化问题；当 为空集时，为离散变量型问题；当 、 均为非空集时，为混合离散变量问题。 式中， 连续变量， 连续变量构成的子空间； 离散变量， 离散变量构成的子空间。

11 8.1.2 离散优化数学模型的特点 离散子空间可用一矩阵来描述 。
矩阵中行数表示离散变量的个数，列数表示离散变量的维数。当可取值的个数不相同时，可用某个自然数补足。 离散优化数学模型的特点 设计变量不连续 设计变量可取的值不是连续分布的，只能从离散的许用数据集合中选取。 2.可行域空间不连续 在离散变量优化设计中,由于设计变量的不连续,设计点并不是充满约束条件所限定的整个空间，而是分布在其中一些孤立的点上。这些可行的孤立点的集合称为可行集。如图8-1所示。离散变量只能在离散点上取值，否则没有意义。 因此，离散变量优化问题的解法必须改变，要由解析优化方法变为组合优化方法。 3.函数不可微 在离散变量优化设计中，由于设计变量不连续，因而其微分不存在。但却有差商。 图8-1 离散变量设计空间的几何表示 函数的差商不是其导数的近似值，而是准确地描述函数由设计点x0到x1变化的表达式。

12 8.2 离散变量优化设计的解法 8.2.1 凑整法与拟离散法 4. 库恩—塔克条件不适用
4. 库恩—塔克条件不适用 库恩—塔克条件是非线性规划的重要理论基础之一，在离散变量的优化设计，由于设计变量、可行域不连续，函数不可微，根本不存在以函数的微分形式表示的库恩—塔克条件。另一方面，连续变量空间表示的函数的极值点一般不是离散变量空间的设计点，而离散变量的最优点一般也不在由库恩—塔克条件所确定的点上。 8.2 离散变量优化设计的解法 8.2.1 凑整法与拟离散法 先视所有变量均为连续变量，在求得连续最优解后，再把它的各分量舍入到与其最接近的整数值或离散值上，即所谓的凑整解法。当约束函数为严重非线性，且约束区域为非凸集时，采用凑整解法有可能得不到可行设计方案或最优方案，如图8-2所示。a)图为所有凑整点均不在可行域内；b)为凑整点虽在可行域内，但并非最优点。 拟离散法是先将连续最优点圆整到最接近的离散点上，然后再在该点的坐标邻域内按一定次序找出它的更好解。 凑整法与拟离散法的共同点,都是假定离散最优点是在连续最优点的附近。但很多实际问题表明,这种假设并非总成立。 (a) 图 8-2离散变量的最优解 (b) 因此，要成功地解决混合设计变量问题，需要另劈路径，寻找与一般优化问题完全不同的方法。同时希望这些方法只在有限的离散点上搜索，以节约大量的计算时间。

13 8.2.2 网格法 网格法亦称枚举法。 在离散空间内，按离散点依次序取点，先检查离散点X是否可行，然后计算它的目标函数F(X)值，并与前面计算取得的最好点的目标函数值比较。若F(X)比它小,则存储X和F(X) ，否则再计算其它离散点。当全部可行点都查过一遍后，最后得到的最好点就是问题的约束离散最优解。网格法在设计变量较少，离散变量可选择的值也较少时比较实用，在其它情况下计算量就会太大。图8-3为网格法的二维计算框图。

14 8.2.3 离散惩罚函数法 若将设计变量的离散性视为一种约束，则可借用连续变量的方法来解决离散变量的问题，离散惩罚函数法就是一种较好的算法。
离散惩罚函数法 若将设计变量的离散性视为一种约束，则可借用连续变量的方法来解决离散变量的问题，离散惩罚函数法就是一种较好的算法。 其中 离散性惩罚项 其中 图8-4 一维离散变量的惩罚项示意图 图8-5 离散惩罚函数 是一对称的规范化函数，其最大值为1。当 取 或 时，值均为零。对于所有的的情形，在离散点之间是连续的，且一阶导数也是连续的(图8-4)。图8.5表示离散性惩罚函数值随变化的情况。 用来控制离散性惩罚项在惩罚函数中所占比例,是一正的递增序列,即 离散惩罚函数法的缺点是函数容易出现病态，若 赋值较大，离散惩罚项所占较大的分量，则有可能陷入伪优化点，给优化搜索造成较大困难。

15 离散变量的复合型法 离散变量的复合形法是在连续变量复合形法的基础上发展起来的。它在可行的离散空间内直接搜索离散点。由于可行的离散空间内可供搜索的点比连续的要少得多，当优化问题的维数较低时(n<20)，该法效率相当高。其基本原理与连续变量复合形法的类似。对于n维问题，通常取k 个离散点作为顶点，构成初始离散复合形。与连续变量复合形法不同的是，初始复合形的顶点可以是非可行点，但它们的离散分量都必须满足设计变量值的边界条件，即 在构成初始离散复合形的基础上，通过反射、扩张、收缩等各种搜索策略,不断地以好点代替坏点,使新的复合形不断向最优点移动和收缩,直至满足一定的终止条件为止。

16 8.2.5 应用示例 例8-1 如图所示为一箱形盖板,其长度,宽度,竖向翼板厚度ts为 承受最大的均布载荷为q=0.01Mpa要求在满足强度、刚度和稳定性等条件下,设计箱形盖板的厚度h及横向翼板厚度tf，使其重量最轻。设计变量可取的离散值为 tf =0.0,0.1,0.2,0.3；h=15,25,40,60。箱形盖板为铝合金制成，弹性模量 ，泊松比 ，许用弯曲应力 ，许用剪切应力 。 图8-7箱形盖板 2.数学模型 解 力学分析 设计变量 截面的惯性矩 目标函数 最大剪应力 约束条件 最大弯曲应力 临界稳定应力 按照强度、刚度和稳定性条件有 最大扰度 单位长度质量

17 分别用离散复合形法和离散惩罚函数法进行计算，其结果见表8-1。
表8-1 二种离散优化方法的计算结果 初始点 离散最优解 目标函数计算次数 约束函数计算次数 附 注 离散复合形法 离散惩罚函数法 连续惩罚函数法 0.7 1.0 30 0.64 25 24.97 109.0 109.9 101.3 21 382 260 一维收索用进退法; 无约束极小化用 Powell法. 从表8-1可以看到，虽然这二种离散优化方法取得相同的计算结果，但计算效率却显然不同，第一种比第二种效率要高得多。

18 第九章 有关优化设计的数学模型及其求解中的几个问题
一种科学只有成功地运用数学时，才算达到真正完善的地步。利用数学模型来研究和解决机械设计问题，使机械设计向着科学化方向发展。建立正确的优化数学模型，是解决机械优化设计问题的关键。总体来说对优化设计数学模型的基本要求是： (１)数学模型要能在满足各种限制条件下准确和可靠地说明设计问题所要实现的目标 ; (２)所建立的数学模型要与当前的计算机软、硬件发展水平相适应，算法上容易处理. 9.1 设计变量的选择 设计变量是可能影响设计质量和设计结果的可变参数.合理选择一定数量的设计变量不仅影响到模型的规模和建模的难度,也直接关系到优化结果能否令人满意.尽管到目前为止，选择什么参数,多少参数作为设计变量尚无普遍适用的定量结论.但一般应遵循如下原则。 １ 抓主要，舍次要 ２ 注意区分独立变量和相关变量 ３ 不要漏掉必须的设计变量 9.2 目标函数的建立 目标函数是以设计变量表示设计所追求的某种性能指标的解析式,是优化过程中最重要的觉车决策之一。根据以往机械优化设计的许多成功案例,机械优化设计中的常用目标有： (1)体积最小或重量最轻 (6)加速度最大或最小 (11)车辆的行驶平稳性最好 (7)耗能最小 (2)传动效率最高 (12)动负荷最小 (8)使用寿命最长 (3)承载能力最大 (13) 满应力设计思想。 (9)冷却效果最好 (4)运动精度最高 (14)可靠性最高　 (5)振动或噪音最小 (10)某方向的尺寸最小

19 另外，假定有若干个互相冲突的目标要求，F1,F2,…
另外，假定有若干个互相冲突的目标要求，F1,F2,…..Ft ，设计者希望他们尽可能的都小，但我们却看不出选那个目标函数为好,此时可先取每一个目标函数FL(X)，求下列极值问题 将所得到的结果列成表来进行比较，作为设计时的参考即：为了降低某些 FL(X)值，另外的Fi (X)值升高多少作为交换是合适的。 9.3 约束条件的确定 在机械设计领域，设计的限制是多种多样的，但一般都归属于两大类，第一类称为性态约束，是预测可能被破坏或失效的特征，从计算角度上讲，性态约束的检验相对容易处理，因此可利用目标函数和设计约束相互置换.第二类称为边界约束，用来规定设计变量的取值范围。不论是哪一类的约束条件，为了能定量处理，都必须是可计算的函数. 1 避免出现矛盾约束使可行域成为空集 ; 2 避免可行域无界 3 尽量避免等价约束(多余约束)和相关约束 4 利用变换消去某些约束 例：在约束条件 为 图9.1　可行域无界示例图 图 9.2　多余约束示例 还有一类常见的约束 可变换为 此时，可作变量代换消去约束 5 不能漏掉必须的约束 有时，变换可能会使函数条件变坏或增加计算工作量。

20 9.4 数学模型的尺度变换 分别对设计变量的无量纲化、约束条件的规格化以及目标函数的规格化作一简单介绍。 设计变量的尺度变换
9.4 数学模型的尺度变换 分别对设计变量的无量纲化、约束条件的规格化以及目标函数的规格化作一简单介绍。 设计变量的尺度变换 当各设计变量之间在量级上相差很大时，在给定的搜索方向上各自的灵敏度也相差很大。从而导致计算过程的不稳定和收敛性变差。为了消除这种差别，可以对设计变量进行重新标度，使它们成为无量纲和规格化的设计变量。 （ｉ＝１，２，…，ｎ）（9.1） 最后反变换得 若 则 若已知 则 2 目标函数的尺度变换 在优化设计中，若目标函数严重非线性，致使函数性态恶化，计算不稳定。以二维问题为例，通过尺度变换使其等值线接近于同心圆或同心椭圆族，减小原目标函数的偏心率和畸变度。虽然从数学变换理论上可以用二阶偏导数矩阵进行尺度变换，但却在计算中增加了不少的困难，所以工程上极少采用。目前，一般还仅仅限于用通过设计变量尺度变换而使坐标轴刻度规格化的办法，这样做也能对目标函数的性态产生一些好的影响。 ３ 约束条件的尺度变换 由于各约束条件所表达的意义不同，使得各约束条件在量级上差别很大，有可能使计算陷入歧途。 这样就把约束函数的取值范围限制在［0，1］区间内，从而起到稳定搜索过程和加速收敛的作用。 如 处理为

21 9.5 数据表和线图资料的使用 9.6 优化结果的分析与处理
9.5 数据表和线图资料的使用 在机械优化设计中，经常需要使用以数据表、线图等形式给出的设计数据，如应力集中系数、齿形系数、效率曲线、材料等。 １ 数据表的程序化 (1) 原数据表有较精确的理论计算公式 ； 直接使用 (2) 原数据表是由大量试验或经验数据的整理得到的一系列离散数据 ；数组或曲线拟合 ２ 线图的程序化 (1) 采用曲线拟合或插值的方法使线图资料公式化； (2) 采用数组方式，从给定的曲线图上读取离散的数值 。 9.6 优化结果的分析与处理 优化设计方法和其他的设计方法一样,是一种解决复杂问题的工具,而不是解决实际问题的原则。由于工程问题的复杂性,在优化求解后,还必须依据初始数据、中间结果和最终结果进行认真对比,分析,以查明优化计算过程是否正常和最终结果是否具有合理性和可行性。 目标函数的最优值是对计算结果分析的重要依据。将它与原始方案的目标函数值作比较，可以看出优化设计比原设计方案改进的效果。 最优解若约束函数值全部不接近于零，即其所有的约束条件都不起作用，这时必须进一步研究所给约束条件对该设计问题是否完善、所取得的最优解是否正确。 对各设计变量还可进一步作关于该设计变量的敏感度分析

22 第十章 优化方法在机械设计中的应用 10.1 机械优化设计的一般步骤 10.2 普通圆柱齿轮传动的优化设计
第十章 优化方法在机械设计中的应用 10.1 机械优化设计的一般步骤 利用最优化方法解决机械优化设计问题的一般步骤是： (1) 根据设计对象的具体要求、应用场合建立机械优化设计的数学模型。为此，必须正确选择设计变量、目标函数和约束条件，同时要求建立的数学模型容易处理和求解 (2) 选择合适的优化方法和计算程序。 (3) 编写程序（包括主程序和各类子程序），上机调试和计算，求得优化最优解。 (4) 优化结果的分析与评价。 10.2　普通圆柱齿轮传动的优化设计 设计一个二级斜齿圆柱齿轮减速器，如图10.1所示。要求在满足强度、刚度和寿命等条件下，使体积最小。已知高速轴输入功率为 ，高速轴转速为 ，总传动比为i，齿轮的齿宽系数为 ，大齿轮45号钢正火HB=187～207，小齿轮45号钢调质HB=228~255，总工作时间不少于10年。 图10.1 二级齿轮减速器示意 (1) 建立目标函数。齿轮减速器的设计可以有许多种设计方案。此处要求将减速器的体积最小为优化的目标函数，即可使减速器的总中心距为最小。因此以总中心距a为目标函数，则有：

23 取太阳轮1和c个行星轮的体积总和为重量指标
2K-H型行星减速器优化设计 K-H型减速器优化设计 图2K-H行星齿轮减速器简图 已知传动功率22KW，输入转速 ，输出转速 ，齿轮材料为38SiMnMo，表面淬火HRC45～55，试建立起其重量最轻的优化数学模型，求其最优解，并作图表示优化前后的结果。 1、确定目标函数 取太阳轮1和c个行星轮的体积总和为重量指标 2、确定设计变量 对体积有影响的参数为b,m,z,c。 故： 邻接条件 3、确定约束条件 传动比误差条件 齿宽 同心条件 装配条件 模数取正值 不根切条件 说明： 1、初始值可参阅有关资料； 2、将模数、齿数、行星轮个数作为连续量来对待； 3、列表比较优化前后的参数变化与结果。 行星轮数大于2 弯曲强度条件 接触疲劳强度条件

24 10.4 曲轴圆角滚压运动及结构参数的优化设计